ПОЗИЦИЯЛЫ ЖӘНЕ МЕТРИКАЛЫ ЕСЕПТЕР

Инженерлік графика (сызба геометрия) пəні негізгі екі есептерді шешумен айналысады. Бұл есептерді позициялық (тұрғылықты) жəне метрикалық (өлшем) есептер деп атайды.

Позициялық есептер дегеніміз - геометриялық фигуралардың сызбалары арқылы олардың кеңістіктегі өзара орналасуын анықтайтын есептер.

Позициялық есептер түрлеріне нүкте мен түзудің, түзу мен түзудің, нүкте мен жазықтықтың, түзу мен жазықтықтың, жазықтық пен жазықтықтың, жазықтық пен дене бетінің, екі дене бетінің өзара орналасу есептері жатады.

Ал, метрикалық есептер дегеніміз - геометриялық фигуралардың сызбалары арқылы олардың кеңістіктегі өзара қашықтықтарын, арасындағы бұрышы мен ауданын, нақты шамасын т.с.с жағдайын анықтайтын есептер.

§ 6.1 Позициялық есептер

Егер позициялық есептер оңай есеп болса, онда есептің шешуін жалпы əдістердің көмегімен шығарады. Бұл параграфта кеңістіктегі нүкте мен түзу сызықтың өзара орналасуы, кеңістіктегі түзу сызықтардың өзара орналасуы, кеңістіктегі екі жазықтықтың өзара орналасуы жəне кеңістіктегі түзу мен жазықтықтың өзара орналасулары сияқты позициялық есептерді қарастырамыз.

6.1.1 Нүкте мен түзу сызықтың өзара орналасулары

Кеңістікте нүкте мен түзу сызық əртүрлі жағдайда кездесуі мүмкін.

Кеңістікте орналасқан нүкте түзу сызық бойында орналасуы немесе түзу сызықтан тыс орналасуы мүмкін.

Енді осы тақырыпқа мысал ретінде 87-суреттегі нүктелер мен түзудің өзара орналасуларын қарастырайық. Суретте С жəне D нүктелері мен АВ түзу сызығының горизонталь жəне фронталь проекция жазықтығындағы эпюрасы берілген. Кеңістікте орналасқан D нүктесі АВ түзу сызығының

VІ-тарау

ПОЗИЦИЯЛЫ ЖӘНЕ

горизонталь жəне фронталь проекция жазықтықтарындағы кескіндерінің бо- йын да жатқан нүкте, яғни D нүктесі АВ түзу сызығына тиісті немесе түзу бойында орналасқан нүкте. Ал, енді С нүктесін қарастыратын болсақ, онда С нүктесінің фронталь проекциясы С₂ нүктесі АВ түзу сызығының фронталь проекция жазықтығындағы кескін бойында емес, тысқары орналасып жатыр. С нүктесінің горизонталь проекциясы С₁ нүктесі – АВ түзу сызығының горизонталь проекция жазықтығындағы кескін бойында жатыр, яғни кеңістікте орналасқан С нүктесі АВ түзу сызығының сыртында тыс орна- ласқан түзу бойында жатпайтын нүкте.

Егер нүкте кескіні түзу проекциясы- ның бойында жатса, онда нүкте түзуге тиіс ті немесе бойында жатады.

6.1.2 Түзу сызықтардың өзара орналасулары Түзу сызықтар кеңістікте өзара

орна ласуларына байланысты парал- лель, қиылысқан, айқасқан жəне перпендикуляр болып келеді.

Егер кеңістікте орналасқан екі түзу сызық параллель болса, яғни олардың горизонталь жəне фронталь проекция жазықтықтарындағы проекциялары да өзара параллель болып, мұндай түзу сызықтарды өзара параллель орналасқан түзу сызықтар дейді.

Мысал ретінде кеңістікте орналасқан АВ жəне СD түзу сызықтарын қарас- тырайық (88-cурет). Көлденең П₁ горизонталь проекция жазықтығында өзара параллель кескінделген А₁В₁ түзуі мен С

1D

1 түзу сызықтары берілген. Осы А₂В₂ жəне С₂D₂ түзу сызықтарының П₂

С

1

А

2

В

2

С2

П2

А

1

В

1

П1

Сх

Ах В_х

D

2

Dх

D1

С

1

А

2

В

2

С2

П2

А

1

В

1

П1

Сх Ах В_х

D

2

Dх

D1

фронталь проекция жазықтығындағы проекциялары да өзара параллель орналасқан.

