Lecture 4: Transformasi Laplace
Penyelesaian Masalah Syarat Awal dengan Transformasi Laplace
Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah
syarat awal dengan memperhatikan sifat transformasi Laplace untuk
derivatif, yaitu
(a)
L
{
f
'(
t
)
}
¿
sL
{
f
(
t
)
}
−
f
(
0
)
¿sF
(
s)−
f(0)(b)
L
{
f
(n)(
t
)
}
=
s
nF
(
s
)−
s
n−1f
(
0
)−
s
n−2f
'(
0
)−
s
n−3f
''(
0
)−
…
−s f(n−2)(
0
)
−f(n−1) (0) Perhatikan masalah syarat awal (initialvalue problem) berikut:
a
n(
t
)
d
n
y
d t
n+
a
n−1(
t
)
d
n−1y
d t
n−1+
…
+
a
1(
t
)
dy
dt
+
a
0(
t
)
y
=
f
(
t
)
(1)y
(
0
)=
y
0 ,y
'(
0
)=
y
1 , … ,y
(n−1)
(
0
)=
y
n−1Penyelesaian masalah syarat awal (1) dilakukan dengan langkahlang kah berikut:
1. Ambil transformasi Laplace pada kedua ruas persamaan (1). De ngan mengambil
L
{
y
}
=
Y
(
s
)
sebagai transformasi Laplace dariy .
2. Gunakan sifat linear transformasi Laplace dan syarat awal yang diberikan untuk memperoleh persamaan
L
{
y
}
dalam perubahs .
3. Ambil kebalikan transformasi Laplace untuk mendapatkan penye lesaian y .
Contoh 1. Selesaikan masalah syarat awal
y
'+
3
y
=
1
,y
(
0
)=
2
.Penyelesaian:
Dengan mengambil transformasi Laplace pada kedua ruas, diperoleh
L
{
y
'+
3
y
}
=
L
{
1
}
↔ L
{
y
'}
+
3
L
{
y
}
=
L
{
1
}
↔ sL
{
y
}
−
y
(
0
)+
3
L
{
y
}
=
1
s
↔ L
{
y
}
=
2
s
+
3
+
1
s
(
s
+
3
)
↔ L
{
y
}
=
2
s
+
3
+
A
s
+
B
s
+
3
↔ L
{
y
}
=
Y
(
s
)=
2
s
+
3
+
1
/
3
s
+
−
1
/
3
s
+
3
Penyelesaian masalah syarat awal adalah
y
yang dapat ditentukan dengan mengambil kebalikan transformasi Laplace, diperolehy
=
L
−1{
Y
(
s
)
}
=
L
−1{
2
s
+
3
+
1
/
3
s
+
−
1
/
3
s
+
3
}
¿2L−1
{
1s+3
}
+ 1 3L−1
{
1s
}
−1 3L
−1
{
1s+3
}
¿
2
e
−3t+
1
3
−
1
3
e
−3t
¿
5
3
e
−3t
+
1
3
Contoh 2. Selesaikan masalah syarat awal
y
''−
3
y
'+
2
y
=
4
e
2t ,y
(
0
)=−
3
,y
'(
0
)=
5
.Penyelesaian:
Dengan mengambil transformasi Laplace pada kedua ruas, diperoleh
L
{
y
''−
3
y
'+
2
y
}
=
L
{
4
e
2t}
↔ L
{
y
' '}
−
3
L
{
y
'}
+
2
L
{
y
}=
4
L
{
e
2t}
↔
[
s
2L
{
y
}
−
sy
(
0
)−
y
'(
0
)
]
−
3
[
sL
{
y
}
−
y
(
0
)
]
+
2
L
{
y
}=
4
s
−
2
↔
[
s
2L
{
y
}
+
3
s
−
5
]
−
3
[
sL
{
y
}
+
3
]
+
2
L
{
y
}=
4
s
−
2
↔ s
2L
{
y
}
+
3
s
−
5
−
3
sL
{
y
}
−
9
+
2
L
{
y
}=
4
s
−
2
↔
(
s
2−
3
s
+
2
)
L
{
y
}
=
4
s
−
2
+
14
−
3
s
↔ L
{
y
}
=
4
(
s
2−
3
s
+
2
)
(
s
−
2
)
+
14
−
3
s
s
2−
3
s
+
2
↔ L
{
y
}
=
4
(
s
−
1
)(
s
−
2
)
2+
14
−
3
s
(
s
−
1
)(
s
−
2
)
↔ L
{
y
}
=
−
3
s
2
+
20
s
−
24
↔ L
{
y
}
=
A
s
−
1
+
B
s
−
2
+
C
(
s
−
2
)
2
↔ L
{
y
}
=
Y
(
s
)=
−
7
s
−
1
+
4
s
−
2
+
4
(
s
−
2
)
2Penyelesaian masalah syarat awal adalah
y
yang dapat ditentukan dengan mengambil kebalikan transformasi Laplace, diperolehy
=
L
−1{
Y
(
s
)
}
=
