КӨПЖАТЫ БЕТТЕР

П0

)

a c)

) b

)

d e)

Дұрыс көпжақты бет деп жақтарының бұрыштары мен аудандары өзара тең болатын беттерді айтады. Кей жағдайда бұл беттерді Платон денелері деп атайды, себебі Платон бұл көпжақтарды зерттеп, олардың атын қойған.

Беттер жақтарының сандарына байланысты көпжақты беттер төмендегі түрлерге бөлінеді: тетраэдр (жақтары өзара тең үшбұрыш болатын төрт жақты көпжақты бет) (120, а-сурет), октаэдр (жақтары өзара тең үшбұрыш болатын сегіз жақты көпжақты бет) (120, с-сурет), икосаэдр (жақтары өзара тең үшбұрыш болатын жиырма жақты көпжақты бет) (120, e-сурет), гексаэдр (жақтары өзара тең төртбұрыш болатын алты жақты көпжақты бет) (120, b-сурет) жəне додекаэдр (жақтары өзара тең бесбұрыш болатын он екі жақты көпжақты бет) (120, d-сурет).

Жай көпжақты беттер жақтарына байланысты призма (жақтары өзара перпендикуляр орналасқан), пирамида (жақтары бір ғана нүктеге ұмтылатын) жəне призматоид (табаны мен үсті өзара параллель орналасқан, жақтары үшбұрыш немесе трапеция болатын) болып бөлінеді.

§ 8.1 Жай көпжақты беттер

8.1.1 Призма бетіндегі нүктенің орналасуы

Екі параллель табаны болатын, жақтары осы табандарына өзара пер- пендикуляр көпжақты бет-

ті тікбұрышты призма деп айтады. Табандарына бай- ланысты призмалар үшжақ- ты, төртжақты, бесжақты жəне т.б.с.с. түрлерге бөлі- неді.

Егер табандары жақта- рына перпендикуляр болмай, жалпы жағдайда орналасқан болса, онда көпжақты бетті жалпы жағдайдағы призма деп айтады. Бұл призмалар да табандарына байланысты үшжақты, төртжақты, бес- жақ ты жəне т.б. түрлерге бөлінеді.

Енді осы аталған приз- маларда нүктелердің орна-

П1 A A¹ B B¹ C

A

K M

C1

C А2

K1

П2

N B

L L2

В2

N2

M2

K2

С2

ласуларын қарастырайық (121 жəне 122-суреттер).

Тікбұрышты проекцияларда тікбұрышты призмаларды қол- данған өте қолайлы, себебі тікбұрышты призманың екі табандары горизонталь проекция жазықтығында беттесіп, бір ғана көпбұрышты береді.

121-суретте АВС жəне А

1В

1С

1

табандары үшбұрышты тік- бұрышты призманың кеңістіктегі кескіні мен 122-суретте көлденең П₁ горизонталь жəне фронталь проекция жазықтықтарындағы кескіні көрсетілген. Тікбұрышты проекцияларда тікбұрышты приз- малардың қырлары көлденең П₁ горизонталь проекция жа зық- тығына перпендикуляр болған- дықтан, табандары бет тесіп, тек бір ғана үшбұрышты береді.

Осы тікбұрышты призманың жағында жатқан К жəне N нүк- телері мен тікбұрышты призманың қырларында орналасқан М жəне L нүктелері берілген.

Егер эпюрде L₁ нүктесі В₁=В₁ нүктелерімен беттесіп жатса, онда L нүктесінің фронталь проекциясы призманың В₂В₂ қырының бойында жатады.

Егер М нүктесінің горизонталь проекциясы А₁=А₁ жəне В₁=В₁ қырында орналасса, онда М нүктесінің фронталь проекциясы призманың А

2 мен В

2 қырының бойында жатады.

Егер N нүктесі призманың жоғарғы табаны АВС үшбұрышында орналасса, онда N нүктесінің горизонталь проекциясы А₁=А₁; В₁=В₁ ; С₁=С₁ үшбұрыш бойында жатады, ал N₂ фронталь проекциясы призманың А₂ мен В₂ қырының бойында жатады.

8.1.2 Призма мен түзу сызықтың қиылысуы

Алдымен тікбұрышты призма мен жалпы жағдайдағы түзу сызықтың қиылысу жолын қарастырамыз.

