제 2 교시 수 리 영 역

◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시

‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1.

log_⋅log_^의 값은?¹⁾

[2점][2009년 9월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

2.

lim

 → ^ 

^   

 이 성립하도록 상수  의 값을 정할 때,

  의 값은?^{2 )}

[2점][2009년 9월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

3.

두 행렬 

 

^{ } , 



^  ^



에 대하여 를 만족 시키는 행렬 는?³⁾

[2점][2009년 9월]

①

 

^{ }  ②



^  ^



③

 

^{  }  

④



^  ^



⑤



^  ^



4.

분수방정식 _

  

    

 ≧ 을 만족시키는 모든 정수 의 합은? 4)

[3점][2009년 9월]

①   ②   ③   ④   ⑤  

2009년 9월 고3 모의고사 문제지

제 2 교시 수 리 영 역

성명 수험번호 3

1

‘가’형

수 리 영 역

2 ‘가’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

5.

사면체 ABCD에서 모서리 CD의 길이는 , 면 ACD의 넓이 는 이고, 면 BCD와 면 ACD가 이루는 각의 크기는 °이 다. 점 A에서 평면 BCD에 내린 수선의 발을 H라 할 때, 선분 AH의 길이는?5)

[3점][2009년 9월]

① ^ ②  ③  ④ ^ ⑤ ^

6.

어느 도시의 중심온도  °C, 근교의 농촌온도  °C , 도시화 된 지역의 넓이  km^ 사이에는 다음과 같은 관계가 있다고 한다.

      log

10년 전에 비하여 이 도시의 도시화된 지역의 넓이가  확장 되었고 근교의 농촌온도는 변하지 않았을 때, 도시의 중심온도 는 10년 전에 비하여  °C 높아졌다. 의 값은? (단, 도시 중심 의 위치는 10년 전과 같고, log  으로 계산한다.)6)

[3점][2009년 9월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

7.

두 곡선   ^ ^,   ^ 로 둘러싸인 도형의 넓이가 곡 선       에 의하여 이등분할 때, 상수 의 값은?

7)(단,     )

[3점][2009년 9월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





수 리 영 역

‘가’형 3

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

8.

두 함수    와   의 그래프의 일부가 다음 그림과 같고, 모든 실수 에 대하여       일 때, 옳은 것만을

<보기>에서 있는 대로 고른 것은?⁸⁾

[4점][2009년 9월]

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

9.

그림과 같이 원점 O를 지나고 기울기가 ^인 직선 _과 점 A 가 있다.

점 O를 중심으로 하고 선분 OA를 반지름으로 하는 원이 직선

_과 제1사분면에서 만나는 점을 O_이라 하자. 점 O_에서 축 에 내린 수선의 발을 O_라 하자. 점 O_을 중심으로 하고 선분 O_O_를 반지름으로 하는 원이 선분 OO_과 만나는 점을 A_이 라 하자. 선분 A_O, 선분 OO_, 호 O_A_로 둘러싸인 도형의 넓 이를 _이라 하자.

점 O_를 중심으로 하고 선분 O_O_를 반지름으로 하는 원이 점 O_를 지나고 직선 _에 평행한 직선 _와 제1사분면에서 만나는 점을 O_이라 하자. 점 O_에서 축에 내린 수선의 발을 O_라 하자. 점 O_을 중심으로 하고 선분 O_O_를 반지름으로 하는 원 이 선분 O_O_과 만나는 점을 A_이라 하자. 선분 A_O_, 선분 O_O_, 호 O_A_로 둘러싸인 도형의 넓이를 _이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 도형의 넓이를 _이라 할 때, _{  }



^{∞의 값은?9)}

[3점][2009년 9월]

① ^   ② ^   ③ ^  

④ ^   ⑤ ^  

ㄱ. lim

 → 

      ㄴ. lim

 → 

     ㄷ. lim

 → ∞



  







^



^{ }





^{ }

[보 기 ]

수 리 영 역

4 ‘가’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

10.

부터 까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 장의 카드가 있 다. 다음은 이 카드 중에서 동시에 3장을 선택할 때, 카드에 적 힌 어느 두 수도 연속하지 않는 경우의 수를 구하는 과정이다.

