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练习 3.1

（3.1.1 原函数与不定积分的概念）

一、选择题：

1. 若f(x)^的导数是sin x，则 f(x)的一个原函数为（ ）.

（A）1sin x （B）1sin x

（C）1cosx （D）1cosx

解：因为 f(x)sinx，若设F(x)^是 f(x)^{的原函数, 则须}F(x)sinx, 故应选（B）.

2.设 f(x)^{连续，则[}



^f(ex)dx]^{（ ）.}

（A） f(e^x) （B）f(e^x)dx

（C）e^xf(e^x) （D）e^xf(e^x)

解：记g(x) f(e^x)^，那么[



f(e^x)dx][



g(x)dx]g(x) f(e^x)^{.故应选（B）.}

3.函数f(x)^在区间I ^上连续是 f(x)存在原函数的（ ）

（A）充分而非必要条件 （B）必要而非充分条件

（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 解：选（A）

二、填空题：

1.设F(x)^是函数

x e^x

的一个原函数，则dF(x²) .

解：根据原函数的概念知，

x x e F

x

( ) ，从而

x dx xdx e x

xdx e x

F x dF

x

x^{2 2}

2 2 2

) ( )

( ²   ²   ₂   .

2. 已知f(x)^{的一个原函数为}e^3xcos2x^，则



^f^(x)dx . 解：根据原函数的概念知， f(x)(e^3xcos2x)e^3x(3cos2x2sin2x)，从而

C x x

e C x f dx x

f    ^x  



^{( ) ( ) 3 (3cos2 2sin2 ) .}

3.



¹^sin2xdx (sin xcosx).

解：原式



^(cosx^sinx⁾dx^sinx^cosxC^. 三、计算解答

1. ⑴



^2x32x43xdx ⑵



_sin^cos2 _xcos^2x2 _x^dx

解：⑴原式 dx C

x

x 







 









^{(2 32 43)} _ln(⁽²₂³²₃²⁴³₄⁾³₎ ^.

⑵解：原式 dx x x C

dx x dx x

x x

x

x     





^cos_sin²² _cos^sin22



_sin¹²



_cos^{12 csc sec .}

2.已知F(x)^在

 

^{1,1 上连续，在}(1,1)^内

1 2

) 1 (

x x

F   ，且 ,

2 ) 3 1

( 



F ^求F(x).

解：因为 dx x C

x dx

x F x

F  

 









^arcsin

1 ) 1

( )

( 2 ，又 ,

2 ) 3 1

( 



F ^所以C ，

故F(x)arcsinx.

3. 已知f(x) f(x4), f(0)0^，且在(2,2)^内 f(x) x ，求 f(9)^.

解：因为 











 

 , 2 0,

, 2 0

) ,

( x x

x x x

f 所以



























, 0 2

2 ,

, 2 0

2 ,

) (

2 2

1 2

x x C

x x C

x f

又 因 为 函 数 可 导 必 连 续 ， 则 有 f(0) f(00) f(00) ^{， 从 而}C₁ C₂ 0 ， 故























, 0 2

2 ,

, 2 0 2 ,

)

( 2

2

x x x x x

f 则有

2 ) 1 1 ( ) 5 ( ) 4 5 ( ) 9

(  f   f  f 

f .

练习 3.2

（3.1.2 不定积分的性质）

一、选择题

1．下列结论不正确的是（ ）.

（A）一切初等函数在其定义区间上都有原函数 （B）凡奇函数的原函数都是偶函数

（C）若 f(x)的某个原函数为常数，则 f(x)0 ^（D）[



^{f(x)dx]}



^f(x)dx

解：应选（D）.

