Perbandingan Metode Pemulusan (Smoothing) Eksponensial Ganda Dua Parameter Dari Holt Dan Metode Box-Jenkins Dalam Meramalkan Hasil Produksi Kernel Kelapa Sawit PT. Eka Dura Indonesia.

(1)

PERBANDINGAN METODE PEMULUSAN (SMOOTHING)

EKSPONENSIAL GANDA DUA PARAMETER DARI HOLT

DAN METODE BOX-JENKINS DALAM MERAMALKAN

HASIL PRODUKSI KERNEL KELAPA SAWIT

PT. EKA DURA INDONESIA

SKRIPSI

EKA ARYANI AFIFAH

110803007

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(2)

PERBANDINGAN METODE PEMULUSAN (SMOOTHING)

EKSPONENSIAL GANDA DUA PARAMETER DARI HOLT

DAN METODE BOX-JENKINS DALAM MERAMALKAN

HASIL PRODUKSI KERNEL KELAPA SAWIT

PT. EKA DURA INDONESIA

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai

gelar Sarjana Sains

EKA ARYANI AFIFAH

110803007

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(3)

i

PERSETUJUAN

Judul : Perbandingan Metode Pemulusan (Smoothing) Eksponensial Ganda Dua Parameter Dari Holt Dan Metode Box-Jenkins Dalam Meramalkan Hasil Produksi Kernel Kelapa Sawit PT. Eka Dura Indonesia.

Kategori : Skripsi

Nama : Eka Aryani Afifah

Nomor Induk Mahasiswa : 110803007

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara

Disetujui di

Medan, November 2015

Komisi Pembimbing,

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Dr. Syahriol Sitorus, S.Si, M.IT Dr. Suwarno Ariswoyo, M.Si NIP. 19710310 199703 1 004 NIP. 19500321 198003 1 001

Disetujui oleh Departemen Matematika FMIPA USU

Ketua,

(4)

ii

PERNYATAAN

PERBANDINGAN METODE PEMULUSAN (SMOOTHING) EKSPONENSIAL GANDA DUA PARAMETER DARI HOLT DAN METODE BOX-JENKINS DALAM MERAMALKAN

HASIL PRODUKSI KERNEL KELAPA SAWIT PT. EKA DURA INDONESIA

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, November 2015

(5)

iii

PENGHARGAAN

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Puji syukur atas rahmat dan nikmat karunia yang telah dilimpahkan Allah SWT, sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul:

“Perbandingan Metode Pemulusan (Smoothing) Eksponensial Ganda Dua Parameter Dari Holt Dan Metode Box-Jenkins Dalam Meramalkan Hasil Produksi Kernel Kelapa Sawit PT. Eka Dura Indonesia.” yang disusun

sebagai syarat akademis dalam menyelesaikan program sarjana (S-1) Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Dalam kesempatan ini Terimakasih penulis sampaikan kepada: 1. Bapak Dr. Suwarno Ariswoyo, M.Si dan Bapak Dr. Syahriol Sitorus, S.Si,

M.IT selaku dosen pembimbing 1 dan pembimbing 2 saya, Bapak Dr. Pasukat Sembiring, M.Si dan Ibu Asima Manurung, S.Si, M.Si selaku dosen pembanding saya, yang telah banyak membantu dan meluangkan waktunya untuk penulis dalam menyelesaikan penyusunan skripsi ini.

2. Bapak dan Ibu Dosen beserta seluruh staf dan pegawai Departemen Matematika.

3. Teristimewa penulis ucapkan kepada orang tua Suharyani, S.Ag dan adik-adik saya Mohd.Taufiq Fadhil dan Amylia Muthi’ah, beserta keluarga besar yang selalu mendukung dan mendoakan serta memberi perhatian yang luar biasa kepada penulis selama ini.

4. Kepada rekan-rekan HMI Komisariat FMIPA USU, Sahabat, Abang dan kakak senior, serta teman-teman seperjuangan Matematika stambuk 2011 yang telah memberikan banyak bantuan dan dorongan motivasi kepada penulis selama ini.

(6)

iv

ABSTRAK

Perkebunan kelapa sawit yang ada di Indonesia, tidak hanya dimiliki oleh pemerintah (BUMN) saja, tetapi juga pihak swasta, baik perorangan maupun perusahaan. Pusat Penelitian Kelapa Sawit di Riau merupakan perusahaan yang memproduksi kelapa sawit. Salah satunya yaitu PT. Eka Dura Indonesia yang bertempat di Riau. Dimana salah satu yang diproduksi PT. Eka Dura Indonesia adalah Kernel. Pada produksi kernel setiap periode tidak selalu sama sehingga hal ini akan sulit bagi pengambil keputusan dalam memperkirakan hasil produksi Kernel. Pada penelitian ini metode yang digunakan dalam meramalkan atau memprediksi produksi kernel adalah metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt dan metode Box-Jenkins ARIMA. Berdasarkan hasil dari kedua metode peramalan diperoleh, pada peramalan metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt, parameter nilai error terkecil yang dipilih dari semua kombinasi adalah �= 0,8 dan �= 0,2 dengan nilai �� = 2.958.007.360.424,220 kg dan �� = 51.000.126.904,866 kg. Sedangkan peramalan metode ARIMA dari model ARIMA (1,3,2)(1,3,0)12 menghasilkan nilai �� = 1.968.101.351.473 kg dan �� = 45.769.798.871 kg.

Kata kunci : Peramalan, Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter,

(7)

v

ABSTRACK

Oil palm plantations in Indonesia, not only owned by the government (BUMN), but also private parties, both individuals and companies. Oil Palm Research Center in Riau is a company that produces palm oil. One of them is PT. Eka Dura Indonesia are located in Riau. Where one produced by PT. Eka Dura Indonesia is the Kernel. On the production of kernels each period is not always the same so it will be difficult for decision makers in estimating production kernel. In this study, the method used to forecast or predict the kernel production is two-parameter double exponential smoothing from Holt method and Box-Jenkins ARIMA method. Based on the results of the two methods of forecasting obtained, in forecasting two-parameter double exponential smoothing from Holt method, parameter smallest error value is selected from all combinations are � = 0,8 and

� = 0,2 with value �� = 2.958.007.360.424,220 kg and

�� = 51.000.126.904,866 kg. While forecasting ARIMA method from ARIMA model (1,3,2)(1,3,0)12 generate value �� = 1.968.101.351.473 kg and

�� = 45.769.798.871 kg.

Keywords : Forecasting, Two-Parameter Double Exponential Smoothing,

(8)

vi

DAFTAR TABEL viii

DAFTAR GAMBAR ix

DAFTAR LAMPIRAN x

Bab 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 3

1.4 Tujuan Penelitian 3

1.5 Kontribusi Penelitian 3

1.6 Tinjauan Pustaka 4

1.7 Metodologi Penelitian 7

Bab 2 LANDASAN TEORI

2.1 Metode Pemulusan Eksponensial 10

2.1.1 Metode Pemulusan Eksponensial Satu Parameter 10

2.1.2 Metode Pemulusan Eksponensial Dua Parameter 12

2.2 Ukuran Error Peramalan 15 2.2.1 Ukuran Standar Statistik 16

2.5.3 Model Campuran Autoregressive Moving Average (ARMA) 27

2.5.4 Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) 27 2.6 Model Arima dan Musiman 28

