2 СА

Q проекцияланушы жазықтығын жүргіземіз. Фронталь проекция жазық- тығында Р проекцияланушы жазықтығы EDGF төртбұрышының қырларын 1 жəне 2 нүктелерінде қиып өтеді. Ал, Q проекцияланушы жазықтығы EDGF төртбұрыштың қырларын 3 жəне 4 нүктелерінде қиып өтеді.

Бұл табылған нүктелерді горизонталь проекция жазықтығына байланыс сызықтарының көмегімен түсіріп, 1₁, 2₁ жəне 3₁, 4₁ нүктелерін табамыз. Осы нүктелерді өзара қоссақ, бұл сызықтар АВ қырын К нүктесінде, АС қырын N нүктесінде қиып өтеді.

Егер осы табылған нүктелерді горизонталь жəне фронталь проекция жазықтықтарында өзара қоссақ, онда табылған түзу сызық екі жазықтықтың қиылысу сызығы болады.

Енді кеңістікте қиылысып жатқан АВС үшбұрышы мен EDFG төртбұрышының горизонталь жəне фронталь проекция жазықтықтарында жазықтықтардың көрінетін немесе көрінбейтін жақтарын анықтаймыз.

Ол үшін горизонталь проекция жазықтығында бəсекелесіп тұрған 5 пен 6 нүктелерін белгілеп алып, осы нүктелердің фронталь проекция жазықтығындағы кескінін табамыз.

Осы кескінделген нүктелердің қайсысы бірінші тұрса, горизонталь проекция жазықтығында сол нүкте немесе сол қыр көрінетін болады. Міне, осындай жолмен фронталь проекция жазықтығында да көрінетін жағын

зық жазықтыққа меншікті болады.

Мысалы 94-суретте бірінші ширекте орналасқан АВС жазықтығы мен осы жазықтық бойында орналасқан DE түзу сызығы берілген. Түзудің АВС жазықтығында орналасқанын анықтау үшін, түзу сызықты жазықтық қырларына қиылысқанға дейін созып, қиылысу нүктелерін анықтаймыз. Осы нүктелердің гори- зонталь жəне фронталь проекция жазықтықтарындағы проекция ларын байланыс сызықтарының көмегімен табамыз.

Егер DE түзу сызығы осы та- былған горизонталь жəне фронталь проекция жазықтықтарындағы түзу- лер бойында жататын болса, онда бұл DE түзу сызығы АВС жазықтық бойында жатады немесе түзу сызық жазықтыққа меншікті болады.

95-суретте кеңістікте орналасқан АВС жазықтығы мен осы жазықтық бойында орналасқан DE түзу сызы ғының П₁ горизонталь жəне П₂ фронталь проекция жазық- тықтарындағы проекциялары беріл- ген. Горизонталь проекция жазық- тығында А₁В₁С₁ жазықтығы мен осы жазықтық бойында жатқан D₁E₁ түзу сызығының проекциясы берілген.

Бұл D₁E₁ түзу сызықты жазықтықтың А1В

1 жəне В

1С

1 қырларына дейін созамыз. Байланыс сызықтарының көмегімен П₂ фронталь проекция жазықтығындағы А₂В₂С₂ жазық- тығының А₂В₂ жəне В₂С₂ қырларына қиып өткен нүктелерін өзара қосамыз.

Осы түзу сызық бойынан байланыс

В

1

С

1

А

2

В

2

С

2

П2

А

1

В

¹

П1

Сх

Ах В_х

D1 E¹

D

2

E2

В

1

С

1

А

2

В

2

С2

П2

А

1

В

¹

П1

Сх

Ах В_х

D1

E1

D2 E2

К2 L²

K1

L1

сызығының көмегімен D₂E₂ түзу сызықты табамыз. DE түзу сызығы – АВС жазықтығының бойында орналасқан түзу сызық.

Егер кеңістікте орналасқан АВС жазықтығы мен DE түзу сызығы жоғарыда айтқан қағидаларға сай келмесе, онда мұндай түзу сызықтар жазықтыққа параллель, қиылысқан немесе перпендикуляр орналасады.

