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교육학석사 학위논문

자료 모델링을 통한 초등학생의 자료에 대한 추론 연구

2020

년 12 월

서울대학교 대학원

수학교육과

전혜진

국문초록

자료에 대한 추론은 인간 활동의 기초라 할 수 있으며 많은 나 라의 교육과정에서는 이를 중요한 학습 요소로 다루고 있다. 자료 에 대한 추론은 분포, 변이, 자료집합 비교, 연관성 등 기본적인 통계적 개념들과 연결되는데, 자료 모델링은 통계적 추리를 이끌 어내고 다양한 통계적 개념에 대한 학습을 촉진할 수 있다는 점에 서 자료에 대한 추론 학습을 위해 적절한 교수․학습 활동이다.

또한 자료 모델링은 자료에 대한 전체적 조망 능력을 향상시키거 나 정보 처리 역량과 통계적 소양을 개발하기 위한 교수․학습 활 동으로서 잠재력을 가진다는 것이 확인되었다. 하지만 모델링 활 동이 수반하는 인지적 어려움으로 인하여 대부분의 연구들이 중고 등학생을 대상으로 이루어져 온 실정이다. 특히 국내외를 통틀어 초등학생을 대상으로 한 자료 모델링 연구는 이제 시작되는 단계 에 있다. 2015 개정 수학과 교육과정에서는 교과 핵심역량 중 하 나로 정보 처리 역량을 제시하고 있으며, 초등학교에서부터 문제 해결 능력 함양을 위한 방안으로 모델링 역량의 신장을 강조하고 있다. 하지만 현장의 교사들이 참고할 만한 구체적인 자료 모델링 과제 설계의 원리와 과정을 제시하는 연구는 부족한 실정으로 이 에 대한 연구가 필요해 보인다.

한편 통계적 추리는 관찰된 자료로부터 일반적인 사실 또는 주 장을 이끌어내는 것으로 통계 분야의 핵심적 개념이라 할 수 있 다. 통계학에서는 가설검정, 모수에 대한 추정과 같이 형식적인 방 법을 사용하는 것을 통계적 추리로 간주하고 있지만 이러한 형식 적 통계적 추리는 통계 학습을 시작하는 학생들에게 여러 가지 어 려움을 야기한다. 이에 통계 교육 연구자들은 형식적인 통계적 절 차를 거치지 않고 논리정연하게 자료로부터 결론이나 일반화를 이

끌어내는 통계적 추리인 비형식적 통계적 추리에 주목하였다. 비 형식적 통계적 추리는 통계의 힘을 일찍 경험할 수 있는 기회를 제공하며, 학생에게 익숙한 경험과 통계 학습을 연결하여 통계적 추리에 대한 접근성을 향상시킨다. 무엇보다 비형식적 통계적 추 리는 통계의 핵심 아이디어들을 일관성 있게 학습할 수 있는 통찰 력을 제공할 수 있다는 점에서 통계를 가르치고 학습하기 위한 목 표로서 가치가 있다.

본 연구의 목적은 초등학생의 비형식적 통계적 추리 개발을 위 한 자료 모델링 과제 및 수업을 설계하여 적용하고, 초등학생들이 자료를 어떻게 추론하는지 조사하는 것이다. 특히 시계열 자료를 제시하여, 학생들이 자료를 어떻게 비형식적으로 조망하는지 확인 함으로써 자료에 대한 추론을 조사하고 자료 모델링의 역할에 대 한 시사점을 도출하고자 한다. 시계열 자료는 일상생활에서 빈번 하게 활용되고 있지만 학생들이 시계열 자료에 대해 어떻게 추론 하는지에 대한 연구는 그동안 잘 이루어지지 않았다.

연구 방법으로서 설계 연구를 활용하여 예비 설계와 교수 실험 단계를 수행하였다. 예비 설계 단계에서는 자료 모델링 과제 및 수업을 설계하기 위하여 선행연구 분석, 교육과정 검토, 감염병 수 리 모델링 관련 자료 확인 등을 수행하고 전문가 평가를 실시하였 다. 교수 실험 단계에서는 2회에 걸친 교수 실험을 실시하였으며 1차 교수 실험의 결과를 바탕으로 과제와 수업을 다시 수정하였 다. 수정된 과제와 수업은 2차 교수 실험에 적용되었으며 학생들 이 자료를 어떻게 조망하였는지를 중심으로 분석하였다.

연구 결과로 첫째, 비형식적 통계적 추리 개발을 위한 자료 모 델링 과제 설계의 규준 6가지를 도출하였다. 둘째, 자료 모델링 과 제 및 수업을 개발하고 학습활동지, 교수․학습과정안, 교사 안내 서 등을 구체적으로 제시하였다. 셋째, 학생들은 자료 모델링 과정

에서 시계열 자료에 대한 추론의 유형으로 신호적 조망, 점별 조 망, 구간별 조망, 전체적 조망 등을 활용함을 확인하였다.

결론적으로, 본 연구는 자료에 대한 추론을 위한 교수․학습 활 동으로 자료 모델링을 제시하고 자료 모델링 과제 및 수업 설계의 규준을 도출하여 구체적인 과제 설계의 과정을 밝혔다. 또한 시계 열 자료에 대한 자료 모델링을 통해 학생들이 점차 자료를 전체적 으로 조망하는데 바탕이 되는 추론의 유형을 활용하게 됨을 확인 하였다.

주요어 : 자료 모델링, 비형식적 통계적 추리, 자료에 대한 추론, 초등학생 학 번 : 2019-28179

목 차

Ⅰ. 서론 ··· 1

Ⅱ. 이론적 배경 ··· 5

1. 비형식적 통계적 추리 ··· 5

1.1. 비형식적 통계적 추리의 정의와 구성 요소 ··· 5

1.2. 비형식적 통계적 추리에서의 변이와 분포 ··· 8

2. 자료 모델링 ··· 11

2.1. 자료 모델링의 개념 ··· 11

2.2. 자료 모델링 과정과 비형식적 통계적 추리 ··· 13

2.3. 비형식적 통계적 추리 개발을 위한 자료 모델링 과제 설계의 규준 ··· 17

3. 자료에 대한 추론 ··· 19

3.1. 자료에 대한 전체적 조망과 국소적 조망 ··· 19

3.2. 시계열 자료에 대한 추론 ··· 23

Ⅲ. 연구 방법 ··· 26

1. 설계 연구 ··· 26

2. 연구 설계 및 절차 ··· 28

3. 예비 설계 ··· 30

3.1. 자료 모델링 과제 및 수업 설계 ··· 30

3.2. 전문가 평가 ··· 31

4. 교수 실험 ··· 32

4.1. 1차 교수 실험 ··· 32

4.2. 2차 교수 실험 ··· 35

Ⅳ. 연구 결과 ··· 44

1. 예비 설계 ··· 44

1.1. 초기 과제 및 수업 설계 결과 ··· 44

1.2. 전문가 평가 결과 ··· 50

1.3. 전문가 평가 후 수정된 과제 및 수업 설계 결과 ··· 52

2. 1차 교수 실험 ··· 56

3. 2차 교수 실험 ··· 60

3.1. 실세계 탐구하기․문제 해결을 위한 요인 찾기 ··· 60

3.2. 자료를 해석․구성․조직화하기 ··· 62

3.3. 모델 도출 및 수정하기 ··· 74

3.4. 새로운 맥락에 모델 적용하기 ··· 82

Ⅴ. 결론 ··· 87

1. 요약 ··· 87

2. 결론 및 제언 ··· 89

참고문헌 ··· 94

부록 ··· 104

Abstract ··· 113

표 목 차

<표 Ⅱ-1> 과제 설계의 규준 ··· 18

<표 Ⅲ-1> 연구 절차 ··· 29

<표 Ⅲ-2> 전문가 집단 ··· 31

<표 Ⅲ-3> 연구 참여 교사 ··· 35

<표 Ⅲ-4> 전체적 조망의 활용을 지원하는 발문 ··· 38

<표 Ⅲ-5> 모델링 활동에서 생산적 논의를 촉진하는 발문 ··· 38

<표 Ⅳ-1> 교수․학습 활동 ··· 47

<표 Ⅳ-2> 전문가 평가 결과 ··· 51

그 림 목 차

[그림 Ⅱ-1] 자료와 분포의 관계 ··· 10

[그림 Ⅱ-2] 자료 모델링의 구성 요소와 과정 ··· 14

[그림 Ⅱ-3] 자료 모델링 과정 ··· 15

[그림 Ⅱ-4] 자료에 대한 관점 ··· 21

[그림 Ⅱ-5] 시계열 그림의 예시 ··· 24

[그림 Ⅲ-1] 이론과 실험 사이의 반성적 관계 ··· 27

[그림 Ⅲ-2] 1차 교수 실험의 Tinkerplots 자료 카드 ··· 34

[그림 Ⅲ-3] 2차 교수 실험의 Tinkerplots 확진자 수 자료 화면 ··· 40

[그림 Ⅳ-1] 초기 자료 모델링 과제 ··· 45

[그림 Ⅳ-2] 자료 모델링 과제 ··· 54

[그림 Ⅳ-3] 5번 활동에 대한 ES1의 조작 화면 ··· 58

[그림 Ⅳ-4] <사례3>의 Tinkerplots 조작 화면 ··· 64

[그림 Ⅳ-5] <사례5>의 Tinkerplots 조작 화면 ··· 67

[그림 Ⅳ-6] <사례6>의 Tinkerplots 조작 화면 ··· 70

[그림 Ⅳ-7] <사례7>의 Tinkerplots 조작 화면 ··· 72

[그림 Ⅳ-8] <사례8>의 Tinkerplots 조작 화면 ··· 74

Ⅰ. 서론

¹⁾

현대 사회의 여러 분야에서 이루어지는 의사결정은 자료와 통계 를 활용하여 이루어지고 있으며, 이러한 흐름에 따라 자료에 대해 추론하는 능력은 사회의 각 구성원들에게 더욱 필수적인 것이 되었 다(Biehler, Frischemeier, Reading, & Shaughnessy, 2018). 자료에 대한 추론은 분포, 변이, 자료집합 비교, 연관성 등 통계의 기본적인 개념들과 관련되는 폭넓은 의미의 용어이다(Biehler et al., 2018).

