第一章
二、 无穷大
三 、 无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小
第四节 无穷小与无穷大
当
一、 无穷小
定义 1 . 若x x0 时 , 函数 f (x) 0 , 则称函数 f (x)
x0
x
例如 :
, 0 )
1 (
lim1
x
x 函数 x 1当x 1 时为无穷小 ; ,
1 0 lim
x
x 函数
x
1 x 时为无穷小 ;
, 1 0
lim 1
x
x 函数 1 x
1 当 x
)
(或x
为 时的无穷小 .
时为无穷小 .
)
(或x
说明 : 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 因为 !
0 )
( lim
0
f x
x
x
0 , 0 ,
当
0 x x
0
时 ,
0 )
( x f
显然 C 只能是 0 C
C
x
0x
( 或 时 , 函数f (x) 0 , )
x
则称函数
f ( x )
为x x
0定义 1. 若
( 或 )
x
则 时的无穷小 .
其中 为
x x
0时的无穷小量 .
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
A x
x
f
x
( ) lim
0
A x
f ( ) ,
证 :
f x A
x
x
( ) lim
0
, 0 ,
0
当0 x x
0
时 ,
有
A x
f ( ) A x
f
( )
lim 0
0
x x
对自变量的其他变化过程类似可证 .
M x
f ( )
二、 无穷大
定义 2 . 若任给 M > 0
,
0
0
0 x x
一切满足不等式 的 x , 总有
则称函数
f ( x )
当x x
0 时为无穷大 ,使对
0
lim ( )
x x f x
若在定义中将 ①式改为
①
M x
f ( )
则记作
( ) lim
0
x
x f
x ( lim ( ) )
0
f x
x x
) ( x X
) ( x
(lim ( ) ).
x f x
( 正数 X ) ,
记作
, ) )
(
( f x M 总存在
注意
:
1. 无穷大不是很大的数 , 它是描述函数的一种状态 . 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
例如 , 函数f (x) x cos x, x (, )
) π 2 ( n
f 2n π (当n ) 但 f (2π n π) 0
时,
所以 x f (x) 不是无穷大 ! y xcos x
O x
y
例 . 证明
1 lim 1
1 x
x
证 : 任给正数 M
, 要使 ,
1
1 M
x
即 1 ,
1 M
x 只要取 1 ,
M
则对满足 0 x 1
的一切 x , 有 x M1 1
所以 .
1 lim 1
1
x
x
1 1
y x
若 lim ( ) ,
0
f x
x
x 则直线 x x0
为曲线 y f (x) 的铅直渐近线 . 铅直渐近线 说明
:
x y
O 1
三、无穷小与无穷大的关系
若 f (x) 为无穷大 ,
) ( 1
x
f 为无穷小 ; 若 f (x) 为无穷小 , 且f (x) 0, 则 ( )
1 x
f 为无穷大 .
则
( 自证 ) 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为
无穷小来讨论 .
定理 2. 在自变量的同一变化过程中 ,
说明 :
内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小与无穷大的关系 Th2
思考与练习
P42 题 1 , *3P42 题 *3 提示 :
1 2
x
y 1x 2,
2 101
0 4
x
