Transformasi Laplace
• X(s) = ζ[x(t)]
• x(t) = ζ
-1[X(s)]
j s
ds e
s j X
t x
dt e
t x s
X
j
j
st st
).
2 ( ) 1
(
).
( )
(
0
Transformasi Laplace
x(t) X(s) ROC
δ(t) 1 Semua s
u(t) Re(s)>0
tn u(t) Re(s)>0
e-at u(t) Re(s)+Re(a)>0
u(t) Cos ω0t Re(s)>0
Re(s)>0
s 1
1
!
n
s n
a s
1
2 0
2
s s
0
Sifat-sifat Transformasi Laplace
Sifat x(t) X(s)
Kelinearan a x(t) + b y(t) a X(s) + b Y(s)
Penskalaan x(at)
Geseran waktu x(t-a) e-sa X(s) Geseran frekuensi e-at x(t) X(s+a)
Konvolusi waktu x(t) * y(t) X(s) Y(s)
a X s a 1
Sifat-sifat Transformasi Laplace
Sifat x(t) X(s)
Konvolusi frekuensi
(modulasi) x(t) y(t) Diferensiasi
frekuensi (-t)n x(t) Diferensiasi waktu
Untuk TL dua sisi ) (
* ) 2 (
1 X s Y s
j
) (s ds X
d
n n
) (t dt x
d
n
n
1
0
) (
) 0 (
) 1
( n
k
k k n
nX s s x
s
) (s X sn
Sifat-sifat Transformasi Laplace
Sifat x(t) X(s)
Integrasi waktu
Teorema nilai awal
Teorema nilai akhir
0) ( dtt
x s
s X )(
dt t
x )(
1 0 ( ) )
( x t dt s
s s X
) ( lim
0x t
t
lim sX ( s )
s
) ( lim
0sX s )
s( lim t x
t
Pecahan Parsial X(s)
• Derajat P(s) < derajat Q(s)
( ) ) ) (
( Q s
s s P
X
• Jika X(s) berbentuk pecahan parsial yang pembilang dan penyebutnya berbentuk polinomial
Pecahan Parsial X(s)
• Akar-akar Q(s) berbeda, tidak ada yang sama
n k
s X p
s A
p s
A p
s A p
s s A
X
p s
p s
p s
s s P
X
p k k s
n n n
k
,...
2 , 1
) ( ).
( lim
) ...(
) (
) ) (
(
) )...(
)(
(
) ) (
(
2 2 1
1
2 1
t p n t
p t
p A e A e n
e A t
x( ) 1 1 2 2 ... x(t) menjadi :
Pecahan Parsial X(s)
• Jika pi = pk*, maka penyelesaian dapat diselesaikan secara khusus yang menghasilkan x(t) merupakan fungsi
Cosinus dan Sinus
Pecahan Parsial X(s)
• Q(s) mempunyai akar rangkap
k k k
p s r
p k l s
r l r kl
p k k s
n n
r r n
r
s X p
ds s d l
A r
s X p
s A
p s
A p
s A
p s
A p
s A p
s s A
X
p s
p s
p s
s s P
X
) ( . ) (
)! lim (
1
) ( ).
( lim
) ... (
) (
) ... (
) (
) ) (
(
) )...(
( ) (
) ) (
(
2 2
1 1 2
1 12 1
11
2 1
Sistem LTI dengan penyelesaian Pers Diferensial koefisien konstan
• Sistem mempunyai hubungan Sistem Sistem
LTILTI Sistem Sistem
LTILTI
x(t) y(t)
m j
n i
m m m m
m m
n n n n
n n
x b d
y a d
atau
dt b b dx dt
x b d
dt x b d
dt a a dy dt
y a d
dt y a d
0 1 1
1 1
0 1 1
1 1
...
...
Sistem LTI dengan Pers Diferensial
• Supaya dapat diselesaikan, sistem harus diketahui 1. x(t) untuk t>0
2. y(0-),y´(0-),...,y(n-1)(0-) 3. x(0-),x´(0-),...,x(m-1)(0-)
Secara fisis butir 3 sulit dipenuhi, oleh karena itu hanya dipakai keadaan awal x(0),x´(0)... Walaupun ini juga beresiko menyebabkan hasil tidak tepat 100%.
Transformasi Laplace
• Contoh soal
2 )
(
3 2
2 ) 1
(
2 1 3 )
2 )(
1 (
4
2 2 )
3 )(
1 (
4
2 3 ) 1
3 )(
2 (
4
3 2
) 1 (
) 3 )(
2 )(
1 ( ) 4 (
1 3 3 2
12 32
3 2 1
3 2
1
e e
e t
x
s s
s s X
s s
s A s
s s s
A s
s s s
A s
s A s
A s
s A X
s s
s s s
X
t t
t
Transformasi Laplace
• Contoh soal
1 2 1 2 1
) 2 2
(
2 )
2 ( )
) ( (
) 2 2
(
) (
) 2 2
) ( (
2 ) 2
(
) 2 2
( ) 1 (
3 2 1
2
1 3
1 2
2 1
2
3 2
2 1
2
3 2
1 2
A A A
s s
s
A s
A A
s A s A
X
s s
s
A s A s s
s s A
X
s s
A s A s
s A X
s s
s s X
Transformasi Laplace
0
) ( )
( )
(
1 )
1 (
1 2
1 1
) 1 (
1 2
) 1 (
1 )
1 (
2 2
) 1 (
2 2
) 1 (
2 1 2
1 2
1
2 2
2 2
12
2 2
12
2 12 12
t
t Sin e
t Cos e
t x
s s
s s s
X
s s s s
X
s s
s s s
X
t t
Transformasi Laplace
0
2 )
(
) 2 (
2 2
1 1
) 1 (
2 2 1
)!
2 2 (
1
2 1 )
1 (
1 1 2
)!
1 2 (
1
1 1 )
2 (
) 2 ( 2 ) 1
(
) 2 )(
1 ) (
(
2 2
2 12
11 2 1 2
2 12 11
1
2
t
te e
e t
x
s s
s s X
s s A s
s s s s
s ds A d
s s
A s
s A s
A s
s A X
s s
s s X
t t
t
Transformasi Laplace
21
) 0 (
1 )
0 (
0 ,
) (
3 10
7
y y
t e
t x
dengan
x x
y y
y
t
t t
t t
t s s
e e
e e
e t
y
s s
s s
s s Y
s s
s s
s s
s s Y
s s
s s
s s
s s Y
s s
s s Y
s s s
s Y s
s
s X s
s s Y s
s
s X s
sX s
Y s
sY s
s Y s
masukan ada
belum karena
x e
x walaupun
s X x
s sX s
Y y
s sY y
sy s
Y s
2 5 2
11 6
1 3
1 2
1
52 112
16 13
12
152 2
152 2
2
152 )
1 (
) 3 (
2 2 1
2 2 1
2 2 1
0 2 .
) (
) 5 (
) 2 (
) 5 (
) 2 (
) 1 ) (
(
) 5 )(
2 (
) 5 )(
2 )(
1 (
) 3 ) (
(
) 10 7
( ) 10 7
)(
1 (
) 3 ) (
(
10 ) 7
(
1 3 1
7 )
( 10 7
) ( 3 7
) ( 10 7
) ( 3 ) ( )
( 10 1
) ( 7
) (
0 ) 0 ( , 1 )
0 (
) ( 3 ) 0 ( )
( )
( 10 )
0 ( )
( 7 )
0 ( )
0 ( )
(
