Инженерлік графикада қисық сызықтар нүкте мен түзу сызықтан кейінгі қарапайым геометриялық элемент болып саналады. Қисық сызықтар күн- делікті өмірде əртүрлі жағдайда кездесіп отырады.
Қисық сызықтар əртүрлі жағдайларда: - белгілі бір заңдылықпен үздіксіз қозғалатын нүктелер жиынтығы; - екі қиылысып жатқан беттердің қиылысу сызығы; - математикалық теңдеулер; - нүктелер жиынтығының берілген қасиеттері арқылы беріледі.
Қисық сызықтар жазықтық жəне кеңістік сызықтары болып екі топқа бөлінеді.
Егер қисық сызықтың барлық нүктелері жазықтық бойында орналасқан болса, онда бұл сызықты жазықтық қисық сызығы дейді. Егер қисық сызық- тың бір немесе бірнеше нүктесі ғана жазықтық бойында орналасса, қалған нүктелері кеңістікте болса, онда бұл сызықты кеңістік қисық сызығы дейді.
Бұл топтан басқа қисық сызықтар заңды жəне заңсыз сызықтар болып бөлінеді. Ешқандай заңға бағынбайтын жəне кездейсоқ сызылатын қисық сызықтың түрін заңсыз сызылған қисықтар дейді. Бұл қисық сызыққа топографиялық беттегі горизонталь деңгейлік сызықтары мысал бола алады.
Заңды қисық сызықтар белгілі бір заңдылық арқылы пайда болады.
Заңды қисық сызық аналитикалық теңдеулеріне қарай трансцендентті жəне алгебралы болып бөлінеді.
Трансцендентті қисық сызықтар теңдеулері де рационалды функциялар болмайды. Бұл сызықтарға мысал ретінде шеңбердің эволютасы (латынның жаймаланған деген сөзі) мен эвольвентасы (латынның жаймаланатын деген сөзі), синусоид жəне с.т.б.
Егер қисық сызық теңдеуі рационалдық (көпмүшелік) функциялар (декарттық координаталар) түрінде берілсе, онда сызық алгебралық қисық сызық деп аталады. Алгебралық қисық сызық теңдеуінің дəрежесіне қарай екі дəрежелі, үш дəрежелі, төрт дəрежелі жəне т.б.с.с.
Сызба геометрияда жазықтық қисық сызықтарының дəрежелерін қисық сызықтың түзу сызықпен қиылысу нүктелері арқылы анықтайды.
§ 9.1 Жазықтық қисық сызықтар
Жоғарыда айтып кеткендей, егер қисық сызықтың барлық нүктелері бір жазықтық бойында орналасқан болса, онда мұндай қисық сызықтарды жазықтық қисық сызығы дейді.
ІХ-тарау
Жазықтық қисық сызықтары алгебралық жəне трансцендентті болып бөлінеді. Қисық сызық теңдеуі рационалдық функцияларда берілсе, онда қисық сызық алгебралық қисық сызық болады. Ал, керісінше, трансцендентті қисық сызықтар теңдеулері рационалды функциялар болмайды.
Жазықтық алгебралық қисық сызықтар теңдеуінің дəрежесіне қарай екі дəрежелі, үш дəрежелі, төрт дəрежелі жəне т.б.с.с. болып бөлінеді. Ал трансцендентті қисық сызықтарға мысал ретінде шеңбердің эволютасы мен эвольвентасы, синусоид жəне т.б.с.с. қисық сызықтар жатады. Төменде жазық тық алгебралық қисық сызықтарға мысал ретінде екі дəрежелі қисық сызықтар мен шеңбердің эволютасы, эвольвентасы, синусоидасын қарастырып отырмыз.
9.1.1 Екінші ретті қисық сызықтар
Күнделікті адам өмірінде, оның ішінде механикада, оптикада, кеме, көліктер жəне ұшақтар жасауда, сəулет-құрылыс ғимараттарын салғанда, көптеген техникалық есептерді шешкенде жəне сызба геометрияда алгебралық қисық
сызықтардың ішінде көп қолданылатын түрі – екінші ретті қисықтар.
