MODUL
“ STATISTIKA SMA ”
Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Statistika DasarDosen Pengampu : Bagus Ardi Saputro, S.Pd., M.Pd.
Di susun oleh :
NAMA : BUDIAH WAHYU KURNIAWATI
NPM
: 11310154
KELAS : 2D PEND. MATEMATIKA
PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
IKIP PGRI SEMARANG
2012
DAFTAR ISI
Halaman Judul ... 1
Daftar Isi ... 2
BAB I PENDAHULUAN ... 4
I. PENGERTIAN STATISTIK DAN STATISTIKA ... 4
II. PENGERTIAN POPULASI DAN SAMPEL ... 4
III. MACAM-MACAM DATA ... 5
BAB II PENYAJIAN DATA ... 8
I. PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK DIAGRAM ... 8
a. Diagram Batang ... 8
b. Diagram Garis ... 9
c. Diagram Lingkaran ... 9
II. PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK TABEL ... 11
a. Daftar Distribusi Frekuensi ... 11
b. Daftar Distribusi Frekuensi Kumulatif ... 15
BAB III HISTOGRAM, POLIGON, DAN OGIVE ... 16
I. HISTOGRAM ... 16
II. POLIGON ... 18
III. OGIVE ... 19
BAB IV UKURAN PEMUSATAN DATA ... 22
I. UKURAN PEMUSATAN UNTUK DATA TUNGGAL ... 22
a. Rataan Hitung (Mean) ... 22
b. Modus ... 22
c. Median ... 23
II. UKURAN PEMUSATAN UNTUK DATA KELOMPOK ... 23
a. Rataan Hitung (Mean) ... 23
b. Modus ... 25
BAB V UKURAN LETAK DATA ... 26
I. KUARTIL DAN DESIL UNTUK DATA TUNGGAL ... 26
a. Kuartil ... 26
b. Desil ... 26
II. KUARTIL DAN DESIL UNTUK DATA KELOMPOK ... 27
a. Kuartil ... 27
b. Desil ... 27
BAB VI UKURAN PENYEBARAN DATA ... 28
I. UKURAN PENYEBARAN UNTUK DATA TUNGGAL ... 28
a. Rentang, Hamparan, dan Simpangan Kuartil ... 28
b. Simpangan Rata-Rata ... 31
c. Ragam dan Simpangan Baku ... 33
II. UKURAN PENYEBARAN UNTUK DATA KELOMPOK ... 33
a. Rentang Antarkuartil dan Simpangan Kuartil ... 33
b. Simpangan Rata-Rata, Ragam, dan Simpangan Baku ... 34
UJI KOMPETENSI ... 37
BAB I
PENDAHULUAN
I. PENGERTIAN STATISTIK DAN STATISTIKA
Statistik dan statistika merupakan dua kata yang mempunyai pengertian dan makna yang berbeda. Agar kalian memahami pengertian dari statistik dan statistika, perhatikan dengan baik uraian berikut.
Statistik adalah kumpulan keterangan yang berbentuk angka-angka yang disusun, diatur, dan disajikan dalam bentuk daftar, tabel, diagram, atau grafik agar lebih mudah dipahami. Adapun yang dimaksud dengan statistika adalah ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan pengumpulan data, analisis, penarikan kesimpulan, dan pembuatan keputusan berdasarkan data dan fakta yang sudah dianalisis.
II. PENGERTIAN POPULASI DAN SAMPEL
Dalam kehidupan sehari-hari kita selalu berhubungan dengan data. Data yang dikumpulkan sangat bergantung dari kebutuhan, sarana dan prasarana yang tersedia. Oleh karena itu biasanya kita mendapatkan suatu informasi melalui pengumpulan sebagian data yang diharapkan dapat mewakili keseluruhan data yang ada. Keseluruhan data yang mungkin dapat dikumpulkan disebut populasi. Sedangkan sebagian dari seluruh data yang diambil dari polulasi adalah sampel.
Berikut ini contoh suatu kegiatan yang berkaitan dengan statistika yang sebenarnya banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan data.
Ibu Ketua PKK RT ingin mengetahui mengapa beberapa warganya banyak terkena penyakit demam berdarah dengan cara mengumpulkan data tentang adanya jentik-jentik nyamuk dalam bak mandi dari warga RT setiap satu minggu sekali selama beberapa bulan. Maka diperoleh data apakah ada atau tidak jentik-jentik nyamuk dalam bak mandi sehingga dari pemerolehan data
tersebut dilakukan suatu tindakan yang mengupayakan agar wabah penyakit demam berdarah tidak menyebar ke RT yang lain.
