ОРТОГОНАЛЬДЫ ПРОЕКЦИЯНЫ ТРЛЕНДІРУ ӘДІСІ

§ 7.1 Проекцияны түрлендіру сипаттамасы жəне негізгі əдістері Жоғарыда сызба геометрияның позициялық есептерін, яғни берілген шарттар бойынша орындалатын геометриялық бейнелердің нақты өлшемдер құрылысын шешу қарастырылды. Бұл шешімнің негізгі мақсаты геометрия- лық бейнелердің кеңістіктегі орнын анықтау болып табылады, мысалы, жазық геометриялық бейненің құрылысы, екі жазықтықтың қиылысу сызықтары, жазықтықпен қиылысу нүктелері жəне т.с.с. Сондай-ақ, метрикалық, яғни берілген өлшемдер бойынша бейнелердің нақты өлшемдерін немесе осы фигуралар бейнесінің құрылысын анықтауға арналған есептерді де шешудің мəні зор.

Осы жəне мұнан да басқа есептерді шешуге қажетті графикалық құрылымдардың саны көп жағдайда бұл есептің қиындығынан ғана емес, жобадағы кеңістік формасының проекция жазықтығына қатысты орналасуына да байланысты.

Нəрсені немесе оның жекелеген элементтерін зерттеу барысында графикалық бейне позициялық жəне метрикалық есептерге қатысты талаптарды қанағаттандыруы тиіс.

Осы сияқты есептерді шешудің қолайлысы берілген екі проекция нəтижесінен жаңа қосымша проекция құру болып табылады. Қосымша проекциялар жеке элементтер құлдыраған проекцияларын, болмаса осы элементтерді нақты мөлшерде алуға мүмкіндік береді.

Қосымша проекцияларды құру сызбаны түрлендіру болып табылады.

Сондай-ақ түрлендіруді келесі тəсілдер арқылы орындауға болады:

- проекция жазықтықтарын қарастырылатын объект немесе оның элементтері жаңа проекция жазықтығына қатысты жеке орындардың бірінде орын алу шарты бойынша алмастыру тəсілі;

- геометриялық образды берілген есеп шартына сəйкес, проекция жазықтығына қатысты жеке орын алатындай етіп бұру тəсілі;

- белгілі проекция жазықтықтарының жүйесінде немесе жаңа проекция жазықтығын енгізу арқылы проекциялар бағытын алмастыру.

VІІ-тарау

ОРТОГОНАЛЬДЫ ПРОЕКЦИЯНЫ

§ 7.2 Проекция жазықтығын алмастыру тəсілі

Графикалық есептерді шешу кезінде берілген ортогональдық сызба көп жағдайда нəрсе мен оны жеке элементтері жөнінде көрнекі ұғым бере алмайды, позициялық жəне метрикалық есептерді шешу кезінде оңай бола алмайды. Кейде берілген есептің шешуі болуы немесе оны жеңілдету нəтижесі болуы мүмкін қосымша сызбаларды құруға тура келеді. Бұндай қосымша сызбаларды проекция жазықтықтарын алмастыру əдісі арқылы құруға болады.

Бірақ, зат кеңістікте ось қалпын сақтайды. Проекция жазықтықтарының бағытын өзгертеді: алмастыру кезінде проекцияның екі жазықтығының өзара перпендикулярлығы міндетті түрде сақталады.

101-суретте проекция жазықтықтарының кеңістіктегі бейнесі жəне П₁ жəне П₂ жазықтығындағы А₁ жəне A₂ ортогональдық проекциялары бар А нүктесі берілген. П₁ көлденең жазықтығымен қосымша П₄ тік жазықтығы, П1 перпендикуляр жазықтығы проекция жазықтықтарының қосымша жүйесін құрайды. Сол сияқты П₄ жазықтығындағы А нүктесінің A₄ қосымша проекциясының да құрылысы көрсетілген. П₁ проекциясының жазықтығы екі жүйеге негізгі П₂ / П₁ жəне қосымша П₄ / П₁ ортақ болып табылады.

А нүктесі мен П₁ жазықтығының арақашықтығы бірінші мен екінші жүйелерде де бірдей, яғни Z_A аппликаты мен А₂ нүктесінің А₁ көлденең проекциясы екі жүйе үшін де өзгермеген күйінде қалады.

Проекция жазықтығының бір жүйесінен екіншісіне өтуді ортогональдық сызбадан да оңай қадағалауға болады (102-сурет). А нүктесі А₁ жəне А₂ проекцияларымен П₂ / П₁ проекция жазықтықтарының жүйесінде берілген.

Қосымша құрылған проекциялаушы П₄ жазықтығының проекция осі сызбада П₂ / П₁ проекция жазықтықтарының қосымша жүйесін айқындайды.

П1 жазықтығындағы А нүктесінің A

4 жазықтығы тура (проекциялық

П1

П2

П4 х

х

П1 П₄

А2

Ax

П^П1² A⁴

A1

zA

Az 1x

zA

Az

1x

байланыс сызығы), қосым- ша перпендикуляр ось- тен Z_A қашықтығында одан А нүктесінен П₁ проек циясының көлденең жазықтығына дейінгі қашық тықта орналасқан.

Z_A көлемі негізгі сызбадан бел гілі болады.