Екінші ретті қисық сызықтардың қарапайым түрі - шеңбер. Себебі, шеңбердің алге б ра лық теңдеуі екінші дəрежелі тең деу мен сипатталады. Бұл шеңберге гео- метриялық қасиеттері жағынан эллипс, парабола жəне гипербола ұқсас болады.
Бұл аталған екінші ретті қисық сызықтар ерте заманда белгілі болған.
Біздің эрамыздан бұрынғы IV ғасырда өмір сүрген ежелгі грек ғалымы Менехм осы екінші ретті қисық сызықтарды зерттеумен айналысқан. Евклид пен Архимедтің бұл қисықтарды зерттеуде еңбектері өте үлкен. Ежелгі грек ғалымдары еңбектерінде екінші ретті қисық сызықтарды конус пен жазықтықтың қималары арқылы алып, оларды конустық қималар деп атаған (133-сурет).
133-суреттен көріп отырғандай, егер кесуші (сары) жазықтық тік дөңгелек конустың осіне параллель болып кесілетін болса, онда конустың қимасы гипербола болады.
Ал, егер кесуші (қара) жазықтық тік дөңгелек конустың жасалушысына параллель болып кесілетін болса, онда конустың қимасы парабола болып шығады (133-сурет).
Егер дөңгелек конусты (қоңыр) кесуші жазықтық жалпы жағдайда орналасқан болып кесілсе, онда конустың қимасы эллипс болады (133-сурет).
Ескерту, егер қоңыр кесуші жазықтық дербес жағдайда болып (тік дөңгелек конустың табанына параллель болса) кесілсе, онда конустың қимасы шеңбер болады (133-суретте бұл шеңбер көрсетілмеген).
Ежелгі гректің ұлы геометрі Аполлоний (250 - 200 жылдарда өмір сүрген) екінші ретті қисық сызықтар туралы сегіз кітаптан тұратын құнды еңбек жазып, ол қисықтарды бір жүйеге келтіріп, теориясын жасаған. Аполлоний екінші ретті қисық сызықтардың фокустарын (латынның ошақ деген сөзі), хордаларын, түйіндес диаметрлерін жəне асимптоталарын анықтаған.
Өкінішке орай, Аполлоний өмір сүрген кезде декартты координаталар жүйесі болмағандықтан, ол кесінділер мен аудандар тілінде баяндаған.
Екінші ретті қисық сызықтардың негізгі теңдеулерін алғаш рет Пьер Ферма қорытып шығарған. Ол теңдеу:
=
y2 2 рх+тх2
түрінде жазылады.
Егер дербес жағдайда k
m= − болса, онда эллипс тің (ежелгі гректің
«эллейпсис» кем түсіру деген сөзі) теңдеуі шыға- ды (134-сурет). Сонымен эллипс деп берілген екі нүктеге дейінгі қашық- тықтарының қосын дысы тұрақты болатын нүкте- лердің геометриялық ор- нын айтады.
S
O
i
O
F1 F2
A B
C
D
c 2
x y
E
Егер екінші ретті қисық сызықтардың негізгі тең- деуін дегі m=0 болса, онда параболаның (ежелгі гректің «параболе» дəл түсіру деген сөзі) теңдеуі шығады (135-сурет).
Парабола деп берілген нүкте (параболаның фокусы- нан) берілген түзуден (дирек- трисадан) бірдей қашық- тықтағы нүктелердің геомет- риялық орнын айтады.
Екінші ретті қисық сызық- тардың үшінші түрін қарас- тырайық (136-сурет). Егер қисықтың негізгі теңдеуіндегі
k
m= болса, онда гипер- боланың (ежелгі грек тілін-
де «гиперболе» деген асырып түсіру деп аударылады) теңдеуі шығады.
Гипербола деп берілген екі нүктеге дейінгі қашықтықтарының айырмасы тұрақты болатын нүктелердің геометриялық орнын айтады.
O
F1
A
P
x y
P2
P
R1
R1
1 O
F A
xy
R1
/
R1
F2
A
Осы аталған екінші ретті қисық сызықтардың алғаш рет атын қойған Аполлоний болатын.
Екінші ретті қисық сызықтарды поляр теңдеулерімен де көрсетуге болады.
Бұл поляр теңдеуін:
ϕ cos 1 e r p
= −
Леонард Эйлер (1707 – 1783) дəлелдеп енгізген. Бұл теңдеуден эллипсті теңдеуін алу үшін е<1 болуы қажет. Ал, е=1 болса, парабола, е> 1 болса гипербола болады.