1

1 C

C

1

1

A

A

^{B1 B1}

K

1

M1

N

1

L

1

B

2

M2

К

2

L

2

N2

С2

А

2

B2

А

2 С2

Тікбұрышты проекциялар жүйесінде тікбұрышты табандары АВС үшбұрышты призма мен жалпы жағдайда орналасқан DE түзу сызығының көлденең П

1 горизонталь жəне П₂ фронталь проекция жазықтықтарындағы кескіні берілген (123-сурет).

Призма қырлары П₁ горизон- таль проекция жазықтығына перпендикуляр болғандықтан, олардың табандары беттесіп, тек бір ғана үшбұрышты береді.

Бұл П₁ горизонталь проекция жазықтығына да D

1E

1 түзу сызығы призманың В₁С₁В₁С₁ жəне А₁С₁А₁С₁ жақтарын K₁ жəне L₁ нүктелерінде қиып өтеді. Енді бұл қиылысу нүктелерінің фронталь проекциясын анықтау үшін, осы K₁ жəне L₁ нүктелерінен байланыс сызығының көмегімен П₂ фронталь проекциясындағы D₂E₂ түзу проекциясына түсіреміз. Бұл D2E

2 түзу сызығымен қиылысқан нүктелерді K₂ жəне L₂ нүктелері деп белгілейміз (123-сурет).

Табылған K₂ жəне L₂ нүктелері көрінбейтін болғандықтан, D₂E₂ түзу сызығының ортасы көрінбейді.

Енді жалпы жағдайда орналасқан қиғаш призма мен жалпы жағдайдағы түзу сызықтың қиылысу нүктелерін анықтау жолын қарастырайық.

124-суретте кеңістікте орналасқан қиғаш АВС жəне А₁В₁С₁ табандары үшбұрышты призманың көрнекі кескіні мен жалпы жағдайдағы DE түзу сызығы берілген.

Жалпы жағдайдағы қиғаш призма мен түзудің қиылысу нүктелерін табу үшін, алдымен кеңістікте орналасқан DE түзу сызықтың төбелерінен қиғаш призманың қырларына параллель етіп сəуле жүргіземіз. Бұл сəулелер П₁ го- ризонталь проекция жазықтығын D₁ жəне E₁ нүктелерінде қиып өтеді. Егер осы табылған D₁ жəне E₁ -ді өзара қоссақ, онда DE түзу сызығының П₁ горизонталь проекция жазықтығының бойында жатқан проекциясын табамыз. Бұл табылған D₁E₁ түзу сызығы қиғаш призманың горизонталь проекция жазықтығындағы

1

1

C

C

1

1

A

A

1

1

B

B

K1

D

1

E

1

L1

П1

П2

С

2

В

2

В

2

D2

K2

A

2

A

2

E2

L

2

С

2

табанын K₁ жəне L₁ нүктелерінде қиып өтеді. Енді керісінше осы нүктелерден қиғаш призманың қырларына парал- лель сəулелер жүргі- земіз. Жүргізілген сəулелер кеңістікте орналасқан DE түзу сызығын K жəне L нүктелерінде қияды.

Бұл түзу сызықтың DK жəне LE кесін- ділері көрінеді де, ал K жəне L нүктелері арасы призма ішінде қалып,

көрінбей қалады.

Енді осы жалпы жағдай- дағы қиғаш призма мен түзу дің қиылысу нүктелерін Монж эпюрасында немесе тікбұрышты проекция жа- зық тықтар жүйесінде қарас- тырайық (125-сурет).

Табандары АВС үшбұ- рышты болатын жалпы жағ- дайдағы қиғаш приз ма мен кеңістікте орналасқан DE түзу сызығының фронталь жəне горизонталь проекция жазықтықтарындағы проек- циялары берілген.

