БЕТТЕРДІ ПРОЕКЦИЯЛАРЫ

Инженерлік графикада беттер деп бір заңдылық арқылы кеңістіктегі сызықтардың қозғалуы мен жиынтықтарынан құралған геометриялық фигураны айтады. Бұдан басқа беттер біркелкі екіпараметрлі нүктелер жиынтығы мен беттің қаңқасы арқылы беріледі. Геометрияда кез келген фигураның қозғалысы кинематикалық əдіске жатады. Сондықтан беттің құралуы оның жасалушы сызығы мен осы сызықтың кеңістіктегі қозғалу заңына байланысты. Осы жасалушысына байланысты беттердің түрлері көп.

Төменде беттердің өмірде көп кездесетін жəне қолдануға ыңғайлы айналмалы, бұрама, құлама жəне топографиялық беттер түрін қарастырамыз.

§ 10.1 Айналмалы беттер

Айналмалы беттер деп кез келген сызықтың тұрақты бір ось бойымен айналуынан құралған бетті айтады. Айналмалы бет болғандықтан, оның параллелі (сызықтың кез келген нүктесі шеңбердің бойымен айналғандағы сызық) жəне меридианы (бетті айналу осінен қиып өтетін жазықтық пен беттің қимасы) болады. Сызықтардың айналу осіне жəне орналасуларына байланысты айналмалы беттер конус, цилиндр, сфера (шар), гиперболоид, параболоид, эллипсоид жəне т.с.с. болып бөлінеді. Енді осы беттердің ішіндегі көп тараған түрі дөңгелекті конус пен цилиндрді қарастырамыз.

10.1. Айналу конус беті

Конус деп тұрақты бір ось бойымен жəне осы оське сүйір немесе доғал бұрышпен орналасқан түзу сызықтың айналуынан құралған бетті айтады.

Конус беті көлденең горизонталь П₁ проекция жазықтығында орналасуына байланысты қиғаш жəне тік болып екіге бөлінеді.

Егер конус бетінің тұрақты осі көлденең П₁ проекция жазықтығына тік бұрышпен орналасса, онда П₁ жазықтығына тік орналасқан конус болып

Х-тарау

табылады (142-сурет).

Тік конус бетті дөң- гелек табанымен жəне жасаушы көлбеу сызы- ғымен беріледі.

142-суреттің жоғар- ғы жағында тік дөңге- лекті конустың кеңіс- тіктегі кескіні көр- сетілген. Мұндағы АВ түзуі тік конустың жасалушысы болса, конустың айналу осі i сызығы болады.

Айта кету керек, конус табанына байла-

нысты эллипсті, параболалы, гиперболалы, дөңгелекті т.б. болып бөлінеді.

Ал, 143-суретте тік дөңгелекті конустың тік бұрышты жазықтықтар жүйесі, фронталь жəне горизонталь проекциясы көрсетілген.

Мұндағы А₂В₂ жəне А₁В₁ түзу сызықтары тік конустың фронталь жəне горизонталь проекция жазық- тықтарындағы жасалушылары болса, ал S

2 жəне S

1 конустың төбесі болады. Ал, тік конустың фронталь проекция жазықтығында айналу осі i₂ сызығы болса, горизонталь проекция жазықтығында айналу осі i₁ сызығы А₁ жəне S

1 нүктелерімен беттесіп кетеді.

Енді осы конус бетінде орналасқан С нүктесін қарастырайық (143-сурет).

Конус бетінің жасалушылары бір нүктеден тарайтын болғандықтан, конустың бетінде орналасқан кез келген нүктеден жасалушы түзуін жүргізіп, нүктенің фронталь жəне горизонталь проекцияларын тауып аламыз.

Егер конус бетінің айналу осі көлденең П1 проекция жазықтығына сүйір немесе доғал бұрышпен орналасса, онда

П

1

A S

B

O i

П

1

^B

¹

1 1

1

A i

S

2

2 A

S

i2

B

2

П2

С

2

С1

мұндай конус П₁ жазықтығына қиғаш орналасқан конус болады (144-сурет). Қиғаш конусқа мысал ретінде 144-суретте өзара тік бұрышты орналасқан проекциялар жазықтықтарындағы фронталь жəне горизонталь проекциясы көрсетілген.

Мұнда да А₂В₂ жəне А₁В₁ түзу сызықтары қиғаш конустың фронталь жəне горизонталь проекция жазықтықтарындағы жасалушылары болып келеді.