2.7 Estimasi Parameter Model 29

(9)

vii Bab 3 HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Pemulusan (Smoothing) Eksponensial Ganda Dua Perameter

dari Holt 32

3.1.1 Plot Time Series Produksi Kernel PT. Ekadura Indonesia 32

3.1.2 Pengujian Data 34

3.1.2.1 Uji Kecukupan Sampel 34

3.1.2.2 Uji Musiman 35

3.1.2.3 Uji Trend 37

3.1.3 Analisis Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter dari Holt 37

3.1.4 Nilai kesalahan (Galat) 41

3.2 Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) 49

3.2.1 Plot Time Series Produksi Kernel PT Eka Dura Indonesia 49

3.2.2 Identifikasi Model 52

3.2.3 Estimasi Parameter Model 58

3.2.4 Verifikasi Parameter Model 60

3.2.5 Pemilihan Model ARIMA 61

3.2.6 Peramalan 62

3.2.6.1 Hasil Peramalan dengan Menggunakan Metode Holt 62

3.2.6.2 Hasil Peramalan dengan Menggunakan Metode ARIMA 63

3.3 Melakukan Perbandingan Hasil Analisis Ramalan 63

Bab 4 KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan 65

4.2 Saran 66

DAFTAR PUSTAKA 67

(10)

viii

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

3.1 Data Produksi Kernel Kelapa Sawit PT. Eka Dura Indonesia 32

3.2 Perhitungan ANAVA Uji Musiman 36

3.3 Peramalan Produksi Kernel (kg) dengan Parameter �= 0,1 dan � = 0,1 38

3.4 Nilai Kesalahan dengan Parameter �= 0,1 dan � = 0,1 41

3.5 Peramalan Produksi Kernel (kg) dengan Parameter �= 0,8 dan � = 0,2 44

3.6 Hasil Nilai SSE Dari Kombinasi Parameter � dan � 47

3.7 Hasil Nilai MSE Dari Kombinasi Parameter � dan � 48

3.8 Differencing I Data Produksi Kernel PT Eka Dura Indonesia 50

3.9 Nilai Koefisien Autokorelasi 53

3.10 Final Estimates of Parameters ARIMA 58

3.11 Uji Signifikansi Nilai-Nilai Parameter Model ARIMA 61

3.12 Perbandingan Model ARIMA 62

3.13 Peramalan Produksi Kernel PT. Eka Dura Indonesia Tahun 2015 (kg) dengan Parameter � = 0,8 dan � = 0,2 62

3.14 Hasil Peramalan Model ARIMA 63

(11)

ix

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

Gambar

3.1 Plot Data Produksi Kernel 34

3.2 Plot Ramalan Data Produksi Kernel dengan Parameter

�= 0,1 dan � = 0,1 41

3.3 Plot Ramalan Data Produksi Kernel Pada Tahun 2015 �= 0,8 dan � = 0,2 46

3.4 Plot Time Series Produksi Kernel PT Eka Dura Indonesia 49

3.5 Plot Trend Data Produksi Kernel PT. Eka Dura Indonesia 49

3.6 Plot Trend Data Produksi Setelah Differencing 51

3.7 Plot Trend Data Produksi Setelah Differencing III 51

3.8 Hasil Plot Autokorelasi Produksi Kernel 57

(12)

x

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul Halaman

Lamp

1 Tabel Perhitungan Pemulusan (Smoothing) Eksponensial 68 Ganda (Linier Dua Perameter dari Holt) dengan berbagai

nilai α dan γ

2 Model ARIMA 104

3 Data Differencing II 120

4 Data Differencing III 121

5 Nilai Autokorelasi 122

6 Nilai Autokorelasi Parsial 124

(13)

iv

ABSTRAK

Perkebunan kelapa sawit yang ada di Indonesia, tidak hanya dimiliki oleh pemerintah (BUMN) saja, tetapi juga pihak swasta, baik perorangan maupun perusahaan. Pusat Penelitian Kelapa Sawit di Riau merupakan perusahaan yang memproduksi kelapa sawit. Salah satunya yaitu PT. Eka Dura Indonesia yang bertempat di Riau. Dimana salah satu yang diproduksi PT. Eka Dura Indonesia adalah Kernel. Pada produksi kernel setiap periode tidak selalu sama sehingga hal ini akan sulit bagi pengambil keputusan dalam memperkirakan hasil produksi Kernel. Pada penelitian ini metode yang digunakan dalam meramalkan atau memprediksi produksi kernel adalah metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt dan metode Box-Jenkins ARIMA. Berdasarkan hasil dari kedua metode peramalan diperoleh, pada peramalan metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt, parameter nilai error terkecil yang dipilih dari semua kombinasi adalah �= 0,8 dan �= 0,2 dengan nilai �� = 2.958.007.360.424,220 kg dan �� = 51.000.126.904,866 kg. Sedangkan peramalan metode ARIMA dari model ARIMA (1,3,2)(1,3,0)12 menghasilkan nilai �� = 1.968.101.351.473 kg dan �� = 45.769.798.871 kg.

Kata kunci : Peramalan, Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter,

(14)

v

ABSTRACK

Oil palm plantations in Indonesia, not only owned by the government (BUMN), but also private parties, both individuals and companies. Oil Palm Research Center in Riau is a company that produces palm oil. One of them is PT. Eka Dura Indonesia are located in Riau. Where one produced by PT. Eka Dura Indonesia is the Kernel. On the production of kernels each period is not always the same so it will be difficult for decision makers in estimating production kernel. In this study, the method used to forecast or predict the kernel production is two-parameter double exponential smoothing from Holt method and Box-Jenkins ARIMA method. Based on the results of the two methods of forecasting obtained, in forecasting two-parameter double exponential smoothing from Holt method, parameter smallest error value is selected from all combinations are � = 0,8 and

� = 0,2 with value �� = 2.958.007.360.424,220 kg and

�� = 51.000.126.904,866 kg. While forecasting ARIMA method from ARIMA model (1,3,2)(1,3,0)12 generate value �� = 1.968.101.351.473 kg and

�� = 45.769.798.871 kg.

Keywords : Forecasting, Two-Parameter Double Exponential Smoothing,

(15)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Indonesia merupakan salah satu negara penghasil kelapa sawit utama di dunia. Perkebunan kelapa sawit yang ada di Indonesia, tidak hanya dimiliki oleh pemerintah (BUMN) saja, tetapi juga pihak swasta, baik perorangan maupun perusahaan. PT. Eka Dura Indonesia merupakan salah satu perusahaan kelapa sawit yang memproduksi Kernel. Produksi Kernel merupakan buah tanaman kelapa sawit yang telah dipisahkan dari daging tempurungnya serta dilanjutkan dikeringkan yang menjadi bahan baku minyak alkohol dan industri kosmetika. Pada produksi Kernel setiap periode tidak selalu sama sehingga hal ini akan sulit bagi pengambil keputusan dalam memperkirakan hasil produksi Kernel. Untuk melihat hasil produksi ini di masa yang akan datang diperlukannya suatu peramalan. Ini sangat bermanfaat sekali, karena dengan perencanaan ramalan perusahaan dapat melihat naik atau turunnya produksi, sehingga perusahaan dapat berjalan baik ke depan.

Peramalan (forecasting) merupakan kegiatan memprediksi nilai-nilai sebuah variabel berdasarkan nilai yang diketahui dari variabel yang berhubungan. (Makridakis, S, Wheelwright S.C dan McGee V. E). Salah satu metodenya adalah Metode Pemulusan Ganda Dua Parameter dari Holt (Holt’s Two Parameter Double Eksponential Smoothing). Metode ini memuluskan nilai trend dengan parameter yang berbeda dari parameter yang digunakan pada deret yang asli. Nilai parameter � terletak antara 0 dan 1.

(16)

ARIMA adalah teknik untuk mencari pola yang paling cocok dari sekelompok data. Metode ini merupakan gabungan dari metode regresi dan metode dekomposisi.

Berdasarkan data hasil produksi kernel PT. Eka Dura Indonesia setiap periode mengalami kenaikan dan penurunan, oleh karena itu bentuk grafik yang dihasilkan adalah bentuk data musiman. Maka penulis mengambil metode Box-Jenkins karena metode peramalan ini lebih akurat menggunakan data musiman. Sedangkan dari data hasil produksi kernel, ada beberapa periode yang datanya cenderung menaik atau menurun. Maka penulis mengambil metode Holt karena metode peramalan ini dilihat berdasarkan nilai trend.

Dari uraian di atas, maka penulis ingin menguraikan penelitian terhadap data produksi kernel pada masa lalu, untuk meramalkan produksi kernel pada masa yang akan datang. Untuk itu penulis mengambil judul “Perbandingan

Metode Pemulusan (Smoothing) Eksponensial Ganda Dua Parameter Dari Holt Dan Metode Box-Jenkins Dalam Meramalkan Hasil Produksi Kernel

Kelapa Sawit PT. Eka Dura Indonesia”.

1.2Perumusan Masalah

(17)

1.3Batasan Masalah

Untuk menghindari terlalu meluasnya masalah dan adanya penyimpangan dalam pengambilan kesimpulan, perlu adanya batasan-batasan untuk menyelesaikan permasalahan, yaitu:

a. Data yang diambil adalah data sekunder dari PT. Eka Dura Indonesia di Riau. b. Data yang diolah adalah data hasil produksi kelapa sawit yaitu produksi

kernel pada tahun 2010-2014.

c. Metode yang digunakan dalam penelitian adalah metode pemulusan (smoothing) eksponensial ganda dua parameter dari Holt dan metode Box-Jenkins.

d. Hasil ramalan dalam penelitian ini diarahkan untuk satu tahun mendatang.