Қиғаш призма мен түзу- дің қиылысу нүктелерін табу үшін, D₂E₂ түзу сызық проекциясынан қиғаш приз маның қырларына па- раллель болатын сəу ле лер жүргіземіз. Бұл сəулелер х осімен қиы лысып, байланыс

П1

A

1

B

1

B C

A

C

1

L K

E

1

K1

L1

D

1

D

E

C

1 /

A

1

B

1

A

1 /

B

1

/

C

1

L

1

K1

/

E1

E

1

D

1

/

K1

/

L

1 /

D1

П1

D

2

К

2

П2

/

А2

L

2

E

2

B2 C₂

/

С2 /

В2

A2

сызығын сызамыз. Ал D₁E₁ түзу сызық проекциясынан қиғаш призманың горизонталь проекциясындағы қырларына параллель сəулелер жүргізіп, байланыс сызығымен қиылыстырамыз. Бұл қиылысқан нүктелерді D₁^/ жəне E₁^/ деп белгілеп, өзара қосып, D₁^/E₁^/ түзу сызығын табамыз (125-сурет). Табылған түзу сызықты призманың төменгі табанына түсірсек, А

1 /В

1 /С

1

/ үшбұрышының А₁^/В₁^/ қырын K₁^/ нүктесінде, ал А₁^/С₁^/ қырын L₁^/ нүктесінде қиып өтеді. Осы нүктелер арқылы призма қырларына параллель сəулелер жүргізіп, D₁E₁ түзу бойынан K₁ жəне L₁ нүктелерін табамыз. Бұл K₁ жəне L₁ нүктелерінің арасы призма ішінде қалып, көрінбейтін сызық болғандықтан, бұл арақашықтықты штрих сызығымен көрсетіп қоямыз. Енді осы нүктелерден байланыс сызығын жүргізіп, фронталь проекция жазықтығындағы D₂E₂ түзу бойынан K₂ жəне L₂ нүктелерін табамыз.

Сонымен кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы қиғаш призма мен жалпы жағдайда орналасқан түзу сызықтың фронталь жəне горизонталь проекция жазықтықтарындағы қиылысу нүктелерін анықтадық.

8.1.3 Пирамида бетіндегі нүктенің орналасуы

Бір ғана табаны болатын жəне табаны көлденең жазықтыққа параллель болатын, қырлары бір нүктеден (төбеден) тарайтын жəне төбесінен түскен перпендикуляр табанының ішінде болатын көпжақты беттің бұл түрін дербес жағдайда орналасқан пирамида деп айтады (126-сурет). Табандарына байланысты пирамидалар

үш жақты, төртжақты, бес- жақ ты жəне т.б. түрлерге бөлінеді.

Төбесінен түскен перпен- дикуляр табанының ішінде болмайтын көпжақты бет түрін жалпы жағдайда орна ласқан пирамида деп айтады (128-сурет). Мұндай пирамидалар да табандарына байланысты үшжақты, төрт- жақты, бесжақты жəне т.б.

түрлерге бөлінеді.

Енді нүктенің жоғарыда аталған пирамидалар бетін- дегі орналасуларын, фрон- таль жəне горизонталь

П1

A C

L

B

M П

2

/

K

1

S

K

M2

A

2

C

₂

S

2

L

2

K2

проекция жазықтықтарындағы про- ек цияларын қарастырайық (126 жəне 127-суреттер).

Сонымен 126-суретте АВС үш- бұрышты табаны жəне S төбесі бар дербес жағдайда орналасқан пирамиданың кеңістіктегі кескі- ні мен фронталь проекция жазық- тығындағы проекциясы көрсетіл ген.

Бұдан басқа бұл дербес жағдайда орналасқан пирамиданың АS қырындағы М жəне АС табанында жатқан L нүктелері мен ASC жағындағы К нүктелері берілген.

Ал 127-суретте осы кеңістіктегі орналасқан пирамиданың горизон- таль жəне фронталь проекция жазықтықтарындағы проекциялары, яғни эпюрасы көрсетілген. Бұл эпюрде дербес жағдайда орналасқан пирамидаға тиісті пирамида бойында əртүрлі жағдайда орналасқан K, L жəне M нүктелерін алайық. Егер эпюрде M нүктесінің фронталь жəне горизонталь проекциялары S

2A

2 жəне S

1A

1 қырларында орналасса, онда бұл нүкте пирамиданың SA қырында жатады. Ал егер L нүктесінің фронталь жəне горизонталь проекциялары пирамиданың АВС табанының A₂С₂ жəне A₁С₁ қырларында орналасса, онда L нүктесі пирамиданың АВС табанында орналасады. Ал енді К нүктесі - пирамиданың ASC жағында (бетінде) орналасқан нүкте. Оны анықтау үшін пирамиданың S төбесінен ASC жағында орналасқан К₁ нүктесі арқылы пирамида табанын қиятын сəуле жүргіземіз. Бұл сəуле пирамида табанын К₁^/ нүктесінде қиып өтеді.