2. 设

2 2

( 1) ln 2

1 f x x

  x

 ^，且f( ( )) x ln(1x)^{，则不定积分}



( )dx x^{（ ）}

（A）ln x ； （B）ln x C； （C）ln x ； （D）ln x C

解：

2 2

2 2

( 1) ln ln(1 1 )

1 1

f x x

x x

   

  ^{，令 2}

1 t 1

 x

 ^，

( )1 ln(1 )

f t

t   ^，故 1

( )x

  x ^， ( )dx x ln x C

  



^{，选（D）}

3.设F x( )^是函数 f x( )^在( , )a b 上的一个原函数，如果在点

0 ( , )

x  a b ^处有 f x( ₀) 0^， ( )0 0

f x  ^{，则（ ）}

（A）x₀是F x( )^{的极小值点}

（B）x₀是F x( )^{的极大值点}

（C）( , ( ))x F x0 0 是曲线yF x( )^的拐点

（D）x0^不是F x( )^的极值点 解：选（A）

二、填空题

1.



^xf^(3x2 ^1)dx .

解：



xf⁽³x² ^1)dx ₆¹



f⁽³x² ^1)d(3x² ¹⁾ ₆¹ f⁽³x² ¹⁾C^.

2.设 f(x)^在(0,)^{内可导，且当}x0时，有



f⁽x^3)dx⁽x^1)ex C^，则

 ) 1 (

f .

解：依题意， f(x³)[(x1)e^x](2x)e^x，令x1得f(1)e^1.

3.设 1 0 1

(ln )

1 f x x

x x

  

    ^及 f(0)2^，则函数 f x( )=

解：令tln ,x xe^t， 1 0 ( ) ^t 0 f t t

e t

 

  

  ^，

1 2

0 ( ) ^x+C 0

x C x

f x e x

 

 

  ^{，由 f(0) 2 及}x0

处的连续性得 2 0 ( )

+1 0

x

x x

f x

e x

 

 

  ^.

三、计算 1.

3 2

4

2 1

x x d x x

 



2.

4 4

3

2d x x

x x

  



3.

2 2

4

1 1

d 1

x x

x x

  





解：1.原式=

1 5 1 5 17 3

4 12 4 4 4 24 12 4 4

( 2 )d

5 17 3

x  x x^ x x  x  x C



2.原式=

2 2 2

2 2

3 3 5 4

1 1

( )

1 1 1

d d ( )d ln

4

x x

x x x x x x C

x x x x x

 

     

  

3.原式=

2 2

1 1

( )d

1 1

x

x x

  



2

2 2

2

ln 1 ln 1 ln 1

1

x x

x x x x C C

x x

 

        

 

练习 3.3

（3.1.3 基本积分表）

一、选择题

1.设有函数ln(ax)

与

ln(bx)，且ab，则（ ）.

（A）ln(ax)^{的原函数是} ax

1 ，ln(bx)^{的原函数是} bx

1

（B）ln(ax)^与ln(bx)^{的原函数都是} x 1

（C）ln(ax)^与ln(bx)^{的原函数不相等}

（D）ln(ax)^与ln(bx)^{的原函数相等，但不是} x 1

解：应选（C）

2.设 f(x)^连续，且



f⁽x^)dxF⁽x⁾C，则下列各式中正确的是（ ）.

（A）



f^(e2x)e2xdxF^(e2x)C ^（B）



^{f(sin x)cosxdxF(sin x)C}

（C）



f^(cosx^)sinx^dxF^(cosx⁾C ^（D）



^f(1_x⁾_x^{12 dxF(1}_x^)C

解：本题考查不定积分凑微分法，只有（B）正确，其余三个选项都是错误的，其正确形式 如下：



f^(e2x)e2xdx ¹₂



f^(e2x)de2x  ₂¹F^(e2x)C^，

C x F x x f x x x

f 



 



^{(cos )sin d (cos )dcos (cos ) ，}

x C x F

f x x x

f x 



 



^{(1) 12 d (1)d(1) (1) .}

3.设 f(cos²x)sin²x，则不定积分



f x x( )d ^{（ ）.}

（A）1 ² 1 ³

2x 6x Cx ^（B）1 ² 1 ³

2x 6x Cx C

（C）1 ² 1 ³

2x 6x C ^（D）1 ² 1 ³ _{1 2} 2x 6x C x C

解：令tcos²x^， f t( ) 1 t^， ( ) ² 2

f t  t t C， 1 ² 1 ³ _{1 2}

( )d 2 6

f x x x  x C x C



^，

选（D）

二、填空题 1.不定积分

3 2 1

4 d

x x

x x

  