Кеңістікте орналасқан жазықтыққа меншікті түзу сызыққа екінші бір кеңістікте орналасқан түзу сызық параллель болса, онда бұл түзу сызық жазықтыққа параллель түзу болады. Мысал ретінде 96-cуретті қарастырайық.

Суретте кеңістікте орналасқан АВС жазықтығы мен осы жазықтық бойында орналасқан KL түзу сызығының П

1 горизонталь жəне П

2 фронталь проекция жазықтықтарындағы проекциялары берілген. Егер жазықтыққа меншікті KL түзу сызығының горизонталь жəне фронталь проекция жазықтығындағы проекциялары D₁E₁ жəне D₂E₂ түзу сызық проекцияларына параллель орналасса, онда бұл түзу сызық жазықтыққа параллель түзу болады.

Егер түзу сызық жазықтыққа меншіксіз немесе жазықтыққа параллель болмаса, онда мұндай түзу сызықтар жазықтықпен қиылысатын түзулер болып, бір ғана қиылысу нүктесі болады (97-сурет).

Жазықтық пен түзу сызықтың қиылысуына келесі мысалды қарастырамыз. 97-суретте кеңіс - тікте жалпы жағдайда орна- ласқан АВС жазықтығы мен осы жазықтықпен қиылысатын DE түзу сызығының П₁ гори- зонталь жəне П

2 фронталь проекция жазықтықтарындағы проекциялары берілген. Кеңіс- тіктегі жазықтық пен түзу сызықтың қиылысу нүк тесін табу үшін DE түзу сызы ғының фрон- таль проекция жазықтығындағы проекциясы арқылы Р фронталь проекциялаушы жазықтығын жүр гіземіз. Бұл Р жазықтығын жүргізіп отырған себебіміз – екі жазықтықтың қиылысу сызығын анықтау. Осы қиылысу сызығын табу үшін, Р фронталь проекциялаушы жазықтығын АВС жазықтығының фронталь

В

1

С

1

А

2

В

2

С

2

П

2

А

1

В

₁

П

1

Сх

Ах В_х

D

1

E

1

D

2

E

2

12

22

3

2

42

52

11

21

31

Dx

1 1 5 4

Р

2

K

1

K2

Eõ

проекциясының А₂В₂ жəне В₂С₂ қырлары мен 1₂ жəне 2₂ қиылысу нүктелерін анықтаймыз. Байланыс сызығының көмегімен осы нүктелерді горизонталь проекция жазықтығына түсіріп, жазықтықтың А₁В₁ жəне В₁С₁ қырларымен қиылысқан 1₁ жəне 2₁ нүктелерін табамыз. Бұл табылған 11 жəне 2

1 нүктелерін өзара қосып, екі жазық тықтың қиылысу сызығын анықтаймыз. Енді осы табылған қиылысу сызығы берілген D₁E₁ түзу сызығын К₁ нүктесінде қиып өтіп, жазықтық пен түзу сызықтың қиылысу нүктесін береді (97-cурет).

Осы кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы жазықтық пен түзу сызық өзара қиылысып, эпюрде көрінетін жəне көрін бейтін жақтары болады.

Жазықтық пен түзу сызықтың мұндай жақтарын анықтау үшін, жазықтық пен түзудің бəсекелес нүктелерін анықтау қажет. Ең алдымен фронталь проекция жазықтығындағы жазықтық пен түзу сызықтың көрінетін, көрінбейтін жағын анықтау үшін, 1₂ жəне 3₂ бəсекелес белгілеп алып, байланыс сызығының көмегімен горизонталь проекция жазықтығына түсіреміз. Бұл нүктелер бəсекелес нүктелер болғандықтан, 1₁ нүктесі жазықтықтың А₁В₁ қырында жатса, ал 3₁ нүктесі D₁E₁ түзу сызығының бойында жатады.