102, 103-суреттерде про ек ция жазықтығының қосымша жүйесін П₂ жəне П₄ екі өзара перпендикуляр жазықтықтар анықтайды.

Проекцияның бір жа- зық тығын алмастыру көп

жағдайда берілген есептің ақырғы шешімін бере алмайды. Кейде проекция- ның екі немесе одан да көп жазықтықтарын алмастыруға тура келеді.

Проекцияның қосымша жазықтықтары проекция жазықтықтарын өзгертетін есептің шарттарынан таңдалады.

Егер проекцияның қосымша жазықтығы түзу кесіндіге немесе жазық

A

2

A A

x

A

1

A

4

П4

П2

Ay

y

A

A

2

A

1

Ax

x

^П2

П1

П2 ₄ 1 П х

фигураға параллель болса, онда мұндай кесінді (жазық фигура) осы проекция жазықтығында бастапқы көлемін өзгертпей проекцияланады.

Үшбұрыш күйінде берілген проекцияланатын жазықтықтың жазық фигурасының нақты көлемін анықтаймыз (104-сурет). АВС үшбұрышы Q проекцияланатын жазықтықта жатсын делік. Үшбұрыш жазықтығына параллель П₃ проекцияның қосымша жазықтығын таңдаймыз жəне А, В жəне С үшбұрышының A₄, В₄ жəне С₄ биіктіктерінің қосымша проекцияларын анықтаймыз.

A4В

4С

4 проекциясы АВС үшбұрышының бастапқы көлемінде көрсетеді.

М нүктесінің М₄ проекциясы үшбұрыш жазықтығында өз бетінше таңдалды.

104-суретте бұл нүктенің М₁ жəне М₂ негізгі проекцияларының құрылысы көрсетілген.

Егер жазық фигура проекцияның негізгі координаттық жазықтықтарына қатысты өздігінен (жалпы) орналасса, онда оның көлемін кейінгі екі проекция жазықтықтарын алмастырудың көмегімен анықтайды. Негізгі сызбаға қосымша тағы да екі жазық фигура сызбасы құрылады.

П2

П1

А

2

М2

11

12

С

2

А

1

В

1

М

1

С

1

С

4

В

4

М4

14

Х1

А

4

В

2

П1

П4

x

Бірінші қосымша сызба арқылы проекцияланатын жазықтықта орналас- қан фигураны елестетуге болады; екінші қосымша сызба жазықтықта, проекцияның параллель жазықтығында орналасқан жəне оның нақты көлемін анықтайтын фигура туралы түсінік береді.

Еркін орналасқан жазықтық сызбасын проекцияланатын жазықтыққа қайта алмастыру кезінде осы жазықтықта ең басты сызықтардың бірін – əрқайсысы проекцияның қосымша жазықтықтарының бағытын айқындайтын көлденең немесе фронталь сызықтарын таңдау керек. Еркін жағдайдағы жазықтықты проекцияланатын жазықтыққа алмастыру кезінде П₁ жəне П₂ проекция жазықтықтарының берілген жазықтықтың α бұрыштары мен β көлбеуін анықтайды.

Егер үшбұрыш көлденеңі проекция қосымша жазықтығының бағыты болса, онда үшбұрышы осы проекция жазықтығына перпендикуляр, яғни проекцияланатын жазықтық орнын алады. Бұндай жағдайда П₁ проекциялық көлбеу жазықтығының α бұрышы анықталады.

Егер үшбұрыш фронталі проекция қосымша жазықтығының бағыты болса, онда үшбұрыш осы проекция жазықтығына перпендикуляр жəне проекцияланатын жазықтыққа қатысты орын алады. Бұндай жағдайда П₂ проекциялық фронталь жазықтығының β бұрышы анықталады.

Еркін жағдайдағы жазық фигура проекцияның қосымша жазықтығына қатысты проекциялану түрінде көрінетін қосымша сызбаның графикалық құрылысын қарас ты- райық. Еркін орналасқан жазықтық бөлігі АВС үшбұрышы түрінде беріл сін (105-сурет). А

биіктігі арқылы фронталь жүргіземіз. Сызбада Af фронталінің A₂В₂ фрон- тальді проекциясы проек- цияның қосымша жазық- тығына қарай проекциялау бағытын көрсетеді.

Af фронталіне пер- пен дикуляр П

4 проек- циясының қосымша жа- зық тығын таңдаймыз. С нүктесінің проекциялау бағытында (байланыс сызығы) оның С

4 қосымша проекциясын белгілейміз жəне байланыс сызығына перпендикуляр етіп, есептеудің негізгі сызығын жүргіземіз. В

В4

А2

В2

С2 ¹²

А1

С1

В1

11

х1

С4 4 4 {1 А

П1

П2

П2

П4 f₂

f1

жəне С нүктелерінің у_в-у_с координаттарының айырмасын белгілейміз де, В нүктесінің В₄ қосымша проекциясын анықтаймыз. Осыған ұқсас, А жəне ????

нүктелерінің у_А-у_с координаттарының айырмасын белгілеп, А нүктесінің A₄ қосымша проекциясын анықтаймыз.