解：原式= ₁

3 1 3

( ) ( ) ( )

3 1 4 2 4 1

( ) 2 ( ) d 2

3 1

4 2 ln ln ln 3 ln 4 2 ln 2

4 2

x x x

x x

x C x_ C

        





2.不定积分



(1  x 1 x)dx

解：

2 1

1 1 2 1 1

2 1

x x

x x x

x x

  



      

 



，原式=

2 1 2 2

3

+C 1

2 1 1

+C 1

x x

x C x

x x

  

    

 



3.设 f x( ) f x( 4) (   x )^， f(0)0^，且在[ 2, 2) ^{内 f x( )max 1,}

 

^{x2 ，则}

(5)

f ^及 f(2)分别为

解：

2 - 2 1,1 2

( ) 1 -1 1

x x x

f x x

     

  

   ^，

3 1

2 3

3

2 1 3

( ) 1 1

1 2 3

x C x

f x x C x

x C x

     



    

   



，由 f(0) 0

及x 1,1^{处的连续性，得}

3

3

2 2 1

3 3

( ) 1 1 +2 1 2

3 3

x x

f x x x

x x

     



   

  



所以 10

(5) (1) 1, (2) ( 2) f  f  f  f    3

三、计算

1. 1 ₂ 1

ln d

1 1

x x

x x



 



2.

3

sin cos sin cos d

x x

x x x





 3.

2 4

1d 1

x x

x







解：1.原式=1 1 1 1 ²1

ln d( ln ) ln

2 1 1 4 1

x x x

x x x C

    

  



2.原式=

2 3 3 3

1 3 3

d( sin cos ) ( sin cos ) 1 sin 2

2 2

sin cos x x x x C x C

x x       





3.原式= ²

2 2

2

1 1

1 2

1 1 1

d d( ) ln

1 ( 1) 2 2 2 1 2

x x x x x C

x x x x

x x x

  

   

    

 

2 2

1 2 1

ln

2 2 2 1

x x

C

x x

 

 

 

练习 3.4

（3.1.4 换元积分法）

一、选择题：

1. 已知 f x x x C

x



 



 2 (arcsin )d 2arcsin² 1

1 ，且f(0)1^，则f(x)^{（ ）.}

（A）2x² 1； （B）2arcsin² x； （C）2x²； （D）2arcsin² xC

解：因为 ₁

2 (arcsin )d (arcsin )d(arcsin ) (arcsin ) 1

1 f x x f x x f x C

x



 

 







^，

从而 f(arcsinx)2arcsin²xC₀^，则有 f(x)2x² C₀^，由f(0)1^得C₀ 1^，

故 f(x)2x²1^{，应选（A）}

2. 设 f(x)e^x，则  



^{f (ln}_x ^{x)dx （ ）.}

（A） C x

1

； （B）lnxC； （C） C x

1 ； （D）lnxC

解：因为 C

C x e

C x f x d x f x dx

x

f      _ x   





^{(ln ) (ln ) ln (ln ) ln 1 ，故选（C）}

3.用换元法计算不定积分

2

1 d

1 x x x 



时使用变量代换（ ）是不适宜的.

（A）t  x²1； （B） tan ( )

2 2

x_ t _{  } t 

； （C） 1

xt ； （D）tx² 解：选（D）

二、填空题：

1.设



f⁽x^)dx^sinx^lnxC^，则



^f_f^₍⁽_x^x₎^)dx ；

 



^{f(x)f (x)dx} . 解：因为

x x x x C

x x x

f sin

ln cos ) ln (sin )

(     ^，

所以 C

x x x x C

x f x

x df dx f

x f

x

f      





₍⁽ ₎⁾ ₍¹ ₎ ^{( ) ln ( ) ln cos ln sin ；}

x C x x x C

x f x df x f dx x f x

f  



    



^{( ) ( ) ( ) ( ) 1}₂ ^{2( )} ₂^{1(cos ln sin )2 .}

2. 



2  2

d x a

x

x .