본 연구에서는 초등학생들의 자료에 대한 추론을 탐색하기 위하여 비형식적 통계적 추리(informal statistical inference) 개념을 활용 하고자 한다. 비형식적 통계적 추리란 형식적인 통계적 방법을 사 용하지 않고 관찰된 자료로부터 논리정연하게 모집단의 성질을 추 정하거나 일반화, 결론, 주장을 이끌어내는 사고 과정과 진술을 의 미한다(Makar & Rubin, 2009). 비형식적 통계적 추리는 형식적 통 계적 추리의 대안적인 접근방법이자, 이를 학습하기 위한 선행 단 계로서 잠재력을 가진다(Zieffler, Garfield, delMas, & Reading, 2008). 특히 자료 분석 과정을 시각화하는 공학용 도구는 초등학생들도 직 관을 활용하여 비형식적으로 자료를 다룰 수 있도록 돕는다(Makar

& Rubin, 2009).

비형식적 통계적 추리와 관련된 선행연구는 국외에서 정의와 구 성 요소를 분석한 연구를 바탕으로 하여, 비교적 최근부터 비형식 적 통계적 추리를 개발하기 위한 과제 및 교수․학습 활동과 관련 된 연구가 이루어지기 시작하였다. 이와 관련된 연구로 비형식적 통계적 추리 개발을 위한 요인 또는 과제 유형을 제시한 연구(e.g.

Makar, Bakker, & Ben-zvi, 2011; Zieffler et al., 2008), 비형식적 통계적 추리 개발을 위한 두 자료집합 비교하기 과제의 가능성을 탐색한 연구(e.g. 박민선, 박미미, 이경화, 고은성, 2011; 탁병주, 고 1) 본 연구는 전혜진, 정혜윤, 이경화(2020)의 연구를 확장한 것이다.

은성, 지영명, 2017), 비형식적 통계적 추리 개발을 지원할 수 있는 통계 그래프를 탐색한 연구(e.g. 고은성, 탁병주, 2019), 자료 모델링 활동을 통해 비형식적 통계적 추리의 발현을 탐색한 연구(e.g.

Doerr, delMas, & Makar, 2017; English, 2012; English & Watson, 2018; Fielding-Wells, 2018) 등이 수행되었다. 이 선행연구들은 어 떠한 과제 유형과 교수․학습 활동이 비형식적 통계적 추리 개발에 긍정적인 영향을 미칠 수 있는지 가능성을 보여준다는 점에서 의의 가 있다. 특히 최근의 일부 선행연구에서 밝혀낸 바와 같이, 자료 모델링은 초등학생들의 통계적 추론 능력 및 정보 처리 역량 개발 에 유용하다(최경아, 2017; English & Watson, 2018). 하지만 선행 연구에서(e.g. English & Watson, 2018; Fielding-Wells, 2018) 지 적하고 있듯이 초등학생의 비형식적 통계적 추리 개발을 위한 자료 모델링 활동에 대한 연구는 여전히 많지 않으며, 국내 연구 또한 비 형식적 추리와 관련하여 대푯값, 변이 등의 개별적인 개념에 대한 이해를 다루는 연구에 그치고 있다(이정연, 이경화, 2017). 무엇보다 비형식적 통계적 추리 개발을 위한 과제 및 교수․학습 활동이 필 요한데, 이에 대한 설계 과정과 원리를 상세히 밝힘으로써 교수학 적 설계의 틀을 제시하는 연구는 더욱 찾아보기 어려웠다. 모델 개 발 시퀀스와 같은 설계의 틀을 제시한 Doerr et al.(2017)의 경우 역 시 구체적인 설계 과정은 생략하고 설계 결과를 간략히 밝히는데 그쳤다.

국내 수학적 모델링 연구는 대체로 중ㆍ고등학교 수준에서 다루 어져 왔으며(오영열, 박주경, 2019), 특히 초등학교 수준에서 자료집 합에 내재된 변이를 모델링하는 것에 초점을 둔 연구는 매우 부족 한 상황이다. 2015 개정 수학과 교육과정에서는 초등학교에서부터 문제 해결 능력 함양을 위한 교수․학습 방안으로 수학적 모델링 역량을 신장할 것을 강조하고 있음에도(교육부, 2015, p.38) 현장의 교사들은 수학적 모델링에 적합한 수업 과제를 개발하는데 어려움 을 느끼고 있는 바(최지선, 2017; 한선영, 2019), 구체적인 과제 설

계의 원리와 과정을 제시하는 연구가 필요할 것으로 보인다.

한편 자료에 대한 추론에서 자료를 전체적으로 조망할 수 있는 능력은 필수적이다(Konold, Higgins, Russell, & Khalil, 2015). 전체 적 조망이란 자료집합을 하나의 독립체 또는 개별적인 경우의 성질 들과는 다른 집단의 성질로 간주하는 것이다(Aridor & Ben-zvi, 2017). 통계적 추리는 개별적인 자료값이 아니라 중심, 변이, 형태, 공변동 등의 전체적 측도를 사용하여 이루어지며 자료의 전체적 특 징을 인식하고 설명하며 일반화하는 것은 통계의 주된 목적이다 (Konold et al., 2015; Makar & Rubin, 2018). 자료 모델링 활동에서 초등학생의 자료에 대한 추론 양상을 탐색한 몇몇 선행연구에서는 (e.g. Aridor & Ben-zvi, 2017; Fielding-Wells, 2018) 자료 모델링 이 전체적 조망 능력을 개발하는데 긍정적인 영향을 미침을 확인하 였다. 이에 본 연구에서는 선행연구들의 연장선에서 비형식적 통계 적 추리 개발을 위하여 설계한 자료 모델링 활동을 통하여 초등학 생들이 자료를 어떻게 조망하는지 살펴보고자 한다. 특히 그동안 잘 다루어지지 않았던 시계열 자료를 활용하여, 시계열 자료에 대 한 추론을 분석한 연구가 요구된다는 Makar & Rubin(2018)의 제 언을 보완하고자 한다.

정리하면, 본 연구의 목적은 자료 모델링을 통하여 초등학생들이 자료를 어떻게 추론하는지 탐색하는 것이다. 구체적으로, 비형식적 통계적 추리 개발을 위한 자료 모델링 과제 및 수업 설계의 원리를 도출하여 적용하고, 학생들이 자료를 어떻게 조망하는지 확인하고 자 한다. 연구문제는 다음과 같다.

연구문제1 : 초등학생의 비형식적 통계적 추리 개발을 위한 자료 모델링 과제 및 수업 설계의 원리는 무엇인가?

연구문제2 : 시계열 자료에 대한 자료 모델링 활동에서 초등학생들 은 자료에 대해 어떻게 추론하는가?

이를 위해 Ⅱ장에서는 선행연구 분석을 바탕으로 비형식적 통계 적 추리 개발을 위한 자료 모델링 과정과 과제 설계의 규준을 각각 도출한다. Ⅲ장에서는 설계 연구 방법론에 대해 살펴본 뒤, 연구 절 차를 밝히고 예비 설계 및 교수 실험 단계에 대한 방법을 제시한다.

Ⅳ장에서는 연구 결과로서 연구문제1과 관련하여 설계 연구의 각 단계별 결과와 수정된 자료 모델링 과제, 학습활동지, 교수․학습과 정안, 교사 안내서 등을 제시한다. 연구문제2와 관련하여 시계열 자 료에 대한 자료 모델링 활동에서 초등학생이 자료를 어떻게 조망하 는지를 자료 모델링 단계별로 제시한다. Ⅴ장에서는 연구문제1과 연구문제2와 관련된 주요 연구결과를 요약하고 교수학적 시사점과 결론을 도출한다.

Ⅱ. 이론적 배경

1. 비형식적 통계적 추리

1.1. 비형식적 통계적 추리의 정의와 구성 요소

비형식적 통계적 추리²⁾의 정의는 연구자마다 조금씩 다르며 단 일하지 않다(이정연, 이경화, 2017; Zieffler et al., 2008). 그럼에도 여러 선행연구의 정의에서(e.g. Makar & Rubin, 2009; Park, 2015;

Rossman, 2008; Zieffler et al., 2008) 비형식적 통계적 추리가 표준 적인 통계적 절차 없이 논리적으로 관찰된 자료로부터 모집단의 성 질을 추정하거나 의미 있는 결론을 이끌어 내는 사고 과정과 진술 을 의미한다는 점은 공통적으로 언급된다. 하지만 비형식적 통계적 추리가 표준적인 통계 절차를 거치지 않는다고 하여 통계적 개념을 사용하지 않는 것은 아니다. 형식적 통계적 추리가 통계 전문가, 연 구 공동체에서 표준으로 인정하는 방법을 사용하여 형식적인 가설 검정, 모수에 대한 추정 등을 사용하는 반면, 비형식적 통계적 추리 는 분포, 중심, 변이 등에 대한 직관을 활용하여 관찰된 자료를 넘 어서는 추정을 이끌어 낸다(Makar & Rubin, 2009, 2018;

Pfannkuch, 2006).