1.4Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah menganalisa produksi kernel pada PT. Eka Dura Indonesia, dan memilih salah satu metode peramalan yaitu metode pemulusan (smoothing) eksponensial ganda dua parameter dari Holt atau metode Box-Jenkins berdasarkan hasil nilai error peramalan produksi kernel pada PT. Eka Dura Indonesia selama tahun 2015.

1.5Kontribusi Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah:

1. Sebagai referensi bacaan untuk mahasiswa matematika terlebih bagi mahasiswa yang melakukan penelitian serupa.

(18)

3. Sebagai bahan masukan bagi para pembuat kebijakan dan pengambil keputusan dalam merumuskan dan merencanakan upaya peningkatan hasil produksi kelapa sawit pada PT. Eka Dura Indonesia.

1.6Tinjauan Pustaka

Rosnaini Ginting (2007) dalam bukunya yang berjudul “Sistem Produksi” mengemukakan bahwa metode peramalan sangat berguna karena akan membantu dalam mengadakan pendekatan analisis terhadap tingkah laku atau pola dari data yang lalu, sehingga dapat memberikan cara pemikiran, pengerjaan dan pemecahan yang sistematis serta memberikan tingkat keyakinan yang lebih besar atas ketepatan hasil ramalan yang dibuat atau disusun.

Spyros Makridakis et al. (1993) dalam bukunya yang berjudul “Metode dan Aplikasi Peramalan” mengemukakan bahwa pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt pada prinsipnya serupa dengan Brown, kecuali bahwa Holt tidak menggunakan rumus pemulusan berganda secara langsung. Sebagai gantinya Holt memuluskan nilai trend dengan parameter yang berbeda dari parameter yang digunakan pada deret yang asli. Ramalan dari pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt didapat dengan menggunakan 2 konstanta pemulusan � dan � (dua parameter) yang nilainya antara 0 dan 1.

Persamaan yang digunakan dalam metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt yaitu sebagai berikut:

1. �_� = ∝ �_� + (1−∝)(�_�−₁+�_�−₁)

2. �_� = �(�_�− �_�−₁) + (1− �)�_�−1

3. �_�+� = ��+ ��

di mana:

∝ : parameter pertama perataan antara nol dan satu

(19)

�_� : trend pada periode ke-t

�� : nilai pemulusan pada saat t

��+� : hasil peramalan ke- (t + m)

m : jumlah periode yang akan diramalkan

ARIMA Box-Jenkins mengemukakan bahwa hal yang penting dalam analisa deret berkala adalah koefisien autokorelasi yang menunjukkan hubungan antara suatu data deret berkala dengan deret berkala itu sendiri pada suatu keterlambatan waktu (time lag) k periode. Autokorelasi untuk time lag dapat dicari dengan notasi �_� sebagai berikut:

�� =∑

(�_� − ��)(

�−�

�=1 ��+� − ��)

∑� (�_� − ��)2

�=1

di mana:

�� = nilai koefisien korelasi pada saat k, k = 1, 2, 3, ... , k

�� = data aktual periode ke t

�� = mean dari data aktual

��+� = data aktual pada periode t dengan lag k

Model Box-Jenkins (ARIMA) dibagi kedalam tiga kelompok yaitu model Autoregressive (AR), Moving Average (MA), dan model campuran Autoregressive Moving Average (ARIMA) yang mempunyai karakteristik dari dua model pertama.

1. Model Autoregressive (AR)

Bentuk umum model Autoregressive dengan ordo p (AR (p)) atau model ARIMA (p,0,0) dinyatakan sebagai berikut:

�� = �′+�1��−1+�2��−2+⋯+��−� +��

di mana:

�′ = suatu konstanta

��−� = nilai pengamatan periode ke-p

�� = parameter Autoregressive ke-p

(20)

2. Model Moving Average (MA)

Bentuk umum model Moving Average ordo q (MA(q)) atau ARIMA (0,0,q) dinyatakan sebagai berikut:

�� =�′+��− �1��−1+�2��−2+⋯+��−�

di mana:

�1 ,�2 = parameter-parameter moving average

��−� = nilai kesalahan pada saat t-q 3. Model campuran

a. Proses ARMA

Model umum untuk campuran proses AR (p) murni dan MA (q) murni, misalnya ARMA (p,q) dinyatakan sebagai berikut:

�� =�′+�1��−1+�2��−2+⋯+��−� − �1��−1− �2��−2− ⋯ − ��−� +��

b. Proses ARIMA

Apabila nonstasioneritas ditambah pada campuran proses ARMA, maka model umum ARIMA (p,d,q) terpenuhi. Persamaan untuk kasus sederhana ARIMA (p,d,q) adalah sebagai berikut:

�� =�′+�1��−1+�2��−2+⋯+��−� +��− �1��−1− �2��−2− ⋯ − ��−�

Hal yang perlu diperhatikan adalah bahwa kebanyakan deret berkala bersifat nonstasioner dan bahwa aspek-aspek AR dan MA dari model ARIMA hanya berkenaan dengan deret berkala yang stasioner. Stasioneritas berarti tidak terdapat pertumbuhan atau penurunan pada data. Data secara kasarnya harus horizontal sepanjang sumbu waktu. Suatu deret waktu yang tidak stasioner harus diubah menjadi data stasioner dengan melakukan differencing. Yang dimaksud dengan differencing adalah menghitung perubahan atau selisih nilai observasi. Nilai selisih yang diperoleh dicek lagi apakah stasioner atau tidak. Jika belum stasioner maka dilakukan differencing lagi. Jika varians tidak stasioner, maka dilakukan transformasi logaritma.

(21)

Teknik ini memiliki keunggulan yaitu lebih fleksibel karena trendnya dapat dihaluskan dengan menggunakan bobot yang berbeda, namun demikian kedua parameternya perlu dioptimalkan sehingga pencarian kombinasi terbaik parameter tersebut lebih rumit daripada hanya menggunakan satu parameter. Selain itu, komponen musim pada teknik ini tidak diperhitungkan.

Sedangkan Metode ARIMA Box-Jenkins mengemukakan bahwa data yang dianalisa dalam model ARIMA Box-Jenkins adalah data yang bersifat stasioner, yaitu data yang mempunyai rata-rata dan variansi yang konstan dari periode ke periode.

1.7Metodologi Penelitian

Penelitian ini dibuat berdasarkan studi kasus pada PT. Eka Dura Indonesia dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Penelusuran referensi ini bersumber dari buku, jurnal maupun penelitian yang telah ada sebelumnya mengenai hal-hal yang berhubungan dengan metode yang dipakai.

2. Mengumpulkan data produksi kernel pada PT. Eka Dura Indonesia.

3. Menganalisis data menggunakan metode pemulusan (smoothing) eksponensial ganda dua parameter dari Holt.

Menentukan Nilai � dan � Mulai

Mencari Nilai Pemulusan (�_�)

Mencari Nilai Trend Pemulusan (�_�)

Melakukan Peramalan

(22)

4. Menganalisa data menggunakan metode Box-Jenkins.

mulai

• Membuat time series plot

• Membuat plot ACF dan PACF

Data sudah stasioner?

Melakukan differencing

Identifikasi model

Estimasi Parameter model

Verifikasi parameter model

Menentukan model yang terbaik

(23)

5. Melakukan perbandingan hasil analisis ramalan dengan menggunakan metode pemulusan (smoothing) eksponensial ganda dua parameter dari Holt dan metode Box-Jenkins berdasarkan hasil nilai error peramalan produksi kernel. 6. Menetapkan metode yang lebih efektif berdasarkan hasil peramalan produksi

(24)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Metode Pemulusan Eksponensial

Metode pemulusan eksponensial adalah metode yang menunjukkan pembobotan menurun secara eksponensial terhadap nilai observasi yang lebih tua (Makridakis,1993). Metode ini terdiri atas metode pemulusan eksponensial satu parameter, metode pemulusan eksponensial dua parameter, dan metode pemulusan eksponensial tiga parameter.