解一：令xasint，则 a tdt a t C a x C x

a

xdx      







2 2 sin cos ^{2 2} .

解二： a x C

x a

x a d x

a

xdx   



 

 





2 2 ^{2 2}

2 2 2

2

) (

2 1

3.设a 0，不定积分 





_(ax_b)^d_ln(^x _{ax b)} .

解：原式 ax b C

b a ax

b ax d b a

ax b

ax

b ax d

a   



 





 ¹



₍ ⁽_{) ln(} ⁾ ₎ ¹



_ln(^ln( ₎^{) 2 ln( )}

三、计算下列不定积分：

1.



^{cos4 xsin3 xdx}； 2.



^x2_x^{9dx； 3.}



_ ^_ ^x

x x

x d

4 4 3

1

2 ； 解：1.



^cos4 x^sin3dx



^cos4x^(cos2 x¹⁾d^cosx₇^1cos7 x¹₅^cos5 xC

2. 令x3sect，则 dx tdt t dt t t C

x

x       







^{2 9 3 tan2 3 (sec2 1) 3tan 3}

x C

x   

 3

cos 3

2 9

3. 解：原式

  





























 



2 2

2

2 )

2 ( 1 1

2) ( 1 4

3 4

3 4 ) (3 4 1 4

3

3 1 2 4 1

x x d x

x x x d dx

x x x

C x

x

x   





 )

2 arcsin( 1 4 4 3 4 4 3

1 ₂

练习 3.5

（3.1.5 分部积分法）

一、选择题：

1.设

x x

ln 为 f(x)^{的一个原函数，则}



^xf^(x)dx^{（ ）.}

（A） C x

x

ln ； （B） C

x x 

2

1

ln ； （C） C

x 

1 ； （D） C

x x x2ln  1

解：依题意，

2

ln ) 1

(ln )

( x

x x

x x

f    ^， ln ₀

)

( C

x dx x x

f  



^，所以

x C x C x

x x x

dx x x f x xf x xdf x

x f

x      







 

 



^{( )d ( ) ( ) ( ) 1 ln ln 1 2ln ，}

故应选（D）

2.设e^x是 f(x)^{的一个原函数，则}



^xf(x)dx^{（ ）.}

（A）e^x(1x)C^{； （B）}e^x(x1)C^{； （C）}e^x(x1)C^{； （D）}-e^x(x1)C

解：因为 f(x)(e^x)^,则f(x)dx(e^x)dxd(e^x)^，于是

C x

C x

x x

x x x

xf 



^x  ^x 



^x  ^x  ^x   ^x  



^{( )d d(e ) e e d e e e ( 1) ，故应选（B）}

3．甲、乙两学生分别用以下的不同方法计算不定积分 1

(1 )dx x x



^：

甲： 2

1 2

d d 2 arctan 2 arctan

(1 ) 1

t x

x t t C x C

x x t

    

 

 

乙：

1

1 1

d d

(1 ) (1 )

x t

x t

x x t t



  

 

^{，移项合并得}



_x(1¹_x)^dxC

你的判断是（ ）

（A）甲的计算方法正确而乙的计算方法不正确

（B）甲的计算方法不正确而乙的计算方法正确

（C）甲、乙的计算方法都正确

（D）甲、乙的计算方法都不正确 解：选（A）

二、填空题：

1.设 f(x)e^xcosx^，则



^xf ^(x)dx . 解：



xf ⁽x^)dx



x^df⁽x⁾xf⁽x⁾



f⁽x^)dx xf⁽x⁾ f⁽x⁾C

C x e x e x e x C x e x e

x ^x  ^x   ^x  ^x  ^x 

 ( cos ) cos ( cos sin ) cos

2.



^{xsec2 xdx} .

解：



x^sec2 xdx



xd^tanxx^tanx



^tanxdxx^tanx^lncosx C^. 3.



^arctan1_x^dx .

解：



^arctan1_x^{dxxarctan1}_x^



^xd(arctan1_x^{) xarctan1}_x^



_1^x_x^{2 dx}

C x x

x x x d

x x     

 

 ^arctan1 ₂¹



₁ ^{1 2 (1 2) arctan1} ₂^{1ln(1 2)}

三、计算下列不定积分：

1.



