第二节 数列的极限

第一章

二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则

一、数列极限的定义

第二节

数列的极限

r

数学语言描述 :

一 、数列极限的定义

引例 .设有半径为 r 的圆 , An 逼近圆面积 S .

nπ 如图所示 , 可知

n 

A n

n

r n π

π cos

2 sin

) ,

5 , 4 , 3

(n  

当 n 无限增大时 A, _{n 无限逼近} S . ,

 0

 正 正 正 N, 当 n > N 时 ,





 S A_n

用其内接正 n 边形的面 积

总有 ( 刘徽割圆术 )

定义 :自变量取正整数的函数称为数列 ,记作 x_n  f (n) 或

 

^x_n ^. xn 称为通项 ( 一般项 ) .

若数列

 

^x_{n 及常数 a 有下列关系 :}

,

 0

 _{正数 N, 当 n > N 时总有,} 记作

此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .几何解释 :

a a  



 a

( )



   

 x a

a _n

) (n  N 即x_n U (a,



)

) (n  N a

x_n

n 



lim 或 x_n  a (n  )

1

xN x_N2





 a x_n

则称该数列

 

^x_{n 的极限为} a ,

例如 ,  , , 1

4 , , 3 3 , 2 2 1

 n

n

1

 n

x_n n 1 (n  )



 ( 1) , ,

4 , , 3 3 , 4 2 , 1

2 ¹

n

n   ^n

n

x_n  n  (1)^n1 1 (n  )



 , 2 , ,

8 , 4 ,

2 ⁿ

n n

x  2   (n  )



 , ( 1) , ,

1 , 1 ,

1   ^n1

) 1

1 ( ^

 ⁿ

xn 趋势不定

收 敛

发 散

例 1. 已知 ( 1) , n

x n

n n



  ^证明数列

 

^x_{n 的极限为} 1.

证 :

^x_n ^{1  n  (}_n^{1) 1}

n

n

 1 ,

 0





_欲使 x_n ¹ 



^, _即 1 



,

n ^只要 n  ^1 因此 ,

取

, 1 ] [





N _则当 n  N _{时 , 就有}





 

 ( 1) 1 n

n ⁿ

故 ( 1) 1

lim

lim    







 n

x n

n n n

n

例 2. 已知 , ) 1 (

) 1 (

 2

  x n

n

n 证明 lim  0 .



 n

n x

证 : x_n  0  0 )

1 (

) 1 (

2 



 n

n

)2

1 (

1

 

n 1

1

  n ,

) 1 , 0

(





_欲使 x_n  ⁰ 



^, _只要 , 1

1 





n ^即 n 

取 1 1] , [ 





N _则当 n  N _时 , 就有 x_n  0 



,

故 0

) 1 (

) 1 lim (

lim ₂ 



 







 x n

n n n

n

, 0 _n¹₁ ¹_n

xn   _  _故也可取 N  [ _¹ ]

也可由 0 ₍ ¹₁₎₂

 

 n

xn

. 1 1



N 与  _有关 , 但不唯一 不一定取最小的 . N .

说明 : 取 ^{N }



¹_ ^1



例 3. 设 q 1, _{证明等比数列} 1, q , q²,, q^n1,

证 : x_n  0  q^n1  0 ,

) 1 , 0

(

 欲使 x_n  0 



, _只要 q ^n1 



, _即 ,

ln ln

) 1

(n  q 



_亦即

因此 , 取  



 q

N ln

1 ln



, 则当 n > N 时就有,





¹  0 qn

故 lim ^1  0





n

n q

ln . 1 ln

n _{ } q



的极限为 0 .

1

 q ⁿ

 

3a2 b

a b

2

2 b a

a n

b^  x  a  ^



二、收敛数列的性质

证 : 用反证法 .

a x_n

n 



lim _及 lim x_n b,

n 



 且 a  b. 取   ^b₂^a , _因 lim x_n a,

n 



 故存在 N₁ ,

2a ,

n a b

x   ^ 从而 x_n  ^a₂^b 同理 , 因lim x_n b,

n 



 故存在 N₂ , 使当 n > N₂ 时 , 有

2b n a

x  ^ 1. 收敛数列的极限唯一 .

使当 n > N₁ 时 ,

2b a 2a b

2a b

假设

2

2 b a

a n

b^  x  b  ^

 ^a₂^b  x_n  ^3b₂ ^a

2a ,

n b b

x   ^ _从而 x_n  ^a₂^b

矛盾 , 因此收敛数列的极限必唯一 . 则当 n > N 时 ,



^,



^,

max N₁ N₂ N 

取

故假设不真 !

x

n _{满足的不等式}

例 4. 证明数列x_n

 (  1 )

^n1

(

n

 1 , 2 ,



)

_{是发散的 .}

证 : 用反证法 .