Табылған К₁^/ нүктесінен байланыс сызығының көмегімен фронталь проекция жазықтығына көтеріп, К₂^/ нүктесін табамыз. Осы нүкте мен пирамиданың S2 төбесін қосамыз. Табылған түзу бойынан К

2 нүктесінің фронталь проекциясын байланыс сызығының көмегімен табамыз (127-сурет).

Енді жалпы жағдайда орналасқан пирамида бойындағы тиісті нүктелерді қарастырайық.

128-суреттегі пирамида бойында əртүрлі жағдайда орналасқан K, L жəне M нүктелерін алайық.

128-суретте кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы пирамида бойында

A

1

^C

¹

B

1

L1

K1

M1

/

K1

П1

С

2

K2

П2

В

2

А

2 L2

M2

S

2

S

11

S

/

K2

жатқан нүктелер қарас- тырылған. Енді осы нүкте- лердің фрон таль жəне гори зонталь проекция жазықтығындағы проек- цияларын қарастырайық (129-сурет).

Жоғарыда айтылған мысалдағыдай, егер жал- пы жағдайда орналасқан пирамиданың M нүк- те сінің проекциясы фронталь S₂A₂ жəне горизонталь S₁A₁ қыр-

ларында орналасса, онда бұл M нүктесі пирамиданың SA

қырында орналасады. Ал, L нүктесінің фронталь жəне горизонталь проекциялары пира- мида табанының A₂С₂ жəне A₁С₁ қырларында орналасқан, яғни L нүктесі пирамида табанында жатады. Ал, егер К нүктесінің фронталь жəне горизонталь проекциясы пирамиданың ASC жағында (бетінде) орналасқан нүкте болса, онда бұл нүкте жалпы жағдайда орналасқан пирамиданың ASC жағына тиісті болады. Ал, жақ бетіндегі нүктені табу жолы 129-суретте көрсетілген.

П1

A

C

L

S

B

K M

K

A

1

C

¹

B

1

L

1

2 .

K3

M

1

S

1

П1

K

1

S

2

C

2

L

2

П

2

A

2

K2

B

2

M2

8.1.4 Пирамида мен түзу сызықтың қиылысуы

Тікбұрышты пирамида мен жалпы жағдайда орналасқан түзу сызықтың қиылысу нүктелерін қарастырайық.

Тікбұрышты жазықтықтар жүйесінде тікбұрышты АВС табаны, S төбесі бар пирамида мен жалпы жағдайда орналасқан МN түзу сызығының фронталь жəне горизонталь проекция жазықтығындағы кескіндері берілген (130-сурет).

Тікбұрышты пирамида мен жалпы жағдайдағы түзу сызықтың қиылысу нүктелерін табу үшін, профессор С.М. Колотовтың көмекші проекция тəсілін пайдалана отырып, пирамиданың S₂ төбесінен жалпы жағдайда орналасқан түзу сызықтың М₂ жəне N₂ төбелерінен өтетін сəуле жүргіземіз. Бұл сəулелер х осі мен М

2 /

жəне N

2

/ нүктелерін қиылыстырып, одан əрі төмен қарай байланыс сызықтарын жүргіземіз. Енді пирамиданың горизонталь проекция

A

1

C

1

B

1

L

1

K1

M1

П1

С

2

K2

П

2

В

2

А

2

L

2

M2

S

2

N2

/

N2 /

M2

/

N1

N

1

/

M1

/

L1

/

K1

S

1

жазықтығындағы S₁ төбесінен түзу сызықтың М₁ жəне N₁ төбелерінен сəуле жүргізіп, М₂^/ жəне N₂^/ нүктелерінен түсірілген байланыс сызығымен қиылыстырамыз. Бұл қиылысқан нүктелерді М₁^/ жəне N₁^/ деп белгілеп аламыз. Табылған М₁^/N₁^/ түзуі кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы М1N

1 түзу сызығының пирамиданың табанына түскен түрі. Бұл М

1 /N

1 / түзу сызығы пирамида табанының А₁В₁ қырын L₁^/ жəне А₁С₁ қырын К₁^/ нүктелерінде қиып өтеді. Егер осы табылған нүктелерді пирамиданың S₁ төбесімен қоссақ, онда бұл жүргізілген түзу жалпы жағдайдағы М₁N₁ түзу сызығын L₁ жəне К₁ нүктелерінде қиып өтеді. Суретте көрсетілгендей түзу сызықтың L

