第四节 多元复合函数的求导法则

第四节

一元复合函数

y  f (u), u 



(x)

求导法则

x

u u

y x

y

d d d

d d

d  

本节内容 :

一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分

x x

u f

u u

f

y ( )d ( ) ( )d

d    ^



^

微分法则

多元复合函数的求导法则

第九章

)) ( ),

(

( t t

f

z 

 

一、多元复合函数求导的链式法则

定理

.

若函数

u 



(t), v 



(t)

在点

t

可导

, z  f (u,v)

处偏导连续

,

) , (u v

在点

在点

t

可 导

,

t v v

z t

u u

z t

z

d d d

d d

d 



 

 

 

z

则复合函数

证

:

设

t

取增量△

t , v v

u z u

z z 



 

 

 

  o ₍



₎ (



 (u)²  (v)² )

则相应中间变量

且有链式法则

v u

t t

有增量△

u ,

△

v ,

,

 0

 t

令 则有

u  0, v  0,

t o

 ) (



(

全导数公式

)

t v v

z t

u u

z t

z







 







 





t o

 (



)

z

v u

t t

) ) (

) (

(



 u ²  v ²

) (





 o ( )² ( )² t

v t

u



 



  0

(

△

t

＜

0

时 , 根式前加“–”

号 )

t v t

v t

u t

u

d , d

d

d 



 





t v v

z t

u u

z t

z

d d d

d d

d 



 

 

 

若定理中

说明

: f (u,v)

在点

(u,v)

例如

: z  f (u, v)  t v

t

u  , 

易知

: (0,0) 0 , )

0 , 0

(  





fu

u z

但复合函数

z  f (t, t )

2 1 d

d 

t

z



t v v

z t

u u

z

d d d

d 



 

 

  01 01  0

0 )

0 , 0 ) (

0 , 0

(  





fv

v z

偏导数连续减弱为 偏导数存在

,

2

 t

0

, ^{2 2}

2 2

2  

 u v

v u

v u

,

0 u²  v²  0

则定理结论不一定成立

.

推广

:

1)

中间变量多于两个的情形

.

, ) , ,

(u v w f

z 

设下面所涉及的函数都可微

.

t  z d d







   ^{ }

 f₁ f₂ f₃

2)

中间变量是多元函数的情形

.

) , ( ,

) , ( ,

) ,

(u v u x y v x y

f

z  







 

 x z

1 2

1

1



  ^



^

 f f

2 2

2

1



  ^



^

 f f

 

 y z

z

z

w v

u

v u

y x

t t

t t

u u

z d

 d





t v v

z d

 d



 

t w w

z

d

 d



 

x u u

z



 





x v v

z



 



 

y u u

z



 





y v v

z



 



 

) ( ,

) ( ,

)

(t v t w t

u 











例如

,

例如

,

y x

又如

,z  f (x,v), v 



(x, y)

当它们都具有可微条件时

,

有

x z





1 2

1  ^



^

 f f

y z





2 2^



^

 f

f z  x

y x

注意

:

这里

x z





x f





x z





表示

f ( x,  ( x, y ) )

固定

y

对

x

求 导

x f





表示

f ( x, v )

固定

v

对

x

求导

口诀

: x

f



 

x v v

f



 



 

y v v

f



 



 

与 不同

,

v

分段用乘

,

分叉用加

,

单路全导

,

叉路偏导

例

1.

设

z  e^u sin v, u  xy , v  x  y, , . y z x

z







求



解

:

x z





u sin v

 e

)]

cos(

) sin(

[

e^xy y  x  y  x  y

 y z





)]

cos(

) sin(

[

e^xy x  x  y  x  y



u sin v

 e

x u u

z



 



 

x v v

z



 



 

u cosv

 e

y u u

z



 



 

y v v

z



 



 

u cosv

 e

 y

^1

 x  1

z v u

y

x x y

例

2. u  f (x, y, z)  e^x2y2z2 , z  x²sin y,

y u x

u







 ,

求

解

:

x u





2 2

e 2

2x ^{x y z}



y x

y

y x

x

x (1 2 ² sin² )e ^{2 2 4 sin2}

2  ^{ }



x y z

y x

u

y u





2 2

e 2

2y ^{x  y z}



y x

y

y x

y x

y ⁴ sin cos )e ^{2 2 4 sin2} (

2  ^{ }



x f



 

x z z

f



 



 

2 2

e

2

2 z

^{x  y z}



y f



 

y z z

f



 



 

2 2

e 2

2z ^{x  y z}



y xsin

 2

y x² cos



例

3.