А, В жəне С нүктелерінің A

4, В

4, С

4 проекциялары бір түзуде орналасқан жəне П₃ проекциясының қосымша жазықтығына қатысты проекциялаушы болып табылатын үшбұрыштың жазықтық ізінің орнын анықтайды. Бұл жазықтық көлбеуінің α бұрышының айырмасының негізгі сызығына қарай бағыты П₂ проекциясының фронталь жазықтығына қатысты үшбұрыш жазықтығы көлбеуінің бұрышы болып табылады.

Еркін жағдайдағы АВС үшбұрышының нақты өлшемін анықтауға арналған графикалық құрылымды көрсетейік (106-сурет). Есеп екі дүркін проекция жазықтықтарын алмастыру арқылы шешіледі. П₂ проекциясы фронтальді жазықтығын қосымша проекцияланушы П₄ проекция жазықтығымен алмас- тырамыз. Егер П

4 жазықтығының бағыты жазық фигураға көлденең болса, фигура проекцияланатын жазықтыққа қайта салынады. В биіктігі арқылы өтетін үшбұрыш көлденеңі П₄ проекциясының қосымша жазықтығының бағытын айқындайды.

П₄ жазықтығында біз көлденең мен үш бұрыш тың құл- ды раған проек- ция сын аламыз.

Көлде нең нүктеге п р о е к ц и я л а н а д ы , ал үшбұрыш түзу кесіндісіне проек- цияланады.

П₁ проекциясының көлденең жазық- тығын фигураның параллель жазық- тығы – П₄ қосымша жазықтығымен ал- мас тыра отырып, фигураның П₄ жазық- тығындағы нақты көлемді бейнесін аламыз.

А

2

В

2

С2

С

1

А1

В

1

С

5

А

5

А

4

C4

В

5

12

11

4 4

4 1 h

В{ {

Х

Х1

2Х .

.Ш Н

h2

h

1

П2

П1

П1 4

П

4

П

5

П

1-графикалық ес еп. К нүктесі мен ab түзуіне дейінгі арақашықтықты анық- тау (107-сурет).

Шешуі. Нүкте мен түзуге дейінгі арақашықтықты нүктеден түзуге дейін түсірілген перпендикуляр кесінді арқылы анықтаймыз. ab түзуі проекцияның біз жазықтығына қатысты болып табылатын проекция жазықтығының жүйесін таңдау қажет. Бұл жағдайда М нүктесінен осы сияқты түзуге түсірілген перпендикуляр кесінді проекция жазықтығымен параллель жəне осы жазықтыққа нақты көлеммен проекцияланады.

Еркін қалыптағы ab перпендикуляр түзуінің проекция жазықтығын таңдау үшін, проекция жазықтығын екі дүркін алмастыру қажет.

П₄/П₂ проекциясының жазықтықтар жүйесінде ab түзуінің кесіндісі П₃ проекциясының жазықтығына параллель жəне осы жазықтыққа нақты көлемде проекцияланады. П₄ / П₅ проекциясының жазықтықтар жүйесінде

А

1

В

1

А2

А4

В2

В4

5 5

5

{ В { 1

А

М

5

М4

М

2

М

1

11

12

14

Х П² П1

ab түзуінің кесіндісі П₄ проекциясының жазықтығына параллель жəне осы жазықтыққа нүкте түрінде проекцияланады.

Осы жазықтықта сəйкес құрастырулар арқылы берілген М нүктесінің М₄ проекциясын анықтаймыз. М₄ проекциясы М нүктесінен ab түзуіне дейінгі арақашықтықтың нақты көлемін көрсетеді. Перпендикулярдың М₁1₁ жəне М₂1₂ проекцияларын негізгі проекция жазықтықтары жүйесінде тиісті құрылымдар арқылы соңғы проекция жазықтықтары жүйесінен бастапқы (негізгі) жүйеге ауыстыра отырып анықтаймыз.

2-графикалық есеп. ab жəне cd параллель түзулерінің арақашықтығын анықтау (108-сурет).

Шешуі. Есепті проекция жазықтықтарын алмастыру əдісімен шешу үшін, қосымша жүйенің проекциясы жазықтықтарының бірі берілген түзуге перпендикуляр болуы керек. Оларға перпендикуляр түзудің жазықтықтағы проекцияны нүктеге өзгереді. Олардың арақашықтығын түзулер арасындағы қашықтық анықтайды.

Эпюрда берілген (108-сурет) мұндай есеп проекция жазықтығын екі рет алмастыру арқылы шешіледі. Бірінші қосымша жүйенің проекция

Х

Х1

2Х

а

2

b

2

c

2

d

2

b1

d

1

a

1

c

1

c

4

a

4

d4

c

₅

{ d

₅

{ m

₅

b4 a₅{b₅{n₅ n1

n2

n4

m1

m2

m4

жазықтықтарының бірі түзулерге параллель, ал екінші қосымша жүйенің проекциясының жазықтығы осы түзулерге перпендикуляр.

ab жəне bc түзуіне параллель П₃ жазықтығын таңдай отырып, олардың a₄ b₄ жəне b₄ c₄ қосымша проекцияларын анықтаймыз. Түзуге перпендикуляр П4 жазықтығын таңдай отырып, олардың a

5 b

5 жəне c

5 d

5 проекцияларын анықтаймыз. П₅ жазықтығында түзулер нүктеге проекцияланады.

