第三节
一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力
三、 引力问题
四、 转动惯量
( 补充 )定积分在物理学上的应用
第六章
一、 变力沿直线所作的功
设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x a 移动 到b ,
x 力的方向与运动方向平行 ,求变力所做的功 .
x a
x x d xb
， 上任取子区间
在[a,b] [x, x d x] 在其上所作的功元 素为 dW F(x) dx
因此变力 F(x) 在区间 [a,b]上所作的功为
b
a F x x W ( )d
例 1. 一个单
求电场力所作的功 .
q
O a r r dr b r
1
1解 : 当单位正电荷距离原点 r 时
, 由库仑定律电场力为
r2
k q F
则功的元素为 r r
q W k d
d 2
所求功为 W
abkrq2 d r kq 1r ba kq ( 1a 1b )说明 : 电场在r a处的电势为
a krq2 d r kaq位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a <
b) ,
在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下 ,
S
例 2.
体 ,
求移动过程中气体压力所
O x
解 :
由于气体的膨胀 , 把容器中的一个面积为 S 的活塞 点 从a 处移动到点 b 处 ( 如
图 ),
作的功 .
a b
建立坐标系如图 .
x x dx
由波义耳—马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 ,
即
S , x
k V p k
功元素为 dW Fdx x x k d
故作用在活塞上的 S
p F
x
k
所求功为 W
ab kx dx k
ln x ba k ln ba力为
在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气
m 3 m 5 例 3.
试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解 : 建立坐标系如图
.
O
x x
x x d 在任一小区间
] d ,
[x x x 上的一薄层水的重力为
g
π32 dx这薄层水吸出桶外所作的功 ( 功元素 ) 为 dW 9π g
x dx故所求功为
5
W 0 9 π g
x d x 9 π g
2 x2
g π 5 .112 ( KJ )
设水的密度为 0
5 (KN)
一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为 3m,
面积为 A 的平 板
二、液体的侧压力
设液体密度为 深为 h 处的压 强 :
h g
p
当平板与水面平行时 , h
A p P
当平板不与水面平行时 ,
所受侧压力问题就需用积分解决 .
平板一侧所受的压力为
•
•
小窄条上各点的压强 x
g p
3
3
2g
R 例 4.
的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力 . 解 : 建立坐标系如图
.
所论半圆的
2
2 x
R
y (0 x R) 利用对称性 , 侧压力元素
R
P 0 2g
x R2 x2 dxO
x
y R
xx x d
2
2 R2 x
P
d g x 端面所受侧压力为
x d 方程为
一水平横放的半径为 R 的圆桶 , 内盛半桶密度为
arcsin 0 2
4 2 2 2 2 R
R x x R
x R g
R
, d
2 R2 x2 x
说明 :当桶内充满液体时 ,小窄条上的压强为 g
(R x), 侧压力元素 dP 故端面所受侧压力为
R
R g R x R x x
P 2
( ) 2 2 d奇函数
R3
g
) (R x g
R g R R x x
0
2
2 d
4
t R
x sin 令
O
x
y R
x
x x d
三、 引力问题
质量分别为 m1 , m2 的质点 , 相距 r ,
m1
m2
二者间的引力 r
: 大小 :
2 2 1
r m k m
F
方向 : 沿两质点的连线
若考虑物体对质点的引力 , 则需用积分解决 .
例 5. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直 棒 ,
其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,
该棒对质点的引力 . M
解 : 建立坐标系如图 .
y
2l 2l
]
d ,
[x x x
细棒上小段 对质点的引力大小为
d F k m
dx2
2 x
a 故铅直分力元素为
cos d
d Fy F
a
2 d 2 x a
x k m
2
2 x
a a
( )23
d
2
2 x
a a x m
k
O x x
在 试计算
F d
Fx
d Fy
d
x x d
利用对称性
2
32
0 ( 2 2)
2 l d
x a
a x m
k
Fy
2 0 2
2
2l
x a
a a x m
k
2
4 2
1 2
l a a
l m k
棒对质点引力的水平分力 Fx 0 .
2
4 2
1 2
l l
m F k
a a
故棒对质点的引力大小为
棒对质点的引力的铅直分力为 y M
2l 2l
a a
O x x
F d
Fx
d Fy
d
x x d
2l
O
y
2l
a
x
x x d
x 说明 :
a m k 2
2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处
1) 当细棒很长时 , 可视 l 为无穷 大 ,
此时引力大小为
方向与细棒垂直且指向细棒 .