假设数列 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取   ₂¹ , _{则存在 N ,}

12

12

  

 x a

a

_n

但因 x_n 交替取值 1 与－ 1 , ) ,

( a  ₂¹ a  ₂¹ 内 ,

而此二数不可能同时落在

12



a a a



12

长度为 1 的开区间

使当 n > N 时 , 有

因此该数列发散 .

 

^x_n

2. 收敛数列一定有界 . 证 : 设^{lim x}_n ^a,

n 



 取

  1 ,

则



N

,

当 n



N 时 , 从而有

xn  x_n  a  a 1 a 取 ^{M  max}



^x₁ ^{, x}₂ ^,_ ^{, x}_N ^{,1  a}



则有 x_n  M ( n 1, 2 , ) . 由此证明收敛数列必有界 .

说明 : 此性质反过来不一定成立例如. ,



^(1)n1



虽有界但不收敛 . a

a x_n  

 ( ) ,

1

 a x_n

有

数列

3. 收敛数列具有保号性 . 若 lim x_n a,

n 



 且 a  0, 当 n  N 时, 有 x_n  0 )

( 0 ( 0)

证 :对 a > 0 , 取   ^a₂, _当ⁿ  ^N_时^,



 a

x_n ^a₂ x_n  a  ₂^a  0

a x

a2

a2

推论 :若数列从某项起 x_n  0, lim x_n a,

n 



且 

则

a

 0

)

( 0 ( 0).

( 用反证法证明 )

O

N ,

N ^

则 

N ,

N ^

则 

*********************

 ,





a x n k

4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 证 : 设数列

{

x_nk

}

_是数列

{

x_n

}

_{的任一子数列} . 若

lim

x _n a

,

n





 则

   0 , _

_N

_,

_当

n  N

_时 ^, _有







a x_n

现取正整数 K , 使n_K  N, 于是当 k



K 时 , 有

k



n n_K



N

从而有 由此证明

lim

x a

.

n k

k







*********************

N nK

xN x_nK

三、极限存在准则

由此性质可知 ,若数列有两个子数列收敛于不同的极 限 ,

例如，

x

_n

 (  1 )

^n1

( n  1 , 2 ,  )

; 1 lim _{2 1} 



 k

k x lim ₂  1



 k

k x

发散 !

夹逼准则 ; 单调有界准则 ; * 柯西审敛准则

.

则原数列一定发散 . 说明 :

a z

y _n

n n

n  







 lim

lim )

2 (

1. 夹逼准则 ( 准则 1)

^(P50)

) ,

2 , 1 (

) 1

( y_n  x_n  z_n n  

a x_n

n 



lim

 



证 : 由条件 (2) ,



 0, N₁,

当n  N_{1 时 ,} y_n  a 



当n  N_{2 时 ,} z_n  a 



令 ^{N  max}



^N₁ ^{, N}₂



^, _则当 n  N _时 , 有



,



  

 y a

a _n a 



 z_n  a 



, 由条件 (1) a 



 y_n  x_n  z_n  a 



即 x_n  a 



, _故 lim x_n a .

n 





2, N

例 5. 证明 1 π

1 π

2 1 π

lim ₂1 _{2 2}  



 





 

 

 



 n n n n n

n 

证 : 利用夹逼准则 .



 





 

 

  π

1 π

2 1 π

1

2 2

2 n n n

n n 

 π 

2 2

n n

n

2 π

2

  n

n

且 lim ₂ π

2

n n

n

n^  ⁿ 1 _n^π

lim 1

 



 1

lim ₂ π

2





 n n

n 1 π₂

lim 1

n  n

  1

n n

 lim 



 





 

 

  π

1 π

2 1 π

1

2 2

2 n n n

n  1

由

2. 单调有界数列必有极限 ( 准则 2 )

^{( P52 )}

M x

x x

x1  2   _n  _n1   

m x

x x

x1  2    _n  _n1   

) (

lim x_n a M

n  





) (

lim x_n b m

n  





xn x_n1 M

x1 x₂ x

m x_n1x_n x₂ x₁ x

( 证明略 )

a

b

例 6. 设 x_n  (1 ¹_n)ⁿ (n 1, 2,), 证明数列

 

^x_n

极限存在 . (P53 ～ P54)

证 : 利用二项式公式 , 有

n n n

x  (1 ¹)



 1

₁ⁿ_!n^{1 1}₂

! 2

) 1 (

n n

n 



^{( 1}₃⁾⁽_! ^{2) 1}₃

n n

n

n  



^_

nn

n

n n n

n 1

!