Бір түзудің кез келген нүктесінен екіншісіне түсірілген перпендикуляр кесіндісі П₃ проекциясының жазықтығына бұрмалаусыз проекцияланады. Ол жəне де түзулер арақашықтығын анықтайды. Перпендикуляр кесіндісінің m₄ n4 жаңа проекциясын белгілей отырып, қайта құрастыру арқылы оның негізгі m₁ n₁ жəне m₂ n₂ проекциясын табамыз.

3-графикалық есеп. К нүктесінен АВС үшбұрышынан жазықтығына дейінгі арақашықтықты анықтау (109-сурет).

Нүкте мен жазықтықтың арақашықтығы нүктеден осы жазықтыққа түсірілген кесінді көмегімен анықталады. П

3 проекциясының жазықтығын, АВС перпендикуляр жазықтығын таңдаймыз. Белгілі графикалық əдісі

А2

В2

С2

М2

А1

В1

С1

М1

А4 ^С4

В4

М4

Х

14

12

11 П2

П1

h1

h2

бойынша A

4, В

4, С

4 қосымша проекциясын – үшбұрыш жазықтығының ізін жəне М нүктесінің М₄ проекциясын анықтаймыз.

М₄ проекциясынан перпендикулярды жазықтық ізіне түсіре отырып, М нүктесінен бастап жазықтыққа дейінгі ізделіп отырған қашықтыққа тең М₄ 1₁ кесіндісін табамыз. Кері тəртіппен құру арқылы М₁ кесіндісінің М₁ 1₁ жəне M

2 1

2 проекциясын П

2/П

1 проекциясы жазықтығының негізгі жүйесінде анықтаймыз.

4-графикалық есеп. Σ₁ жəне Σ₂ іздерімен берілген Σ жазықтығы бар ЕҒ профильді түзуінің қиылысу нүктесін табу (110-сурет).

Шешуі. П₄П₁ проекциясы жазықтықтарының қосымша жүйесін таңдаймыз, бұл жерде берілген Σ жазықтығы П

3 жазықтығына қатысты проекцияланушы болып табылады. П₄ проекциясы жазықтығының бағыты етіп, Σ көлденең жазықтығын аламыз, яғни көлденең із Σп’. Σп’ көлденеңіне қарай түзу бұрыштың астынан өтетін П₁ / П₄ проекциясының осін белгілейміз. П₄ проекциясында Σп₄ ізін жəне ЕҒ түзуінің Е₄ Ғ₄ проекциясын анықтаймыз.

Е₄ Ғ₄ проекциясы Σп₄ ізімен К₄ нүктесінде қиылысады. К нүктесінің K₁ жəне K₂ негізгі проекциясын анықтаймыз. K₁ көлденең проекциясының қиылысу сызықтары қосымша байланысу сызығында жəне E₁ F₁ көлденең проекциясында анықталады.

Х

6

2

6

1

F

2

F

1

E

2

E

1

6

x

F

4

E

4

64

X

1

K

1

K

4

K

2

П2

П1

П1

П4

K₂ фронталь проекциясы сəйкес көлденең жазықтықтың фронталь проекциясына жатады.

5-графикалық есеп. АВС үшбұрышы мен EDFK төртбұрышы түрінде берілген екі жазық фигураның қиылысу сызығын құрастырамыз жəне олардың проекциядағы көрінісін анықтаймыз (111-сурет).

Шешуі. Көпбұрыштың қосымша сызбасын, мысалы АВС үшбұрышы проекциялаушы болатындай етіп құрамыз. Үшбұрыштың А₁ горизонталі П_ң проекциясының қосымша жазықтығының бағытын көрсетеді. A₄В₄С₄ жəне Е₄D₄F₄K₄ көпбұрыштарының проекцияларын анықтаймыз. Жəне де АВС үшбұрышының A₄В₄С₄ проекциялары түзу сызықтың кесіндісі түрінде бейнеленеді. Бұл үшбұрыш жазықтығының – оған перпендикуляр П₄ проекциясы жазықтығының ізі болады. Екі көпбұрыштың жазықтықтары түзу сызықтың бойымен қиылысады. Бұл сызықтың проекциясының біреуі үшбұрыш жазықтығының ізіне – П₄ проекциясының қосымша жазықтықтағы АВС үшбұрышының проекциясына жатады.

M₁N₁ жəне M₂N₂ негізгі проекцияларының жазық фигураларының қиылысу сызығы кері тəртіппен құру арқылы анықталады. П₁ жəне П₂ проекция жазықтығына қатысты көпбұрыштар жағының көрінісін бəсекелес нүктелер əдісімен стрелканың бағыты бойынша анықтаймыз.

A4

B4

C4

K4

E4

F4

D4

X1

A2

A

1

B2

B1

C2

C1

D2

F2

K2

E2

E1

F1

D1

K

1

X

h2

h1

П1

П1 П⁴

П2

m2

m1

m4

n2

n1

n4

m1

§ 7.3 Бұру (айналдыру) тəсілі

Бұл əдіс заттың қосымша сызбаларын осы затты ось төңірегінде бұру арқылы проекция жазықтықтарының өзгермейтін негізгі жүйесінде құруды қарастырады. Ол механизмдер мен машиналардың конструкцияларының түрлі айналмалы формаларын зерттеу кезінде қолданылады.