Осы табылған нүктелерді төмен жағынан қарайтын болсақ (97-cуретте жуан жебе сызығымен көрсетіп қойған), онда 1₁ нүктесі бірінші тұр. Фронталь проекция жазықтығында АВС жазықтығының А₂В₂ қыры көрінеді, ал D

2E

2 түзуінің 3

2 нүктесі мен К₂ нүктелерінің аралары көрінбейді.

Горизонталь проекция жазық- тығындағы жазықтық пен түзу сызықтың көрінетін, көрінбейтін жағын бəсекелес 4₁ жəне 5₁ нүктелері арқылы анықтаймыз.

Бұл анықталу жолы жоғарыда көрсетілген жолмен анықталады.

Келесі қарастыратын мысал - жазықтыққа перпендикуляр түзу сызық жүргізу (98-сурет).

98-суретте кеңістікте орналас- қан жалпы жағдайдағы АВС жазықтығы мен осы жазықтық бойында орналасқан D нүктесі

В

1

С

1

А

2

В

2

С

2

П

2

А

1

В

¹

П

1

Сх

А

х

В

_х

h2

f2

h1

f1

D

2

E

2

D

1

E

1

Eх D_х

берілген. Жазықтыққа осы жазықтық бойында орналасқан D нүктесі арқылы перпендикуляр түзу сызық жүргізу үшін, жазықтықтың деңгей горизонталь (h) жəне фронталь (f) сызықтарын жүргіземіз. D нүктесінің горизонталь проекциясы D₁ нүктесі арқылы горизонталь проекция жазықтығындағы фронтальға перпендикуляр түзу жүргізіп, Е

1 нүктесімен шектеп қоямыз. Осы сияқты D нүктесінің фронталь проекциясы D₂ нүктесі арқылы фронталь проекция жазықтығындағы горизонтальға перпендикуляр түзу жүргізіп, D₂Е₂ түзу сызығын табамыз. Бұл табылған DЕ түзу сызығы кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы АВС жазықтығына перпендикуляр түзу болып табылады.

Енді осы жалпы жағдайда орналасқан АВС жазықтығына перпендикуляр түзу сызықтың көрінетін, көрінбейтін жағын жоғарыдағы мысалда көрсетілген тəсілмен анықтайды.

§ 6.2 Метрикалық есептер

Егер шығаратын метрикалық есептер оңай есеп болса, онда есепті шешуін жалпы əдістердің көмегімен шығарады. Осыған байланысты бұл параграфта кеңістіктегі орналасқан түзу сызықтың нақты шамасы мен түзудің проекция жазықтықтарына жасайтын бұрыштарын, нүкте мен жазықтықтың арақашықтығы сияқты метрикалық есептерге мысалдар қарастырамыз.

6.2.1 Түзу сызықтың нақты шамасы мен жазықтыққа жасайтын бұрышы

Монж эпюрінде немесе тік бұрышты проекциялаушы жазықтықтар жүйесінде кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы түзу сызықтың горизонталь, фронталь жəне профиль проекциялары бұрмаланып, түзу сызық проекциялары ұзын немесе қысқа болып кескінделеді.

Эпюрде жалпы жағдайда берілген түзу сызықтың нақты шамасын (ұзындығын) табу үшін, мектеп қабырғасынан белгілі тікбұрышты үшбұрыштар əдісін пайдаланамыз.

Мысал ретінде жалпы жағдайда орналасқан АВ түзу сызығының А₂В₂ фронталь жəне А

1В

1 горизонталь проекцияларын алайық (99-сурет). А

1В

1

түзуінің В₁ нүктесінен горизонталь деңгей түзуін жүргіземіз. Бұл деңгей түзуі А₁ нүктесінен жүргізілген байланыс сызығын 1₁ нүктесінде қиып өтеді. Осы нүкте мен А₁ нүктелерінің арақашықтығын өлшеп аламыз.

Бұл арақашықтықты фронталь проекция жазықтығында орналасқан А₂В₂ түзуінің А

2 төбесінен жүргізген перпендикуляр бойына өлшеп саламыз. Бұл перпендикуляр бойынан табылған нүктені А₂^/ деп белгілейміз. Егер табылған

А₂^/ жəне В₂ нүктелерін өзара қоссақ, онда жүргізілген түзу сызық ұзындығы – түзудің нақты шамасы шығады.