Жоғарыда айтып кеткендей, егер екі түзу сызықтың горизонталь жəне фронталь проекция жазық- тықтарындағы проекциялары өзара параллель орналасса, онда мұндай түзу сызықтар өзара параллель орналасқан түзу сызықтар болады.

Егер кеңістікте орналасқан екі түзу сызықтың горизонталь жəне фронталь проекция жазық- тықтарындағы проекциялары өзара бір нүктеде қиылысса, онда мұндай түзу сызықтарды өзара қиылысқан түзу сызықтар дейді.

Мысал қарастырайық (89-сурет).

Көлденең П₁ горизонталь проекция жазықтығында өзара К

1 нүктесінде қиылысқан А

1В

1 жəне С

1D

1 түзу сызықтарының кескіні берілген. Ал, П₂ фронталь проекция жазықтығында өзара қиылысқан А₂В₂ жəне С₂D₂ түзу сызықтарының кескіні К₂ нүктесінде қиылысқан. Егер бұл екі К₁ жəне К₂ нүктелері бір байланыс сызығының бойында жататын болса, онда бұл екі түзу сызық өзара қиылысып жатқан түзу сызықтар болады.

Егер кеңістіктегі екі түзу сызықтың горизонталь жəне фронталь проекция жазықтықтарындағы кескіндері өзара қиылысса, бірақ ортақ қиылысу нүктесі болмаса, онда мұндай түзулер өзара ай- қас түзулер деп аталады. Мысал ретінде 90-cуретте орналасқан түзу сызық- тарды қарастырайық. Горизонталь П₁ проекция жазықтығында кескінделген өзара L

1 жəне K

1 нүктелерінде қиылысып жатқан А₁В₁ түзуі мен С₁D₁ түзу сызықтары берілген. Бұл қиылысу нүктелері эпюрдің фронталь П₂ проек- ция жазықтығында L₂ нүктесінің проек- циясы А

2В

2 түзу сызығында жатса, ал K₂ нүктесі С₂D₂ түзу сызығының

С

1

А

2

В

2

С

2

П2

А

1

В

1

П1

Сх А_х В_х

D

2

Dх

D

1

К

2

К1

Кх

С

1

А

2

В

2

С

2

П2

А

1

В

1

П1

Сх А_х В_х

D

2

Dх

D1

К2

К1

Кх

L2

L1

P2

Q2

P1

Q1

бойында жатады. Ал, эпюрдің фронталь П₂ проекция жазықтығында өзара P₂ жəне Q₂ нүктелерінде қиылысқан А₂В₂ жəне С₂D₂ түзу сызықтарының кескіні көрсетілген. Мұнда да P₁ жəне Q₁ нүктелері С₁D₁ жəне А₁В₁ түзу сызықтарының бойында жатады,

яғни қиылысып жатқан түзулер – бір ортақ нүктесі жоқ айқасып жатқан түзулер.

Ескерту, кей жағдайда өзара ай қас түзулердің бір кескіні өзара парал- лель болып та келеді, бірақ келесі кескіні міндетті түрде қиылысуы қажет.

6.1.3 Екі жазықтықтың өзара орналасуы

Кеңістікте жазықтықтар өзара орналасуларына байланысты түзу сызықтар сияқты өзара параллель жəне қиылысқан болып келеді.

Егер кеңістікте орналасқан екі

жазықтықтың проекция жазықтық- тарындағы іздері өзара параллель болса, онда мұндай жазықтықтарды өзара параллель жазықтықтар деп атайды.

91-суретте Р жəне Q жазық- тықтарының іздері арқылы беріл- ген кескіндері көрсетілген.

Сурет те көрсетілгендей бұл екі жазық тықтардың горизонталь жəне фронталь проекция жазық- тықтарындағы іздері өзара парал- лель, яғни кеңістікте орналас қан екі жазықтық – өзара параллель орналасқан жазықтықтар.