Ал, S₂ жəне S₁ қиғаш конустың проекция жазықтықтарын- дағы төбесі болады. Қиғаш конус тың фронталь проекция жазықтығында айналу осі i₂ сызығы болса, горизонталь проекция жазықтығында айналу осі i₁ сызығы болады.

Сурет те берілгендей, қиғаш конустың горизонталь проекция жазықтығындағы конус табаны шеңбер болады.

Енді конус бетінде қиғаш орналасқан С нүктесін қарастыратын болсақ, онда конус бетінің жасалушылары бір нүктеден тарайтынын біле отырып, конустың бетінде орналасқан кез келген нүктеден жасалушы түзуін жүргізіп, нүктенің фронталь жəне горизонталь проекцияларын тауып аламыз.

10.2. Айналу цилиндр беті

Цилиндр деп тұрақты бір ось бойымен жəне осы оське тік бұрышпен орналасқан түзу сызықтың айналуынан құралған бетті айтады (145-сурет).

Цилиндр беті де проекция жазықтықтарына орналасуларына байланысты қиғаш жəне тік орналасқан болып екі түрге бөлінеді. Айналмалы беттердің табанына байланысты цилиндрлі беттер элиппсті, параболалы, дөңгелекті жəне тағы басқа сол сияқты болып көптеген түрлерге бөлінеді.

Егер цилиндр бетінің тұрақты айналу осі көлденең П

1 горизонталь проекция жазықтығына тік бұрышпен орналасса, онда цилиндрлік бет П₁ жазықтығына

П B

1¹

1

1

S

A

i

O1

B

2

O2

2

2 S

A

П

2

i

2

i1

С

2

С1

тік орналасқан болып табы- лады (145-сурет).

145-суретте тік дөңгелекті цилиндрдің кеңістіктегі орналасқан кескіні көрсе- тілген. Мұндағы АВ түзу сызығы тік цилиндрдің жасалушысы, ал i түзу сызығы цилиндрдің айналу осі болады.

Ал, 146-суретте тік дөң- гелекті цилиндрдің фронталь жəне горизонталь проекция жазықтықтарындағы кескіні көрсетілген. Бұл жерде А

2В

2 жəне А₁В₁ түзу сызықтары - фронталь жəне горизонталь проекция жазықтықтарындағы тік цилиндрдің жасалушысы. Горизонталь проекция жазықтығындағы цилиндрдің төменгі жəне жоғарғы табандары өзара беттесіп, бір ғана шеңберді береді. Ал, фронталь проекция жазықтығындағы

цилиндрдің проекциясы төрт бұрышты болады. Егер цилиндр бетінде С нүктесі орналасқан болса, онда осы С нүктесі арқылы цилиндр бетінің жасалушысына параллель түзу жүргізіп, цилиндрдің табанымен қиылыстырып, нүктенің горизонталь проекциясын табамыз.

Егер цилиндр бетінің айналу осі көлденең П

1 горизонталь проекция жазықтығына сүйір немесе доғал бұрышпен орналасса, онда мұндай цилиндр П₁ горизонталь проекция жазықтығына қиғаш орналасқан цилиндр болады.

Қиғаш цилиндр бетінің кеңістіктегі кескіні 147-суретте көрсетілген. Бұл суретте АВ түзу сызығы қиғаш цилиндрдің жасалушысы болса, i сызығы цилиндрдің айналу осі болады.

Қиғаш цилиндр бетінің табандары П1

B

A A

O

i

П

1

B

1

O

1

i

1

П

2

i

2

A

2

B

2

С

2

A

1

С

1

өзара параллель жəне көлденең П₁ горизонталь проекция жазық- тығына да парал- лель орна ласқан бет. Бірақ айта кету керек, қиғаш цилиндр бетінің табандары өзара əртүрлі жəне горизонталь про-

ек ция жазық- тығына параллель болмайтын қиғаш цилиндр беті бола- ды.

Келесі 148-суретте кеңістіктегі қиғаш цилиндр бетінің гори- зонталь жəне фронталь проекция жазықты- ғындағы эпюрасы көр- сетілген.

Егер қиғаш цилиндр бетінің горизонталь проекциясын қарас- тыратын болсақ, онда ол проекция жазық- тығында цилиндр беті нің табандары екі шеңбер күйінде көрсе- тілген.