) 1 (

) 1

(   



^





1 1

) 1

(

¹

1!

n

n



 ( 1 

_n²

)  ( 1 

^n_n¹

) )

1

(

¹

! 21



n



₃¹_!

( 1 

¹_n

) ( 1 

²_n

)

^_





1 1 xn

) 1

(

¹

1!

n

n



 ( 1 

_n²

)  ( 1 

^n_n¹

) )

1

(

¹

! 21



n



₃¹_!

( 1 

¹_n

) ( 1 

²_n

)

^_





₁ 1 1

xn ₂¹_!

( 1 

_n¹_1

) 

₃¹_!

( 1 

_n¹_1

)( 1 

_n²_1

)   )

1 ( )

1 )(

1

(

¹₁ ²_{1 1}

! ) 1 ( 1









  



_{n n n}



_nⁿ

大 大

正 )

, 2 , 1

1 (  

 x _ n x_{n n}









 (1 ¹_n)ⁿ 1 1

xn ₂¹_!

! 31

   

_n¹_!

又

比较可知

根据准则 2 可知数列

 

^x_n

记此极限为 e

, lim (1 ¹)  e





n n n

e 为无理数 , 其值为

59045 7182818284

. 2 e 

即

有极限 .









 (1 ¹_n)ⁿ 1 1

xn ₂¹_!

! 31

   

_n¹_!





1 1 ₂¹ ₂

2



1 ₁

2 1



 

_n

又

 3

21 2

1

1 1 1



 

 ⁿ ₁

2 3  1_

 _n

*3. 柯西极限存在准则 ( 柯西审敛原理 )

^(P55)

数列

 

^x_{n 极限存在的充要条件是 :}

,

 0





_{存在正整数} N ,使当 m  N , n  N _{时 ,}





 _m

n x x

证 : “ 必要性” .设 lim x_n a,

n 



 则



 0, N

n N

m  ,  _时 , 有

使当

2 ,





 a

x_{n x  a }



2

m

因此 x_n  x_m  (x_n  a)  (x_m  a)





 x_n a x_m  a 



“ 充分性” 证明从略 .

,

 N 有

内容小结

1. 数列极限的 “  – ^{N ”} 定义及应 用2. 收敛数列的性质 :

唯一性 ; 有界性 ; 保号性

;任一子数列收敛于同一极限 3. 极限存在准则

: 夹逼准则 ; 单调有界准则 ; * 柯西准 则

思考与练习

1. 如何判断极限不存在 ?

方法 1. 找一个趋于∞的子数列

;方法 2. 找两个收敛于不同极限的子数列 . 2. 已知 x₁

 1 ,

x_n1

 1  2

x_n

(

n

 1 , 2 ,



)

,

求 ^{n n}

 x

lim



时

, 下述作法是否正确 ? 说明理由

. 设

lim

x_n a

,

n





 由递推式两边取极限得

a

a

 1  2

a

  1

不对 ! 此处

 



 n n

lim

x

作业

P30 1,

^*

3 ⁽²⁾ ,

^*

⁴

P56 4 ^{(1) , (3)} 4 ⁽³⁾ 提示

:

2 2

2   

 

xn  2  x_n1

可用数学归纳法证 x_n  2

故极限存在，

备用题

1. 设 ( ) 2

1

1

n n

n x

x a

x _   ( n 1, 2 ,  ) ,

 0 a

,

1  0 , 且 x

求 lim _n .

n x





解：

设 x_n A

n 



lim

则由递推公式有 ( ) 2

1

A A a

A   A   a

) 2 (

1

1

n n

n x

x a x _  

  x_n

xn

 a  a

n n

x x _1

) 1

2 ( 1

2

xn

 a

 (1 )

2 1

a

 a

 1

∴ 数列单调递减有下界，

,

1  0

 x ^故 lim x_n  a

利用极限存在准则

,

 0

 x_n

2. 设a_i  0 (i 1,2,),

证 : 显然 x_n



x_n1

,

证明下述数列有极限 .

) 1

( ) 1

)(

1 ( )

1 )(

1 (

1 ¹_{1 1} ² ₂ a₁ a₂ⁿ a_n

a a

a a a

n a

x  _  _{ }   _{  }

 

) ,

2 , 1

(n   即

 

^x_{n 单调增 , 又}

  

 ⁿ

k k

n k

a a

x a

1(1 1)(1 ) 

 



1 1

1 1

a

 1

( ) 1

    

 ⁿ

k ² (1 a₁) (1 ak ₁) 1

 



 

) 1

( )

1 (

1

1 ak

a  )

1 ( )

1 ( 1 1

1 an

a 

 

  1 _n

n x



 lim _存在

“ 拆项相消” 法