2.1.1 Metode Pemulusan Eksponensial Satu Parameter

Terdapat tiga metode dalam metode pemulusan eksponensial satu parameter, yaitu metode pemulusan eksponensial tunggal, metode pemulusan eksponensial ganda satu parameter dari Brown, dan metode pemulusan eksponensial triple satu parameter dari Brown. Berikut ini adalah penjelasan singkat dari ketiga metode tersebut.

1. Metode Pemulusan Eksponensial Tunggal

Metode ini menggunakan sebuah parameter � yang dibobotkan pada data terbaru dan membobotkan nilai (1− �) kepada hasil peramalan metode sebelumnya (The Jin Ai,1999) dimana nilai � terletak antara 0 dan 1. Persamaan umum yang digunakan dalam metode ini adalah :

(25)

di mana:

��+1 = Ramalan untuk periode waktu (t+1)

�� = Data pada periode waktu t

�� = Ramalan untuk periode waktu t

Karena nilai �₁ tidak diketahui, maka nilai ini dapat didekati dengan menggunakan nilai observasi pertama �1 kemudian dilanjutkan dengan

menghitung �_�₊₁ dengan persamaan (2.1) (Makridakis,1993). Kemungkinan lainnya adalah merata-ratakan empat atau lima nilai pertama dalam kelompok data dan menggunakannya sebagai ramalan pertama.

2. Metode Pemulusan Eksponensial Ganda Satu Parameter dari Brown

Metode ini menggunakan dua kali tahap pemulusan dengan parameter yang sama besarnya yaitu �. Besarnya � juga terletak di antara 0 dan 1 (Makridakis,1993). Persamaan umum yang digunakan adalah:

�′� = ��+ (1− �)�′�−1

�"_� = ��′_� + (1− �)�"_�−₁

�� = 2�′� − �"� (2.2)

�� = ₍₁_−�� ₎(�′� − �"�) (2.3)

��+� = ��+��

Dengan �′_� adalah nilai pemulusan eksponensial tunggal pada periode waktu ke-t dan �′_�−1 adalah nilai pemulusan eksponensial tunggal pada

periode waktu ke-(� −1). Sedangkan �"_� adalah nilai pemulusan eksponensial ganda pada periode ke-t dan �"_�−₁ adalah nilai pemulusan eksponensial ganda pada periode waktu ke-(� −1). Persamaan (2.2) menunjukkan penyesuaian metode pemulusan eksponensial tunggal �′_� dengan perbedaan (�′_� − �"_�), sedangkan persamaan (2.3) merupakan taksiran trend dari suatu periode waktu ke periode waktu berikutnya. �_�+�

(26)

3. Metode Pemulusan Eksponensial Triple Satu Parameter dari Brown

Persamaan umum dalam metode ini adalah:

�′

� = �� + (1− �)�′�−1

�"_� = ��′_� + (1− �)�"_�−1

�′′′� = ��"� + (1− �)�′′′�−1

�� = 3�′� − 3�"�+�"�

�� = ₂₍₁_{− �}� ₎2�(6−5�)�′�− (10−8�)�"� + (4−3�)�′′′��

�� = �

2

(1− �)2 (�′�− 2�"� +�′′′�)

��+� = ��+��+

1 2��

2

di mana:

�′′′� = Nilai pemulusan triple pada periode ke-t

�"_�−1= Nilai pemulusan triple pada periode ke-(� −1)

Proses inisialisasi untuk proses pemulusan ini bisa sangat sederhana. Ditetapkan �′₁ =�′′1 = �′′′1 =�1. Cukup untuk memulai peramalan dari

periode dua dan seterusnya.

2.1.2 Metode Pemulusan Eksponensial Dua Parameter

Terdapat dua metode dalam metode ini, yaitu metode pemulusan eksponensial tunggal : pendekatan adaptif dan metode pemulusan ganda dua parameter dari Holt. Berikut ini adalah penjelasan singkat dari kedua metode tersebut.

1. Metode Pemulusan Eksponensial Tunggal : Pendekatan Adaptif

(27)

dalam hal nilai � yang dapat berubah secara terkendali, dengan adanya perubahan dalam pola datanya. Persamaan dasar untuk peramalan dengan metode ini adalah serupa dengan persamaan (2.1) kecuali bahwa nilai � diganti dengan �_� dan nilai parameter � terletak antara 0 dan 1. Di bawah ini adalah rumus umum metode pemulusan eksponensial tunggal : pendekatan adaptif.

��+� = �� + (1− ��)��

di mana:

��+1 = |��/��| (2.4)

�� =�� + (1− �)��−1

�� =�|��| + (1− �)��−1

�� =�� − ��

Persamaan (2.4) menunjukkan bahwa nilai peramalan periode (�+ 2)

ditetapkan sebagai nilai absolut dari rasio antara unsur error yang dihaluskan

(�_�) dan error absolut yang dihaluskan (�_�). Sedangkan �_� adalah nilai error ke-t, yaitu �_� =�_� − �_�.

2. Metode Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter dari Holt

Berikut adalah persamaan umum yang digunakan dalam metode ini adalah:

�� = ��+ (1− �)(��−1+��−1) (2.5)

�� = �(�� +��−1) + (1− �)��−1 (2.6)

��+� =�� +�� (2.7)

di mana:

�� : Nilai pemulusan pada saat t

�� : Data pada periode waktu t

(28)

� : Parameter pertama perataan antara 0 dan 1

� : Parameter kedua untuk pemulusan trend

��+� : Hasil peramalan ke-�+�

� : Jumlah periode ke depan yang akan diramalkan

Metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt pada prinsipnya serupa dengan pemulusan eksponensial ganda dari Brown kecuali bahwa metode ini tidak menggunakan rumus pemulusan ganda secara langsung. Sebagai gantinya, metode ini memuluskan nilai trend dengan parameter yang berbeda dari parameter yang digunakan pada deret yang asli.

Nilai parameter � terletak antara 0 dan 1. Persamaan (2.5) menyesuaikan �_� secara langsung untuk trend periode sebelumnya, yaitu

��−1. Sedangkan persamaan (2.6) serupa dengan bentuk dasar pemulusan

eksponensial tunggal pada persamaan (2.1) tetapi digunakan untuk meremajakan trend. Persamaan (2.7) digunakan untuk m periode ramalan kedepan.

3. Metode Pemulusan Eksponensial Tiga Parameter

Metode ini didasarkan atas tiga persamaan pemulusan yaitu satu untuk unsur stasioner, satu untuk trend dan satu untuk musiman. Persamaan umumnya sebagai berikut:

�� =�_��

�−� + (1− �)(��−1+��−1) (2.8)

�� =�(�� − ��−1) + (1− �)��−1 (2.9)

�� =��_�_��(1− �)��−� (2.10)

(29)

Dimana L adalah panjang musiman (misal, jumlah bulan atau kuadran dalam satu tahun), b adalah komponen trend, dan I adalah faktor penyesuaian musiman.

Persamaan (2.8) merupakan pemulusan untuk unsur stasioner, persamaan (2.9) digunakan untuk unsur trend, sedangkan persamaan (2.10) merupakan pemulusan untuk unsur musiman. Persamaan (2.11) adalah ramalan untuk m periode ke depan.

2.2 Ukuran Error Peramalan

Ukuran error peramalan digunakan untuk mengevaluasi nilai parameter peramalan. Nilai parameter peramalan yang terbaik adalah yang memberikan nilai error peramalan terkecil. Ukuran error peramalan dapat diklasifikasikan menjadi ukuran standar statistik dan ukuran relatif statistik.

Ukuran error yang termasuk ukuran standar statistik adalah nilai error rata-rata (mean error), nilai error absolut rata-rata (mean absolute error), nilai error kuadrat kesalahan (sum of square error), nilai error deviasi standar (standard deviation of error) dan nilai error kuadrat rata-rata (mean squared error). Ukuran error yang termasuk ukuran relatif adalah nilai kesalahan rata-rata (percentage error), nilai persentase error rata-rata (mean percentage error) dan nilai persentase error absolut rata-rata (mean absolute persentage error). (Makridakis,1993)

(30)

2.2.1 Ukuran Standar Statistik

Berikut ini adalah ukuran error peramalan yang termasuk ukuran standar statistik.