^x2sin2xdx； 2.



_cos^xsin5_x^xdx；

3.



_x(1^x_^_xe^1x₎^dx； 4.



^e_x^{x (1xln x)dx；}

解：1.原式^



^x2d(1₂^cos2x)₂^1x2cos2x



^xcos2xdx





^{  }





 x x xd x x x x x sin2xdx

2 2 1 2 sin 2 1 2 cos ) 1

2 2sin (1 2

2 cos

1 _{2 2}

C x x

x x

x   



 cos2

4 2 1 2 sin 2 1 2 cos

1 2 .

2.



_cos^xsin5 _x^xdx



_cos^x5 _x^dcosx ₄¹



^xd_cos¹⁴ _x ^{ 1}₄



^xdsec4x





^{  }



 x x xdx x x (1 tan x)dtanx 4

sec 1 4 sec 1

4 sec 1 4

1 4 4 4 2

C x x

x

x   

 ⁴ tan³

12 tan 1 4 sec 1 4

1 .

3. 原式^



_xe^(xx₍₁^_¹⁾_xe^exx₎^dx



_xe^xd₍₁^(xe_^x_xe^{) x}₎ ^



⁽_xe^{1x }_1¹_xe^x)d(xex)

xe C C xe

xe xe xe

xe d xe

xe d

x x x

x x

x x

x

 









 

 





^{( )}



₁^{(1 ) ln( ) ln(1 ) ln}₁ ^.

4. 原式^



^e_x^{x dx}



^exlnxdx



^exdlnx



^exlnxdx

C x e xdx e

xdx e

x

e^x  ^x  ^x  ^x 

 ^ln



^ln



^{ln ln .}

练习 3.6

（3.1.6 有理函数的分解）

一、选择题 1. 设

2

2 2

( 1) ( 1) x ax b

x x

 

  的原函数为有理函数，则常数a b, 的值分别为（ ）

（A）0，1； （B）1，0.5； （C）1，1； （D）0，0.5 解：

2

2 2 2 2

d = A d

( 1) ( 1) 1 ( 1) 1

x ax b B Cx D

x x

x x x x x

    

    

 

2

=Aln +1 - ln +1 +Darctan 1

1 2

B C

x x x C

x  



要上式为有理函数，则需满足A0,C0,D0^{，即 2} _{2 2 2}

( 1) ( 1) ( 1)

x ax b B

x x x

  

   ^{，B 是常}

数，故a0,b1^{，选（A）}

2.

3

2 2 2

3 1

( 1) ( 1)

x x

x x

 

  的部分分式的形式为（ ）

（A） 2 2 2

( 1) ( 1)

A Bx C

x x

 

  ^{； （B）} 1 ( 1)^{2 2} 1 ( ² 1)²

A B C D

x  x x  x

    ^；

（C） 2 2 2 2

1 ( 1) 1 ( 1)

A B Cx D Ex F

x x x x

 

  

    ^{； （D）}( 1)^{2 2} 1 ( ² 1)²

A Bx C Dx E

x x x

 

 

  

解：选（C）

3.

2 2

1

( 1)( 2 1)

x

x x x



   的部分分式的形式为（ ）

（A） 2

1 2 1

A Bx C

x x x

 

   ^{； （B）} 1 ² 2 1

A B

x  x x

   ^；

（C） 2

1 2 1

A Bx

x  x x

   ^{； （D）} 1 1 ( 1)²

A B C

x  x  x

  

解：选（D）

二、填空题 1. 2 3

( 2)( 5)d

x x

x x

 

 



. 解：待定系数法，原式= 1 1

( + )d ln 2 ln 5 ln ( 2)( 5)

2 5 x x x C x x C

x x         

 



2. d

( 1)( 2)( 3)

x x

x x x 

  



.

解：待定系数法，原式=

1 3

2 1 d d 3 d

2 2

( + + )d 2

1 2 3 2 1 2 2 3

x x x

x x x x x x x

 

   

     

   

4 3

1 3 1 ( 2)

ln 1 2 ln 2 ln 3 ln

2 2 2 ( 1)( 3)

x x x C x C

x x

          

 

3.

