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可分离变量微分方程 第二节

解分离变量方程

^{g(y)dy  f (x) dx}

可分离变量方程

) ( )

d ( d

2 1 x f y x f

y 

0

)

( d

)

( ₁

1 x x  N x 

M M ₂(y) N₂( y) dy

第七章

分离变量方程的解法 :

x x

f y

y

g( )d  ( ) d 设 y ＝ (x) 是方程①的

解 , g( (x))(x)dx  f (x)dx 两边积分 , 得



g( y) dy ^

^

^{f (x)dx}

①

C x

F y

G( )  ( ) 

则有恒等式

② 当 G(y) 与 F(x) 可微且 G^ (y)  g(y)  0 时 ,

的隐函数 y ＝ (x) 是①的解 .

则有

称②为方程①的隐式通解 , 或通积分 .

同样 , 当 F^ (x) = f (x)≠0 时由②确定的隐函数 , x ＝ (y) 也是①的解 .

设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x),

说明由②确定

例 1. 求微分方程 x y x

y ₂

d 3

d  的通解 .

解 : 分离变量得 x x y

y 3 d

d  ₂

两边积分 x x y

y 3 d

d ₂





^

得 ln y  x³  C₁

C x

y ln

ln  ³  即 y  e^x3C1  e^C1e^{x 3}

e^x 3

C y 

e^C1

C   令

( C 为任意常数 ) 或

说明 : 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形 , 因此可能增、

减解 .

( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )

例 2. 解初值问 题

0 d

) 1 (

dx  x²  y  y

x

解 : 分离变量得 x x

x y

y d

1 d

 2





两边积分得 C

y x ln

1 ln 1

ln 2 

  即 y x² 1  C 由初始条件得 C = 1,

1

2 1  x

y

( C 为任意常数 ) 故所求特解为

1 )

0

( 

y

例 3. 求下述微分方程的通解 : ) 1 (

sin²  

  x y y

解 : 令 u  x  y 1, _则 y u 1 

故有 1 u  sin² u 即 sec² u du  dx

C x

u   解得 tan

C x

y

x  1)  

tan( ^{( C} 为任意常数 ) 所求通解 :

练习 : e . d

d 的通解

求方程 ^{x y} x

y  _

解法 1 分离变量 e^ydy  e^xdx

x C

y  

 e^ e

即 ( e^x  C )e ^y 1  0 ( C < 0 ) 解法 2 令 u  x  y, 则u 1 y

故有 u 1 e^u

积分 u x C

u  



₁^d _e

C x

u  ln (1 e^u )  

( C 为任意常数 ) 所求通解 : ln (1 e^xy )  y  C

u u

u u

e d 1

e )

e 1



( ^ _ ^ 积分

例 4.

子的含量 M 成正比 ,

0,

M _求在

衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规 律 .

解 : 根据题意 , 有

) 0 d (

d   M   t

M

0

0 M

M _t  ⁽ 初始条件 ) 对方程分离变量 , M

M d ,

ln ln M   t  C

得 _即 M  C e^t 利用初始条件 , 得 C  M₀

故所求铀的变化规律为 M  M ₀ e^t .



然后积分 : 



( )d t 已知 t = 0 时铀的含量

为

已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原

M M0

O t

例 5.

成正比 , 求

解 : 根据牛顿第二定律列方 程

t  m v

d d

0  0



v t

初始条件为 对方程分离变量 ,

m t v

k mg

v d

d 







然后积分 :

得 C

m v t

k g

k m   

 1 ln ( )

) 0 (此处 mg  kv  利用初始条件 ,

得 1 ln ( ) g k m

C   代入上式后化简 , 得特解

并设降落伞离开跳伞塔时 ( t = 0 ) 速度为 0 ,

) e

1

( ^{m t}

k

k g

v  m  ^

mg  kv

设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系 .

k g

v  m

t _足够大时

m 1

例 6. 有高 1 m 的半球形容器 , 水从它的底部小孔 流出 ,

. cm

1 ²



S _{开始时容器内盛满了水}

从小孔流出过程中 , 容器里水面的高度 , h 随时间 t 的变

r 解 : 由水力学知 , 水从孔口流出的流量

为

t Q V

d

 d  k S 2 g h

即 dV  kS 2gh dt 小孔横截面积 求水

化规律 .

流量系数 孔口截面面积

重力加速度

设在 [t , t  d t ] _{内水面高度由 h 降到} h  d h ( d h  0), h h  d h

h O

对应下降体积

h r

V d

d   ²

2

2 (1 )

1 h

r     2h  h² dV  π(2h h 2) dh

因此得微分方程定解问题

: _{kS 2 gh td  π(2h h} ²_{) dh}

0  1



h t

将方程分离变量 :

3

12 2

d (2 ) d

2

t π h h h

k S g

  

m

r 1

h h  d h

h O

两端积分 , 得

2 t π

k S g

  ²³

3

( 4 h )

5 2 ⁵₂

C h 



利用初始条件 , 得 , 15

14

 C

则得容

0  1



h t

器内水面高度 h 与时间 t 的关系

: ) (s)

7 3 7

1 10 ( 10 068

.

1 ⁴ h²³ h²⁵

t    

可见水流完所需时间为 t  1.06810⁴(s)

m

r 1

h h  d h

h 因 O

3 此5

2 2

14 10 3

(1 )

7 7

15 2

t π h h

k S g

  

代入上式，

以k  0.62, S  10^4 m², g  9.8m s²

内容小结

1. 微分方程的概念

微分方程 ; 定解条件 ;

2. 可分离变量方程的求解方法 :

说明 : 通解不一定是方程的全部解 .

0 )

( x  y y  

^有解

后者是通解 , 但不包含前一个解 .

例如 , 方程

分离变量后积分 ; 根据定解条件定常数 . 解 ;

阶 ; 通解 ;特解

y = – x 及 ^{y = C}

(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程 .常用的方法 :

1) 根据几何关系列方程 ( 如 : P298 题 5(2) ) 2) 根据物理规律列方程

3) 根据微量分析平衡关系列方程

(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件 .(3) 求通解 , 并根据定解条件确定特解

.

3. 解微分方程应用题的方法和步骤

例 4 例 5

例 6

思考与练习

求下列方程的通解 :

0 d

) (

d ) (

) 1

( x  xy² x  x² y  y y 

提示 : x

x y x

y

y d

d 1

1 ²   ²



) sin(

) sin(

) 2

( y  x y  x  y

(1) 分离变量

(2) 方程变形为 y  2cos xsin y

C y  2sin x  tan 2

ln

作业

P 304 1 (1) , (5) , (7) , (10);

2 (3), (4) ; 4 ; 5 ; 6