두 자연수  ( ≦  ≦ )에 대하여 부터 까지 자 연수가 하나씩 적혀 있는 장의 카드에서 동시에 장을 선택할 때, 카드에 적힌 어느 두 수도 연속하지 않는 경우 의 수를  이라 하자.

장의 카드에서 3장의 카드를 선택할 때, 가 적힌 카 드가 선택되는 경우와 선택되지 않는 경우로 나누면

 에 대하여 다음 관계식을 얻을 수 있다.

   가 ,   

 에 8이 적힌 카드가 선택되는 경우와 선택하지 않 는 경우로 나누어 적용하면

   가 ,        이다. 이와 같은 방법을 계속 적용하면

  _{  }



^{  }

이다. 여기서

   나    

이므로

   다

이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?10)

[4점][2009년 9월]

(가) (나) (다)

①  _C_ 

②  _{  }C_ 

③  _C_ 

④  _C_ 

⑤  _{  }C_ 

11.

어느 공항에는 A B두 대의 검색대만 있으며, 비행기 탑승전 에는 반드시 공항 검색태를 통과하여야 한다.

남학생 명, 여학생 명이 모두 A B검색대를 통과하였는데, A 검색대를 통과한 남학생은 명, B 검색대를 통과한 남학생 은 명이다. 여학생 중에서 한 학생을 임의로 선택할 때, 이 학 생이 A 검색대를 통과한 여학생일 확률을 라 하자. B 검색대 를 통과한 학생 중에서 한 학생을 임으로 선택할 때, 이 학생이 남학생일 확률을 라 하자.

  일 때, A 검색대를 통과한 여학생은 모두 몇 명인가? (단, 두 검색대를 모두 통과한 학생은 없으며, 각 검색대로 적어도  명의 여학생이 통과하였다.) ¹¹⁾

[3점][2009년 9월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

12.

^쌍곡선 ^ ^ 의 초점을 지나고 점근선과 평행한 4 개의 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는? ¹²⁾

[3점][2009년 9월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





수 리 영 역

‘가’형 5

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

13.

첫째항과 공차가 같은 등차수열 _^{에 대하여 }_{  }



^{ 라}

할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단,

_ ) 13)

[3점][2009년 9월]

ㄱ. 수열 ^^{이 수렴한다.}

ㄴ. 무한급수 _{  }



^{∞ }_^_^{이 수렴한다.}

ㄷ. lim

 → ∞

 

^  



^



^{이 존재한다.}

[보 기 ]

① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

14.

두 수열 _^, _이 모든 자연수 에 대하여 _{  }



^





^{ …  }

_ ^{ … }

을 만족시킨다. 수열 ^^{은 등차수열이고,} _×_× _×…× _ 

일 때, 수열 _^{의 공차는?14)}

[4점][2009년 9월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





15.

그림과 같이 반지름의 길이가 인 구 모양의 공이 공중에 있 다. 벽면과 지면은 서로 수직이고, 태양광선이 지면과 크기가 θ 인 각을 이루면서 공을 비추고 있다. 태양광선과 평행하고 공의 중심을 지나는 직선이 벽면과 지면의 교선 과 수직으로 만난 다. 벽면에 생긴 공의 그림자 위의 점에서 교선 까지 거리의 최댓값을 라하고, 지면에 생기는 공의 그림자 위의 점에서 교 선 까지 거리의 최댓값을 라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?¹⁵⁾

[4점][2009년 9월]

ㄱ. 그림자와 교선 의 공통부분의 길이는 이다.

ㄴ.   °이면   이다.

ㄷ. _

^

 ^

 ^



[보 기 ]

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수 리 영 역

6 ‘가’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

16.

한 개의 동전을 한 번 던지는 시행을 번 반복한다. 각 시행 에서 나온 결과에 대하여 다음 규칙에 따라 표를 작성한다.

(가) 첫 번째 시행에서 앞면이 나오면 △, 뒷면이 나오면

○를 표시한다.

(나) 두 번째 시행부터

(1) 뒷면이 나오면 ○를 표시하고,

(2) 앞면이 나왔을 때, 바로 이전 시행의 결과가 앞면이면 ○, 뒷면이면 △를 표시한다.

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

예를 들어 동전을 5번 던져 ‘앞면, 뒷면, 앞면, 앞면, 뒷면’이 나 오면 다음과 같이 표가 작성된다.