设

z  uv  sin t , . d d

t z

z

t v

u

t t

t z d d

v e t



t t

t (cost sin ) cos

e  



t u u

z

d

 d



 

t v v

z d

 d



 

t z



 

求全导数

,

e^t

u  v  cost ,

解

:

t u sin

  cost

注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到

,

下列两个例题有助于掌握

这方面问题的求导技巧与常用导数符号

.

为简便起见

,

引入记

号

₁ , ₁₂ ² , v

u f f

u f f





 

 

 

 ) ,

1 (x y z xyz f   



例

4.

设

f

具有二阶连续偏导数

,

, ) ,

(x y z xyz f

w   

求

, .

2

z x

w x

w











解

:

令

u  x  y  z , v  xyz ,

x w





w

v u

z y

x x y z

) , (u v f

w 

1 1

 f  f₂  yz

) ,

2 (x y z xyz f

z

y   



则

z x

w





²

11 1

 f

2 2 22

12

11 y(x z) f xy z f y f

f        



y x f  

 ₁₂  y f₂  yz[ f₂₁ 1

 f

₂₂

 

x y

]

2 1 , , f  f 

(

当 在二、三象限时

, )

 _

_{ }

_

x arctan y

例

5.

设

u  f (x, y)

二阶偏导数连续 , 求下列表达式在

2 2 2

2 2

2 ( ) , (2) )

( ) 1

( y

u x

u y

u x

u



 







 





解

:

已知

x  r cos



, y  r sin



u



r

y

x x y

极坐标系下的形式

x r r

u







  x u

 (1) 

,

则

x y y

x

r  ²  ² ,



 arctan

r x r u



 

r , x x

r 



 



 x



^_x^2y )2

(

1 _x^{y x2 y2} y



  x

u







 





r2

y u





 

r u

r

u



 

^sin

cos 

 



 

y u





y r r

u







 

2 2 2

1

) ( , 1

y x

x y

r y y

r

x xy

 

 



 



 

r u

r

u



 

^cos

sin 

 



 

y u







 





2 2

2 2

2 1 ( )

) (

) (

)

( 



 



 



 



  u

r r u y

u x

u

r y r u



  ₂

r x u





 

u



r

y

x x y

r u

r u x

u 

  ^sin

cos 

 



 





已知

r





) sin

( 



 

r u

r

u



 

^sin

cos 

 



 )

( x u x 





 

2 2

) 2

( x

u





r u

r u x

u



 

^sin

cos 

 



 





u



r

y

x x y

 

  ( )

r x

u



 ( )





 

x u





r u

r

u



 

^sin

cos 

 





2



2 2

r cos u



 

2

cos sin

u

 





 



cos r



sin x

u





r r

u

 



cos

2 sin





 

2 2 2

2 sin r

u







  2

r r

u sin²





  2



cos )

( 



 

r

^注意利用 _已有公式

2 2

y u





 

 



 ²₂ ²₂ y

u x

u

2



1

 r

2 2

x u





2 2 2

2 2 2

2

2 sin cos sin

2

cos r

u r

r u r

u 







 



 





 



 

r r

u r

u   



2 2

sin cos

sin 2



 



 

r r

u r

u   



2 2

cos cos

sin 2



 



 

同理可得

2 2

r u





2 2 2

1



  u r r

u r 

1 

2



2

)

( 

 







 u

r r u r r

2 2 2

2 2 2

2

2 sin cos cos

2

sin r

u r

r u r

u 







 



 





 



 

二、多元复合函数的全微分

设函数

z  f (u,v), u 



(x, y), v 



(x, y)

的全微分为

y y

x z x

z z d d

d 

 



 

x x v v

z x

u u

z ) d

( 

 



 



 



  y

y v v

z y

u u

z )d

( 

 



 



 



 

u z



 

v z



 

u z



 

可见无论

u , v

是自变量还是中间变量

,

) d d

( y

y x u

x u



 



 ( d dy)

y x v

x v



 





则复合函数

z  f ( (x, y ), (x , y))

u

d v

z



  dv

都可微 ,

其全微分表达

形式都一样

,

这性质叫做全微分形式不变性

.