1. Nilai Error Rata-rata (Mean Error)

��= ∑ (�� − ��

�

�=1 )

�

dimana:

�� : Mean Error

�� : Data pada periode waktu ke-i

�� : Ramalan untuk periode waktu ke-i

� : Jumlah data

2. Nilai Error Absolut Rata-rata (Mean Absolute Error)

�� = ∑ |�� − ��|

� �=1

�

dimana:

�� : Mean Absolute Error

3. Nilai Error Kuadrat Rata-rata (Mean Squared Error)

�� =∑ (�� − ��)

2

� �=1

�

dimana:

(31)

4. Nilai Error Kuadrat Kesalahan (Sum of Square Error)

�� = �(�_�− �_�)2

�

�=1

dimana:

SSE : Sum of Square Error

5. Nilai Error Deviasi Standar (Standard Deviation of Error)

�� = �∑(�� − ��)

2

� −1

dimana:

�� : Standard Deviation of Error

2.2.2 Ukuran Relatif Statistik

Berikut ini adalah ukuran error peramalan yang termasuk ukuran relatif statistik.

1. Nilai Kesalahan Rata-rata (Percentage Error)

�� = (��_�− ��

� )�100%

dimana:

�� : Percentage Error ke i

2. Nilai Persentase Error Rata-rata (Mean Percentage Error)

�� =

∑ (��_�− ��

� �100%)

� �=1

(32)

dimana:

�� : Mean Percentage Error

3. Nilai Persentase Error Absolut Rata-rata (Mean Absolute Percentage Error)

�� =

∑ �� − ��

�� 100%� �

�=1

�

dimana:

�� : Data pada periode waktu ke-i

�� : Ramalan untuk periode waktu ke-i

� : Jumlah data

2.3 Pengujian Data

Adapun beberapa uji yang digunakan dalam peramalan antara lain:

2.3.1 Uji Kecukupan Sampel

Sebelum melakukan analisa terhadap data yang diperoleh, langkah awal yang harus dilakukan adalah pengujian terhadap anggota sampel. Hal ini dimaksudkan untuk mengetahui apakah data yang diperoleh dapat diterima sebagai sampel. Dengan tingkat keyakinan 95% (� = 0,05) rumus yang digunakan untuk menentukan jumlah anggota sampel adalah:

�′ ₌_�20�� ∑��=1��2−(∑��=1��)2 ∑��=1��

2

(2.12)

di mana:

�′ ₌_{Ukuran sampel yang dibutuhkan}

� = Ukuran sampel percobaan

(33)

Apabila �′ < �, maka sampel percobaan dapat diterima sebagai sampel.

2.3.2 Uji Musiman

Untuk mengetahui adanya komponen musiman dilakukan uji musiman dengan hipotesa ujinya sebagai berikut:

�0 = data tidak dipengaruhi musiman

�1 = data dipengaruhi musiman

Untuk perhitungan digunakan notasi:

�� = ∑ ��

Kemudian hasil perhitungan disusun dalam tabel ANAVA sebagai berikut:

Tabel 2.1 Perhitungan ANAVA Uji Musiman

(34)

Kriteria pengujian adalah:

Jika �_{ℎ��} <�_{��}(�−1, �−�) maka �0 diterima (tidak dipengaruhi musiman)

Jika �_{ℎ��} >�_{��}(�−1, �−�) maka �0 ditolak (data dipengaruhi musiman)

2.3.3 Uji Trend

Tujuan dari uji trend adalah untuk melihat apakah ada pengaruh komponen trend terhadap data dengan hipotesis ujinya sebagai berikut:

�0 = frekuensi naik dan turun data adalah sama, artinya tidak ada trend

�1 = frekuensi naik dan turun data tidak sama, artinya dipengaruhi oleh trend

Statistik penguji:

�= �−�

�

di mana:

� =�−1

2 (2.14)

�= ��+1

2

dengan:

�= frekuensi naik

� = jumlah data

� = frekuensi naik

� = standart error antara naik dan turun

Kriteria pengujian adalah:

(35)

2.4 Metodologi Untuk Menganalisis Data Deret Berkala

1. Plot Data

Langkah pertama yang baik untuk menghasilkan data deret berkala adalah memplot data tersebut secara grafis yang bermanfaat untuk memplot berbagai versi data dan melihat plot data tersebut stasioner atau tidak dari data yang ingin diramalkan.

2. Stasioner dan Nonstasioner a. Stasioner

Model ARIMA yang perlu diperhatikan adalah bahwa kebanyakan deret berkala bersifat nonstasioner dan bahwa aspek-aspek Autoregressive (AR) dan Moving Average (MA) dari model ARIMA hanya berkenaan dengan deret berkala stasioner. Stasioneritas berarti tidak mengalami pertumbuhan atau penurunan pada data. Data secara kasarnya harus horizontal sepanjang sumbu waktu. Dengan kata lain, fluktuasi data berada pada suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu, dan varians dari fluktuasi tersebut tetap konstan setiap waktu.

Suatu data deret waktu dikatakan stasioner apabila memenuhi syarat-syarat sebagai berikut:

1. Rata-ratanya konstan 2. Variansi-nya konstan

3. Kovarian antara dua periode bergantung pada jarak waktu antara dua periode waktu tersebut dan tidak bergantung pada waktu dimana kovarian dihitung.

(36)

setelah periode kedua dan ketiga. Jadi apabila autokorelasi pada periode satu, dua ataupun ketiga tergolong signifikan sedangkan autokorelasi pada periode lainnya tidak signifikan maka data tersebut bersifat stasioner.

b. Nonstasioner

Menurut Box-Jenkins data deret berkala yang tidak stasioner dapat ditransformasikan menjadi data yang stasioner dengan melakukan proses pembedaan (differencing) pada data aktual. Pembedaan ordo pertama dari data aktual dapat dinyatakan sebagai berikut:

�� = �� − ��−1 ; untuk t = 2,3,...,N

Secara umum pembedaan (differencing) ordo ke-d dapat ditulis sebagai berikut:

�� = (1− �)�� (2.15)

3. Operator Backward Shift

Notasi yang sangat bermanfaat dalam metode pembedaan adalah operator shift mundur (Backward Shift) yang disimbolkan dengan B dan penggunaannya adalah sebagai berikut:

�� = ��−1 (2.16)

Notasi � yang dipasangkan pada �_� mempunyai pengaruh menggeser data satu periode ke belakang, dua penerapan � untuk �_�akan menggeser data tersebut dua periode ke belakang sebagai berikut:

�(��_�) =�2�_� =�_�−₂ (2.17) Apabila suatu deret berkala tidak stasioner maka data tersebut dapat dibuat lebih mendekati stasioner dengan melakukan pembedaan pertama dari deret data dan persamaannya adalah sebagai berikut:

�_�′= �_�− �_�−₁

Pembedaan pertama

(37)

Pembedaan pertama dinyatakan oleh (1− �). Sama halnya apabila pembedaan orde kedua (yaitu pembedaan pertama dari pembedaan pertama sebelumnya) harus dihitung, maka:

Pembedaan orde kedua

�_�′′= �_�′− �_�−′ ₁

= (�_� − �_�−1)−(��−1− ��−2)

=�_� −2�_�−1+��−2

= (1−2�+�2)�_� = (1− �)2�_�

Pembedaan orde ke dua diberi notasi (1− �)2.

Pembedaan orde ke-d

�� = (1− �)��

4. Identifikasi Model

Identifikasi model berkaitan dengan penentuan orde pada ARIMA. Oleh karena itu, identifikasi model dilakukan setelah melakukan analisis deret berkala untuk mengetahui adanya autokorelasi dan kestasioneran data sehingga dapat diketahui perlu tidaknya dilakukan transformasi dan pembedaan. Jika data tidak stasioner dalam hal varians maka dapat dilakukan transformasi dan jika data tidak stasioner dalam rata-rata maka dapat dilakukan pembedaan. Langkah pertama yang baik untuk menganalisis data deret berkala adalah dengan membuat plot data time series terlebih dahulu. Hal ini bermanfaat untuk mengetahui adanya trend dan pengaruh musiman pada data tersebut. Langkah selanjutnya adalah menganalisis koefisien autokorelasi dan koefisien autokorelasi parsialnya dengan tujuan mengetahui kestasioneran data dalam rata-rata dan dari plot ACF, PACF tersebut dapat diidentifikasi orde model ARMAnya.