Енді жалпы жағдайда орналасқан АВ түзу сызығының горизонталь проекция жазықтығына жасайтын бұрышын анықтайық. Табылған түзу сызықтың нақты шамасы мен түзудің фронталь проекциясы А₂В₂ түзуінің арасындағы бұрышы – түзудің жазықтыққа жасайтын бұрышы болып табылады (99-сурет).

6.2.2 Нүкте мен жазықтықтың арақашықтығы

Жоғарыда айтып кеткендей, метри- калық есептер деп геометриялық фигуралардың сызбалары арқылы олар- дың кеңістіктегі өзара қашықтықтарын анықтайтын есептерді айтады.

Енді нүкте мен жазықтықтың арақашықтығын анықтауға мысал ретінде 100-суретті қарастырайық. Суретте кеңістікте орналасқан D нүктесі мен жалпы жағдайда орналасқан АВC жазықтығы берілген.

Нүкте мен жазықтықтың арақашықтығын анықтау үшін, жазықтыққа D нүктесі арқылы перпендикуляр түзу сызық жүргіземіз. Бұл перпендикуляр түзу сызықты жалпы жағдайда орналасқан АВC жазықтығының горизонталь жəне фронталь деңгей сызықтарына түсіреміз. Суретте көрсетілгендей кеңістіктегі D нүктесінің фронталь проекциясы D₂ нүктесінен фронталь проекция жазықтығындағы горизонтальға перпендикуляр түзу жүргіземіз.

Ал, горизонталь проекциясы D₁ нүктесінен фронтальға перпендикуляр түзу жүргіземіз. Осы жүргізген перпендикуляр түзу сызық арқылы горизонталь проекцияланушы Р жазықтығын жүргіземіз. Бұл Р проекцияланушы жазықтық жалпы жағдайда орналасқан АВC жазықтығының горизонталь проекциясын 1

1 жəне 2

1 нүктелерінде қиып өтеді. Байланыс сызықтарының көмегімен осы нүктелердің фронталь 1₂ жəне 2₂ нүктелерін фронталь проекция жазықтығында тауып, өзара қосамыз.

Бұл 1₂2₂ түзу сызығы D₂ нүктесінен жүргізген түзу сызықпен К₂ нүктесінде қиылысады. Байланыс сызығының көмегімен К₂ нүктесінен горизонталь проекция жазықтығында орналасқан 1

12

1 түзу сы зы ғының немесе D

1 нүк- тесінен жүргізген түзу ді К₁ нүктесінде қиып өтеді.

А

2

В

2 /

А

2

П

2

А1

В1

П1

Ах В_х

НШ

D

1

1

Енді осы түзу сызық тың жазықтықпен қиы лысқанда көрінетін жəне көрінбейтін жағын анық тау керек. D₁К₁ түзу сызығы мен А

1В

1 түзу сызығының бəсекелес 2₁3₁ нүктелерін анықтап, фронталь проекция жазық- тығындағы осы түзулер бойынан 2

23

2 нүктелерін тауып аламыз. Егер жоғары жағынан қарасақ, онда 3₂ нүктесі бірінші болып кездеседі, яғни D₁К₁ түзу сызығы көрінеді, ал А

1В

1 түзу сызығы көрінбейді.

Осындай жолмен фрон- таль проекция жазық- тығындағы түзу сызық тың жазықтықпен қиылыс қанда көрінетін жəне көрінбейтін жағы анықталады.