148-суретте А₂В₂ жəне А

1В

1 түзу сызықтары фрон- таль жəне гори зон- таль проекция жа зық- тықтарындағы көл- денең немесе қиғаш орналасқан цилиндрдің

B

i

A _O

O П

1

i

П

1

B

1

i

/

O

1

O

1

i

₁

A

1

П

2

i

2

B

2

A

2

_O

₂^/

O

2

С2

С1

жасалушысы болып табылады. Ал, цилиндрдің айналу осі i₂ жəне i₁ нүктелі үзбе сызықтары арқылы берілген.

Егер қиғаш цилиндр бетінде С нүктесі орналасқан болса, онда осы С нүктесі арқылы беттің жасалушысына параллель түзу жүргізіп, цилиндрдің табанымен қиылыстырып, нүктенің горизонталь проекциясын табады (148-сурет).

10.3. Конус пен цилиндрдің түзу сызықпен қиылысуы

Конус пен цилиндр кеңістікте орналасқан жалпы жағдайда түзу сызық пен

«кіру» жəне «шығу» деп аталатын екі қиылысу нүктесі болады.

Төменде тікбұрышты дөңгелек конус пен жалпы жағдайда орналасқан АВ түзу сызығының фронталь жəне горизонталь проекция жазықтығындағы кескіндері берілген (149-сурет).

Қиылысу нүкте- лерін табу үшін, кеңістікте орна- ласқан жалпы жағ- дайдағы түзуді конус табанына түсі реміз. Ол үшін фронталь проекция ж а з ы қ т ы ғ ы н д а ғ ы конус тың S₂ төбесі мен жалпы жағ- дайдағы түзу сызық- тың А₂ жəне В₂ төбелерінен өтетін түзу жүргіземіз. Бұл түзулер х осімен қиылысып, А₂^/ жəне В₂^/ нүктелерін бере ді. Табылған осы нүктелерден горизонталь проек- ция жазықтығында байланыс сызық- тарын жүргізіп қоямыз. Енді гори- зонталь проек- ция жазықтығында

П

1

B

1

1

1

i

S

S

2

i2

B

2

П

2

С2

С1

A

2

D1

/

С1

/

D1

D

2

/

B2 ^/

A

2

/

A1

/

B1

конустың S₁ төбесі мен жалпы жағдайдағы түзу сызықтың А₁ жəне В₁ төбелерінен өтетін түзу жүргіземіз. Ал, бұл түзулер байланыс сызықтарымен қиылысып, А₁^/ жəне В₁^/ нүктелерін береді. Осы нүктелерді өзара қоссақ, онда бұл түзу конус табанын С₁^/ жəне D₁^/ нүктелерінде қиып өтеді. Енді осы нүктелерді конустың S

1 төбесімен қосамыз. Бұл түзулер жалпы жағдайдағы А₁В₁ түзу сызығын С₁ жəне D₁ нүктелерінде қиып өтеді.

Осы табылған нүктелерден байланыс сызығының көмегімен фронталь проекция жазықтығында орналасқан АВ түзуімен қиылыстырып, С₂ жəне D₂ нүктелерін табамыз. Жалпы жағдайдағы түзу сызықтың горизонталь проекция жазықтығындағы С

1 жəне D

1 нүктелерінің аралары конус ішіне кіріп тұрғандықтан көрінбейтін сызықпен сызылады. Ал, фронталь проекция жазықтығындағы А₂В₂ түзу сызығының проекциясында С₂ жəне D₂ нүктелерінің аралары көрінбейді.

П

1

B

1

i

/

O

1

O

1

i

1

A

1

П

2

i

2

B

2

A

2

/

O

2

O

2

С

2

С

1 /

С

1

D

1 /

D

1

D

2

/

A

2

_В

₂^/

/

A

1

/

В

1

Енді қиғашбұрышты дөңгелек цилиндр мен жалпы жағдайда орналасқан АВ түзу сызығының қиылысу нүктелерін қарастырайық (150-сурет)

Кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы АВ түзуімен цилиндрдің қиылысу нүктелерін табу үшін, алдымен АВ түзу сызығын цилиндрдің табанына түсіреміз. Жалпы жағдайдағы түзу сызықтың А

2 жəне В

2 төбелерінен цилиндрдің жасалушысына параллель түзулер жүргіземіз жəне бұл түзулер х осімен қиылысып, А₂^/ жəне В₂^/ нүктелерін береді. Осы нүктелерден байланыс сызықтарын жүргіземіз. Енді осындай жолмен горизонталь проекция жазықтығындағы түзу сызықтың А₁ жəне В₁ төбелерінен цилиндрдің жасалушысына параллель түзулер жүргіземіз. Бұл түзулер алдында жүргізген байланыс сызықтарымен А₁^/ жəне В₁^/ нүктелерінде қиылысады. Осы нүктелерді өзара қосып, А₁^/В₁^/ түзуін табамыз. Ал, бұл түзу цилиндр табанын С₁^/ жəне D₁^/ нүктелерінде қиып өтеді. Табылған нүктелерден цилиндрдің жасалушысына параллель түзулер жүргіземіз. Бұл түзулер берілген А₁В₁ түзу сызығымен С