5. Keofisien Autokorelasi

(38)

�� = ∑ (��−��)(��−�−��)

Apabila �_� merupakan fungsi atas waktu, maka hubungan autokorelasi dengan lagnya dinamakan fungsi autokorelasi (Autocorrelation Function) sering disebut ACF dan dinotasikan oleh:

�� = ∑ (��−��)(��−�−��) Konsepsi lain pada autokorelasi adalah autokorelasi parsial (Partial Autocorrelation Funcition) sering disebut PAFC. Seperti halnya autokorelasi yang merupakan fungsi atas lagnya, yang hubungannya dinamakan autokorelasi (ACF), autokorelasi parsial juga merupakan fungsi atas lagnya, dan disebut dengan fungsi autokorelasi parsial (PACF). Koefisien autokorelasi merupakan alat yang berharga untuk menyelidiki kestasioneran deret berkala. Caranya adalah dengan mempelajari nilai-nilai �_� tertentu secara nyata berbeda dari nol. Rumus sederhana yang bisa digunakan adalah:

�� = 1 √�

Dengan n adalah banyaknya data. Ini berarti bahwa 95% dari seluruh koefisien korelasi berdasarkan sampel harus terletak didalam daerah nilai tengah ditambah atau dikurangi 1,96 kali kesalahan standar (Makridakis, 1993).

-1.96 (1/√�) ≤ +1.96 (1/ √�)

6. Koefisien Autokorelasi Parsial

(39)

analisis deret berkala adalah untuk membantu menetapkan model ARIMA yang tepat untuk peramalan.

2.5 Metode ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average)

Model ARIMA (Autoregresive Integrated Moving Average) merupakan metode yang secara intensif dikembangkan oleh George Box dan Gwilym Jenkins. Metode ARIMA berbeda dengan metode peramalan lain karena tidak mensyaratkan suatu pola data tertentu supaya model dapat bekerja dengan baik. Metode ARIMA akan bekerja dengan baik apabila data deret berkala yang dipergunakan bersifat dependent atau berhubungan satu sama lain secara statistik.

Secara umum model arima dirumuskan dengan notasi sebagai berikut: ARIMA (p,d,q)

di mana:

P menunjukkan orde atau derajat autoregressive (AR) D menunjukkan orde atau derajat differencing

Q menunjukkan orde atau derajat moving average (MA)

Model box-jenkins dikelompokkan menjadi tiga kelompok: 1. Model autoregressive

2. Model moving average 3. Model campuran

2.5.1 Model Autoregressive (AR)

(40)

�� =�′+�1��−1+�2��−2+⋯+��−� +�� (2.20)

dimana:

��−� = nilai pengamatan periode ke-p

�� = parameter Autoregressive ke-p

�� = nilai kesalahan pada saat t

Persamaan umum model autoregressive (AR) dengan ordo p juga dapat ditulis sebagai berikut:

�1− �1�1− �2�2− ⋯ − ��1 =�′+�� (2.21)

Dalam hal ini B menyatakan operator penggerak mundur.

Model AR menunjukkan bahwa nilai prediksi variabel�_� hanya merupakan fungsi linear dari sejumlah �_� aktual sebelumnya (Makridakis, 1993).

2.5.2 Model Moving Average (MA)

Model MA mempunyai ordo (�), sehingga model tersebut biasanya dituliskan sebagai MA(�). Model MA ini menyatakan bahwa nilai prediksi variabel dependen �_� hanya dipengaruhi oleh nilai residual sebelumnya atau tiap-tiap observasi dibentuk dari rata-rata tertimbang deviasi (disturbance) � periode sebelumnya atau model MA tingkat pertama atau disingkat MA(1). Model MA(1) dapat ditulis dalam persamaan sebagai berikut:

�� =�′+��− �1��−1+�2��−2+⋯+��−� (2.22)

di mana:

�1 ,�2 = parameter-parameter moving average

��−� = nilai kesalahan pada saat t-q

(41)

�� = �′+ (1− �1�1− �2�2− ⋯ − ��)�� (2.23)

Dalam hal ini B menyatakan operator penggerak mundur (Makridakis, 1993)..

2.5.3 Model Campuran Autoregressive Moving Average (ARMA)

Apabila suatu deret waktu tanpa proses differencing (d=0) dinotasikan dengan model ARIMA (p,0,q). Model ini dinamakan dengan model autoregressive moving average berordo (p,q). Secara singkat bentuk umum model proses autoregressive ordo p dan berordo (p,q) adalah sebagai berikut:

�� = �′+�1��−1+�2��−2+⋯+��−� − �1��−1− �2��−2

− ⋯ − ��−� +�� (2.24)

Dengan operator penggerak mundur proses ARMA (p,q) sebagai berikut:

�1− �₁�1− �₂�2− ⋯ − �_��_� =�′+�1− �₁�1− �₂�2− ⋯ − �_��_� (2.25)

2.5.4 Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

Apabila data deret waktu tidak stasioner, model Box-Jenkins ini disebut model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA). Jika � menyatakan banyaknya proses differencing, maka bentuk umum model ARIMA (p,d,q) yang mengkombinasikan model autoregressive berordo p dengan model moving average berordo q ditulis dengan ARIMA (p,d,q) adalah sebagai berikut:

�� =�′+�1��−1+�2��−2+⋯+��−�+��− �1��−1

−�2��−2− ⋯ − ��−� (2.26)

Atau dengan operator penggerak mundur model ARIMA (p,d,q) dapat ditulis sebagai berikut:

�1− �₁�1− �₂�2− ⋯ − �_��_� =�′+�1− �₁�1− �₂�2− ⋯ − �_��_� (2.27)

Dalam hal ini �_� menyatakan bahwa deret waktu sudah di differencing. Dengan menotasikan �′ sebagai berikut:

(42)

Dengan �_�′ adalah rata-rata dari data waktu yang sudah di differencing. (Lerbin R. Aritonang, 2002).

2.6 Model Arima dan Musiman

Menurut Makridakis, 1993. Musiman didefinisikan sebagai suatu pola data yang berulang-ulang dalam selang waktu tetap. Untuk data stasioner faktor musiman dapat ditentukan dengan mengidentifikasikan koefisien autokorelasi pada dua atau tiga time-lag yang berbeda nyata dari nol. Autokorelasi secara signifikan berbeda dari nol menyatakan adanya satu pola dalam data. Untuk mengenali adanya faktor musiman, dapat dilihat dari autokorelasi yang tinggi. Secara umum notasi ARIMA faktor musiman adalah:

ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)�

di mana:

(p,d,q) = bagian yang tidak musiman dari model (P,D,Q) = bagian musiman dari model

S = jumlah periode per musim

Persamaan model ARIMA yang sederhana yang mengandung faktor musiman ARIMA (1,1,1)(1,1,1)12 adalah sebagai berikut:

(1− �₁�)(1− �₁�12₎₍₁_{− �}₎₍₁_{− �}12₎_�

�=(1− �1�)(1− �1�12)�� (2.29)

di mana:

(1− �₁�) = AR(1) tidak musiman

(1− �₁�12₎_{= AR(1) musiman}

(1− �) = perbedaan tidak musiman

(1− �12) = perbedaan musiman

(1− �₁�) = MA(1) tidak musiman

(43)

2.7 Estimasi Parameter Model

Tahap selanjutnya dilakukan estimasi parameter model untuk mencari parameter estimasi yang paling efisien untuk model. Estimasi parameter dilakukan dengan menetapkan model awal parameter (koefisien model) dengan bantuan analisis regresi linier untuk mencari nilai konstanta dan koefisien regresi dari model. Dalam mencari nilai etimasi model ARIMA ini sangat rumit sehingga digunakan bantuan program komputer software Minitab.

2.8 Verifikasi Parameter Model

Langkah ini dilakukan untuk memeriksa apakah model ARIMA yang dipilih cukup cocok untuk data. Verifikasi dilakukan dengan menggunakan uji distribusi t. Adapun verifikasi yang dilakukan terhadap parameter-parameter model ARIMA sebagai berikut:

�ℎ�� =_��_{��}��_{��} Dengan kriteria keputusan H0 ditolak jika:

��ℎ��>��

2,�−1

1. �0: ∅1 = 0(nilai parameter ∅1 tidak signifikan)

�1: ∅1 ≠0 (nilai parameter ∅1signifikan)

Selanjutnya adalah menghitung nilai �_{ℎ��} dengan rumus sebagai berikut:

�

_{ℎ��}

=

∅�1

��(∅₁)

di mana:

∅�1 = Koefisien parameter ∅1

��(∅₁) = Standard Error koefisien parameter ∅₁

Nilai parameter dikatakan signifikan apabila nilai ��_{ℎ��}�>�_{��}. Artinya,

�0 ditolak dan �1 diterima. Sebaliknya, jika nilai ��ℎ��< �� maka �0

(44)

2. �₀: ∅₂ = 0 (nilai parameter ∅₂ tidak signifikan)

�1: ∅2 ≠0 (nilai parameter ∅2signifikan)

�ℎ�� = ∅2

� ��(∅₂)

di mana:

��(∅₂) = Standard Error koefisien parameter ∅2

diterima dan�₁ ditolak.