시행     

표시 △ ○ △ ○ ○

한 개의 동전을 5번 던질 때 작성되는 표에 표시된 △의 개수를 확률변수 라 하자. P X  의 값은?16)

[4점][2009년 9월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





17.

자연수 에 대하여 점 A_n이 함수   ^의 그래프 위의 점 일 때, 점 A_{n  }을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) 점 A_의 좌표는  ^이다.

(나) (1) 점 A_n을 지나고 축에 평행한 직선이 직선

  와 만나는 점을 P_n이라 한다.

(2) 점 P_n을 지나고 축에 평행한 직선이 곡선   log_와 만나는 점을 B_n이라 한다.

(3) 점 B_n을 지나고 축에 평행한 직선이 직선   와 만나는 점을 Q_n이라 한다.

(4) 점 Q_n을 지나고 축에 평행한 직선이 곡선   log_와 만나는 점을 A_{n  }이라 한다.

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

점 A_n의 좌표를 _이라 할 때, lim

 → ∞

_의 값은?17)

[4점][2009년 9월]

① _{ }



 ② _{ }



 ③ _{ }



 ④ _{ }



 ⑤ _{ }





수 리 영 역

‘가’형 7

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

18.

곡선   ^  위의 점 P a  에서의 접선의 방정식을

    이라 할 때, 세 수   의 합을 구하시오.18)

[3점][2009년 9월]

19.

구간  에서 정의된 연속함수    의 그래프가 그림 과 같다.

방정식 ^          의 실근의 개수를 구하시오.¹⁹⁾ [3점][2009년 9월]

20.

다음 그림은 밑면이 정팔각형인 팔각기둥이다.

A_A_ ^이고, 점 P가 모서리 A_B_의 중점일 때, 벡터

  







^PAi PB_i



의 크기를 구하시오.20 )

[3점][2009년 9월]

21.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수  가 모든 양수 에 대하여







     ^  







^   ^

를 만족시킨다. 곡선    와 직선   , 축, 축으로 둘 러싸인 도형을 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를

라 할 때, 의 값을 구하시오.2 1)

[4점][2009년 9월]

수 리 영 역

8 ‘가’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

22.

수열  의 제 항 _을 _

^

 이 자연수가 되게 하는 음 이 아닌 정수 의 최댓값이라 하자. 예를 들어 _ 이고

_ 이다. _ 일 때, _ _ _… _의 값을 구하 시오.2 2)

[4점][2009년 9월]

23.

좌표공간에서 구 ^ ^ ^ 이 두 평면         

      ^   

와 만나서 생기는 원을 각각 _, _라 하자.

원 _ 위의 점 P와 원 _ 위의 점 Q에 대하여 ^PQ^의 최솟 값을 구하시오.²³⁾

[4점][2009년 9월]

24.

다음 조건을 만족시키는 모든 사차함수    의 그래프가 항상 지나는 점들의 좌표의 합을 구하시오. 24)

[4점][2009년 9월]

(가)  의 최고차항의 계수는 이다.

(나) 곡선    가 점   에서 직선   에 접한다.

(다) ′  

* 배포 *helpm em ath* 작성자 *

25.

행렬 



^{  } 



에 대하여 ^^

을 만족시키는  이하의 두 자연수  (  )의 순서쌍

 의 개수를 구하시오. 25)

[4점][2009년 9월]

수 리 영 역

‘가’형 9

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

26.

^ sin  cos  

일 때, cos



^{  }





^{의 값은?}

(단,     )26)

[3점][2009년 9월]

① _{ }



^

② _{ }



^

③ _{ }





④ _{ }



^

⑤ _{ }



^

27.

^함수    ln ^ 의 역함수를 라 할 때, 양수 에 대하여 _

′

  ′

 의 값은? 2 7)

[3점][2009년 9월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

28.

함수   







  ^

 에 대하여 상수 가    



을

만족시킬 때,







  ^

^{ }

 의 값은?^{28 )}

[3점][2009년 9월]

① _



^  

② ^   ③ 

④ _



^   ⑤^  

수 리 영 역

10 ‘가’형

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29.

함수    sin 

^

에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에 서 있는 대로 고른 것은? 29)

[4점][2009년 9월]

ㄱ.     일 때, ^sin 

^

    cos

^ 이다.

ㄴ. 구간  에서 곡선    는 위로 볼록하다.