1 жəне D

1 нүктелерінде қиылысады. С

1 жəне D

1 нүктелерін байланыс сызығының көмегімен фронталь проекция жазықтығында орналасқан АВ түзуімен қиылыстырып, С₂ жəне D₂ нүктелерін табамыз.

Горизонталь проекция жазықтығындағы түзу сызықтың С₁ жəне D₁ нүктелерінің аралары жəне фронталь проекция жазықтығындағы А₂В₂ түзу сызығының проекциясында С

2 жəне D

2 нүктелерінің аралары цилиндр ішіне кіріп тұрғандықтан, көрінбейтін сызықпен сызылады.

10.4. Конус пен цилиндр беттерінің жазықтықпен қиылысуы Жоғарыдағы «Қисық сызықтар» тақырыбынан белгілі болғандай, егер тікбұрышты дөңгелек конусты кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы жазықтық қиып өтетін болса, онда конустың қималары эллипс (егер қиюшы жазықтық жалпы жағдайда орналасса), парабола (егер қиюшы жазықтық жасалушыға параллель орналасса), гипербола (егер қиюшы жазықтық айналу осіне параллель орналасса), шеңбер (егер қиюшы жазықтық бет табанына параллель орналасса) болады. Ал, егер тікбұрышты дөңгелек цилиндрді кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы жазықтық қиып өтетін болса, онда цилиндрдің қимасы эллипс немесе шеңбер болады.

Енді осы айтқандарды ескере отырып, бірнеше мысалдар қарастырайық (151-сурет). Алғашқы мысал ретінде қиғаш бұрышты дөңгелек конус пен дербес жағдайда орналасқан Р жазықтығын алайық. Конус пен Р жазықтығының қиылысу сызығын табу үшін, фронталь проекция жазықтығындағы конус пен жазықтықтың А, В жəне С қиылысу нүктелерін анықтаймыз. Конустың S₂ төбесі арқылы осы нүктелерден түзу сызықтар жүргіземіз. Бұл түзулер дөңгелек конустың табанын қиған нүктелерден байланыс сызықтарын жүргіземіз.

Жүргізілген байланыс сызықтары горизонталь проекция жазықтығында

конустың табанымен қиы- лысып, бірнеше нүктелерді береді. Енді осы нүктелерді горизонталь проекция жазықтығында конустың S₁ төбесімен қосамыз.

Бұл жүргізілген сызықтар жоғарыда табылған нүкте- лерден түскен байланыс сызығымен қиылысып, А

1, В₁ жəне С₁ нүктелерін бере ді.

Егер табылған нүктелерді өзара қосатын болсақ, онда қиғашбұрышты дөңгелек конус пен Р жазықтығының қиылысу сызығын табамыз.

Келесі мысал ретінде тікбұрышты дөңгелек цилиндр мен кеңістікте орналасқан жалпы жағ- дайдағы Р жазықтығын алайық (152-сурет).

Тікбұрышты дөң ге лек цилиндр мен Р жазық- тығының қиылысу сызы- ғын табу үшін, горизонталь проекция жазықтығында фронталь проекция жазықтығына проекцияланушы қиюшы жазықтықтар жүргіземіз. Горизонталь проекция жазықтығында жоғарғы жəне төменгі табандары беттесіп жатқандықтан, цилиндрдің қимасы да цилиндр табанымен беттесіп кетеді.

Мысалда осы қиманың төрт А, В, С жəне D нүктелерін ғана алып көрсеткен.

Конус пен жазықтықтың А, В жəне С қиылысу нүктелерін анық-таймыз.

Қиюшы жазықтықтар Р жазықтығының горизонталь ізімен қиылысқан нүктелерінен байланыс сызығымен фронталь проекциясына көтеріп, Р жазықтығының фронталь ізіне параллель сызықтар болып сызылады. Бұл түзулерді дөңгелек конустың табанын қиған нүктелерден байланыс сызықтары арқылы фронталь проекция жазықтығына көтереміз.