3. �0: ∅3= 0 (nilai parameter ∅3 tidak signifikan)

�1: ∅3≠0 (nilai parameter ∅3 signifikan)

�ℎ�� = ∅3

� ��(∅₃)

di mana:

��(∅₃) = Standard Error koefisien parameter ∅3

diterima dan �₁ ditolak.

Setelah model ditemukan, maka parameter dari model harus diestimasi. Terdapat dua cara mendasarkan yang dapat digunakan untuk pendugaan terhadap parameter-parameter tersebut, yaitu:

(45)

(46)

BAB 3

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Pemulusan (Smoothing) Eksponensial Ganda Dua Perameter dari Holt

3.1.1 Plot Time Series Produksi Kernel PT. Eka Dura Indonesia

Adapun data yang akan dianalisis dalam penelitian ini adalah data produksi kelapa sawit yaitu produksi kernel pada tahun 2010-2014 di PT. Eka Dura Indonesia, dapat dilihat pada Tabel 3.1.

Tabel 3.1 Data Produksi Kernel Kelapa Sawit PT. Eka Dura Indonesia

Periode Bulan-Tahun Produksi (kg)

1 Jan-2010 907020

2 Feb-2010 813980

3 Mar-2010 1050000

4 Apr-2010 991530

5 Mei-2010 960470

6 Jun-2010 1299060

7 Jul-2010 1516420

8 Aug-2010 1587950

9 Sep-2010 1307870

10 Oct-2010 1782850

11 Nov-2010 1752750

12 Dec-2010 1478380

13 Jan-2011 1341160

14 Feb-2011 1194040

15 Mar-2011 1385250

16 Apr-2011 1366710

17 Mei-2011 1526630

18 Jun-2011 1450650

19 Jul-2011 1397870

20 Aug-2011 1199810

21 Sep-2011 1732670

22 Oct-2011 1578730

23 Nov-2011 1685450

(47)

Lanjutan Tabel Data Produksi Kernel Kelapa Sawit PT. Eka Dura Indonesia

Periode Bulan-Tahun Produksi (kg)

25 Jan-2012 1321640

Sumber : PT. Eka Dura Indonesia

(48)

Plot data data produksi kernel pada tahun 2010-2014 di PT. Eka Dura Indonesia dapat dilihat pada Gambar 3.1.

Gambar 3.1 Plot Data Produksi Kernel

Bentuk pola data produksi kernel pada Gambar 3.1 merupakan data musiman, dimana pola data musiman yang menunjukkan perubahan yang berulang-ulang secara periode dalam deret waktu.

3.1.2 Pengujian Data

3.1.2.1 Uji Kecukupan Data

Sebelum melakukan penganalisaan data, terlebih dahulu dilakukan uji kecukupan sampel. Hal ini perlu dilakukan untuk menentukan apakah banyaknya sampel data produksi kernel yang telah ada dapat diterima sebagai sampel atau tidak. Maka dapat diperoleh:

(49)

(� �_�

Dengan menggunakan persamaan (2.12) maka diperoleh:

�′ ₌

�′ ₌ _�20�60(132.885.966.484.900)−(7.632.120.791.240.100)

87.362.010 � diterima sebagai sampel atau sudah mencukupi.

3.1.2.2 Uji Musiman

Untuk melihat apakah data dipengaruhi oleh faktor musiman maka dilakukan uji musiman sesuai dengan persamaan (2.13).

�� = (

(50)

+25.702.016.2770.008,3 + 23.139.935.913.675−127.202.013.187.335 �� = 128.223.243.074.592−127.202.013.187.335

�� = 1.021.229.887.256,66

� �2 _{= (907020)}2_{+ (813980)}2_{+ (1050000)}2₊_⋯_{+ (1392630)}2

� �2 _{= 132.885.966.484.900}

�� =� �2− �� − ��

�� = 132.885.966.484.900−127.202.013.187.335−1.021.229.887.256,66

�� = 4.662.723.410.308,34

Sehingga hasilnya dapat disusun dalam Tabel ANAVA dibawah ini:

Tabel 3.2 Perhitungan ANAVA Uji Musiman

Sumber

Variansi Derajat

Bebas

Jumlah

Kuadrat

Jumlah Kuadrat

Rata-Rata

Statistik

Uji

Rata-Rata 1 127.202.013.187.335 127.202.013.187.335

3,0115

Antar Musiman 4 1.021.229.887.256,66 255.307.471.814,164

Dalam

Musiman 55 4.662.723.410.308,34 84.776.789.278,334

Total 60 132.885.966.484.900

Dari daftar distribusi F dengan derajat bebas pembilang 4 dan derajat penyebut 55 dan peluang 0,95 (� = 0,05) diperoleh �= 3,31 dimana �_{ℎ��} < �� dimana 3,0115 < 3,31 maka �0 diterima, artinya data produksi kernel

(51)

3.1.2.3 Uji Trend

Untuk mengetahui adanya pola trend maka dilakukan uji trend sesuai dengan hipotesis pada landasan teori dengan menggunakan persamaan (2.14), dari data diperoleh:

� = 21

� =� −1

2 =

60−1

2 =

59

2 = 29,5

�= ��+ 1

2 = �

60 + 1

2 =�

61

2 = 5,522

Sehingga didapat:

�= � − �

� =

21−29,5

5,522 = −1,5393

Dari daftar distribusi normal standar diperoleh �_{��} = 0,0359. Karena

�ℎ�� < �� maka �0 diterima. Artinya data produksi kernel tidak

dipengaruhi oleh trend menaik.

3.1.3 Analisis Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter dari Holt

Pada teknik eksponensial ganda dua parameter dari Holt ini, komponen trend dihaluskan secara terpisah dengan menggunakan parameter yang berbeda yaitu � dan �. Pada teknik ini nilai trendnya dapat dihaluskan dengan menggunakan bobot yang berbeda. Namun demikian, kedua parameternya perlu dioptimalkan sehingga pencarian kombinasi terbaik parameter tersebut lebih rumit daripada hanya menggunakan satu parameter. Selain itu, komponen musim pada teknik ini tidak diperhitungkan.

(52)

Untuk mencari perhitungan pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt dilakukan sebagai berikut:

1. Perhitungan Mencari Nilai Pemulusan (�_�)

�� = �� + (1− �)(��−1+��−1) (3.1)

�2 = 0,1(813980) + (1−0,1)(907020 + (−93040))

�2 = 0,1(813980) + (1−0,1)(907020−93040)

�2 = 81398 + (0,9)(813980)

�2 = 813980

2. Perhitungan Mencari Nilai Trend Pemulusan (�_�)

�� = �(�� − ��−1) + (1− �)��−1 (3.2)

�2 = 0,1(�2− �1) + (1−0,1)�1

�2 = 0,1(813980−907020) + (1−0,1)(−0,93040)

�2 = 0,1(−93040) + (0,9)(−0,93040)

�2 = −93040

3. Peramalan untuk bulan ke-61 atau periode ke-1 (m=1)

��+� =�� +�� (3.3)

�60+1 = 1453583,765 + (−7741,12)1

�61 = 1453583,765 + (−7741,12)1

�61 = 1453583,765−7741,12

�61 = 1445842,641

Demikian seterusnya untuk periode-periode selanjutnya dan dapat dilihat pada Tabel 3.3.