2) 국외 선행연구를 살펴보면 비형식적 통계적 추리(informal statistical inference)와 관련하여 비형식적 추리 추론(informal inferential reasoning)이라는 용어도 함께 사용된다. 이 용어들을 각각 비형식적으로 이끌어낸 모집단에 대한 결론과 이러 한 결론을 형성해 가는 추론 과정으로 구분하는 연구도 있으나(e.g. Braham &

Ben-zvi, 2017; Makar et al., 2011) 두 용어의 의미가 명확히 구분되지 않기 때 문에 하나의 용어를 선택하여 활용하는 연구도 있다(e.g. Zieffler et al., 2008). 본 연구에서는 관찰된 자료로부터 이를 포함하는 더 큰 자료집합에 대한 추정을 끌 어내는 과정과 결론이 서로 동떨어진 것이 아니라 밀접한 관련을 맺으며 함께 일 어날 것이라 보고, 비형식적 통계적 추리라는 용어로 통일하여 사용한다.

한편 몇몇 선행연구에서는 비형식적 통계적 추리의 정의와 함께 구성 요소를 제시하고 있다. 비형식적 통계적 추리의 구성 요소를 제시한 선행연구로 Makar & Rubin(2009, p. 85)은 비형식적 통계 적 추리의 세 가지 구성 요소로 다음을 제시하였다.

1) 예측, 모수 추정, 결론 등 주어진 자료를 넘어서는 것을 설명하는 일반화 2) 일반화의 근거로 자료를 사용하기

3) 이끌어낸 결론에 대한 확실성의 수준을 비형식적으로 언급하는 것을 포 함하여 일반화를 설명하기 위해 확률적 언어를 사용하기

이들은 Makar & Rubin(2018, pp. 273-275)에서 2009년 연구에서 제시한 세 가지 구성 요소에 두 가지 구성 요소를 추가하여 비형식 적 통계적 추리의 구성 요소를 다음과 같이 제시하였다.

1) 주어진 자료를 넘어서는 주장 2) 불확실성에 대한 표현 3) 근거로서 자료를 사용 4) 전체적인 특성 고려 5) 맥락적 지식의 통합

Zieffler et al.(2008, p. 45)은 비형식적 통계적 추리의 구성 요소로 다음의 세 가지를 제시하였다.

1) p-값이나 t검정과 같은 형식적인 통계적 절차를 사용하지 않고 표본으로 부터 모집단에 대해 판단하고 추측하기

2) 사용할 수 있는 범위의 사전지식(예를 들어, 분포 또는 평균과 같은 기본 개념에 대한 형식적 지식, 특정 주장에 비추어 표본이 상당히 놀라운 결 과임을 인식하기, 통계적 언어 사용하기)을 활용하고 통합하기

3) 표본에 근거하여 모집단에 대해 판단, 주장, 예측하기 위해 증거에 기반

을 두고 논증하기

Tobías-Lara & Gómez-Blancarte(2019, p. 12)는 형식적 통계적 추 리와 비교하여 비형식적 통계적 추리가 갖추고 있는 요소를 다음과 같이 네 가지로 구분하였다.

1) 표본 자료를 넘어서는 일반화와 판단, 주장 2) 결론이나 일반화를 지지하는 통계적 근거 3) 확률적 언어 사용

4) 추리가 일어나는 맥락에 대한 지식

선행연구들로부터 다음과 같이 비형식적 통계적 추리의 다섯 가지 구성 요소를 확인하였다.

첫째, 자료를 넘어서는 주장이다. 이는 다수의 선행연구에서(e.g.

Makar & Rubin, 2009, 2018; Tobías-Lara & Gómez-Blancarte, 2019; Zieffler et al., 2008) 보편적으로 받아들이는 핵심 측면이나, Makar와 Rubin(2018)은 대부분의 교육과정 상황이 오직 주어진 자 료에 대해서만 추론할 것을 요구하고 있다고 지적하였다.

둘째, 불확실성의 표현이다. 관찰된 자료는 모집단의 일부이기 때 문에 모집단의 경향을 반영하지만(Zieffler et al., 2008) 모집단과 완 전히 일치하지는 않는다. 비형식적 통계적 추리는 이 점을 인식하 고 자료로부터 이끌어낸 주장의 확실한 정도를 표현하는 것을 포함 한다.

셋째, 자료를 주장의 근거로 활용하는 것이다. Wild와 Pfannkuch(1999)에 따르면 자료에 대한 필요성을 인식하고, 자료를 분류하고 변형하여 새로운 통찰을 얻는 것은 통계적 사고의 기본이 다. 수집한 자료가 어떤 의미를 가지는지 이해하고 자료와 주장을

연결하는 것은 비형식적 통계적 추리에서도 중요하다(Makar &

Rubin, 2018).

넷째, 전체적 조망의 활용이다. 전체적 조망을 활용한다는 것은 자료집합에서 자료의 개별적인 값에 주목하는 것이 아니라 평균, 중앙값 등을 활용하여 자료집합을 하나의 전체로 다루는 것을 의미 한다. 이와 관련하여 Konold et al.(2015)은 학생들이 자료를 전체적 으로 조망하여 다루는 것을 어려워하며 ‘평균’과 같이 전체적 속성 을 나타내는 용어를 사용하더라도 이에 대한 진정한 이해 없이 피 상적으로 사용하는 경우가 있다고 하였다.

다섯째, 맥락적 지식의 통합이다. 통계적 추리는 실세계 맥락에 대한 질문을 해결하기 위한 자료 조사로부터 시작되므로 자료가 맥 락 안의 숫자임을 인식하는 것은 비형식적 통계적 추리에서 중요한 역할을 한다(Langrall, Nisbet, Mooney, & Jansem, 2011; Moore, 1990, p. 96). 그러나 맥락에서의 질문을 통계적 질문으로 전환하는 것은 쉽지 않으며(Makar et al., 2011) 맥락이 복잡할수록 통계적 지식보다는 개인적 경험이나 신념에 의존하는 경향이 나타난다 (Makar & Confrey, 2007). 비형식적 통계적 추리를 개발함에 있어 서 학생들이 통계와 맥락 사이를 균형 있게 오갈 수 있도록 맥락과 통계적 개념을 통합하는 것이 필요하다(Wild & Pfannkuch, 1999).

본 연구에서는 위에서 제시한 5가지 구성 요소를 비형식적 통계 적 추리 개발의 지표로 삼고, 자료 모델링의 각 단계에서 다섯 가지 구성 요소가 균형 있게 촉진될 수 있도록 과제 및 수업을 설계하고 자 한다.

1.2. 비형식적 통계적 추리에서의 변이와 분포

통계는 어떤 현상에 대해 관측한 자료를 정리하고 분석하여 미래 를 예측하거나, 바뀌고 변화하는 현상에 숨겨진 규칙성을 발견하여

불확실한 상황에 대한 합리적인 의사결정의 바탕을 제시하는 학문 이다(김원경, 2011). 여기서 바뀌거나 변화하는 현상의 관찰 가능한 실체를 기술하거나 측정하는 것을 '변이(variation)'라 하며 (Reading & Shaughnessy, 2010) 이는 통계 연구의 핵심이자 통계 학의 존재 이유라 할 수 있다(Wild & Pfannkuch, 1999; 고은성, 이 경화, 2010; 탁병주 외, 2017).

변이에 대한 고려는 비형식적 통계적 추리에서도 중심적인 역할 을 한다. Pfannkuch(2006)는 비형식적 통계적 추리가 분포에 대한 추론, 중심 측도를 이용한 추론, 표집에 대한 추론과 모두 연결되어 있다고 하면서 변이에 대한 고려가 모든 측면의 추론을 뒷받침한다 고 하였다. Makar et al.(2011)은 비형식적 통계적 추리를 지원하는 요소 중 하나로 통계적 지식을 제시하였는데 이는 변이성, 분포, 전 체적 사고 등을 포함한다. Park(2015)은 통계적 추리의 필수적인 개 념이 기댓값, 변이와 같은 기술통계 개념을 포함한다고 하였다.

Franklin, Kader, Mewborn, Moreno, Peck, Perry et al.(2007)은 학생들이 학습해야 할 변이성의 유형으로 측정변이성, 고유변이성, 유도변이성, 표집변이성, 우연변이성과 같이 다섯 가지를 제시하였 다. 이 중 고유변이성, 유도변이성은 통계적 소양의 발달 수준에 있 어서 초기 단계에 해당하는 학생들이 학습하기에 적절하다고 하였 다. 여기서 고유변이성이란 대상이나 현상에 본질적으로 내재된 변 이성을 의미하는데, 예를 들어 같은 품종의 씨앗 여러 개를 동일한 환경에서 재배하더라도 서로 다른 크기의 콩을 생산하게 되는 것은 씨앗에 내재된 고유변이성이 영향을 미친 것으로 볼 수 있다. 유도 변이성이란 처치에 의해 생성된 변이를 의미하는 것으로, 동일한 품종의 씨앗을 두 그룹으로 나누어 서로 다른 환경에서 각각 재배 하였을 때 관찰되는 차이가 이에 해당한다(p.6). 고유변이성과 다른 요소들에 의해 유도된 변이성을 비교하는 것은 현대 통계학의 주요 연구 주제이며(Franklin et al., 2007, p.7) 이는 통계 학습을 시작하 는 단계의 학생들에게도 흥미로운 주제가 될 수 있다.