Егер табылған нүктелерді өзара қосатын болсақ, онда тікбұрышты дөңгелек цилиндр мен жалпы жағдайда орналасқан Р жазықтығының қиылысу сызығын табамыз.

П

1

B1

S

1

i

O1

B2

O2

S2

П

2

i2

i1

С2

С1

А

2

С1

А1

Р2

Р1

62

72

10.5. Беттердің өзара қиылысуы

Беттердің өзара қиылысу сызығын анықтаудың сызба геометрияда көптеген əдістері бар. Осындай көп əдістердің ішінде кеңінен тараған жəне қолайлы түрлері қиюшы жазықтықтар жəне концентрлі шеңберлер əдістері болып табылады.

Қиюшы жазықтықтар əдісін пайдаланып, екі айналу беттің қиылысу сызығын анықтау есебіне мысал қарастырайық (153-сурет).

Кеңістікте орналасқан тікбұрышты дөңгелек цилиндр мен сфера (шар) айналу беттерінің фронталь жəне горизонталь проекция жазықтықтарындағы проекциялары берілген. Айналу беттерінің осьтері бір нүктеде қиылыспаған жағдайда, екі беттің қиылысу сызығын қиюшы жазықтықтар əдісі арқылы шешеді.

Қиюшы жазықтықтар əдісін пайдалану үшін, фронталь немесе горизонталь

П

1

B

1

O

1

i

1

П

2

i

2

A

2

B

2

С2

A

1

С1

Р

2

Р1

61

71

:1

D1

D

2

B

2

B

1

П

1

B

1

O

1

i

1

П

2

i

2

A

2

B

2

/

О

1

С

1

6

2

7

2

С2

D2

D1

A1

B1

С

1

D1 /

R2 //

R2

/

R1 //

R1

О2

Е2

Е2

Е1

Е1

D2

проекция жазықтықтарында бірнеше параллель қиюшы жазықтықтар алынады. Бұл алған қиюшы жазықтықтар міндетті түрде екі қиылысып жатқан бетке ортақ болуы керек. Біздің мысалымызда горизонталь проекция жазық- тығына параллель Σ жəне Т жазықтықтарын алдық. Бұл жазықтықтар фронталь проекция жазықтығында сфераны радиусы R₂^/ жəне R₂^/ болатын аралықта қиып өтеді. Ал, горизонталь проекция жазықтығында радиусы R₁^/ жəне R₁^/ болатын шеңбер жүргіземіз. Жүргізілген екі шеңбер цилиндр табанымен төрт нүктеде қиылысады. Енді осы нүктелерден байланыс сызығының көмегімен фронталь проекция жазықтығына жүргізіп, параллель

Σ жəне Т жазықтықтар бойынан D жəне E нүктелерін тауып аламыз.

Фронталь проекция жазықтығында цилиндр мен сфера А

2 жəне В

2 нүкте-

лерінде қиылысса, горизонталь проекция жазықтығында С₁ нүктелерінде қиылысады. Бұл нүктелерді характерлі нүктелер деп атайды.

Егер барлық табылған нүктелерді өзара қосатын болсақ, онда біз кеңістікте орналасқан тікбұрышты дөңгелек цилиндр мен сфераның қиылысу сызығын табамыз.

Келесі мысал ретінде, қиылған тікбұрышты дөңгелек конус пен айналу осі горизонталь проекция жазықтығына параллель орналасқан айналу бетінің қиылысу сызығын қарастырайық (154-сурет).

Егер айналу беттерінің фронталь жəне горизонталь проекция жазықтықтарындағы проекцияларында айналу осьтері бір нүктеде қиылысқан болса, онда мұндай жағдайда екі беттің қиылысу сызығын концентрлік сфералар (шеңберлер) əдістері арқылы анықтайды.

154-сурет

Радиусы R_min болатын алғы шеңберді айналу осі горизонталь проекция жазықтығына параллель орналасқан айналмалы бетті жанап өтетіндей етіп сызамыз. Жанап сызылған шеңбер екі нүктені береді жəне осы нүктелерді қосып, түзу жүргіземіз. Бұл сызылған шеңбер қиылған тікбұрышты дөңгелек конусты х осіне параллель болатын екі нүктеде қиып өтеді. Осы нүктелерді өзара қосып, түзу сызық жүргіземіз. Горизонталь жүргізілген бұл түзу жанама нүктелерін қосқан түзумен С₂ жəне D₂ нүктелерінде қиылысады.