Ескерту, егер кеңістікте орна- ласқан екі жазықтық үшбұрыш немесе төртбұрыш арқылы берілсе, П2

П1 Qх

P2

Q2

P

1

Q1

Pх

П

2

П

1

Qх

P2

Q2

P

1

Q1

Pх

М1

М2

N1

N2

онда бұл көпбұрыштарды проекция жазықтықтарына дейін созып, іздерін анықтап алған қолайлы.

Егер кеңістікте орналасқан екі жазық тықтың проекция жазықтықтарын- дағы іздері өзара қиылысатын болса, онда мұндай жазықтықтарды өзара қиылысқан жазықтықтар деп атайды (92-сурет).

92-суретте кеңістікте қиылысып жатқан Р жəне Q жазықтықтарының горизонталь жəне фронталь проекция жазықтықтарындағы іздерімен берілген кескіндері көрсетілген. Горизонталь проекция жазықтығындағы Р₁ жəне Q₁ жазықтықтарының іздері М₁ нүктесінде қиылысады. Ал, фронталь проекция жазықтығындағы Р

2 жəне Q

2 іздері N

2 нүктесінде қиылысып жатыр. Егер табылған М₁ мен N₁ нүктелерін жəне М₂ мен N₂ нүктелерін өзара қоссақ, онда бұл түзу сызықтар екі жазықтықтың қиылысу сызығын береді.

Енді келесі 93-суретте кеңістікте қиылысып жатқан АВС үшбұрышты жə не EDFG төртбұрышты

ж а з ы қ т ы қ т а р д ы ң горизон таль жəне фрон таль проек ция- лары берілген. Екі жазықтық та жалпы жағдайда орналасқан жазықтықтар. Осы ж а з ы қ т ы қ т а р д ы ң қиы лысу сызы- ғын анықтау үшін, алдымен жазық тық- тардың екі қырынан проек цияланушы жа- зық тық деп алып, жазықтық пен түзу- дің екі қиылысу нүк- тесін тауып, өзара осы нүктелерді қо- сып, қиылысу сы-

зығын аламыз.

Фрон таль проекция ж а з ы қ т ы ғ ы н д а ғ ы АВС үш бұрышының АВ қырынан Р п р о е к ц и я л а н у ш ы жазық тығын жүргіз- сек, ал АС қырынан

П

1

^E

¹

С

2

G

1

G

2

П

2

А

2

E

2

Q

2

D

2

В

2

F

2

2

2

4

2

К

2

5

2

6

2

N

2

72

3

2

1

2

P

2

A

1

^C

¹

4

1

N

1

1

1 6

5

2

1

71

F

1

D

1

B

1

K

1

1

1

3

1

Q проекцияланушы жазықтығын жүргіземіз. Фронталь проекция жазық- тығында Р проекцияланушы жазықтығы EDGF төртбұрышының қырларын 1 жəне 2 нүктелерінде қиып өтеді. Ал, Q проекцияланушы жазықтығы EDGF төртбұрыштың қырларын 3 жəне 4 нүктелерінде қиып өтеді.

Бұл табылған нүктелерді горизонталь проекция жазықтығына байланыс сызықтарының көмегімен түсіріп, 1₁, 2₁ жəне 3₁, 4₁ нүктелерін табамыз. Осы нүктелерді өзара қоссақ, бұл сызықтар АВ қырын К нүктесінде, АС қырын N нүктесінде қиып өтеді.

Егер осы табылған нүктелерді горизонталь жəне фронталь проекция жазықтықтарында өзара қоссақ, онда табылған түзу сызық екі жазықтықтың қиылысу сызығы болады.

Енді кеңістікте қиылысып жатқан АВС үшбұрышы мен EDFG төртбұрышының горизонталь жəне фронталь проекция жазықтықтарында жазықтықтардың көрінетін немесе көрінбейтін жақтарын анықтаймыз.

Ол үшін горизонталь проекция жазықтығында бəсекелесіп тұрған 5 пен 6 нүктелерін белгілеп алып, осы нүктелердің фронталь проекция жазықтығындағы кескінін табамыз.

Осы кескінделген нүктелердің қайсысы бірінші тұрса, горизонталь проекция жазықтығында сол нүкте немесе сол қыр көрінетін болады. Міне, осындай жолмен фронталь проекция жазықтығында да көрінетін жағын