Tabel 3.3 Peramalan Produksi Kernel (kg) dengan Parameter �=�,� dan �= �,�

No Periode

Produksi Kernel

(kg) ��

Nilai Ramalan

1 Januari 907020 907020 -93040 -

(53)

(54)

Lanjutan Tabel Peramalan Produksi Kernel (kg) dengan Parameter �=�,�

44 Agustus 1670090 1660854,598 4978,143 1659828,443 45 September 1830780 1682327,467 6627,615 1665832,741 46 Oktober 1901880 1710247,574 8756,864 1688955,082 47 November 1661680 1713271,995 8183,62 1719004,439 48 Desember 1530720 1702382,053 6276,264 1721455,615 49 Januari 1442890 1682081,486 3618,581 1708658,317 50 Februari 1056470 1622777,06 -2673,72 1685700,066 51 Maret 1131140 1571207,006 -7563,35 1620103,34 52 April 1014250 1508704,287 -13057,3 1563643,653 53 Mei 1113210 1457403,298 -16881,7 1495646,998 54 Juni 1299600 1426429,474 -18290,9 1440521,638 55 Juli 1358710 1403195,738 -18785,2 1408138,598 56 Agustus 1726310 1418600,519 -15366,2 1384410,576 57 September 1785010 1441411,916 -11548,4 1403234,351 58 Oktober 1855830 1472460,154 -7288,75 1429863,504 59 November 1487660 1467420,267 -7063,86 1465171,407 60 Desember 1392630 1453583,765 -7741,12 1460356,406

61 Januari 1445842,641 m=1

Plot data peramalan produksi kernel PT. Eka Dura Indonesia dengan parameter

(55)

Gambar 3.2 Plot Ramalan Data Produksi Kernel dengan Parameter �=�,� dan �= �,�

Untuk hasil kombinasi parameter yang lain dapat dilakukan dengan cara yang sama dengan mengganti nilai parameter � dan �.

3.1.4 Nilai kesalahan (Galat)

Sebelum mencari nilai kesalahan tersebut, terlebih dahulu data dibuat dalam bentuk Tabel 3.4.

Tabel 3.4 Nilai Kesalahan dengan Parameter �= �,� dan �=�,�

3 Maret 1050000 329060 108280483600 329060

4 April 991530 327433,4 107212631435,56 327433,4 5 Mei 960470 350105,126 122573599251,47 350105,126 6 Juni 1299060 736658,6281 542665934354,17 736658,6281 7 Juli 1516420 955960,1938 913859892130,13 955960,1938 8 Agustus 1587950 997942,0009 995888237160,29 997942,0009 9 September 1307870 674136,2073 454459625992,82 674136,2073 10 Oktober 1782850 1131029,631 1279228026199,9 1131029,631 11 November 1752750 1025843,416 1052354714150,5 1025843,416

(56)

Lanjutan Tabel Nilai Kesalahan dengan Parameter �=�,� dan �=�,�

(57)

Lanjutan Tabel Nilai Kesalahan dengan Parameter �=�,� dan �=�,�

53 Mei 1113210 -382436,9976 146258057133,30 382436,9976 54 Juni 1299600 -140921,638 29214206336,603 140921,638 55 Juli 1358710 -49428,59808 2443186308,1541 49428,59808 56 Agustus 1726310 341899,4239 116895216063,15 341899,4239 57 September 1785010 381775,6494 145752646474,79 381775,6494 58 Oktober 1855830 425966,4958 181447455544,13 425966,4958 59 November 1487660 22488,5927 505736801,62649 22488,5927 60 Desember 1392630 -67726,40605 4586866076,4494 67726,40605

Jumlah 87362010 8529887,542 2165056366335 22041564,92

Keterangan:

�� = Kesalahan pada periode ke-i

��2 = Kesalahan pada periode ke-i dipangkatkan

|�_�| = Absolut nilai kesalahan

Selanjutnya, mencari nilai SSE dan MSE dengan cara sebagai berikut: a. �� = ∑�_�₌₁�_�2

Dimana untuk mendapatkan nilai-nilai pada Tabel 3.4 dipakai � = 58, karena perhitungan nilai galat dimulai pada bulan Maret tahun 2010.

(58)

(59)

Lanjutan Tabel Peramalan Produksi Kernel (kg) dengan Parameter �=�,�

39 Maret 912190 926264,7976 -148580,4525 982563,9881 40 April 1210930 1124280,869 -79261,14774 777684,3451 41 Mei 1292860 1243291,944 -39606,70315 1045019,721 42 Juni 1229570 1224393,048 -35465,14172 1203685,241 43 Juli 1671610 1575073,581 41763,99324 1188927,906 44 Agustus 1670090 1659439,515 50284,38131 1616837,575 45 September 1830780 1806568,779 69653,35792 1709723,896 46 Oktober 1901880 1896748,427 73758,61597 1876222,137 47 November 1661680 1723445,409 24346,28903 1970507,043 48 Desember 1530720 1574134,34 -10385,18261 1747791,698 49 Januari 1442890 1467061,831 -29722,64772 1563749,157 50 Februari 1056470 1132643,837 -90661,7171 1437339,184 51 Maret 1131140 1113308,424 -76396,45624 1041982,12 52 April 1014250 1018782,394 -80022,37107 1036911,968 53 Mei 1113210 1078320,004 -52110,37467 938760,0225 54 Juni 1299600 1244921,926 -8367,91544 1026209,63 55 Juli 1358710 1334278,802 11177,04288 1236554,011 56 Agustus 1726310 1650139,169 72113,70768 1345455,845 57 September 1785010 1772458,575 82154,84741 1722252,877 58 Oktober 1855830 1855586,685 82349,49977 1854613,423 59 November 1487660 1577715,237 10305,31028 1937936,184 60 Desember 1392630 1431708,109 -20957,17726 1588020,547

61 Januari 1410750,932 m=1

(60)

Gambar 3.3 Plot Ramalan Data Produksi Kernel Pada Tahun 2015 dengan Parameter �=�,� dan �=�,�

Berikut adalah hasil SSE dan MSE terkecil dari seluruh kombinasi parameter � dan � yang disajikan dalam bentuk tabel 3.6 dan 3.7.

1050000 1100000 1150000 1200000 1250000 1300000 1350000 1400000 1450000

Bera

t (k

g

)

Bulan

(61)

Tabel 3.6 Hasil Nilai SSE Dari Kombinasi Parameter � dan �

Kombinasi Parameter

Holt

�

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

�

0,1 12948444768445 7549818363623 6179910679669 5329817556437 4678125387738 4187221478725 3841126456214 3620504647381 3508030123682

0,2 10401331526984 _{7579852982233} _{6647674855550} _{5802538904397} _{5043045865219} _{4451052601533} _{4042755585633} _{2958007360424} _{3688049285324}

0,3 9617415787617 8237069094965 7394945502547 6367095150243 5381369774379 4645033138788 4174350323426 3918949627302 3063519124930

0,4 9910055085341 9090587593595 8240736181789 6857305044130 5571238574914 4708681256086 4217117641000 3989259350090 3958146223679

0,5 _{10703798324961} _{10078983661121} _{9100225985262} _{7153294467352} _{5573690075644} _{4661483861058} _{4207496673052} _{4043176952827} _{4090700459382}

0,6 11536254823981 11206553726343 9845914002767 7180174240254 5425345643672 4561826590436 4191443924061 4112902774735 4255692968219

0,7 _{12332628490628} _{12496413999974} _{10311672028641} _{6956426967597} _{5207129293893} _{4465578097760} _{4199657319025} _{4216268254509} _{4466305643821}

0,8 13161560382839 13948672289153 10376469493592 6579609783116 4993820668644 4404547228873 4244395532988 4359888076702 4729367226228

(62)

Tabel 3.7 Hasil Nilai MSE Dari Kombinasi Parameter � dan �

Kombinasi

Parameter

Holt

�

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

�

0,1 223249047732 130169282131 106550184132 91893406145 80657334271 72193473771 66226318211 62422493920 60483277995

0,2 179333302189 130687120383 114615083716 100043774214 86949066642 76742286233 69702682511 51000126904 63587056644

0,3 165817513580 142018432672 127499060389 109777502590 92782237489 80086778255 71971557300 67568097022 52819295257

0,4 _170863018713 _156734268855 _142081658307 _118229397313 _96055837499 _81184159588 _72708924845 _68780333622 _68243900408

0,5 184548246982 173775580364 156900448022 123332663230 96098104752 80370411398 72543046087 69709947463 70529318265

0,6 198900945241 193216443558 169757137979 123796107591 93540442132 78652182594 72266274553 70912116806 73374016693

0,7 _212631525700 _215455413793 _177787448770 _119938395993 _89778091274 _76992725823 _72407884811 _72694280250 _77005269721

0,8 _226923454877 _240494349813 _178904646441 _113441547985 _86100356356 _75940469463 _73179233327 _75170484081 _81540814245