ㄷ.



_^  ≦ 

sin 

 [보 기 ]

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

30.

좌표평면 위에 타원 _

^

^

 ^

^

 과 점 P  이 있고, 원 점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 11인 원 _과 원점을 중 심으로 하고 반지름의 길이가 3인 원 _가 있다. 제 1사분면에 있는 원 _ 위의 점 A에 대하여 선분 OA와 원 _의 교점을 B, 점 A에서 축에 내린 수선의 발을 H, 선분 AH와 타원의 교점을 Q, 선분 OA가 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 θ라 하자. 삼각형 ABQ의 넓이를 _이라 하고, 삼각형 APQ의 넓이를 _라 하자.

lim

 → ^⋅_

_

 

일 때,   의 값을 구하시오. (단, 와 는 서 로소인 자연수이다.) 30)

[4점][2009년 9월]

수 리 영 역

‘가’형 11

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2009년 09월 모의고사 가형 해설지

1) ①

log_·log_^_{  } log

log

× log



log

  2) ④

lim

→

^      에서        대입해서 정리하면

(준식)=lim

→^   

    

 

  

  따라서      

3) ③

에서



 

^{ } 

 

^{ }  

 

^{ }  

 

^{  }   4) ①

준식을 정리하면

    ^  ≤   ≠   

     

이때 정수         5) ②

점 에서 모서리 에 내린 수선의 발을

라 하면 삼수선의 정리에 의하여 ⊥

따라서 ∆는 직각삼각형이고 ∠ ^∘ 이므로   이때  

6) ⑤

년전의 중심온도를 _, 현재의 중심온도를 _, 농촌온도를 ,



_^{ }    ^ 이므로 정리하면   



8) ④ ㄱ. lim

→  

   lim

→  

   이므로 거짓

ㄴ. lim

→  

     

lim

→  

    이므로 참 ㄷ. lim

→∞  

 lim

→∞  

  

lim

→∞  

 lim

→∞  

 lim

→∞

   이므로 준식 =            참 9) ②

_∆__부채꼴___

 

×^_{ ×   }



× ^ ^× 

 ^  

_∆___부채꼴___

 

× ×^_{  }



×  × 

 

^  

_∆___부채꼴___

 

× 

^

× 

 

× 

^

^{ ×}



 

^^  

___에 의해서 수열 ^^{은 첫째항이} ^  이고 공비가 

인 등비수열이므로

무한등비급수



  

∞

_{ }

  

^  

 ^  

수 리 영 역

12 ‘가’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

 __   

∴ 나 __

 _{  }



^{   }





  





^

  

   



_{  }



^ 

    

 

_{  }



^     

· 

··

 

∴ 다  

11) ③

검색대를 통과한 여학생수를 라 하면, 검색대를 통과한 여학생수는

  이다.

 ∣여  



검색대를 통과한 전체 학생수는     

그 중 남학생수는 3이므로

 남∣_{  }

  



  이므로 

   



∴   또는 

적어도 한 명의 여학생은 통과하였으므로    12) ⑤

초점 ±이고 점근선은  ± 

이므로 초점을 지나고 점근선에 평행한 직선은

  

 ±   

 ± 이므로 이 4개의 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는



∙  ∙ 

  



13) ⑤

_ (단, 는 첫째항이고 양수)

__{  }



^{  ×  }_

ㄱ. 수열 lim

 →∞

_ ∞ 이므로 거짓 ㄴ. 무한급수 _{  }



^{∞ }_



 _{  }



^∞ 



   

 이므로

lim^



^{      ⋯   }



^{ }

lim

 → ∞^

  

^

이므로 존재한다. 따라서 참.

14) ③

_{  } ^{  …  }

_ ^{ … }

_의 공차를 라 하면

_× _ ^{  } ^

_× _ ^{    } ^

⦙

_× _ ^

∴ _× _×_×⋯× _     ⋯ 

 ^ 

  이므로   



15) ③

ㄱ. 구의 지름 중 구의 중심을 지나고, 교선 과 평행한 지름의 정사영의 길이는 변치 않으므로 그림자와 교선 의 공통부분의 길이는  이다 (참) 또, 구의 중심을 교선위에 오도록 평행이동하고, 구면 위의 원 중에서 태양광선에 수직인 원의 지름을 평면에서 생각하면 그림과 같다

이때 cos    sin   이므로 ㄴ. cos^∘  sin^∘ 에서  ^  즉    (거짓)

ㄷ. cos  

 sin  

 이므로

sin^  cos^   에 대입하면 ^

^

 ^

^

  즉 ^

 

^

 

^

 (참)

16) ②

동전의 앞면이 나오는 사건을 , 뒷면이 나오는 사건을 라고 하자.