L
−1{
−
7
s
−
1
+
4
s
−
2
+
4
(
s
−
2
)
2}
¿
−
7
L
−1{
1
s
−
1
}
+
4
L
−1
{
1
s
−
2
}
+
4
L
−1
{
1
(
s
−
2
)
2}
¿
−
7
e
t+
4
e
2t+
4
t e
2t Contoh 3. Selesaikan sistem persamaan diferensial berikut
dx
dt
=
2
x
−
3
y
dy
dt
=
y
−
2
x
dengan
x
(
0
)=
8
,y
(
0
)=
3
.Penyelesaian:
Ambil transformasi Laplace untuk masingmasing persamaan diperoleh
L
{
dxdt=2x−3y
}
menghasilkansL
{
x
}
−
8
=
2
L
{
x
}
−
3
L
{
y
}
L
{
dy
dt
=
y
−
2
x
}
menghasilkansL
{
y
}
−
3
=
L
{
y
}
−
2
L
{
x
}
Diperoleh sistem persamaan dalamL
{
x
}
danL
{
y
}
,(
s−2)
L{
x}
+3L{
y}
=82
L
{
x
}
+(
s
−
1
)
L
{
y
}
=
3
yang mempunyai penyelesaian
A
=
|
s
−
2
3
2
s
−
1
|
=
s
2
−
3
s
−
4
=(
s
+
1
) (
s
−
4
)
A
1=
|
8
3
3
s
−
1
|
=
8
s
−
17
A
2=
|
s
−
2 8
2
3
|
=
3
s
−
22
L
{
x}
=X(s)=A1A =
8s−17
(
s+1)(
s−4)=5
s+1+ 3
L
{
y
}
=
Y
(
s
)=
A
2A
=
3
s
−
22
(
s
+
1
)(
s
−
4
)
=
5
s
+
1
−
2
s
−
4
Jadi penyelesaiannya
x=L−1
{
X(s)
}
=L−1{
5s+1+ 3
s−4
}
=5L−1
{
1s+1
}
+3L−1
{
1s−4
}
=5e−t +3e4t
y=L−1
{
Y(s)
}
=L−1{
5s+1− 2
s−4
}
=5L−1
{
1s+1
}
+3L−1
{
1s−4
}
=5e−t −2e4t
Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan diferensial berikut
d
2x
d t
2+
dy
dt
+
3
x
=
15
e
−t
d
2y
d t
2−
4
dx
dt
+
3
y
=
15 sin 2
t
dengan x
(
0)=
35 ,x
'(
0
)=−
48
, y(
0)=
27 ,y
'(
0
)=−
55
.Penyelesaian:
Ambil transformasi Laplace untuk masingmasing persamaan diperoleh
L
{
d
2
x
d t
2+
dy
dt
+
3
x
}
=
L
{
15
e
−t}
L
{
d
2
y
d t
2−
4
dx
d t
+
3
y
}
=
L
{
15 sin 2
t
}
menghasilkan
s
2L
{
x
}
−
35
s
−
(−
48
)+
sL
{
y
}
−
27
+
3
L
{
x
}
=
15
s
+
1
s
2L
{
y
}
−
27
s
−(−
55
)−
4
[
sL
{
x
}
−
35
]
+
3
L
{
y
}
=
30
s
2+
4
.Diperoleh sistem persamaan dalam
L
{
x
}
danL
{
y
}
.(
s
2+
3
)
L
{x
}
+
sL
{
y
}
=
35
s
−
21
+
15
s
+
1
−
4
sL
{
x
}
+
(
s
2+
3
)
L
{
y
}
=
27
s
−
195
+
30
s
2+
4
,yang mempunyai penyelesaian
s
(
¿¿
2
+
1
)(
s
2+
9
)
A
=
|
s
2
A
1=
|
35
s
−
21
+
15
s
+
1
s
27
s
−
195
+
30
s
2+
4
s
2
+
3
|
A
2=
|
s
2+
3
35
s
−
21
+
15
s
+
1
−
4
27
s
−
195
+
30
s
2+
4
|
L
{x
}
=
X
(
s
)=
A
1A
s
s
s
(
s
2+
4
)(
¿ ¿
2
+
1
)(
s
2+
9
)
(
s
+
1
)(
¿¿
2
+
1
)(
s
2+
9
)−
30
¿
s
(
¿¿
2
+
1
)(
s
2+
9
)+
15
(
s
2+
3
)
¿
¿
35
s
3
−
48
s
2+
300
s
−
63
¿
¿
30
s
2+
1
−
45
s
2+
9
+
3
s
+
1
+
25
s
2+
4
L
{
y
}
=
Y
(
s
)=
A
2A
s
s
s
(
s
2+
4
)(
¿¿
2
+
1
)(
s
2+
9
)
(
s
+
1
)(
¿¿
2
+
1
)(
s
2+
9
)+
30
(
s
2
+
3
)
¿
(
¿¿
2
+
1
)(
s
2+
9
)+
60
s
¿
¿
27
s
3
−
55
s
2−
3
s
−
585
¿
¿
30
s
s
2+
9
−
60
s
2+
1
−
3
s
+
1
+
2
s
2+
4
Jadi penyelesaiannya
x
=
L
−1{
X
(
s
)
}
=
L
−1{
30
s
2+
1
−
45
s
2+
9
+
3
s
+
1
+
25
s
2+
4
}
¿
30 cos
t
−
15 sin 3
t
+
3
e
−t
y
=
L
−1{
Y
(
s
)
}
=
L
−1{
30
s
s
2+
9
−
60
s
2+
1
−
3
s
+
1
+
2
s
2+
4
}
¿
30 cos 3
t
−
60 sin
t
−
3
e
−t