4

4 2 d

5 4

x x

x x 

 



.

解：待定系数法，原式= ₂1 16₂ 1 8

1 d arctan arctan

3( 1) 3( 4) 3 3 2

x x x x C

x x

 

     

   

 



三、计算

1.



^x_x^42_²₂^x_x³_^₂^3dx； 2.



_x³ _3^x_x2^dx； 3.

2 2

1 d

( 1) ( 1)

x x

x x



 



解：1.利用带余除法，将被积函数由假分式化为整式与真分式之和，得 原式^



^{(x2 2} _x²⁴_^x₂^_x¹_2^{)dx x}₃^{3 2x}



^2(x2_x^2_^2x_2x^_²⁾₂^3dx



_{ }











 x

x x x x x

) d 1 ( 1 ) 3 2 2 ln(

2

3 2 ²

2 3

C x

x x x x















 2 2ln( 2 2) 3arctan( 1) 3

2 3

. 2. 利用待定常数法将其分解为最简分式之和，设

2 2

3 3 2 ( 2)( 1) 2 1( 1)

 

 



 



 x

C x

B x

A x

x x x

x

x ，

通分整理得x(AB)x²(2ABC)x(A2B2C)^，

比较等式两边同次幂的系数，得

























, 0 2 2

, 1 2

, 0

C B A

C B A

B A

解得 3

, 1 9 , 2 9

2  



 B C

A .

于是 C

x x

x x

dx x

dx x

dx dx x x

x 

 



 

 

 

 

 



  



³ _{3 2 9}² _{2 9}² _{1 3}¹ _{( 1)}² ₉^2ln ₂¹ ₃₍ ¹ ₁₎ ^.

3. 利用待定常数法将其分解为最简分式之和，设

2

2 2

1

( 1) ( 1) 1 ( 1) 1

x A B C

x x x x x

   

     ^，

通分整理得

1

2 0

1 A C

B C

A B C

  

  

   



，解得 1 1

, 1,

2 2

A B  C ^，

故

2

2 2

1 1 1 1

d [ ]d

( 1) ( 1) 2( 1) ( 1) 2( 1)

x x x

x x x x x

   

    

 

1 1 1 1 2 1

ln 1 ln 1 ln 1

2 x 1 2 x C 2 x 1 C

x x

         

 

练习 3.7

（3.1.7 有理函数的积分）

一、选择题

1.下列不定积分计算不正确的是（ ）

（A）



_2^x_x^{dx  x 2 ln 2 x C； （B）}



₂^x_²_x^{dx  x}₂^{2 2x4 ln 2 x C；}

（C）



_(2^x_x)^{2 dx  ln 2 x} _2²_x^C（D）



_(2^x2_x)^{2 dx  x 4ln 2 x} _2²_x^C

解：选（C）原式 C

x x x dx

dx x x

x 

 



 

 

 







⁽₍₂²⁾₎²²



^[₂¹ ₍₂ ² ₎^{2] ln 2} ₂^{2 .}

2.下列不定积分计算不正确的是（ ）

（A）



_2^x_x^{2 dx 1}₂^{ln(2x2)C； （B）}



_2^x2_x^{2 dx  1 2ln(2x2)C；}

（C）



_2^x3_x^{2 dx  x}₂^{2 ln(2x2)C}

（D）



_(2^x_x²₎^{2 dx  1}_{2 2}¹_x^{2 C}

解：选（B）原式 x C

x x dx

x dx

x   

 

 







⁽²₂ ^{2)2 2}



⁽¹ ₂ ^{2 2) 2arctan} ₂

3．设 f(x)^{为连续的单调函数，} f ^1(x)^{是其反函数，且}



f⁽x^)dx F⁽x⁾C^，则



^{f 1(x)dx}^{（ ）.}

（A）xf^1(x)； （B）xf^1(x)C^；

（C）xf^1(x)F[f ^1(x)]C； （D）F[f^1(x)]C

解：记y f ^1(x)，则x f(y)，有

C y F y yf y y f y yf y f y x x

f 



 



  



^{1( )d d ( ) ( ) ( )d ( ) ( )}

xf^1(x)F[f^1(x)]C^{. 故选（C）}

二、填空题

1. 2

d

( 1)( 1)

x x x x  x



= . 解：原式=

2

1 1 1 2 2 1

( )d ln arctan

1 1 1 3 3

x x

x C

x x x x x

     

   



2. ²

( 3 ) d

3 2

x x

x  x



= .