7.3.1 Проекцияланатын түзу сызықтар төңірегінен бұру

Затты бұру арқылы осы заттың көптеген сызбаларын проекция жазықтықтарының бір негізгі жүйесінде құруға болады. Бірақ проекция жазықтықтары өзгеріссіз қалдырылады. Қарастырылып отырған зат проекция жазықтықтарына перпендикуляр осьтер төңірегінде бұру арқылы жаңа жағдайға əкеледі. Жаңа жағдайда оның ортогональдық проекциясы, яғни заттың сызбасы құрылады.

Проекция жазықтығына перпендикуляр осьтер төңірегінде нүктені бұруды эпюрде қарастырамыз. А нүктесі (112-сурет) көлденең проекцияланатын і түзуінің төңірегінде бұрылады делік. А нүктесінің қозғалу траекториясы бұру осіндегі О орталықты шеңбер болып табылады. Шеңбердің Ф жазықтығы – көлденең жəне перпендикуляр бұру осі. Оны нүктені көшіру (қозғау) жазықтығы деп атаймыз.

i

2

1

1

O

i {

A

2

O

₂

A

₂^I

A

₂^II

A

1

A

₁I

A

₁II П2

)

П1

)

АО радиусы А₁O₁ нақты шамасында проекцияның көлденең жазықтығында проекцияланады. Осьтер төңірегінде бұру арқылы А нүктесінің біріккен проекцияларын анықтауға болады. А₁ көлденең проекциясы шеңбердің доғасы бойымен, ал фронтальды А₂ көлденең түзу бойымен – Фп₂ ізімен А нүктесінің алмастыру жазықтығымен ауыстырылады.

А₁ нүктесі А нүктесінің осьтер төңірегінде сағат тілі бағытына кері бағытта α бұрышына бұру арқылы анықталады.

А₂ нүктесін і түзу осі төңірегінде бұру арқылы Г фронтальды жазықтығымен бірігеді.

Графикалық есеп. Берілген А нүктесін і көлденең түзуі төңірегінде бұру арқылы Σ (a∩b) жазықтығына енгіземіз (113-сурет).

Шешуі. А нүктесі қозғалысының траекториясы Ф көлденең жазықтығындағы шеңбер болып табылады. Бұру орталығы О нүктесі болады. Ф жазықтығы берілген Σ жазықтығын доға көлденеңі бойымен А нүктесінің қоршауын жəне көлденең А

1 жəне А

2 нүктелерінде қиылысады. Ол осы нүктелер А нүктесінің төңірегінде айналатын бастапқы жағдайын белгілейді.

Қандай да бір фигураны проекцияланатын түзу төңірегінде бұру осы фигураның нүктелерін бұруға апарады.

113-сурет

A

₂I

A

2

A

₂^II

в

2

а

2

с

₂

с

1

а

1

в

1

A

₁II

A

₁I

A

1

О

2

1

1

i

О {

П2

)

Ф фронтальды проекциялаушы жазықтыққа жататын АВС үшбұрышын нақты шамада анықтайық (114-сурет). Бұру осі – і фронтальды проекцияланатын түзуі – үшбұрыштың С төбесі арқылы өтеді дейік.

Үшбұрыш жазықтығын і осі төңірегінде бұра отырып, П₁ проекциясының көлденең жазықтығына параллель Ф жағдайына келтіреміз. Үшбұрыштың А жəне В төбелері осы нүктелер қозғалысының фронтальды жазықтықтарын анықтайтын қоршаудың доғал бойымен ауысады. Фп

2 ізі Ф жазықтығының біріккен ізі болып табылады.

А жəне В нүктесінің А₂ жəне В₂ біріккен фронтальды проекциясын анықтаймыз. Бұл нүктелердің А₁ жəне B₁ көлденең проекциялары, қозғалыс жазықтығының іздеріне сəйкес келетін олардың проекцияланған байланысы да анықталады. С нүктесі бұру осінде орналасады жəне өзінің бастапқы түрін өзгертпейді. Біріккен жағдайдағы АВС үшбұрышы A₁B₁C₁ жəне

114-сурет

A

2

B

2

C

2

B

₂^I

A

₂^I

K

2

K

₂I

A

1

B

1

C

I

C

₁

{

₁

B

₁I

A

₁I

K

1

K

₁^I

П2

)

П2

)

Н._Ш.

A₂B₂C₂ проекциялары арқылы беріледі. Көлденең A₁B₁C₁ проекциясы үшбұрыш көлемін қатесіз береді. Үшбұрыштың біріккен жағдайындағы К нүктесінің К₁ проекциясын ерікті түрде белгілейміз. Осы нүктенің негізгі (бастапқы) проекцияларын анықтау үшін, үшбұрыш жазықтығын бастапқы жағдайға келтіру керек. Барлық құрылыстар осыған ұқсас, бірақ кері ретімен орындалады.

Еркін жағдайдағы жазық фигураның нақты шамасы бір проекцияланатын түзу төңірегінде бұру арқылы анықталмайды. Проекцияланатын түзу төңірегінде бұрған кезде, фигураны проекцияланатын жазықтың жағдайына əкеледі, содан кейін екінші проекцияланатын түзу төңірегінде бұрған кезде проекция жазықтығына параллель жағдайына əкеледі. Осы жазықтыққа фигура нақты шамамен проекцияланады.