9.1.2 Трансценденттік қисық сызықтар
Қисық сызықтардың жанамасы мен осы жанама сызықтың санына байланысты класы болады. Қисық сызықтың жанамасы деп кез келген қисықтың бір нүктесі арқылы түскен нормаль сызығына перпендикуляр сызылған сызықты айтады. Ал егер қисық сызықтан тысқары жатқан бір нүкте арқылы қисық сызыққа жанама жүргізсек, онда бұл жанама сызықтары қисық сызықтың класын анықтайды. Мысал ретінде кез келген екінші ретті қисықтарды алсақ, олардың кластары екі болады, өйткені біз тысқары орналасқан бір нүктеден бұл сызықтарға екі жанама жүргізе аламыз.
Сонымен жоғарыда айтып кеткендей, трансцендентті қисық сызықтар теңдеулері тригонометриялық функциялар болады. Шеңбердің эвольвента- сын мысал ретінде
қарастырайық (137- сур ет).
Шеңберді бірдей тең бөліктерге бөле- міз. Осы бөлінген шеңбердің барлық нүктелерінен шең- бер ге жанама түзу- лер сызамыз. Енді шеңбердің ұзын ды- ғын:
R l =2π
теңдеуімен анық- тап алып, осы l түзуін де шеңберді
O F
A
R l 2S R7
R7
B C
D
E
G
бөлген санға бөлеміз. Бұл анықталған бөліктерді өзі аттас бөліктерінен жүргізілген жанама сызығына өлшеп саламыз. Табылған нүктелерді қисық сызғыштың (лекала) көмегімен қосып, шеңбердің эвольвентасын саламыз.
Келесі мысалды трансцендентті синусоида қисық сызығын қарастырайық (138-сурет). Синусоида деп шеңбер нүктелерінің екі еселі бірқалыпты іргелі қозғалысы мен қайтымды қозғалыстарының шеңбер ұзындығына перпендикуляр болып келетін нүктелер жиынтығынан құрылған қисық сызықты айтады. Синусоиданы салу үшін шеңберді тең бөлшектерге бөлеміз.
Содан кейін шеңбердің ұзындығын анықтап осы түзуді де тең бөліктерге бөлеміз. Шеңбер осінен осы бөліктерге перпендикуляр түзулер түсіріп, шеңбердің бөлінген бөліктерінен осы сызыққа параллель сызықтар жүргіземіз.
Табылған нүктелерді қисық сызғышпен қоссақ, синусоида қисығы шығады.
O
A F
R l 2 S B
C
D E
G
K
b a
c
d
e
f
g
k
A
§ 9.2 Кеңістіктік қисық сызықтар
Кеңістіктік қисық сызықтардың жазық қисықтардан айырмашылығы - сызықтардың бір немесе бірнеше нүктелерінің ғана жазықтық бойында жату мүмкіндігі (139-сурет). Бұл кеңістік қисық сызықтарына мысал ретінде цилиндрлік жəне конустық бұрама сызықтарын қарастырайық. Бұрама қисық сызық нүктенің бірқалыпты айналуы мен түзу сызықты қозғалысынан пайда болады.
Цилиндрлік бұрама қисық сызық деп бірқалыпты айналатын түзудің бойымен қозғалатын нүктенің жүру жолын айтады (140-сурет).
Кей жағдайда цилиндрлік бұрама қисық сызықты гелиса деп те атайды.
140-суреттен көріп отырғандай, шеңберді тең бөлікке бөліп, шеңбердің ұзындығын анықтап, оны тең бөлікке бөліп алып, осы нүктелерді өзара перпендикуляр сызықтармен қосып, бұрама сызықты саламыз. Нүктенің
O1
F
A R
l 2S
A1
B C D E G
B1
C1
D1
E1
F1
G1
K1
A2 B2
C2
G2
K
K2
A2 A
E2
h
цилиндр бойымен толық бір бұрама айналғанда, көтерілген биіктігін (h) бұра- ма сызықтың адымы дейді.
Егер цилиндрлік бұрама қисық сызық- тың нүктесі шеңбер осінен сағат тіліне бағыттас айналса, онда бұрама сызық оңқай сызық болады.