Seseorang ingin membeli jeruk di toko buah, sebelum ia memutuskan untuk membeli jeruk ia mencicipi terlebih dahulu salah satu jeruk dari satu keranjang yang berisi jeruk, dengan tujuan agar jeruk yang ia beli sesuai dengan seleranya. Contoh nomer 2 ini merupakan contoh tentang pengambilan sampel dari suatu populasi. Dalam hal ini satu keranjang jeruk disebut populasi, satu jeruk yang dicicipi rasanya adalah sampel.
Seorang ibu rumah tangga sedang memasak sayur di sebuah panci (tempat untuk memasak sayur), agar sayur tersebut mempunyai rasa yang enak, maka perlu untuk dirasakan. Yaitu dengan mencicipi sayur dengan menggunakan satu sendok kecil. Pengambilan sayur satu sendok kecil dari satu panci sayur merupakan contoh pengambilan sampel dari suatu populasi. Yang dalam hal ini satu panci sayur merupakan suatu populasi. Sedangkan satu sendok kecil merupakan sampel. Tentunya agar mewakili satu panci sebelum dicicipi sayur harus diaduk dulu.
III. MACAM-MACAM DATA
Dalam statistika, data adalah sesuatu yang sangat penting. Data didefinisikan sebagai keterangan akan informasi yang diperlukan dalam suatu penelitian. Pada bagian ini Anda akan diperkenalkan dengan macam-macam data, yaitu sebagai berikut :
a. Data Ditinjau dari Sifatnya
Berdasarkan sifatnya, data dibagi menjadi dua, yaitu :
1) Data Kuantitatif
Data kuantitatif adalah suatu data yang dinyatakan dalam bentuk angka.
2) Data Kualitatif
Data Kualitatif adalah suatu data yang dinyatakan dalam bentuk bukan angka. Misalnya, warna, jenis kelamin, atau status sosial.
b. Data Ditinjau dari Sumbernya
Berdasarkan sumbernya, data dibagi menjadi dua, yaitu :
1) Data Intern
Data intern adalah suatu data yang diperoleh langsung dari instansi yang bersangkutan dan diolah untuk kemajuan dan perkembagan instansi itu sendiri.
2) Data Ekstern
Data ekstern adalah suatu data yang diperoleh dari luar instansi dan sifatnya umum.
c. Data Ditinjau dari Cara Memperolehnya
Berdasarkan cara memperolehnya, data dibagi menjadi dua, yaitu :
1) Data Primer
Data primer adalah suatu data yang dikumpulkan oleh suatu badan dan diterbitkan oleh badan atau instansi itu sendiri.
2) Data Sekunder
Data sekunder adalah suatu data yang dilaporkan oleh suatu badan atau instansi, sedangkan instansi tersebut tidak langsung mengumpulkan sendiri, tetapi memperoleh dari pihak lain.
Selain ditinjau dari sifat, sumber, dan cara memperolehnya, ada juga macam-macam data yang lain. Untuk lebih memahami macam-macam data yang lainnya, perhatikan dengan baik macam-macam data berikut ini.
a. Data diskrit, adalah data yang mempunyai jumlah yang sangat terbatas. Misalnya, jumlah data siswa SMP Nusa Bangsa pada tahun 2010.
b. Data kontinu, adalah data yang secara teoritis mempunyai nilai pengamatan yang tidak terbatas (terus menerus). Misalnya, pengukuran berat, waktu, atau volume.
c. Data statis, adalah data yang mempunyai nilai tetap dan terbatas dalam setiap putaran/periode tertentu. Misalnya, jumlah jam dalam satu hari.
d. Data dinamis, adalah data yang mempunyai nilai naik atau turun mengikuti situasi tertentu. Misalnya, penjualan hasil pertanian.
BAB II
PENYAJIAN DATA
1. PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK DIAGRAM a. Diagram Batang
Dalam penyajian data dengan diagram batang, data disajikan dalam bentuk batang yang berbentuk persegi panjang yang digambarkan vertical atau horizontal dengan lebar sama.