Еркін орналасқан жазықтыққа жататын кез келген фигураны көлденең немесе фронтальды проекцияланатын жазықтық етіп қайта беруді келесі тəртіпте орындауға болады. Фигураны проекцияланған түзу төңірегінде бұра отырып, осы фигураның жазықтығы проекция жазықтығына перпендикуляр болуы мүмкіндігін байқауға болады. Мысалы, АВС үшбұрышы жазықтығын- да (115-сурет) А₁ көлденеңін таңдай отырып жəне үшбұрышты көлденең проекцияланатын і түзуінің төңірегінде бұра отырып, фигура жазықтығының

115-сурет

C

₂I

A

₂^I

J

₂

{ B

₂^I

A

₁I

2

1

2

{ A

1

1

1

{ A

B

₁I

C

1

C

1

1

1

1

B

1

C

₁I

B

2

1

2

C

2

C

2

1

1

h2

h1 1

h1

проекцияның көлденең жазықтығына еңіс бұрышы тұрақты болып қала береді, ал проекцияның фронтальды жазықтығына еңістің бұрышы өзгереді.

Фигура жазықтығы егер осы фигураның көлденең сызығы проекцияның фронталь жазықтығына перпендикуляр болса, онда ол проекцияның фронталь жазықтығына перпендикуляр. Көлденең проекцияланатын осі төңірегіндегі жазық фигураның бұрылу бұрышы осы жазықтық көлденеңінің бастапқы жəне соңғы жағдайлары арасындағы δ бұрышымен анықталады. Осы бұрышқа берілген үшбұрыштың В жəне С биіктігінің B₁ жəне C₁ проекциялары көлденең айналады. B₂ жəне C₂ фронталь проекциялар көлденең сызық бойымен В жəне С нүктелері қозғалысының жазықтықтары ізімен ауыстырылады.

АВС үшбұрышы A₁B₁C₁ жəне A₂B₂C₂ проекцияларының біріккен жағдайындағы түрінде көрінеді. Бұл жағдайда үшбұрыш жазықтығы фронтальды проекцияланатын Ф жазықтығы болып табылады. Проекция жазықтығына көлденең жазықтық бөлігінің еңіс бұрышы жазықтықтың проекция осі бағытына қарай Фп^І ізінің еңіс бұрышы арқылы анықталады.

Еркін жағдайдағы жазықтықты проекцияланатын жазықтыққа қайта беру арқылы, бұдан əрі қарай үшбұрыш өлшемін табуға арналған есепті шығарамыз. Үшбұрыштың төбесі арқылы өтетін j┴П₂ бұру осін таңдаймыз.

АВС үшбұрышының фронтальды проекцияланатын Ф жазықтығын ось төңірегінде бұру арқылы көлденең жазықтық жағдайына əкелеміз. Бұл жағдайда АВС үшбұрышы нақты шамадағы П₁ проекциясының көлденең жазықтығына проекцияланады.

Еркін жазықтықта орналасқан фигураны көлденең проекцияланатын жазықтыққа алмастыруға болады, ол үшін оны проекцияның перпендикуляр фронталь жазықтығының осі төңірегінде бұру керек. Фигура жазықтығына фронтальды таңдаймыз. Фигураны фронтальды проекцияланатын түзу төңірегінде фронталь проекцияның көлденең жазықтығына перпендикуляр болатын жағдайға дейін бұру арқылы фигура жазықтығы проекцияның көлденең жазықтығына перпендикуляр екенін анықтаймыз. Ось төңірегіндегі жазық фигураның бұрылу бұрышы осы фигура фронталінің бастапқы жəне соңғы жағдайлары арасындағы бұрышы арқылы анықталады.

Еркін орналасқан жазықтықты фронтальды проекцияланатын жазықтық етіп қайта беру үшін, бұру осі етіп көлденең проекцияланатын түзуді алған дұрыс. Фигура оның көлденеңі П₂ проекциясының фронтальды жазықтығының бағытымен сəйкес келген жағдайға келтіріледі.

Еркін жағдайда орналасқан жазықтықты көлденең проекцияланатын жазықтық етіп қайта беру үшін бұру осі етіп фронтальды проекцияланатын түзуді алған дұрыс. Фигураны бұру арқылы оның фронталі П₁ проекциясының көлденең жазықтығының бағытымен сəйкес келетін жағдайға келтіріледі.

§ 7.4 Жазықпараллельді ауыстыру

Геометриялық фигураның ортогональдық сызбасын қайта беру үшін осы фигураны жазықпараллельді ауыстыру арқылы да жасауға болады, яғни оның барлық нүктелері жазықтықтарда, проекцияның параллель жазықтықтарына ауыстырылады. Бұнда фигура проекциясы проекция жазықтығының кез келген жағдайында көлемі де, түрі де өзгермейді. Ол проекция осіне қатысты тек өз орнын ғана өзгертеді. Нүкте траекторияларының басқа проекция жазықтығындағы проекциялары осы нүктелердің жазықтықтарының қозғалу ізі, яғни түзу, параллель бағытындағы проекция осі болып табылады.

Жазықпараллельді ауыстыруды осьтерін көрсетпей бұру, яғни бөлінбей проекцияланатын түзу төңірегінде бұру арқылы ауыстыруға болады.