한편 Wild(2006)는 가장 기본적이고 직관적인 수준의 분포는 ‘변 수에 내재해 있는 변이의 패턴’이며 분포가 변이를 볼 수 있게 하는 렌즈라 하였다. Bakker & Gravemeijer(2010)는 분포가 자료의 변 이에 대해 사고하도록 돕는 개념적 실체라 하였다. 즉 분포는 변이 가 내재된 현상 속에 숨어 있는 자료의 패턴, 경향, 추세를 확인할 수 있도록 하는 개념적 실체라 할 수 있다.

Bakker & Gravemeijer(2010)는 개별적인 값들로서의 자료와 개 념적 실체로서의 분포를 구분하기 위해 분포의 여러 측면을 분석하 여 중심, 퍼짐, 밀도, 왜도 등으로 구분하였다([그림 Ⅱ-1]). 특히 이 측면들이 서로 밀접한 관계를 맺는다고 강조하였는데, 예를 들어 극단적인 최댓값의 존재는 자료들이 퍼져있는 정도뿐만 아니라 평 균에도 영향을 줄 수 있다고 하였다. 이들은 공학용 도구를 이용한 학습 환경에서 중학교 1학년 학생들의 분포에 대한 비형식적 추론 이 어떻게 발달되어 가는지를 탐구하였다. 연구 결과, 학생들은 두 회사의 건전지 품질을 비교하는 과제에서 각 회사의 건전지 수명을 나타내는 막대그래프의 형태를 보고 신뢰성 개념을 사용하여 자료 의 퍼짐을 표현하였다. 또한 어느 회사의 건전지가 더 좋은 지 비교 하기 위해 평균값을 사용하거나, 점그래프에서 많은 점들이 있는 곳이 어디인지 언급하면서 밀도를 인식하기도 하였다.

분포 (개념적 실체) 중심

평균값, 중앙값, 중간범위, …

퍼짐 범위, 표준편차, 사분위수 범위,

…

밀도 도수, 상대도수,

다수, 사분위수

왜도 다수 자료의 위치

자료 (개별적인 값들)

[그림 Ⅱ-1] 자료와 분포의 관계(Bakker & Gravemeijer, 2010, p. 176)

Konold et al.(2002)는 학생들이 분포를 이해하기 위하여 자료들 의 덩어리를 사용하려는 경향에 주목하였다. 이들의 연구에 참여한 중학생들의 상당수가 자료가 모여 있는 부분의 범위를 고려하여 자 료집합의 중심 경향을 표현하고자 하였다. 자료의 덩어리에 주목하 는 것이 정확한 평균을 구하도록 하는 것은 아니었지만 학생들이 중심뿐만 아니라 자료의 퍼짐도 함께 인식할 수 있다는 점에서 자 료를 이해하는데 유용하였다. 즉 덩어리는 학생들이 중심과 자료의 변화를 동시에 나타낼 수 있도록 하였으며, 학생들이 중심에 대한 형식적인 통계적 개념을 탐색하기 위한 시작점을 제공하였다.

Konold & Pollatsek(2004)은 통계를 소음과정에 대한 탐구로 인 식해야 한다고 보았다. 소음과정이란 충분히 확보된 자료가 있다면 관찰할 수 있는 신호를 가지는 과정이다. 소음과정에서의 신호는 변화하는 체계 내의 안정적인 성질을 의미하며 통계학자들은 신호 의 지표로서 평균, 중앙값과 같은 자료집합의 전체적 특성에 주목 한다. 이 연구에서의 신호 개념은 Konold et al.(2002)의 덩어리 개 념과 연결되며 신호 주변의 소음들은 덩어리의 범위에 포함되지 않 는 자료들, 특이값 등과 관련된다고 할 수 있다.

분포는 자료의 변이에 대한 시각적 표현을 제시하기 때문에 분포 에 대한 학습은 변이에 대한 이해를 촉진할 수 있으며, 특히 자료 시각화 소프트웨어를 활용하면 형식적인 개념으로 제시되어야 했 던 변이와 분포를 비형식적인 방법으로 다루도록 할 수 있다(

Makar & Rubin, 2009).

2. 자료 모델링

2.1. 자료 모델링의 개념

자료 모델링은 자료에 대한 수학적 모델링으로 실세계의 문제를 해결하기 위해 자료를 구성하고 활용하는 활동을 의미한다 (Hancock, Kaput, & Goldsmith, 1992; Lehrer & Romberg, 1996).

최근의 선행연구에서는 자료 모델링이 단순히 자료를 수집, 기록, 표현하는 것을 넘어 자료로부터 구성한 모델을 바탕으로 의사소통 하거나 추론하는 것, 주장을 펼치는 것, 현상을 예측하거나 일반화 하는 것 등을 포함하는 것으로 보고 있다(Makar, 2014; Konold, Finzer, & Kreetong, 2017; English & Watson, 2018).

자료 모델링은 변이가 내재된 현상을 바탕으로 하며 불확실성을 고려하게 하는 특징을 지니는데, English & Watson(2018)에서 활 용한 과제를 살펴보면 각 수영선수의 경기 기록에 대한 자료집합의 분포는 평균 기록을 중심으로 자료들이 퍼져있으며, 현재까지의 경 기 기록이나 최고 기록이 미래에 얻게 될 기록을 보장하지 않는 등 변이를 포함한다. 즉 자료 모델링은 변이를 다룬다는 점에서 수학 적 모델링을 확장하는 측면이 있으며 궁극적으로 변이에 대한 모델 을 만들어내는 것이라 할 수 있다(English, 2012; English &

Watson, 2018; Lehrer & English, 2018).

한편 모델이란 현상을 설명하고 묘사하기 위해 사용되는 요소, 관계, 규칙 등으로 이루어진 개념적 체계를 의미하며(Lesh &

Doerr, 2003, p.10), 생산적인 모델은 다양한 맥락에서 다시 사용될 수 있다는 특징을 갖는다(Doerr et al., 2017). 자료 모델링 역시 통 계의 핵심 아이디어가 중심이 된 생산적인 모델을 도출하는 과정이 순환, 반복되면서 비형식적 통계적 추리를 촉진할 수 있다(Makar

& Allmond, 2018). 선행연구에 따르면 자료 모델링은 개방형 문제 상황에서 학생들의 통계적 추론을 관찰하기에 좋고, 어린 학생들의 통계적 추론 능력을 개발하기에 유용한 방법이다(Jones, Langrall, Mooney, & Thornton, 2004; English, 2012). 또한 자료 모델링은 2015 개정 수학과 교육과정에서 제시하는 교과 핵심 역량인 정보․

처리 능력을 촉진하기에도 적절하며 분포, 변이, 중심 등에 대한 깊 이 있는 이해를 이끈다는 점에서 통계적 소양과도 연결된다(교육 부, 2015; Fielding-Wells, 2018).

2.2. 자료 모델링 과정과 비형식적 통계적 추리

모델링 과정에 대한 대부분의 선행연구들은 ‘실세계 탐구 → 모 델 도출 → 수학적 결론 → 모델 적용’이라는 틀을 따르며, 모델링 과정을 선형적인 것이 아니라 수정과 보완을 통해 순환하는 것으로 본다(정혜윤, 이경화, 백도현, 정진호, 임경석, 2018). 선행연구에서 는 학생들이 모델 도출 과정에서 인지적 어려움을 경험함을 언급하 고 있는데(Galbriath & Stillman, 2006) 자료 모델링의 경우, 학생들 이 중요한 자료를 간과하거나 불필요한 정보를 포함시키는 경향과 (English, 2012) 자료를 전체적 관점에서 다루기보다 개별적인 자료 값에 주목하는 측면이 다수 보고되었다(e.g. 이경화, 지은정, 2008;

Konold et al., 2015). 따라서 자료 모델링 과제 및 수업 설계가 이루 어지기 전에 학생들이 겪을 어려움을 미리 파악하고 이를 완화시킬 수 있는 자료 모델링 과정의 세분화가 필요하다.

먼저 자료 모델링의 핵심 요소를 제시한 선행연구들을 살펴보면 (e.g. Lehrer & English, 2018; Makar & Allmond, 2018; English &

Watson, 2018), 실세계 맥락에서의 문제제기, 문제 해결을 위한 요 인이나 속성 선택하고 측정하기, 자료를 해석․구성․조직화하기, 변이를 고려한 모델 도출하기, 비형식적 통계적 추리 이끌어내기 등의 요소를 제시하고 있다. Lehrer & English(2018)는 자료 모델 링의 구성 요소로 문제 제기하기, 문제 해결을 위한 속성 또는 요인 선택하고 측정하기, 자료를 조직화․구조화하기, 자료를 표현하고 측정하기, 비형식적으로 추리하기 등을 제시하고 자료 모델링의 과 정을 [그림 Ⅱ-2]와 같이 나타냈다.