CONTOH 1
Nilai ulangan statistika yang diikuti 40 siswa adalah sebagai berikut.
30 40 60 50 70 80 60 90 90 70
60 50 80 70 40 50 70 80 60 60
100 80 90 60 60 70 70 60 70 90
80 40 50 30 70 80 90 100 80 70
Gambarlah sebuah diagram batang dari data tersebut! Jawab:
Dari data diatas dapat dibuat tabel sebagai berikut.
Nilai Turus Banyak Siswa (Frekuensi) 30 40 50 60 70 80 90 100 II III IIII IIII III IIII IIII IIII II IIII II 2 3 4 8 9 7 5 2
Dari tabel diatas dapat dibuat diagram batang dibawah.
0 5 10 30 40 50 60 70 80 90 100 Frek u en si Nilai
b. Diagram Garis
Diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang menunjukkan perkembangan suatu data dari waktu ke waktu.
c. Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran digunakan untuk menunjukkan perbandingan antar-item data dengan cara membagi lingkaran dalam juring-juring lingkaran dengan sudut
CONTOH 2
Gempa DIY dan Jateng yang terasa di wilayah Yogyakarta dan sekitarnya pada 27 Mei 2006 tercatat pada tabel berikut dan disajikan dalam diagram garis pada gambar berikut.
Pukul (WIB) Besaran (Skala Richter) 05.53 08.07 10.10 11.21 5,9 4,2 4,9 4,7 5,9 5,2 4,9 4,7 0 1 2 3 4 5 6 7 05.53 08.07 10.10 11.21 B e sa ra n (SR ) Pukul (WIB) CATATAN
Diagram garis biasanya digunakan untuk data kontinu.
CONTOH 3
Daftar jumlah siswa kelas XIA yang mengambil pelajaran ekstrakurikuler adalah sebagai berikut.
Ekstrakurikuler Banyaknya siswa Musik Tari Batik Basket Lain-lain 9 5 6 8 12
Buatlah diagram lingkaran yang sesuai dengan data tersebut. Jawab:
Jumlah seluruh siswa = 9 + 5 + 6 + 8 + 12 = 40
Perbandingan dan persentase untuk masing-masing pelajaran adalah sebagai berikut. Musik Tari Batik Basket Lain-lain musik 22% tari 13% batik 15% basket 20% lain-lain 30%
2. PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK TABEL
Data dapat kita sajikan dalam bentuk tabel atau daftar. Jika data yang akan kita sajikan cukup besar, maka data tersebut harus dikelompokkan, kemudian disusun dalam bentuk tabel yang disebut daftar sebaran frekuensi atau daftar distribusi
frekuensi.
a. Daftar Distribusi Frekuensi
1) Daftar Distribusi Frekuensi Data Tunggal
2) Daftar Distribusi Frekuensi Data Kelompok
Seringkali data tunggal yang diperoleh dari pengumpulan data merupakan data tungal yang banyak. Untuk memudahkan membaca data tanggal yang
CONTOH 4
Berikut adalah nilai ulangan matematika dari 30 siswa.
3 8 5 7 4 7 8 5 6 7
6 4 7 6 5 6 7 7 3 8
5 5 9 8 6 8 6 8 4 9
Data tersebut dapat disajikan dalam daftar distribusi frekuensi sebagai berikut.
Nilai Ulangan ( xi )
Turus Banyak siswa (frekensi fi) 3 4 5 6 7 8 9 II III IIII IIII I IIII I IIII I II 2 3 5 6 6 6 2 CATATAN Turus (tally) adalah cara mudah untuk menghitung frekuensi. Banyak kelas biasanya diambil paling sedikit 5 kelas dan paling banyak 20.
banyak, maka data seperti itu disajikan ke dalam daftar distribusi frekuensi data kelompok. Berikut ini adalah data berat badan siswa kelas XIB.