Эпюрде (116-сурет) АВ кесіндісінің ұзындығын анықтау көрсетілген. АВ кесіндісін ауыстыру арқылы П₂ проекциясының фронтальды жазықтығына параллель болған кезде, жағдайлар ішіндегі біреуіне келтіреміз. Бұл үшін АВ кесіндісінің A₁B₁ көлденең проекциясын еркін қалыпта, бірақ проекция осінің бағытына параллель етіп орналастырамыз, мысалы А

1 1В

1

1 жағдайында АВ кесіндісінің А жəне В нүктелері Ф көлденең жазықтығына сəйкес ауысады.

Берілген кесіндінің А₁ жəне В₁ аралас нүктелерінің А₂^І жəне В₂^І

В2

А2

А1

В2I

А2I

А1I

B₁I

В1

i

2

1

1

O

i {

.Ш. Н

П2

)

П2

)

фронталь проекциялары Ф жазықтығы ізінен олардың қозғалысы А₁¹ В₁¹ проекцияларымен проекциялық байланысында белгілі болады. Осылай ауыс- тыру нəтижесінде АВ кесіндісі П₂ проекциясының фронталь жазықтығына нақты шамамен проекцияланады.

116-суретте кесіндінің айнала ауысуының і осі жəне ось төңірегінде бұрудың δ бұрышы анықталған.

Проекцияланатын жазықтыққа жататын жазық фигураның нақты шамасы оны проекция жазықтығына параллель жағдайға көшіру арқылы анықталады.

117-суретте АВС үшбұрышы көлденең проекцияланған жазықтыққа жатады.

Жазықтық ізіндегі түзу кесінді оның A

1B

1C

1 горизонталь проекциясы болып табылады. A₁B₁C₁ құлдыраған көлденең проекциясын А₁¹В₁¹С₁¹ еркін жағдайына, проекция осінің параллель бағытына келтіреміз.

Көлденең түзулерде – А, В жəне С нүктелері қозғалысының жазықтық ізінде үшбұрыш төбесі - А₁, В₁ жəне С₁проекцияларымен проекцияланған байланысында бұл нүктелерді, олардың жеткіліксіз фронтальды проекция- лары А^І₂, B^І₂ жəне С₂¹ проекциясын анықтаймыз.

А^І₂, B^І_2, С^І₂ фронтальды проекциясын АВС үшбұрышының нақты шамасымен анықтайды.

Оның жағдайына аралас үшбұрыш жазықтығында М₁¹ жəне М₂² проек- циялары арқылы берілген М нүктесі алынды, М нүктесінің М

1 жəне M

2 негізгі проекциясын табу үшін графикалық құрылыс көрсетілген.

А

2

В

2

С

2

М2 М2^I

В2I

А

2I

С

2I

С

1I

В1I

М1I

А

1I

А

1

М1

С

1

В

1

. .Ш Н

Оның проекцияларының біреуі өзіне тең түрінде қала отырып, геометрия- лық бейнесін параллель көшіру кезінде сызба жазықтығына ауысады.

Еркін жағдайдағы АВС үшбұрышының (118-сурет) көлемін табу үшін жазықпараллельді бұру əдісінің қолданылуын көрсетеміз. Мұндай есеп екі дүркін бұру арқылы шешіледі. Бірінші бұруда АВС үшбұрышы П

1

проекциясының көлденең жазықтығына перпендикуляр жағдайына келтіріледі.

Екінші бұруда бұл үшбұрыш П₂ проекциясының фронталь жазықтығына параллель жағдайға келтіріледі. Бұл үшін үшбұрыш жазықтығында C₂ E₂ фронталін белгілейміз. C₂ E₂ проекциясын С₂¹ Е₂¹ жағдайына проекциялау бағытымен сəйкес келетіндей етіп бұрамыз. Бұл жағдайда үшбұрыш жазықтығының фронталі П₁ проекциясының көлденең жазықтығына перпендикуляр, ал үшбұрыш көлденең проекцияланған жазықтық түрінде көрінеді. Түзудің кесіндісі жаңа жағдайдағы үшбұрыштың А₁¹ В₁¹ С₁¹ көлденең проекциясы болып табылады.

Одан кейін екінші рет бұру арқылы П

2 проекция жазықтығына параллель орналасады. Бұл жағдайда А₁¹ В₁¹ С₁¹ көлденең проекциясы проекция осі бағытына параллель А₁² В₁² С₁² жағдайына келтіріледі. А₂² В₂² С₂² жеткіліксіз фронталь проекциясы нақты шамадағы АВС үшбұрышын білдіреді.

Жазықпараллель бұру тəсілі арқылы қосымша сызбаларды тұрғызудың проекцияланатын түзу төңірегіндегі бұру əдісінен артықшылығы бар. Бұл жерде геометриялық фигуралардың проекциялары еркін орналасады, барлық бұрулар мен көмекші доғалар болмайды, бірақ құрылыс сызбасы көп орынды алады.