1 жəне К

1 нүктелері арасы пирамида ішінде болғандықтан, бұл аралық көрінбейді. Байланыс сызығының көмегімен осы нүктелерді фронталь проекция жазықтығында орналасқан М₂N₂ түзу сызығымен қиылыстырып, L₂ жəне К₂ нүктелерін табамыз. Егер K нүктесі түзу сызықтың пирамидаға кіретін нүктесі болса, онда L нүктесі түзу сызықтың пирамидадан шығатын нүктесі болады.

C

1

/

A

1

B

1

A1 /

B

1

/

C1

L1

P

1

/

E1

E1

D1

/

D1

/

L1

П1

D2

P

2

П2

/

А2

L2

E2

B2 C₂

/

С2 /

В2

A2

P

х

8.1.5 Көпжақты беттердің жазықтықпен қиылысуы

Жалпы жағдайда орналасқан призма беттерінің жазықтықпен қиылысу сызығын, яғни қимасын анықтау есептерін қарастырайық (131-сурет).

Көлбеу призма беттерінің жазықтықпен қиылысу сызықтарын қарастыру үшін көлбеу призма мен жалпы жағдайда орналасқан жазықтықты аламыз.

Бұл – жазықтық ізімен берілген Р жазықтығы. Көлбеу призманың қырлары арқылы фронталь проекцияланушы жазықтықтарын жүргіземіз. Бұл жазықтықтар берілген Р жазықтығымен қиылысып, көлбеу призманың қырларын D, L жəне E нүктелерінде қиып өтеді.

Егер осы табылған нүктелерді өзара қоссақ, онда табылған қима жалпы жағдайда орналасқан жазықтығы мен призманың қиылысу сызығы болып табылады.

8.1.6 Көпжақты беттердің өзара

қиылысуы

Көпжақты беттердің өзара қиылысу сызығын анықтау үшін, көптеген əдістерді пайдалануға болады. Осындай əдіс- тердің ішінде көп тараған түрі қиюшы жазықтықтар əдісі болып табылады.

Төменде осы əдісті пайда- ланып, мысал қарас- тырайық.

Мысал ретінде жалпы жағдайда орналасқан көл- беу үшжақты призма мен тік орналасқан үшжақты призмалардың қиылысу сызығын қарастырайық (132-сурет).

Екі призманың қиылысу сызығын табу үшін призма қырларын қиып өтетін қиюшы жазықтықтарын

П

2

А

2

M2

П1

С2

C

1

E1

В

2

K2

B

1

D1

M1

K1

A

1

E2

D

2

Р1

L

2

A

2

К2

L

1

жүргіземіз. Қиюшы Р₁ жазықтығы тік орналасқан үшжақты призманың қырынан өтіп, көлбеу орналасқан үшжақты призманың табанын К₁ жəне М₁ нүктелерінде қиып өтеді. Байланыс сызығының көмегімен фронталь проекция жазықтығынан К₂ жəне М₂ нүктелерін табамыз. Бұл нүктелерден жүргізілген түзулер тік орналасқан үшжақты призманың қырын С

2 жəне L

2 нүктелерінде қиып өтеді. Осындай жолмен бірнеше қиюшы жазықтықтар жүргізіп, екі призманың бірнеше нүктелерін (А, В, Е жəне D) табамыз.

Егер осы табылған нүктелерді өзара қоссақ, онда бұл нүктелердің жиынтығы жалпы жағдайда орналасқан жəне тік орналасқан призмалардың қиылысу сызығы болады.

1. Көпжақты бет дегеніміз не?

2. Дұрыс көпжақты бет дегеніміз не?

3. Дұрыс көпжақты беттердің түрлері?

4. Жай көпжақты бет дегеніміз не?

5. Жалпы жағдайдағы көпжақты бет дегеніміз не?

6. Көпжақты бет пен түзу сызықтың қиылысу нүктелері қалай анықталады?

7. Көпжақты бет пен жазықтықтың қиылысу сызығы қалай анықталады?

8. Көпжақты беттердің өзара қиылысу сызығы қалай анықталады?