Енді радиусы R_max болатын шеңберді айналу осі горизонталь проекция жазықтығына параллель орналасқан айналмалы бет пен қиылған тікбұрышты дөңгелек конустың қиылысқан нүктелерінен өтетіндей етіп сызамыз.

Жоғарыда көрсетілген жолмен А₂ жəне В₂ нүктелерін табамыз. Келесі қиылысу нүктесін табу үшін, радиусы R болатын шеңбер жүргіземіз. Бұл сызылған шеңбер айналу осі горизонталь проекция жазықтығына параллель орналасқан айналмалы бетті вертикаль сызық жасап, ал қиылған тікбұрышты дөңгелек конусты горизонталь сызық жасап қияды. Енді осы сызықтар өзара қиылысып, 1₂=1₂^/ жəне 2₂=2₂^/ нүктелерін береді.

Егер табылған нүктелерді өзара қосатын болсақ, онда қиылған тікбұрышты дөңгелек конус пен айналу осі горизонталь проекция жазықтығына параллель орналасқан айналмалы беттің фронталь проекция жазықтығындағы қиылысу сызығын табамыз.

Енді горизонталь проекция жазықтығындағы қиылысу сызығын табу үшін, алдымен айналу осі горизонталь проекция жазықтығына параллель орналасқан айналмалы беттің айналу осіне А₂ жəне В₂ нүктелерінен байланыс сызығының көмегімен түсіріп, А₁ жəне В₁ нүктелерін табамыз. Ал С1 жəне D

1 нүктелерін табу үшін, радиусы қиылған тікбұрышты дөңгелек конусты х осіне параллель болатын түзу сызығы болатын шеңберді С₂ жəне D₂ нүктелерінен түскен байланыс сызығымен қиылыстырамыз. Осындай жолмен 1₁=1₁^/ жəне 2₁=2₁^/ нүктелерін тауып аламыз.

Егер табылған нүктелерді өзара қоссақ, онда айналу осі горизонталь проекция жазықтығына параллель орналасқан айналмалы бет пен қиылған тік бұрышты дөңгелек конустың горизонталь проекция жазықтығындағы қиылысу сызығын табамыз.

Ескерту, сызбада қиылысу нүктелері қызыл, ал көмекші нүктелер көк түсті бояумен боялған.

§ 10.2 Құлама бет

Құлама беттер проекциясын сандық белгілері бар проекцияда берген қолайлы (155-сурет).

Құлама беттердің қолданылатын салалары өте көп, бірақ солардың ішінде

негізінен шойын немесе тас жолдардың топырақ қазбалары мен үйінділерінің шекараларын анықтау есебін шешуде көп қолданылады. Шойын немесе тас жолдардың құлама бетін анықтау үшін, жолдың ені мен көлбеулігі беріледі.

Осы екі өлшемдер өзара қиылысып, нүктелер тізбегін құрайды. Табылған осы нүктелерді дөңгелекті тік орналасқан конустардың төбесі ретінде қарастырып, ен аралықтары өзара тең концентрлі (шоғырланған) шеңберлерін жүргіземіз.

Егер осы жүргізілген концентрлі шеңберлердің аттас шеңберлеріне жанама сызық жүргізсек, онда мұндай жолмен табылған бетті құлама бет дейді (155-сурет).

Көлденең П₀ проекция жазықтығымен бір бұрышты сақтап, түзу жасалушы өзара жылжуы мен қисық бағытталушы барлық нүктелерінен өтетін бет біркелкі құлама бет деп аталады.

П0

B

A

C

C

0

B

0

A

0

1 0 1 2

C

4

C

0

B

0

B

3

A

0

П0

A

2

§ 10.3 Топографиялық бет.

Топографиялық бет деп жер бетінің тау қыртыстарының (төбелер мен жоталардың ең үлкен биік нүктелерінің, шұңқырлар мен ойықтардың ең төменгі нүктелерінің) шекарасын, кей-бір су өтетін немесе өткізетін жер қыртыстарының көлденең П₀ проекция жазықтығындағы сандық белгілері бар проекциясын (кескінін) айтады (156-сурет).

Кейде топографиялық бетті жер беті деп те атайды, себебі топография ежелгі гректің жергілікті жерді жазу деген сөзінен шыққан. Бұл топографиялық бет горизонталь қисық сызықтарымен беріледі. Топографиялық беттің горизонталы деп сол беттің сандық белгілері бірдей болатын нүктелердің жиынтығын айтамыз (156-сурет). Бұл топографиялық бетті жер бетіне параллель жазықтықпен қиып тастаған деген мағынаны береді. Қиюшы жазықтардың арақашықтығын бір, бес немесе он метр сайын алады.