А2

В2

С2

Е2

А1

В1

С1

Е1

А1I

I

I E

C₁ { ₁ B₁I

B₁II

C₁II

А

1II

С2I

В2I

А

2I Е2^I

А2II

В2II

С2II

x

. .Ш Н

f1

f2

f₂I

§ 7.5 Проекцияны түзу, параллель жазықтықтары төңірегінде бұру Проекцияда жазық фигураның шын көлемін осы деңгей түзу сызығының -фигураның түзу сызығының, проекцияның параллель жазықтығының төңірегінде бұру арқылы анықтауға болады. Бұл жағдайда жазық геометриялық бейнені ось төңірегінде бір рет бұру арқылы проекция жазықтығына параллель жағдайына келтіруге болады.

АВС үшбұрышын горизонталь төңірегінде бұру арқылы нақты шамасын анықтауға арналған графикалық құрылысты көрсетейік (119-сурет). Үшбұрыш жазықтығында еркін түрде бұру осін – мысалы, үшбұрыштың С төбесі арқылы өтетін һ горизонталь таңдаймыз. Үшбұрыштың А жəне В төбелері һ осі төңірегінде қоршау бойымен айналады (бұрылады), С төбесі бұру осіне жатады жəне өзінің қалпын өзгертпейді.

Үшбұрыш көлденең жазықтыққа параллель жағдайға ие болған кезде В жəне А нүктелерінің радиустары осы жазықтыққа параллель болады, яғни проекция жазықтығына нақты шамамен проекцияланады.

В нүктесінің бұру орталығы О нүктесі болады, В нүктесінің Г

119-сурет В2

А

2

С2

В1

0

1 C

С {

А

1

А0

В

0

11

12

h

1

O1

O2

. .Ш

3 Н

*

*3

x

h

²

жазықтығымен көлденең проекцияланатын Һ бұруының осі осы оське перпендикуляр болады. В төбесінің бұру радиусы П₁ проекциясының көлденең жазықтығына АВС үшбұрышы жазықтығының өте үлкен еңісінің ОВ түзу сызық кесіндісі арқылы анықталады. ОВ кесіндісінің ұзындығын (В нүктесінің бұрылу осі) тікүшбұрыш тұрғызу арқылы анықтауға болады.

О орталығынан В нүктесін оның қозғалысының Гп^І жазықтығы ізінің бағыты бойынша бұру, радиусының ұзындығын алу үшін деңгей жазықтығына дейін біріккен В нүктесінің В₀ проекциясын белгілейміз. А нүктесінің А₀ біріккен проекциясын табу үшін де осыған ұқсас амалды орындаймыз. Бірақ, А нүктесі В

1 түзуіне жəне осы нүкте қозғалысының Г жазықтығына жататын шарттан да қорытынды жасауға болады. А₀ В₀ С₀ біріккен көлденең проекция АВС үшбұрышына конгруэтті.

Берілген құрылыстарды пайдалана отырып (бірақ кері тəртіпте), үшбұрыштың біріккен жағдайына жататын негізгі нүкте проекцияларын анықтауға болады.

1. Сызбаны түрлендіру тəсілі дегеніміз не?

2. Проекция жазықтығын алмастыру тəсілі дегеніміз не?

3. Айналдыру тəсілі дегеніміз не?

4. Сызбада түзу сызықтың нақты шамасы мен жазықтыққа бұрыштық шамасын проекция жазықтығын алмастыру тəсілімен қалай анықтайды?

5. Түзу сызықтың нақты шамасы мен жазықтыққа бұрыштық шамасын айналдыру тəсілімен қалай анықтайды?

6. Сызбада нүкте мен жазықтықтың арақашықтығын проекция жазықтығын алмастыру тəсілімен қалай анықтайды?

7. Сызбада екі жазықтықтың бұрыштық шамасын проекция жазықтығын алмастыру тəсілімен қалай анықтайды?

8. Сызбада айқас екі түзу сызықтың арақашықтығын проекция жазықтығын алмастыру тəсілімен қалай анықтайды?

Баылау

сратары

9. Жазықтыққа бұрыштық шамасын проекция жазықтығын алмастыру тəсілімен қалай анықтайды?

10. Жазықтықтың нақты шамасын деңгей түзуінің бойында айналдыру тəсілімен қалай анықтайды?

11. Жазықтықтың нақты шамасын беттестіру тəсілімен қалай анықтайды?

1. Жалпы жағдайда орналасқан А(20;10;20) жəне В(35;15;30) төбелері арқылы берілген түзу сызықтың нақты шамасын проекция жазықтығын алмастыру тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз.

2. Кеңістіктегі орналасқан А(10;20;25) В(25;15;30) С(30;20;20) жазықтығы мен D(20;10;30) нүктесінің арақашықтығын проекция жазықтығын алмастыру тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз.

3. Жалпы жағдайда орналасқан А(10;10;25) В(25;15;25) жəне С(20;20;25) Е(30;25;20) айқас түзу сызықтарының арақашықтығын проекция жазықтығын алмастыру тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз.

4. А(10;10;25) В(25;15;25) С(30;20;20) жəне А(10;10;25) В(25;15;25) Е(30;20;20) жазықтықтарының арасындағы бұрыштық проекция жазықтығын алмастыру тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз.

5. Кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы А(10;20;25) В(25;15;30) С(30;25;20) жазықтығының нақты шамасын деңгей түзуінің бойында айналдыру тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз.

6. Жалпы жағдайда орналасқан А(10;20;25) В(25;15;30) С(30;25;20) жаз- ық тығының нақты шамасын беттестіру тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз.

Жаттыу есептері