[그림 Ⅱ-2] 자료 모델링의 구성 요소와 과정(Lehrer & English, 2018, p. 232)

특히 시각화된 자료는 학생들이 자료에 대한 새로운 사실을 발 견하게 한다는 점을 들어, 변이를 모델링하기 위한 시작으로서 자 료에 내재된 변이의 시각화를 강조하였다. 또 비형식적 통계적 추 리는 자료 모델링의 전 과정에서 활용되며 모델링의 순환을 촉진한 다고 하였다.

English & Watson(2018)은 자료 모델링이 ‘수학과 통계 사이의 공유된 문제 공간에서의 문제 해결’, ‘문제 맥락과 질문을 해석하 기’, ‘모델 구성에서 자료를 해석, 조정, 조직화하기’, ‘비형식적 추론 이끌어내기’와 같은 4가지 구성 요소를 포함해야 한다고 하였다.

Makar & Allmond(2018)는 명확한 목적과 질문, 자료에 대한 탐구 와 통계적 사고를 통합할 수 있는 과정, 모델을 바탕으로 한 일반화 와 예측 등의 3가지 규준을 중심으로 개발된 자료 모델링 활동이 학생들에게 반복하여 사용할 수 있는 모델을 도출하게 하고 통계적 추리를 개발할 수 있다고 하였다.

이상의 선행연구들을 종합해 보면, 본 연구의 자료 모델링 과정 은 비형식적 통계적 추리의 구성 요소를 다양하게 촉진하고 모델링 이 점진적으로 이루어지면서 학생들의 모델 도출 과정을 지원할 수 있어야 한다. 따라서 자료 분석 단계가 세분화된 자료 모델링 과정 을 [그림 Ⅱ-3]과 같이 제시하고자 한다.

[그림 Ⅱ-3] 자료 모델링 과정

[그림 Ⅱ-3]의 각 단계를 살펴보면, ‘실세계 탐구하기’란 실세계 현상을 관찰하여 현상에 내재된 변이를 감지하고 맥락과 관련된 자 료들을 폭넓게 탐색하는 것을 의미한다. ‘문제 해결을 위한 요인들 찾기’는 문제 해결에 직접적으로 영향을 미치는 여러 가지 요인들 을 찾는 단계로(정혜윤, 이경화, 2018), 맥락에 대한 질문을 통계적 개념으로 대답할 수 있는 질문으로 전환하고 문제 해결을 위한 특 정 자료들에 주목하게 된다(Makar et al., 2011).

‘자료를 해석․구성․조직화하기’는 자료 모델링의 핵심 요소 중 하나이며(Lehrer & English, 2018; English & Watson, 2018) 이 단 계에서 얻은 통찰은 모델 도출에 가장 큰 영향을 미친다. 이 단계는 자료 모델링의 중요한 목표라 할 수 있는 변이를 집중적으로 다룰 수 있도록 ‘변이를 시각화하기 → 변이를 전체적 측도로 구조화하 기 → 단순화하기’로 세분화된다. ‘변이를 시각화하기’는 자료집합 에 내재된 변이를 그래프, 다이어그램 등으로 나타내는 것으로 (Pfannkuch & Reading, 2006) 시각화는 자료집합을 자료의 개별적 인 값에 주목하게 할 뿐만 아니라 하나의 전체로 볼 수 있게 하는 등 다중적인 관점에서 다루게 한다(Lehrer & English, 2018). ‘변이 를 전체적 측도로 구조화하기’는 자료집합을 하나의 전체로 다루기 위해 중심, 퍼짐, 형태와 같은 경향이나 패턴으로 설명하는 것이다 (이경화, 지은정, 2008). ‘단순화하기’는 문제 해결과 직결되는 핵심 요인을 파악하여 복잡한 맥락을 단순하게 요약하는 것을 의미하며 모델 도출의 기반이 되는 단계이다.

이렇게 세 가지 단계가 ‘자료를 해석․구성․조직화하기’의 세부 단계를 이루는데 문제 해결을 위한 요인들이 다양하고 복잡한 경우 이 단계는 여러 번 반복될 수 있다. 또한 이 단계에서 학생들은 주 어진 자료를 있는 그대로 해석하는 것이 아니라 모델 도출을 위해 소박한 수준의 결론이나 주장을 도출하게 되고 이를 뒷받침하기 위 해 자료를 근거로 활용하게 되면서 비형식적 통계적 추리를 이끌어

내게 된다. ‘자료를 해석․구성․조직화하기’ 단계를 통해 얻어낸 결론들은 ‘모델 도출하기’ 단계에서 활용되며 각 결론들 사이의 관 계, 모델과 결론 사이의 관계 등을 고려하는 과정에서 다시 ‘자료를 해석․구성․조직화하기’의 과정을 반복할 수도 있다. 이렇게 도출 된 모델은 ‘모델 적용 및 수정하기’ 단계를 통해 재사용가능한 모델 이 될 수 있도록 정교화 되는 과정을 거쳐 최종 모델이 된다.

2.3. 비형식적 통계적 추리 개발을 위한 자료 모델링 과제 설계 의 규준

선행연구에서는 비형식적 통계적 추리를 촉진하는 교육적 요인 중 하나로 과제 설계를 제시하고 있으며, 과제 설계 요인에는 과제 의 맥락, 수업 계열, 공학용 도구, 비계 등에 대한 고려가 포함된다 (Makar et al., 2011; Pfannkuch, 2011). 본 연구에서는 자료 모델링 활동을 통한 비형식적 통계적 추리 개발의 가능성을 탐색하고자 한 다. 따라서 비형식적 통계적 추리 개발과 자료 모델링 과제 설계에 서 고려해야 할 요인에 대한 선행연구를 분석하고, 이를 종합하여

<표 Ⅱ-1>과 같이 과제 설계의 규준을 도출하였다.

과제 설계의 규준은 크게 맥락 측면, 통계적 개념 측면, 교수 전 략 측면으로 나뉜다. 이는 통계 학습이 자료를 맥락 안의 숫자로 인 식하는 것에서부터 시작하여(Moore, 1990, p.96; Langrall et al., 2011) 맥락에 대한 질문을 통계적으로 대답할 수 있는 형태로 전환 하고(Makar et al., 2011) 통계적 추론을 활용하여 질문에 대한 타 당한 결론에 이르도록 해야 한다는 선행연구들의 주장을 유형화한 것이다(Zieffler et al, 2008; Makar & Rubin, 2018).

항목 규준

맥락 측면 § 학생들의 일상적 경험과 관련될 것

§ 접근가능한 수학적 구조를 포함할 것 통계적 개념

측면

§ 자료를 해석하고 조직화하게 할 것

§ 변이와 분포를 인식하게 할 것 교수 전략 측면 § 순환적인 모델링 활동을 구성할 것

§ 점진적인 발문을 제시할 것

<표 Ⅱ-1> 과제 설계의 규준

각 측면의 하위 규준을 살펴보면 첫째, 맥락 측면에서 과제의 맥 락은 학생들의 일상적 경험과 관련되어 있으면서 학생들이 접근할 수 있는 수학적 구조를 포함해야 한다. 즉 학생들이 자신의 삶과 관 련이 있다고 느낄 수 있으면서 학생들이 가진 지적 도구로 해결할 수 있는 맥락이어야 한다. 이러한 맥락을 기반으로 하는 과제는 학 생들의 흥미와 경험을 연결하고, 중요한 수학적 내용을 다루면서 학생의 참여를 장려하고 수학을 통해 세상을 이해하도록 돕는다 (Doerr & English, 2003; Sullivan, Clarke, & Clarke, 2016, pp.

43-48). 특히 맥락적 지식은 과제에 대한 깊이 있는 통찰을 이끌어 낸다는 점에서도 유용하다(Langrall et al., 2011).

둘째, 통계적 개념 측면에서는 학생들이 스스로 자료를 해석하고 조직화하는 과정을 통해 변이와 분포를 인식하도록 해야 한다. [그 림 Ⅰ-1]에서 제시한 바와 같이 자료를 해석하고 조직화하는 과정 은 비형식적 통계적 추리 개발의 핵심이며, 이는 2015 수학과 교육 과정에서 제시하는 정보 처리 역량과도 연결된다(교육부, 2015, p.

4). 따라서 과제는 학생들에게 자료를 풍부하게 탐색할 수 있는 기 회를 제공해야 하며 이를 통해 통계의 핵심 개념인 변이와 분포를 인식할 수 있게 해야 한다(Wild & Pfannkuch, 1999; Bakker &

Gravemeijer, 2010).

셋째, 교수 전략 측면에서 점진적이고 순환적인 모델링 과정이

이루어지도록 해야 하며 특히 초등학생들이 의미 있는 자료 모델링 을 경험할 수 있도록 교사의 적절한 개입이 준비되어야 한다.

Doerr와 English(2003)는 학습자가 모델링에서 모델을 반복적으로 재구성하는 비선형적인 순환 과정을 경험해야 함을 주장하였는데, 이렇게 개발된 모델은 높은 안전성과 정교성을 지니며 수학적 개념 에 대한 깊이 있는 이해를 이끈다(정혜윤, 이경화, 2019b). 한편 수 학적 모델링을 학생이 그 복잡성과 어려움을 스스로 직면하고 해결 해 나가는 것으로 보는 관점이 있지만 초등학생을 대상으로 한 모 델링에서는 교사의 적절한 개입과 발문이 효과적인 모델링 경험을 제공할 수 있다(장혜원, 최혜령, 강윤지, 김은혜, 2019). 따라서 모델 링 과제는 점진적이고 순차적인 질문으로 구성되어 초등학생들에 게 조직적인 도움을 제공해야 한다(Galbraith, Stillman, & Brown, 2010).