П0 ^{1 0 1 2}

22

21 22 23 21 20 20

23 22 21 20 19 18 17 18 1920 21 22 21

19

22

22 21 21

20

21 22

17

Горизонталь сызығы жіңішке тұтас сызықпен беріледі. Əр бес горизонталь сызық сайын горизонталь тұтас қалыңдатып қойылады.

10.3.1 Топографиялық беттің жазықтықпен қиылысуы

Жазықтық пен топографиялық беттің қиылысу сызығын анықтау есептері құрылыс сызбаларында, құрылыста ғимараттар салу кезінде құрылыс алаңдарын дайындау жəне қазынды мен үйінді жер жұмыстарын анықтауда қолданылады.

Мұндай есептерді шешу үшін, мысал ретінде жалпы жағдайда орналасқан көлбеулік масштабы арқылы берілген жазықтық пен топографиялық бетті аламыз (157-сурет). Жалпы жағдайда орналасқан жазықтықтың ен аралығын

П0 ^{1 0 1 2}

23 22 24 25 26

22 ²¹ 20 19 ¹⁸17 18 19 20 21 22

27

27 26

24 23 22

17 17

18 19

20 21

22 23

D

i

25

A22

B23

C24

D25

E26

F27

анықтап, бөлінген бөліктерден жазықтық сызықтарға перпендикуляр сəулелер жүргіземіз. Жазықтық бөліктерінен жүргізілген сəулелер топографиялық беттің аттас горизонталь сызықтарын А

0, В

1, С

2, D

3, E жəне F

7 нүктелерінде қиып өтеді. Табылған нүктелерді өзара қосатын болсақ, жазықтық пен беттің қиылысу сызығын табамыз.

Осы тақырыпқа мысал ретінде тереңдігі 14 метр болатын құрылыс алаңының топографиялық бетпен қиылысу сызығын анықтайық (158-сурет).

Құрылыс алаңы сызбада АВСD төртбұрышы арқылы берілген. Осы төртбұрыштың төрт жағына перпендикуляр Q_i, P_i, R_i жəне T_i жазықтарын сызып қоямыз. Шұңқырдың көлбеулігін ағылшынның i_қ кіші əрпімен белгілейміз. Бұл көлбеулік i_қ=1-ге болады. Сондықтан жазықтықтардың ен аралықтары да бірге тең болады.

АВСD төртбұрышы арқылы берілген құрылыс алаңының бұрыштарынан биссектриса (қоңыр сызық) сызып қоямыз. Перпендикуляр Q_i, P_i, R_i жəне T_i жазықтықтарынан бөлінген ен аралықтар арқылы горизонтальдар жүргіземіз.

Бұл жүргізілген горизонталь топографиялық беттің аттас горизонтальдарымен қиылысып, шұңқыр мен қиылысу сызығын (қызыл сызық) береді.

17 00 . 14

18

19 20

20 21

21

16

15

П

0

15 16

17

18 19

1 0 1 2

A

14

B

₁₄

C

14

D

14

15

1617

18

18 17 16 15

15 16 17 18

18

16 17

15

Pi

Qi Rⁱ

E15

F16

G

17

H18

I16

J17

K

18

1. Беттер дегеніміз не?

2. Айналмалы беттері дегеніміз не?

3. Айналу конус беті дегеніміз не?

4. Айналу тік конус беті дегеніміз не?

5. Айналу қиғаш конус беті дегеніміз не?

6. Айналу цилиндр беті дегеніміз не?

7. Айналу тік цилиндр беті дегеніміз не?

8. Айналу қиғаш цилиндр беті дегеніміз не?

9. Бұрама беттер дегеніміз не?

10. Топографиялық беттер дегеніміз не?

11. Топографиялық беттердің горизонтальдары дегеніміз не?

12. Топографиялық беттің жазықтықпен қиылысуын қалай анықтауға болады?

Баылау сратары

Жаттыу есептері

1. Биіктігі 50 мм болатын тікбұрышты дөңгелек конустың фронталь жəне горизонталь проекциясын салып көрсетіңіз.

2. Биіктігі 62 мм болатын тікбұрышты дөңгелек цилиндрдің, конустың фронталь жəне горизонталь проекциясын салып көрсетіңіз.

3. Биіктігі 40 мм, ал R 30 болатын қиғашбұрышты дөңгелек конустың фронталь жəне горизонталь проекциясын салып көрсетіңіз.