解：原式= 4 1 ₂ 4 4 ₂ 1 1 4

d 4 ln

1 ( 1) 2 ( 2) 2 1 2

x x C

x x x x x x x

  

      

        

 



3.



_x(x^10dx_1)² =

解：原式^



_x¹⁰₍^x_x^109dx_1)^{2 }₁₀¹



_x¹⁰₍^d_x^10x10_1)^{2 ux1 0} ₁₀¹



_u(u^d_^u₁₎²





_ ^ _ ^{ } _ ^ _

 u

u u

u u u

u

u ]d

) 1 (

1 1 1 [1 10 d 1 ) ] 1 (

1 )

1 ( [ 1 10

1

2 2

x C x

C x u

u

u 

 

 



 



 

 1

1 10

1 ln 1

10 1 1

1 10

1 ln 1

10 1

10 10

10

. 三、计算

1.

2 4

(1 ) 1 d

x x

x x





 ； 2.



₍₁^ln_x^x₎^{2 dx}； 3.



^{2x4 }_x^x33_^₁^x1dx

解：1.原式 x x C

x dx x

dx    

 

 ₂¹



₁₍ ²²₎^{2 1}₄



₁ ^{44 1}₂^{arctan 2} ₄^{1ln(1 4) .}

2. 原式^



^lnxd(_1¹_x^)₁^ln_^x_x^



_(1¹_x)x^dx₁^ln_^x_x ^



⁽¹_x^_1¹_x^)dx

x C x x

C x x x x

x 

 

 









 



 ln1

1 1 ln

ln 1 ln

ln .

3. 解：原式^



^{2x4 2}_x^x3_^x₁^{31xdx}



^(2x1 _x^3x_1^)dx





_ ^ _^ _ ^{     } _^{ }_





 dx

x x x x

x x x dx

x x x x

x 1

3 1 2 2 1 3 1 1 3ln ) 1

1 1 1

( 1 3 1

2 2

2 2





 

 



 







 dx

x x dx

x x x

x x

4 ) 3 2 ( 1

1 2

1 1 1 2 6 1 1 3ln 1

2 2

2

x C x

x x

x

x         



3 1 arctan2 3

) 3 1 6ln(

1 1 3ln

1 2

2 .

练习 3.8

（3.1.8 三角函数的有理式的积分）

一、选择题

1.下列不定积分的计算中，使用分部积分法失效的是（ ）

（A）



e sin d^x x x； （B） e d

x

x x



^；

（C）



x²e d^x x； （D）



xarctan dx x 解：选（B）

2. cos 2 1 sin cos

x

x x

 的一个原函数为（ ）

（A）ln(2 sin 2 ) x ； （B）ln(1 sin 2 ) x ^；

（C）ln 2 sin 2x ； （D）ln(2 sin 2 ) x 解：选（A）

3.下列不定积分计算不正确的是（ ）

（A） ³

6 6

1 d arctan(tan )

sin cos x x C

x x  





（B） 6 6

1 1

d arctan( tan 2 )

sin cos x 2 x C

x x  





（C） 1 sin

e d e (cot csc ) 1 cos

x x

x x x x C

x

   





（D） 1 sin

e d e tan

1 cos 2

x x

x x

x C

x

  





解：选（C） 1 sin

e d e ( cot csc ) 1 cos

x x

x x x x C

x

    





二、填空题

1.



_sinx¹_cosx^dx =

解：原式 x x C

x x d



















¹₂^lncsc( ₄^{) cot(} ₄⁾

4) sin(

4) ( 2

1  





.