수 리 영 역

‘가’형 13

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

●T●에서 __ 

∴_{   }

^

      

 



17) ⑤

_의 좌표를 _이라고 가정하면 _ _^이고

  와의 교점의 좌표는 

× ^^ 이다.

따라서   log_에   

× ^를 대입하면

_의 좌표는   log_^^{ } 

_  이다.

따라서   에 다시 대입하면



_ 

 _{  }이다.

∴ _{  } 

_ 

이므로

일반항 _ _ 



^{  } 

이고 →∞일 때



^{  }→이므로 lim

→∞

_ 



18) 28

점  는   ^ 위의 점이므로    점   에서의 접선의 기울기   

접선의 방정식은     

∴        

      

직각삼각형이 되고 _ 이다.

__의 중점을 _라하면 _ _ _이다.

∴



_{  }^{  }

 



  

 __

 _{  }



^{   ∵}_{  }



^{  }

 _

 _ 따라서 크기는 48이다.

21) 

주어진 식을 에 대하여 양변을 미분하면



_^{=  }

   축 축둘러싸인 도형을 축의 둘레로 회전시킨 부피는

 



_^{}이므로 회전체의 부피는 이다.

22) 31

_ 이므로 ^

  ∴  ^⋅

(단, ^

 를 만족하는 최대 정수   이므로 는  배수가 아닌 자연수)

따라서 _ _ _ _ _ _ 이고

_ _ , _ 이다.

∴ _ _⋯ _  ×   ×     

23) 40



수 리 영 역

14 ‘가’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

^^^^ ^  · 를 정리하면 최소값은 40이다.

24) 13

  ^ ^ ^   ···⒜

′  ^ ^   ···⒝

주어진 조건이 ′   ′     이므로

⒝식에 적용해보면

  

     이를 ⒜에 적용해보면

    

이들을 ⒜에 대입하여 에 대하여 정리해보면

  ^ ^    ^  

 ^ ^  ^  ^ 

 ^ ^      ^

따라서 는 값에 상관 없이      을 지난다.

따라서 점의 좌표는       이다.

         

25) 

주어진 행렬을 제곱하여 계산해보면

⒜ ^^^⋯^

⒝ ^^⋯^

⒞ ^^⋯^

⒟ ^^⋯^ 를 만족한다.

⒜ ^^(단,   )를 만족하는 순서쌍 의 개수는

⋯의 개의 수 중 개를 뽑는 조합의 수와 같으므로 __

⒝,⒞,⒟도 ⒜와 같은 방법으로 경우의 수는 __이므로

 ×__ 가지 26) ⑤

^ sin  cos  sin



^{  }





^{∴ sin}



^{  }





^{ }





   

 

 이므로,

cos



  



^±



^{  sin  }_^{ ± }_^

27) ①

′  ^ 

^

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(ⅰ)

   에서,     ln^  ∴^   ^







  ^

^

 





^

  ^   (∵ ^′  )

29) ④

ㄱ.   ^  이므로, ^sin 

^

 sin 

^ ⋯⋯①   

^

 

 

 이므로, sin 

^

 cos

^

⋯⋯② ①, ② 에 의해 ^sin 

^

   cos

^ (참)

ㄴ. ′   cos

^

, ″  cos

^

 ^sin 

^

  ( ∵ㄱ. 에 의해 )

따라서,    는      에서 아래로 볼록. (거짓) ㄷ.

sin 



 

 



^{sin }





^

  

     에서 아래로 볼록이므로, [그림1]에서  ≦



^{sin }





^

따라서,



_^{  ≦}



_^



sin 



    sin 

(참)

30) 27

조건에 의해 cos  sin , cos  sin ,    ,

cos  sin ,  cos    로 놓을 수 있다.

  sin,   cos,     cos

∆ _{ }^⋅⋅_{ }^⋅sin⋅cos  sin