Сонымен бұл табылған К нүктесі кеңістікте орна- ласқан D нүктесі мен

жалпы жағдайда орналасқан АВС жазықтығына дейінгі арақашықтық болып табылады. Бұл нүкте мен жазықтықтың арақашықтығының нақты шамасын анықтау үшін 100-суретте көрсетілгендей, тікбұрышты үшбұрыштар əдісін пайдаланамыз. Ол үшін горизонталь проекция жазықтығында орналасқан К₁ нүктесінен деңгейлік түзу жүргіземіз. Бұл жүргізілген түзу D₁ нүктесінен шыққан байланыс сызығын Е₁ нүктесінде қиып, D₁Е₁ арақашықтығын белгілейміз. Белгіленген арақашықтықты өлшеп алып, фронталь проекция жазықтығындағы D₂ нүктесінен D₂K₂ түзуіне перпендикуляр жүргізіп, D₂^/ нүктесін табамыз (100-сурет). Егер табылған D₂^/ нүктесі мен K₂ нүктелерін өзара қоссақ, онда кеңістікте орналасқан DК түзу сызығының нақты шамасы шығады.

Сонымен метрикалық есептердің бірнеше түрлерінің жалпы əдіспен шешу жолын көрсеттік. Ал, қалған есептердің шешу жолдарын келесі тарауда көрсетеміз.

В

1

С

1

А

2

В

2

С

2

П2

А

1

^В

¹

П

1

С

х

А

х

В

_х

h

2

f2

h

1

f

1

D

2

12

D

1

E

1

Р

1

К

1

11

1

1 3

2 К2

22

32

41

51 2

2 5

4

/

D2 НШ

1. Позициялық есептер дегеніміз не?

2. Нүкте мен түзу сызықтар өзара қалай орналасады?

3. Түзу сызықтар өзара қалай орналасады?

4. Жазықтықтар өзара қалай орналасады?

5. Жазықтық пен түзу сызық өзара қалай орналасады?

6. Метрикалық есептер дегеніміз не?

7. Түзу сызықтың нақты шамасын қалай анықтайды?

8. Жазықтық пен нүктенің арақашықтығын қалай анықтайды?

Баылау сратары

Жаттыу есептері

1. Жалпы жағдайда орналасқан А(10;20;20); В(25;15;30) төбелерінен тұратын түзу сызық пен С(15;10;20) нүктесінің өзара орналасуларын салып көрсетіңіз.

2. Кеңістікте орналасқан А(20;20;20); В(25;15;30) жəне С(10;20;25);

D(25;25;10) төбелерінен тұратын түзу сызықтардың өзара орналасуларын салып көрсетіңіз.

3. Кеңістікте орналасқан АВ жəне СD түзу сызықтарының өзара орналасуларын анықтаңыздар (1-сурет).

4. Кеңістікте орналасқан өзара параллель түзу сызықтарды салып көрсетіңіз.

5. Кеңістікте орналасқан өзара перпендикуляр түзу сызықтарды салып көрсетіңіз.

6. Горизонталь проекция жазық- тығына параллель биіктігі 35 мм болатын АВ түзуі- нің жетіс пей тін фронталь проек- циясы мен бəсекелес нүктелерін анық- таңыз (2-сурет).

7. Жалпы жағ- дайда орналасқан кеңістіктегі АВС жəне DEF жазық- тықтарының өзара орналасуларын салып көрсетіңіз.

8. Жалпы жағдайда орналасқан кеңістіктегі А(20;20;20); В(25;15;30);

С(10;20;25) төбелерінен тұратын жазықтық пен Е(10;20;25); D(5;25;10) төбелерінен тұратын түзу сызықтың өзара орналасуларын салып көрсетіңіз.

9. Кеңістікте орналасқан А(20;

20;20) В(25;15;30); С(10;20;25) жазықтығының бойында жатқан D нүктесінен перпендикуляр түзу сызығын салып көрсетіңіз.

10. Кеңістікте орналасқан А(10;

20;10) В(15;15;30) С(20;10;25) жазықтығымен Е(10;20;25) D(5;

25;10) түзу сызықтың қиылысу сызығын салып көрсетіңіз.

11. Кеңістікте орналасқан АВ түзу сызықтың Р жазықтығымен қиылысу нүктесін салып көрсетіңіз (3-сурет).

12. Кеңістікте орналасқан АВС жазықтығы мен Ω жазықтығының қиылысу сызығын салып көрсетіңіз (4-сурет).