4. б Биіктігі 40 мм, ал R 20 болатын қиғаш бұрышты дөңгелек цилиндрдің фронталь жəне горизонталь проекциясын

салып көрсетіңіз.

5. Тікбұрышты дөңгелек конустың бетіндегі А жəне В нүктесінің жетіспей тұрған проекциясын салып көрсетіңіз (1-сурет).

6. Тікбұрышты дөңгелек конустың фронталь проекцияланушы Р жазық- тығымен қиылысу сызығын анықтаңыз (2-сурет).

7. Биіктігі 50 мм болатын қиғаш бұрышты дөңгелек конустың бетіндегі А нүктесінің фронталь жəне горизонталь проекциясын салып көрсетіңіз.

8. Тікбұрышты дөңгелек конустың жалпы жағдайда орналасқан Р жазық- тығымен қиылысу сызығын салып көрсетіңіз (3-сурет).

9. Тікбұрышты дөңгелек конустың

жалпы жағдайда орналасқан АВ түзуімен қиылысу сызығын салып көрсетіңіз (4-сурет).

x

П2

П1

сурет

1

А

2

В

1

x

П2

П1

52

51

сурет

2

x

П1

П2

сурет

3

Р2

Р1

A2

A

1

B

2

B1

х П2

П1

сурет

4

A1

A

2

B2

B1

сурет

5

10. Қиғашбұрышты дөңгелек конустың жалпы жағдайда орналасқан АВ түзуімен қиылысу сызығын салып көрсетіңіз (5-сурет).

11. Тікбұрышты дөңгелек конустың айналу беті мен қиылысу сызығын концентрлік (шоғырлас) шеңберлер тəсілімен салып көрсетіңіз (6-сурет).

сурет

6 7сурет

12. Тікбұрышты дөңгелек цилиндр мен сфераның қиылысу сызығын қиюшы жазықтықтар тəсілімен салып көрсетіңіз (7-сурет).

13. Топографиялық бет пен көлбеу масштабы арқылы берілген жазықтықтың қиылысу сызығын салып көрсетіңіз (8-сурет).

14. Топографиялық бет пен үшбұрыш арқылы берілген жазықтықтың қиылысу сызығын салып көрсетіңіз (9-сурет).

П0

23 22 24 25 26

22 21 20 19 18

18 19 20 27

27 26

24

18 19

20 21

22

D

i

25

П0

23

22 24 25 26

22 21 20 19 ¹⁸

18 19 20

27

27

26 24

А

18

25

В

23

С

20

Өндірісте жəне күнделікті өмірде жұмсақ қаңылтыр темірлерден əртүрлі техникалық пішімдерді жасағанда, алдымен сол нəрселердің алдын ала жазбалары жасалынады. Беттердің жазбасы дегеніміз - беттің барлық бетін бір жазықтыққа беттестірген көрінісі. Кей жағдайда беттердің жазбасын бір жазықтыққа беттестіру мүмкін болмайды, онда бұл жағдайда беттің бетін кесуге тура келеді. Беттердің əртүрлі болуларына байланысты жазбалар жазылатын жəне жазылмайтын болып екіге бөлінеді.

Жазылатын беттердің үш қасиеті болады:

- жазылатын беттің бетіндегі кесінді ұзындығы мен жазбадағы кесінді ұзындығы өзара тең;

- жазылатын беттің бетіндегі қиылысып жатқан сызықтардың арасын- дағы бұрыш пен жазбадағы қиылысып жатқан сызықтардың арасындағы бұрыш өзара тең;

- жазылатын беттің бетінің ауданы мен жазбадағы беттің ауданы өзара тең.

Көпжақты беттердің дұрыс жəне жай көпжақты түрлерінің барлығы жазы- латын беттерге жатады. Ал, айналу беттерінің ішіндегі сызықтық беттері жазылатын беттерге жатады.

§ 11.1 Жазылатын беттер

11.1.1 Көпжақты беттердің жазбалары. Призманың жазбасы Көпжақты беттер тақырыбында айтып кеткендей, призмалар орна- ласуларына байланысты тікбұрышты жəне қиғаш (көлбеу) бұрышты болып келеді. Алдымен тікбұрышты призманың жазбасына мысал қарастырайық (159-сурет).

Тікбұрышты призманың жазбасын жазу үшін, призманың биіктігін өлшеп алып, параллель сызық жүргіземіз. Призма табандары горизонталь проекция жазықтығына параллель орналасқандықтан, олардың горизонталь проекция

ХІ-тарау