Егер сызықтың нүктесі шеңбер осінен сағат тіліне қарама-қарсы айналса, онда цилиндрлік бұрама сызық солақай болады (140-сурет).
Конустық бұрама қисық сызық деп өзімен қиылысатын түзуден бірқалыпты айналатын түзудің бойымен қозғалатын нүктенің жүру жолын айтады (141-сурет).
Конустық бұрама сызық пен цилиндрлік бұрама қисық сызықтың айырмашылығы - оның шеңбердегі үстінен қараған түрі Архимедтің спиралі түрінде берілсе, конустың алдынан қарағандағы көрінісі кеміген (өшкен) синусоида түрінде беріледі (141-сурет).
A11
B
C1
D1
E1
F1
G1
K1
D2
B2
C2
G2
K2
A2
E2 h F2
L2
L1
1. Қисық сызық дегеніміз не?
2. Жазықтық қисық сызығы дегеніміз не?
3. Кеңістік қисық сызығы дегеніміз не?
4. Жазықтық қисық сызығы дегеніміз не?
5. Трансцендентті қисық сызық дегеніміз не?
6. Алгебралық қисық сызық дегеніміз не?
7. Екінші ретті қисық сызықтар дегеніміз не?
8. Шеңбердің эвольвентасы дегеніміз не?
9. Қисық сызықтың жанамасы дегеніміз не?
10. Қисық сызық класы дегеніміз не?
11. Қисық сызық нормалі дегеніміз не?
12. Гелиса дегеніміз не?
13. Конустық бұрама қисық сызық дегеніміз не?
Баылау сратары
Жаттыу есептері
1. Диаметрі 30 мм болатын шеңбердің эвольвентасын салып көрсетіңіз.
2. Диаметрі 40 мм болатын шеңбердің синусоидасын салып көрсетіңіз.
3. Табанының диаметрі 30 мм, биіктігі 60 мм болатын дөңгелек тік цилиндрдің гелисасын салып көрсетіңіз.
4. Биіктігі 70 мм, ал табанының диаметрі 30 мм болатын дөңгелек тік конустың конустық бұрама қисық сызығын салып көрсетіңіз.
Инженерлік графикада беттер деп бір заңдылық арқылы кеңістіктегі сызықтардың қозғалуы мен жиынтықтарынан құралған геометриялық фигураны айтады. Бұдан басқа беттер біркелкі екіпараметрлі нүктелер жиынтығы мен беттің қаңқасы арқылы беріледі. Геометрияда кез келген фигураның қозғалысы кинематикалық əдіске жатады. Сондықтан беттің құралуы оның жасалушы сызығы мен осы сызықтың кеңістіктегі қозғалу заңына байланысты. Осы жасалушысына байланысты беттердің түрлері көп.
Төменде беттердің өмірде көп кездесетін жəне қолдануға ыңғайлы айналмалы, бұрама, құлама жəне топографиялық беттер түрін қарастырамыз.
§ 10.1 Айналмалы беттер
Айналмалы беттер деп кез келген сызықтың тұрақты бір ось бойымен айналуынан құралған бетті айтады. Айналмалы бет болғандықтан, оның параллелі (сызықтың кез келген нүктесі шеңбердің бойымен айналғандағы сызық) жəне меридианы (бетті айналу осінен қиып өтетін жазықтық пен беттің қимасы) болады. Сызықтардың айналу осіне жəне орналасуларына байланысты айналмалы беттер конус, цилиндр, сфера (шар), гиперболоид, параболоид, эллипсоид жəне т.с.с. болып бөлінеді. Енді осы беттердің ішіндегі көп тараған түрі дөңгелекті конус пен цилиндрді қарастырамыз.
10.1. Айналу конус беті
Конус деп тұрақты бір ось бойымен жəне осы оське сүйір немесе доғал бұрышпен орналасқан түзу сызықтың айналуынан құралған бетті айтады.
Конус беті көлденең горизонталь П1 проекция жазықтығында орналасуына байланысты қиғаш жəне тік болып екіге бөлінеді.
Егер конус бетінің тұрақты осі көлденең П1 проекция жазықтығына тік бұрышпен орналасса, онда П1 жазықтығына тік орналасқан конус болып