移到 b (a < b) 处时克服引力作的功 ,
b y
b
a
l y m
k
W 2 2
2 d
2
4 2
1 2
l l
m k
y y
W
d dy
则有
2
4 2
1 2
l l
m F k
a a
O l x ay
cos d
F
Fy
d
32
) (
d
2
2 x
a a x m
k
Fx
d
32
) (
d
2
2 x
a
x m x
k
y l
x a
a x m
k
F 0 ( 2 2)32
d
l
x a x
x m x
k
F 0 ( 2 2)32
d引力大小为 F Fx2 Fy2
2 2
d d
x a
x
k m
F
x x d x Fx
d Fy
d
sin d
F
注意正负号
3) 当质点位于棒的左端点垂线上时 ,
四、转动惯量
( 补 充 )质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量 为
l r2
m I
的质点系 )
, ,
2 , 1 (
, m i n
r
l质质质质 i 质质质 i
质质
2
1 i
n
i mi r I
若考虑物体的转动惯量 , 则需用积分解决 .
r
关于轴 l 的转动惯量为
m
l
R 例 6.
⑴ 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量
;⑵ 求圆盘对直径所在轴的转动惯量 解.: ⑴ 建立坐标系如图
. 设圆盘面密度为
.
的 对应于[x, x d x] 小圆环质量 2 π x dx
对应于 ]
d ,
[x x x 的小圆环对轴 l 的转动惯量 为I 2π x dx
d
3故圆盘对轴 l 的转动惯量为
R x x
I 0
3 d π
2
21 π
R42 21 M R
x x x d x
2
πR
M
设有一个半径为 R , 质量为 M 的均匀圆盘 ,
O
O R x y
x
x x d 平行 y 轴的细条
的 对应于[x, x d x]
关于 y 轴的转动惯量元素 为 d I y
细条质量 :
2y dx xx
y d
2
2 2
x2 R2 x2 dx 故圆盘对 y 轴的转动惯量为
I y R x R x x
R d
2 2 2 2
4
0R x2 R2 x2 dx) sin (令 x R t t
t t
R sin cos d
4
4 2 2
0
2π
π 4
4
1
R ( 2 )
πR
M
2
4
1 M R
⑵ 取旋转轴为 y 轴 , 建立坐标系如图 .
内容小结
(1) 先用元素法求出它的微分表达式 dQ
一般元素的几何形状有 : 扇、片、壳 等 .
(2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算
之 .
1. 用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步 骤 :
2. 定积分的物理应用 :
变力作功 , 侧压力 , 引力 , 转动惯量等 .
条、段、环、带、
(1999 考 研 )
思考与练习
提示 : 作 x 轴如图
. O
x 30
x x d
1. 为清除井底污泥 , 用缆绳将抓斗放入井底 ,
泥后提出井口 , 缆绳每
在提升过程中污泥
以 20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉 ,
现将抓起污泥的抓斗提升到井口 ,
抓斗抓起的污泥重 2000N , 提升速度为 3m /s ,
问 克服重力需作多少焦耳 ( J ) 功 ?
已知井深 30 m ,抓斗自重 400N ,
将抓起污泥的抓斗由
抓起污 米重 50N ,
提升抓斗中的污泥 :
井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 缆绳每米重 50N,
抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度为 3m∕s,
污泥以 20N∕s 的速度从抓斗缝隙中漏掉
x W 400d d 1
克服缆绳重 : dW2 50(30 x)d x 抓斗升至 x 处所需时间
:
) s
3x (
x x
W 30[400 50(30 ) (2000 20 3x)] d
0
x W (2000 20 x) d
d 3 3
3 2
1 d d
d
dW W W W 克服抓斗自重 :
O
x 30
x x d
x y
A B
O
2. 设星形线 x a cos3 t , y asin3 t 上每一点处线密 度的大小等于该点到原点距离的立方 ,
提示 : 如图 .
2 2
2
2 ) d
d ( 2
3
y x
s y
k x
F
k(x2 y2)21 d s
cos dd Fx F
y s x
y x x
k( ) d
2 2
2
2 21
s x
k d
sin dd F F k y d s
) , (x y s
d
在点 O 处有一单 位质点 ,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力 .
同理
k
a tFx 2
0
cos3
t t
t a
t t
a cos ( sin )] [3 sin cos ] d 3
[ 2 2 2 2
t t
t k
a cos sin d
3 2
0
4
2
53 k a22
5
3k a Fy
故星形线在第一象限的弧段对该质点的 2 2
5
3 k a F
Fx
d k x d s, d Fy k y d s
; sin
,
cos3 t y a 3 t a
x
引力大小为
作业 :
P291 2 , 3 , 5 , 9 , 12
x y
A B
O
) , (x y s
d
锐角 取多大时 , 薄板所受的压力 P 最大 .
备用题
斜边为定长的直角三角形薄板 , 垂直放置于解 : 选取坐标系如图 .设斜边长为 l , 水中 , 并使一直角边与水面相齐 ,
cos cot x ly x x
y g d
sin
0
2 cot cos )d
l (
x x
l x
g
) cos
6 (cos
3 3
g l
l
O y
x 则其方程为 y
问斜边与水面交成的
xx x d
sin
0
P l
) cos
6 (cos
3 3
g l P
, d 0
d
令 P3 arccos 3
0
故得唯一驻点
故此唯一驻点 0 即为所求 .
由实际意义可知最大值存在 , 即
0 sin
cos 3
sin 2
, ) , 0 ( 2π
l
O y
x
x y
x x d