13. Кеңістікте орналасқан АВ түзу сызығы мен ізімен берілген Р жазықтығының қиылысу сызығын салып көрсетіңіз (5-сурет).

14. Кеңістікте орналасқан АВ түзу сызығының үшбұрыш арқылы берілген жазықтыққа параллель болатын горизонталь проекция жазықтығындағы проекциясын салыңыз (6-сурет).

A

2

B

2

A

1

B

1

C

1

D

1 2

2

D

C {

x

C

1

C

2

A

1

A

2

B

1

B

2

D

1

D

2

x

П2 П²

П1

П1

сурет

1

x

²

A

A

1

B

1

B

2

П2

П

1

5

2

сурет

3

15. Кеңістікте орналасқан А нүктесінен ВСD жазықтығына дейінгі қашық тықты анықтаңыз (7-сурет).

16. Кеңістікте орналасқан АВС жазықтығының нақты шамасын деңгей бойында айналдыру тəсілі арқылы анықтаңыз (8-сурет).

x

П2

П1

:2

A2

A1

B2

B1

C2

C1

сурет

4

x

A2

A1

B2

B

1

П2

П1

Р

2

Р

1

сурет

5

x

A2

A1

B2

сурет

6

x

A1

A2

B1

B2

C1

C2

D1

D2

П2

П1

сурет

7

17. Кеңістікте орналасқан А нүктесі мен ВСD жазықтығының арақашықтығын анықтаңыз (9-сурет).

A

2

A

1

B

2

B

1

C

2

C

1

сурет

8

A

2

A

1

B2

B

1

C2

C1

D2

D1

х П2

П1

сурет

9

§ 7.1 Проекцияны түрлендіру сипаттамасы жəне негізгі əдістері Жоғарыда сызба геометрияның позициялық есептерін, яғни берілген шарттар бойынша орындалатын геометриялық бейнелердің нақты өлшемдер құрылысын шешу қарастырылды. Бұл шешімнің негізгі мақсаты геометрия- лық бейнелердің кеңістіктегі орнын анықтау болып табылады, мысалы, жазық геометриялық бейненің құрылысы, екі жазықтықтың қиылысу сызықтары, жазықтықпен қиылысу нүктелері жəне т.с.с. Сондай-ақ, метрикалық, яғни берілген өлшемдер бойынша бейнелердің нақты өлшемдерін немесе осы фигуралар бейнесінің құрылысын анықтауға арналған есептерді де шешудің мəні зор.

Осы жəне мұнан да басқа есептерді шешуге қажетті графикалық құрылымдардың саны көп жағдайда бұл есептің қиындығынан ғана емес, жобадағы кеңістік формасының проекция жазықтығына қатысты орналасуына да байланысты.

Нəрсені немесе оның жекелеген элементтерін зерттеу барысында графикалық бейне позициялық жəне метрикалық есептерге қатысты талаптарды қанағаттандыруы тиіс.

Осы сияқты есептерді шешудің қолайлысы берілген екі проекция нəтижесінен жаңа қосымша проекция құру болып табылады. Қосымша проекциялар жеке элементтер құлдыраған проекцияларын, болмаса осы элементтерді нақты мөлшерде алуға мүмкіндік береді.

Қосымша проекцияларды құру сызбаны түрлендіру болып табылады.

Сондай-ақ түрлендіруді келесі тəсілдер арқылы орындауға болады:

- проекция жазықтықтарын қарастырылатын объект немесе оның элементтері жаңа проекция жазықтығына қатысты жеке орындардың бірінде орын алу шарты бойынша алмастыру тəсілі;

- геометриялық образды берілген есеп шартына сəйкес, проекция жазықтығына қатысты жеке орын алатындай етіп бұру тəсілі;

- белгілі проекция жазықтықтарының жүйесінде немесе жаңа проекция жазықтығын енгізу арқылы проекциялар бағытын алмастыру.

VІІ-тарау

ОРТОГОНАЛЬДЫ ПРОЕКЦИЯНЫ