例

1 . z  e^u sin v, u  xy, v  x  y, _{, .} y z x

z







求



] )

cos(

) [sin(

e^xy x  y  x  y



例

6.

利用全微分形式不变性再解例

1.

解 :

dz  d( ) u

u sin v d

 e

)]

cos(

) sin(

[

e^xy y x  y  x  y



)]

cos(

) sin(

[

e y x y x y

x

z  _xy    





)]

cos(

) sin(

[

e x x y x y

y

z  _xy    





所以

u sin v e

v

u cosv d

 e

] )

cos(

) [sin(

e^xy x  y  x  y

 d (xy) d (x  y)

] ) cos(

) sin(

[

e^xy x x  y  x  y



) d (dx  y x

d

y d )

d d

(y x  x y

内容小结

1.

复合函数求导的链式法

则“ 分段用乘

,

分叉用加

,

单路全导

,

叉路偏导”

例如

, u  f (x, y,v), v 



(x, y), u

v y

x

y x

 

 x

u f1  f₃ ₁^ ; _



 y

u f2  f₃ 



₂^

2.

全微分形式不变性

,

) , (u v f

z 

对 _不论

u , v

是自变量还是中间变量

, v u f u v v

u f

z _u ( , )d _v ( , )d

d  

思考与练习

解答提示

: P81

题

7

 

 v

z

)2

( 1

1

yx

  1

v x



 x z





y z



 

v y





)

( ₂

y

 x

 (1) y

 1

)2

( 1

1

xy

 

2

2 y

x

x y



 

2

2 v

u

u

 

P81 题 7; 8

⁽²⁾

; P130 题 1 1

v u

y v u

y x

z  arctan x ,   ,  

……

z

y x

v

u u v

P81

题

8(2)

 

 x u

y

 1

f1 1 ₁ y f 



 

 y

u f1 ( ₂ ) y

 x

  f₂ z

 1

 

 z u

f2 ( ₂ ) z

 y



2 2 1

1 f f z

y

x  





2 f2

z

y 





 

z y y

f x

u  , f

y x

① ②

z y

f1



 

 x

z _y

 e

f1  f₂

 





y x

2 z

ey  f₁₁  x e^2y  e ^y  f ₁₃

x e y

 

 f ₂₁  f ₂₃

作业

P81 2; 4; 6; 9; 10;

^*

12 ⁽⁴⁾ ;

^*

13

P130

题

1 1

x y

u y

x u f

z  ( , , ),  e

y x

u y x

z x

z

 , 

备用题

, 1 )

,

(x y _yx2 

f f₁(x, y) _{y x2}  2x ,

1.

已知



求

. )

,

( ₂

2 x y y x

f  _

解

:

由

f (x, x²) 1

_两边对

x

求导

,

得

( , ) 2 0 )

,

( ² ₂ ²

1 x x  f  x x  x  f

x x

x

f₁( , ²)  2 1

) ,

( ²

2 x x   f

2.

) ) 1 , 1 ( , 1 ( )

1

(  f f



) 1 d (

d ₃

 x x

x



1 )

1 , 1

( 

 f d 1

) d (

3 ² 





x



x x



 3 f₁(x, f (x, x))

 

)) ,

( ,

2(x f x x f 

 f₁(x, x)  f₂(x, x)



_{x  1}



 3  51

, 1 )

1 , 1

( 

f

, )) ,

( , ( )

(x  f x f x x



,

) 2

1 , 1

( 



 x

f

求

.

) 1 d (

d ₃

 x x

x



) , (x y f

z 

_在点

(1,1)

_处可微

_,

_且 设函数

,

) 3

1 , 1

( 



 y

f

解

:

由题设



^{2  3 (2  3)}



(2001

考研

)