3. 자료에 대한 추론

3.1. 자료에 대한 전체적 조망과 국소적 조망

통계 자료를 이해함에 있어서 자료집합의 전체적 특징을 묘사하 고 예측하는 것은 중요하다(Bakker & Gravemeijer, 2010). 예를 들 어 어느 학교 학생들의 평균 등교 시간, 학생들이 주로 등교하는 시 간대가 언제부터 언제까지인지, 시간대에 따라 등교하는 학생 수는 어떻게 변하는지 등에 대한 정보는 학생 개개인에 대해서 알려주지 않지만 전체적인 관점에서 자료집합의 통계적 경향을 파악하게 하 고 일반적인 사실을 이끌어내도록 한다는 점에서 유용하다(Konold et al., 2015, p. 306). 이렇게 분포를 육안으로 직접 관찰하거나 통계 적 기술을 통해 자료집합의 일반적인 패턴을 찾고 인식하여 설명하 는 것을 전체적 조망이라 할 수 있다(Ben-zvi, 2004).

학생들의 자료에 대한 추론을 연구한 여러 선행연구에서는 학생 들이 자료집합을 전체적으로 조망하기 보다는 개별적인 값으로 다 루는 경향이 있다는 것을 확인하였다(Ben-zvi & Arcavi, 2001;

Konold et al., 2015). 예를 들어 어느 학급에서 가장 키가 큰 학생은 누구인지, 특정 학생의 키가 얼마인지 등에 주목하는 것은 자료집 합에서 각각의 자료값에 초점을 두는 것이라 할 수 있으며 이는 점 별 조망에 해당한다(이경화, 지은정, 2008; Ben-zvi, 2004). Konold, Pollastsek, Well, & Gagnon(1997)은 확률과 통계 과정을 이수한 고등학생들을 대상으로 두 자료집합을 비교하는 과제를 해결하게 하였는데, 학생들은 분포와 관련된 형식적인 개념을 사용하기 보다 는 자료의 개별값에 주목하는 것과 같이 직관적인 방법을 활용하는 모습을 확인하였다. 이는 자료를 전체적으로 조망하는 것이 통계를 어느 정도 학습한 학생들에게도 상당히 어려운 일이라는 점을 시사 한다.

Ben-zvi(2004)는 중학생들이 자료를 어떠한 방식으로 조망하는 지를 조사하여 전체적 조망과 국소적 조망으로 구분하였다. 이 연 구에서 학생들은 올림픽 남자 100미터 달리기의 기록에 대한 시계 열 자료를 토대로 시간이 흐름에 따라 기록이 향상되었는지 판단하 는 과제를 해결하였는데, 먼저 인접한 자료 사이의 차이에 주목하 였다. 교사가 시간 변화에 따른 기록의 일반적인 경향이나 추세를 인식하도록 발문하였으나 경향에서 벗어난 특이값을 제거하기 전 까지 학생들은 국소적인 특징에 머물러 있었다. 학생들은 특이값을 제거하고 축의 범위를 다양하게 설정해 보면서 자료를 하나의 전 체로 인식하기 시작하였다. 연구자들은 학생들이 초기에 보여주었 던 개별적인 자료값에 주목하거나 인접한 값들의 국소적인 편차에 주목하는 반응을 국소적 조망으로 보았다. 또한 분포를 시각적으로 관찰하거나 통계적 기술을 통해 자료집합에서 일반적인 패턴, 경향, 추세를 인식하여 설명하는 것을 자료에 대한 전체적 조망이라 하였 다.

[그림 Ⅱ-4] 자료에 대한 관점(Konold et al., 2015)

한편 Konold et al.(2015)는 자료를 보는 관점을 [그림 Ⅱ-4]와 같 이 신호적 관점, 경우 값 관점, 분류적 관점, 전체적 관점으로 세분 화하였다. 여기서 신호적 관점, 경우 값 관점, 분류적 관점은 앞서 제시하였던 점별 조망과 관련된다. 신호적 관점은 자료와 현실 세 계의 사건의 구분이 모호하여 자료를 자료가 도출된 더 큰 사건의 신호로 인식하는 것을 의미한다. 예를 들어 학생들이 좋아하는 색 의 공을 각각 선택하여 늘어놓았을 때, 선택된 공들에 대하여 ‘우리 가 좋아하는 색들이다’와 같이 묘사하는 반응이 이에 해당한다. 경 우 값 관점은 ‘길동이는 빨간색을 좋아 한다’와 같이 자료집합에 포 함된 개별적인 자료의 값에 대한 정보를 제공하는 것을 의미한다.

분류적 관점은 특정한 값이 나온 경우의 빈도에 대해 주목하는 것 을 의미한다. 예를 들어 ‘가족 구성원의 수가 6명인 학생은 5명으로 우리 학급에서 가장 많다’ 등의 반응이 이에 해당하며, 이 관점은 분포의 전체적 형태나 값들의 상대적인 비율을 나타내지 않기 때문 에 전체적 특성을 포함한다고 보기 어렵다. 마지막으로 전체적 관

점은 형태나 중심과 같은 전체적 특성을 활용하여 자료집합을 하나 의 단일체로 다루는 것이다. ‘우리 학급의 절반 이상의 학생들은 가 족 구성원의 수가 5명에서 6명이다’와 같은 반응은 전체 자료집합 의 특징을 요약한 것으로 전체적 관점에 해당한다.

이상의 선행연구들에서 확인한 바와 같이 학생들은 자료를 전체 적으로 조망하기 어려워하며 전체적 조망 이전에 여러 유형의 조망 을 거친다. 본 연구에서는 Ben-zvi(2004)와 Konold et al.(2015)로부 터 자료에 대한 추론의 유형을 신호적 조망, 국소적 조망, 전체적 조망으로 요약하여 시계열 자료 인식에서 어떠한 유형이 나타나는 지 확인하고자 한다. 특히 Konold et al.(2015)이 제시한 경우 값 관 점이나 분류적 관점은 자료에 주목하기는 하지만 자료를 하나의 사 고 대상으로 다루지 않는다는 점에서 Ben-zvi(2004)의 국소적 조망 과 관련된다.

구체적으로 시계열 자료에서의 전체적 조망을 시간의 흐름에 따 라 일반적인 패턴, 경향, 추세를 인식하고 설명하는 것으로 보고, 국 소적 조망은 자료집합의 전체가 아닌 자료집합의 부분이나 개별적 인 자료값 사이의 국소적인 편차에 주목하는 것으로 간주하고자 한 다. 또한 자료에 대한 추론에 있어서 현실 세계에 대한 신호로 자료 를 인식하거나 맥락 세계에만 머무르는 경우를 신호적 조망으로 보 고자 한다.

Ben-zvi(2004)는 자료를 국소적으로 보는 것이 전체적 조망을 제 한하기도 하지만 때로는 전체적 조망의 바탕이 되기도 한다고 하였 으며 이경화, 지은정(2008)은 자료에 대한 국소적 조망이 전체적 조 망을 위한 출발점이자 자료를 전체적으로 조망하는 과정의 일부가 될 수 있다고 하였다. 따라서 자료집합을 전체적으로 조망하기 위 한 선행 단계로서 국소적 조망의 잠재력을 고려하고 어떠한 특성을 가진 이해의 유형이 학생들을 전체적 조망으로 나아가도록 할 수 있는지 탐색할 필요가 있다(Konold et al., 2015).

3.2. 시계열 자료에 대한 추론

시계열 자료(time series data)는 시간의 흐름에 따라 순차적으로 만들어진 관측값들의 모임이다(Chatfield & Xing, 2019, p. 1). 경제 나 공학 등 다양한 분야에서 시계열 자료가 활용되고 있으며 이를 분석하는 것은 통계학에서 중요하게 다루는 일 중 하나이다. 시계 열 자료는 연속형 시계열과 이산형 시계열로 나눌 수 있다. 많은 시 계열 자료들이 실제로는 연속적으로 생성되고 있으나 일정한 시간 간격을 두고 관측되므로 이산적 시계열의 형태를 더 많이 취한다 (김우철 외, 2006, p. 480).

김우철 외(2006)에 의하면 시계열 자료를 분석하는 목적은 크게 두 가지로 나눌 수 있다. 첫째, 과거의 경향이 유지된다는 가정 하 에서 주어진 자료를 분석하여 미래를 예측하는 것이다. 둘째, 시계 열 자료가 생성되는 체계, 확률 과정을 모델링하여 그 체계와 과정 을 이해하고 제어할 수 있도록 하는 것이다(p. 480). 시계열 자료 분 석을 시작하며 가장 먼저 하게 되는 일은 시계열 그림(time plot)을 그려보는 것으로(Chatfield & Xing, 2019), 이는 가로축이 시간, 세 로축이 측정한 변수를 나타내게 된다(Moore, McCabe, & Craig, 2014, p. 24). 시계열 그림은 [그림 Ⅱ-5]와 같이 나타낼 수 있으며 어디가 높고 낮은지, 자료의 전체적인 경향이나 추세가 어떠한지를 명확히 기술한다.