Баылау

сратары

1. Тікбұрышты төртжақты призма мен пирамиданың проекциясын салып көрсетіңіз.

2. Қиғашбұрышты төртжақты призма мен пирамиданың проекциясын салып көрсетіңіз.

3. Тікбұрышты үшжақты призма бетіндегі А, В жəне С нүктелерінің жетіспейтін проекцияларын салып көрсетіңіз (1-сурет).

4. Тікбұрышты үшжақты призма мен жазықтықтың қиылысу сызығын салып көрсетіңіз (2-сурет).

Жаттыу есептері

x

П2

П1

А2

В1

С1

сурет 1

5. Тікбұрышты үшжақты пирамида мен түзу сызықтың қиылысу нүктелерін салып көрсетіңіз (3-сурет).

6. Қиғашбұрышты үшжақты призма мен АВ түзу сызығының қиылысу нүктелерін салып көрсетіңіз (4-сурет).

7. Екі қиғашбұрышты үшжақтың өзара қиылысу сызығын салып көрсетіңіз (5-сурет).

8. Үшжақты пирамида мен үшжақты призманың қиылысу сызығын салып көрсетіңіз (6-сурет).

x

П2

П1

52

51

сурет

2

x A2

A1

B2

B1

П2

П1

сурет 3

x A2

A1

B2

B1

П2

П1

сурет

4

x A2

A1

B2

B1

П2

П1

сурет

4

9. Қиғашбұрышты үшжақты пирамида мен қиғаш үшжақты призманың қиылысу сызығын салып көрсетіңіз (7-сурет).

x

П2

П1

сурет 6

x

П2

П1

сурет 7

Инженерлік графикада қисық сызықтар нүкте мен түзу сызықтан кейінгі қарапайым геометриялық элемент болып саналады. Қисық сызықтар күн- делікті өмірде əртүрлі жағдайда кездесіп отырады.

Қисық сызықтар əртүрлі жағдайларда: - белгілі бір заңдылықпен үздіксіз қозғалатын нүктелер жиынтығы; - екі қиылысып жатқан беттердің қиылысу сызығы; - математикалық теңдеулер; - нүктелер жиынтығының берілген қасиеттері арқылы беріледі.

Қисық сызықтар жазықтық жəне кеңістік сызықтары болып екі топқа бөлінеді.

Егер қисық сызықтың барлық нүктелері жазықтық бойында орналасқан болса, онда бұл сызықты жазықтық қисық сызығы дейді. Егер қисық сызық- тың бір немесе бірнеше нүктесі ғана жазықтық бойында орналасса, қалған нүктелері кеңістікте болса, онда бұл сызықты кеңістік қисық сызығы дейді.

Бұл топтан басқа қисық сызықтар заңды жəне заңсыз сызықтар болып бөлінеді. Ешқандай заңға бағынбайтын жəне кездейсоқ сызылатын қисық сызықтың түрін заңсыз сызылған қисықтар дейді. Бұл қисық сызыққа топографиялық беттегі горизонталь деңгейлік сызықтары мысал бола алады.

Заңды қисық сызықтар белгілі бір заңдылық арқылы пайда болады.

Заңды қисық сызық аналитикалық теңдеулеріне қарай трансцендентті жəне алгебралы болып бөлінеді.

Трансцендентті қисық сызықтар теңдеулері де рационалды функциялар болмайды. Бұл сызықтарға мысал ретінде шеңбердің эволютасы (латынның жаймаланған деген сөзі) мен эвольвентасы (латынның жаймаланатын деген сөзі), синусоид жəне с.т.б.

Егер қисық сызық теңдеуі рационалдық (көпмүшелік) функциялар (декарттық координаталар) түрінде берілсе, онда сызық алгебралық қисық сызық деп аталады. Алгебралық қисық сызық теңдеуінің дəрежесіне қарай екі дəрежелі, үш дəрежелі, төрт дəрежелі жəне т.б.с.с.

Сызба геометрияда жазықтық қисық сызықтарының дəрежелерін қисық сызықтың түзу сызықпен қиылысу нүктелері арқылы анықтайды.

§ 9.1 Жазықтық қисық сызықтар

Жоғарыда айтып кеткендей, егер қисық сызықтың барлық нүктелері бір жазықтық бойында орналасқан болса, онда мұндай қисық сызықтарды жазықтық қисық сызығы дейді.

ІХ-тарау