[그림 Ⅱ-5] 시계열 그림의 예시(Chatfield & Xing, 2019, p. 5)

김우철 외(2006)에 따르면 시계열 자료의 형태는 매우 다양하기 때문에, 시계열 자료를 잘 설명하는 모델을 개발하는 것은 단순하 지 않다. 즉 시계열 자료 분석에서 과거의 자료를 바탕으로 미래를 예측하고자 할 때는 제시된 모든 자료의 중요도를 동일하게 취급하 기보다 최근의 자료에 더 큰 비중을 주는 예측법이 합리적이다. 시 계열 자료 분석에서 전반적인 추세를 뚜렷하게 파악하도록 하거나 예측을 쉽게 할 수 있도록 하는 방법을 평활법(smoothing method) 이라 하는데 대표적으로 이동평균법과 지수평활법이 이에 해당한 다. 이동평균법이란 관측값 전부에 동일한 가중치를 주는 대신 최 근 일부 자료에 동일한 가중치를 주는 방법이다. 지수평활법은 최 근의 자료에 더 큰 가중치를 주고 시간의 흐름 상 과거로 갈수록 가중치를 지수적으로 줄여나가는 방법이다(김우철 외, 2006, p.

488).

시계열 자료가 여러 분야에 걸쳐 활용되고 있을 뿐만 아니라 일 상생활에서 쉽게 찾아볼 수 있는 자료 형태임에도 불구하고 어린 학생들이 시계열 자료에 대해 어떻게 추론하는지를 살펴본 연구는 상당히 부족한 실정이다(Makar & Rubin, 2018). Ben-zvi(2004)가 중학생들을 대상으로 시계열 자료의 경향을 파악하는 과제를 제시 한 것이나 Rubin, Hammerman, & Konold(2006)에서 교사들을 대 상으로 시계열 자료에 대한 추론을 살펴본 정도가 눈에 띄지만, 초 등학생을 대상으로 한 연구는 여전히 찾아보기 어렵다. 최근 코로 나19로 인하여 시간의 흐름에 따른 확진자 수, 사망자 수 등의 자료 가 빈번하게 활용되고 있는바, 초등학생들이 시계열 자료에 대해 어떻게 추론하는지 살펴볼 필요가 있다.

Ⅲ. 연구 방법

³⁾

1. 설계 연구

설계 연구(design research)⁴⁾란 네덜란드의 현실적 수학교육 이 론(realistic mathematics education)의 실천과 발전 과정에서 발생 한 연구 방법론으로(우정호, 정영옥, 박경미, 이경화, 김남희, 나귀 수 외, 2006), 효율적으로 교과과정을 개발하기 위해 적절한 이론을 바탕으로 수업을 설계하고 평가하며 그 과정을 상세하고 솔직하게 기록하는 연구이다(정영옥, 2005). 따라서 설계 연구는 학문적 관점 에서 교과과정 설계의 목적을 세밀히 조사하여 정교화 하는 것에서 시작되며 이를 통해 국소 수업 이론의 형성과 정당화를 목표로 한 다(Gravemeijer & Cobb, 2006; 우정호 외, 2006).

설계 연구는 크게 예비 설계, 교수 실험, 회고 분석의 세 단계로 이루어진다. 예비 설계는 교수 실험을 준비하는 단계로 정교한 국 소 교수 이론 형성을 위해 설계의 이론적 의도를 명료화하는 단계 이다(Gravemeijer & Cobb, 2006). 이 단계에서는 기존 교과과정의 문제점을 분석하여 새로운 교과과정에 포함시킬 요소를 탐색한 다 음, 새로운 교과과정이 충족하는 개념들을 구체적인 수업 계열로 구성하면서 설계가 이루어진다(정영옥, 2005). 이 때 가장 중요한 것은 실제 교실에서 설계된 교과과정이 어떻게 작동할 것인지 미리 예상해 보는 사고 실험이며(정영옥, 2005), 사실상 예비 설계 단계 의 전 과정이 이와 관련된다(Gravemeijer & Cobb, 2006).

3) 이 장에서 제시하는 1차 교수 실험은 전혜진, 정혜윤, 이경화(2020)의 내용을 토 대로 하며, 2차 교수 실험은 서울대학교 생명윤리심의위원회의 승인을 받아 진행 하였다(IRB No.2007/002-010).

4) 설계 연구는 개발 연구와 사실상 동일한 의미의 용어로 사용된다(우정호 외, 2006, p. 20; Bakker, 2004, p. 37). 본 연구에서는 이러한 관점에서 정영옥(2005) 의 연구로부터 설계 연구의 정의를 인용하였다.

교수 실험 단계는 개발된 수업 계열을 검증하고 개선하면서 해당 이론이 실제로 작동하는 양상을 이해하는 것을 목적으로 한다 (Gravemeijer & Cobb, 2006). 즉 교수 실험은 사고 실험을 확인하 거나 또는 반박할 수 있고 사고 실험을 통해 미처 예상하지 못했던 새로운 가능성을 보여줄 수 있으며 이를 통해 학생들의 정신적 활 동에 대해 통찰을 얻어 수정된 학습 경로의 구성을 위한 기초를 마 련하게 한다. 따라서 사고 실험은 교수 실험을 거쳐 새롭게 수정되 고 그다음 단계의 사고 실험을 이끌어 내면서 하나의 미시적 순환 과정을 형성한다(정영옥, 2005).

Gravemeijer & Cobb(2006)은 설계연구에서 사고 실험과 교수 실 험 사이의 반성적 관계를 [그림 Ⅲ-1]과 같이 나타냈다. 사고 실험 과 교수 실험이 형성하는 하나의 미시적 순환과정이 반복되면서 국 소 교수 이론이 형성된다. 미시적 순환 과정에서는 연구자가 교수 실험이 이루어지는 수업을 모두 관찰하고, 수업이 종료된 후 수업 을 진행한 교사와 간단히 수업을 평가하고 회고하는 것이 중요하 다.

[그림 Ⅲ-1] 이론과 실험 사이의 반성적 관계(Gravemeijer

& Cobb, 2006, p. 58)

본 연구에서는 거시적 순환과정의 초석이 되는 미시적 순환 과정 에 주목하여, 설계 연구의 예비 설계와 교수 실험 단계를 수행하고 자 한다. 예비 설계 단계에서는 선행연구 분석, 자료 모델링 과제와 수업 설계, 전문가 평가 및 수정 등이 이루어지며, 교수 실험 단계 에서는 초등학생을 대상으로 한 교수 실험을 바탕으로 과제와 수업 을 수정하고 자료에 대한 추론의 양상을 분석한다.

2. 연구 설계 및 절차

본 연구는 앞 절에서 확인한 바 있듯이 거시적 순환과정의 초석 이 되는 미시적 순환과정에 주목한다. 하나의 주기에 해당되는 미 시적 순환과정은 사고 실험에 따른 수업 계열을 예비 설계하는 단 계와 설계된 수업 계열을 교수 실험하거나 평가하는 단계가 교대로 일어나며 구성된다.

우정호 외(2006, p.77-79)에 따르면 예비 설계 단계에서는 철저한 사고실험을 바탕으로 학습 목표, 수업 활동 계획, 학습 경로의 예상 을 포함한 교과과정을 설계한다. 즉 목표로 하는 수학적 개념에 대 한 현재의 교육과정과 선행연구 분석이 이루어진 다음 수업에서 활 용하게 될 과제, 발문, 학습 도구, 학생 예상 반응을 포함한 교수․

학습과정안 등의 설계가 이루어져야 한다. 특히 이 단계에서는 수 학교육 전문가 집단과의 논의를 통해 교과과정을 설계하는 것이 매 우 중요하다. 교수 실험 단계에서는 교수 실험이 진행되는 동안 연 구자가 수업에 참여하여 학생들을 관찰하고 그들의 사고과정을 기 록해야 한다. 이 단계에서는 사고 실험과 실제 교수 실험 결과를 비 교하여 설계된 교과과정 개선을 위한 기초 자료를 마련하는 것이 중요하다.

정혜윤 & 이경화(2019a)는 모델링 과제 설계를 위해 예비 설계와

교수 실험의 구체적인 절차로 준비, 개발, 검증과 수정, 실행과 수정 등 6단계를 수행하였다. 여기서 준비는 선행연구 및 교육과정을 분 석하는 단계이며 개발 단계에서는 구체적인 과제, 수업 계열을 포 함한 교수․학습과정안을 개발한다. 검증과 수정 단계에서는 교 수․학습과정안의 내용의 타당성을 수학교육 전문가들에게 의뢰한 결과를 바탕으로 1차 수정이 이루어진다. 실행과 수정 단계에서는 수정된 교수․학습과정안을 이용하여 교수 실험을 수행하고 이를 토대로 교수․학습과정안의 2차 수정이 이루어진다.

Gravemeijer & Cobb(2006)은 설계 연구가 생태학적 타당도를 목 표로 하며, 실험 환경이 아닌 다른 상황에서도 적용 가능한 기초를 제공할 수 있어야 한다고 하였다. 즉 설계 연구가 제시하는 교수 학 습 절차는 자신의 교실 또는 개인적 목적에 맞게 활용하고자 하는 교사가 참조할 수 있는 틀로서 기능해야 한다. 이를 위한 방법의 하 나는 설계 연구의 과정을 자세히 밝히는 것이다. 또한 설계 연구의 결과물이 다양한 환경에서 어떻게 적용되었는지를 반복 실험한 결 과를 함께 제시하는 것은 생태학적 타당도를 강화할 수 있 다.(p.76-77). 본 연구에서는 정혜윤 & 이경화(2019a)가 수행한 과 제 및 수업 개발 절차를 활용하여 설계 연구의 순환 과정을 상술하 고 연구의 신뢰성 및 타당성을 확보하고자 한다. 이상의 내용을 종 합하여 본 연구가 진행되는 과정을 나타내면 <표 Ⅲ-1>과 같다.

날짜 단계 세부 단계 연구 내용

2019.03 ~ 2020.02

예비 설계

준비 문헌 검토

2020.03 ~ 2020.05 개발 과제 및 수업 설계 2020.06 ~ 2020.07 검증과 수정 전문가 평가 2020.08 ~ 2020.09

교수 실험 실행과 수정 1차 교수 실험 2020.10 ~ 2020.11 실행과 수정 2차 교수 실험 2020.11 ~ 2020.12 결과 정리 및 해석

<표 Ⅲ-1> 연구 절차

3. 예비 설계

3.1. 자료 모델링 과제 및 수업 설계

Simon(1995)은 학습이 진행되는 경로에 대한 교사의 예측을 가 설 학습 경로라고 하였다. 가설 학습 경로는 해당 수업의 학습 목 표, 학습 목표를 위해 구성된 학습 활동, 활동이 이루어지는 교실 상황에 대한 가설 학습 과정 등의 3가지 요소로 구분되며 교사들에 게 특정한 교수 설계를 선택하는 규준을 제공한다(Simon, 1995). 설 계 연구에서도 가설 학습 경로에 대한 사고 실험이 매 단계에서 이 루어지며, 특히 예비 설계 단계에서 대부분의 학습 경로가 개발된 다(Bakker, 2004, pp. 39-40).

본 연구의 예비 설계 단계에서는 가설 학습 경로의 3가지 요소에 맞추어 비형식적 통계적 추리 개발을 위한 자료 모델링 수업의 학 습 목표, 학습 활동, 가설 학습 과정을 명료화한 다음, 이를 바탕으 로 교수․학습 활동과 활동의 순서를 설계하였다. 또한 수학 교사 와 연구자들로 구성된 공동체에서 일주일에 1회씩 총 16회의 논의 를 거쳐 과제와 교수․학습 활동을 수정 및 보완하였는데, 이러한 연구자의 다원화와 연구공동체의 지속적인 논의 과정은 설계 연구 의 타당성을 높이는 방법 중 하나이다(우정호 외, 2006, p. 87).

학습 목표는 연구 목적의 연장선에서 ‘자료 모델링 과정을 통한 비형식적 통계적 추리 개발’로 설정하였다. 학습 목표 달성을 위한 과제로 변이, 분포와 관련된 통계적 개념을 활용할 수 있는 일상적 맥락을 활용하기 위해 현직 교사들과의 인터뷰, 신문기사 등을 바 탕으로 최근 학생들에게 영향을 미치고 있는 이슈들을 폭넓게 탐색 하고 최종적으로 코로나19 맥락을 선정하였다. 이와 관련하여 감염 병 수리모델링 관련 선행연구를 검토한 결과를 토대로 코로나19 안 전성 예측을 위한 기초 요인으로 확진자 수, 사망자 수, 사회적 거

리두기 등을 선정하였다. 또 세계보건기구에서 제공하는 자료를 참 고하여⁵⁾ 초등학생들이 접근할 수 있는 형태의 자료집합으로 가공 하여 제시하기로 하였다. 학습 활동과 가설 학습 과정은 이론적 배 경에서 도출한 비형식적 통계적 추리의 구성 요소, 자료 모델링 과 정, 과제 설계의 규준을 기준으로 설계하였다. 교수․학습 활동에 대한 사고 실험은 학생들이 순차적인 단계를 밟으며 유의미하게 활 동에 참여할 수 있는지, 각 발문이 통계적 개념에 접근할 수 있도록 안내하고 있는지, 비형식적 통계적 추리의 구성 요소를 균형 있게 촉진할 수 있는지 등을 중심으로 이루어졌다. 또한 2단계에서는 자 료 모델링 과제와 이를 해결하기 위한 학습활동지, 교수․학습과정 안, 교사 안내서 등을 개발하였다.

3.2. 전문가 평가

과제 및 수업의 내적 타당도를 높이기 위해서는 동료 전문가의 평가를 거치는 것이 효과적이다(우정호 외, 2006, p. 104). 본 연구 에서는 2단계에서 개발된 자료 모델링 과제 및 수업 자료에 대한 전문가 평가를 실시하였다. 전문가 집단은 <표 Ⅲ-2>와 같으며 가 능한 다양한 경력의 수학교육 분야 연구자이면서 현장 경험이 풍부 한 전문가를 섭외하였다.

전문가 경력

A 교사 12년, 박사 B 교사 4년, 박사 수료 C 교사 9년, 박사 과정 D 교사 6년, 석사 수료 E 교사 4년, 석사 수료

<표 Ⅲ-2> 전문가 집단

5) 세계보건기구의 COVID-19 상황판에서 자료를 다운받을 수 있다 (https://covid19.who.int/).

전문가 집단의 교사들은 모델링 또는 비형식적 통계적 추리와 관 련된 연구 활동이나 현장 적용을 해 본 경험이 있다. 전문가 집단에 게는 학습활동지, 교수․학습과정안, 교사 안내서의 요약본, 사전설 문지(<부록1> 참고), 관련 선행연구 자료 등이 평가 참고자료로 제 공되었다. 전문가 집단은 14개의 객관식 문항과 1개의 서술식 문항 등 총 15개의 문항으로 구성된 설문지를 활용하여 과제 및 수업을 평가하였다. 객관식 문항은 리커트 5점 척도를 활용하였으며, 서술 식 문항은 자유롭게 과제 및 수업 활동에 대한 의견을 작성할 수 있도록 하였다.

전문가 평가 문항은 본 연구의 목적에 비추어 ‘자료 모델링 활동’

과 ‘비형식적 통계적 추리 개발’의 두 범주로 구성하였다. ‘자료 모 델링 활동’ 범주는 다시 ‘과제’와 ‘과정’으로 나뉘며 구체적인 평가 문항은 Galbraith et al.(2010)이 제시한 모델링 과제 설계의 6가지 원리와 정혜윤과 이경화(2019a)에서 활용한 수학적 모델링 프로그 램 전문가 평가 문항을 참고하여 제작하였다. ‘비형식적 통계적 추 리 개발’ 범주는 Makar et al.(2011)이 제시한 분석틀인 비형식적 통계적 추리를 지원하는 요소를 기반으로 5가지의 하위 범주로 세 분화하였다. 각 하위 범주에 속하는 평가 문항들은 본 연구의 이론 적 배경에서 살펴본 비형식적 통계적 추리의 5가지 구성 요소를 촉 진하고 있는지 확인할 수 있도록 제작하였다. 전문가 평가 문항은 저자들 간의 논의를 거쳐 수정되었으며, 구체적인 평가 문항은 <부 록2>에 제시하였다.

4. 교수 실험

4.1. 1차 교수 실험

전문가 평가를 바탕으로 수정된 과제 및 수업은 교수 실험을 거

쳐 다시 수정․보완되었다. Cobb, Jackson, & Dunlap(2016)에 따르 면 설계 연구는 다양한 범위에서 수행 가능한데, 특히 일대일 설계 연구에서는 특정 수학 영역에 대한 학습 과정을 연구하기 위해 소 수의 학생 각각에 대해 일련의 교수․학습 활동을 실행할 수 있다.

교수 실험 단계에서는 사례 연구방법을 통해 본 연구에서 제시하는 과제 및 수업이 초등학생의 비형식적 통계적 추리 개발에 미치는 영향을 확인하고 수정 및 보완을 위한 시사점을 도출하였다. 사례 연구는 특정 사례를 통해 현상을 분석하여 이론을 검증하고 시사점 을 도출하므로 설계 연구의 교수 실험 단계에서 활용하기에 적절한 연구 방법이다(우정호 외, 2006).

교수 실험은 서울시 소재의 초등학교 6학년 여학생 2명에게 적용 되었으며 온라인 화상 수업으로 2시간씩 3회 진행되었다. 선행연구 에 따르면 모델링에 대한 연구가 대부분 중‧고등학교를 중심으로 이루어지고 있고 주로 영재 학생들을 대상으로 하고 있어, 현장에 서 일반 수준의 초등학생을 대상으로 모델링 활동을 적용하는 사례 는 부족한 것으로 나타났다(김민경, 홍지연, 김은경, 2009; 정혜윤, 이경화, 2019a; 한선영, 2019). 그러나 최근 일부 연구에서는(e.g. 장 혜원 외, 2019; English & Watson, 2018) 초등학생의 의미 있는 모 델링 활동에 대한 가능성을 확인하였고, 본 연구 또한 일반 수준의 초등학생들을 교수 실험 대상으로 선정하여 선행연구에서 확인한 가능성을 확장하고자 한다.

교수 실험에서 학생들은 본격적인 과제 해결에 앞서 약 2시간의 준비 활동을 통해 사전설문지를 해결하고 통계 소프트웨어인 Tinkerplots에 대한 사용법을 익혔다. Tinkerplots는 자료를 역동적 이고 시각적인 방법으로 표현하고 분석하게 한다는 점에서 비형식 적 통계적 추리 개발에 적절한 도구로 평가받고 있으나(Biehler, Ben-zvi, Bakker, & Makar, 2013), 아직 한국어 버전이 제공되지 않고 있다. 따라서 각 기능과 사용법을 한국어로 번역하여 요약한 매뉴얼과 활용법 동영상 강의 등을 제작하여 학생들에게 제공하였