Berat badan (kg) Turus Frekensi (fi) 9 – 12 13 – 16 17 – 20 21 – 24 25 – 28 IIII IIII II IIII IIII
IIII IIII IIII IIII III 12 10 20 5 3
Beberapa istilah penting dari daftar distribusi frekuensi data kelompok.
a) Kelas
Kelas adalah interval suatu data yang memuat beberapa data. Tabel diatas memuat 5 kelas, yaitu kelas pertama 9 – 12, kelas kedua 13 – 16, dan seterusnya.
b) Batas Kelas
Pada setiap kelas, nilai terkecil disebut batas bawah kelas dan nilai terbesar disebut batas atas kelas. Sebagai contoh, pada kelas interval 9 – 12, 9 adalah batas bawah kelas dan 12 adalah batas atas kelas.
c) Tepi Kelas
Tepi kelas adalah setengah dari jumlah batas atas dan batas bawah dua kelas interval yang berurutan. Sebagai contoh, kelas pertama 9 – 12 dan kelas kedua 13 – 16 , maka tepi kelas adalah ½ ( 12 + 13 ) = 12,5 yang merupakan tepi atas (ta) kelas pertama dan juga merupakan tepi bawah (tb) kelas kedua.
d) Panjang Kelas
Panjang kelas disebut juga lebar kelas atau interval kelas, yaitu selisih antara tepi atas dan tepi bawah dari tiap kelas dalam kelas interval yang sama. Sebagai contoh, data yang disajikan pada daftar distribusi frekuensi di atas, mempunyai panjang kelas 4.
e) Titik Tengah Kelas
Nilai titik tengah kelas adalah setengah dari jumlah batas bawah kelas dan batas atas kelas. Sebagai contoh, kelas interval 9 – 12 mempunyai titik tengah ½ ( 9 + 12 ) = 10,5. Selisih tiap titik tengah kelas yang berurutan sama dengan panjang kelas.
3) Cara menyusun daftar distribusi frekuensi kelompok
Beberapa langkah yang perlu diperhatikan dalam menyusun daftar distribusi frekuensi kelompok adalah sebagai berikut.
a) Menentukan nilai data terbesar, xmaks, dan nilai data terkecil, xmin, kemudian ditentukan jangkauannya (J) dengan rumus :
b) Menentukan banyaknya kelas (k) dari n buah data berdasarkan aturan Sturgess, yaitu :
c) Menentukan panjang kelas ( c ) dengan rumus :
d) Menyusun daftar distribusi frekuensi dengan menetapkan kelas-kelas sehingga nilai statstik minimum termuat dalam kelas interval terendah, tetapi tidak harus sebagai batas bawah kelas. Selanjutnya, menetapkan frekuensi tiap kelas yang dapat dilakukan dengan menggunakan turus.
CONTOH 5
Dari 48 kali pengukuran panjang selembar kain (ketelitian sampai cm terdekat), didapatkan data sebagai berikut.
54 50 53 54 60 56 62 54 58 65 71 58
58 65 56 58 52 70 74 62 52 62 58 60
70 73 45 60 56 54 52 53 67 54 59 64
57 49 48 56 58 58 60 64 63 68 57 59
Buatlah daftar distribusi frekuensi kelompok dari data tersebut. Jawab :
n = 48
nilai statistik minimum, xmin = 45 dan nilai statistik maksimum, xmaks = 74 1. Jangkauan ( J ) = xmaks - xmin = 74 – 45 = 29.
2. Banyaknya kelas ( k ) = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 48 = 6,548…., bulatkan ke atas menjadi k = 7.
3. Panjang kelas ( c ) = = = 4,14…., bulatkan ke atas menjadi c = 5.
4. Daftar distribusi frekuensinya sebagai berikut.
Hasil Pengukuran (dalam cm) Titik tengah ( xi ) Turus Frekuensi ( fi ) 43 – 47 48 – 52 53 – 57 58 – 62 63 – 67 68 – 72 73 – 77 45 50 55 60 65 70 75 I IIII I IIII IIII III IIII IIII IIII I IIII I IIII II 1 6 13 16 6 4 2
b. Daftar Distribusi Frekuensi Kumulatif
Daftar distribusi frekuensi kumulatif dapat disusun dari daftar distribusi frekuensi kelompok. Terdapat dua jenis frekuensi kumulatif, yaitu frekuensi kumulatif kurang dari tepi atas ( fk ≤ ta ) dan frekuensi kumulatif lebih dari tepi bawah ( fk ≥ tb ).
CONTOH 6
Daftar distribusi frekuensi kumulatif dari data pada Contoh 5 adalah sebagai berikut. Hasil ukur (dalam cm) Frekuensi ( fi ) Tepi bawah ( tb ) Tepi atas ( ta ) Frekuensi kumulatif fk ≤ ta fk ≥ tb 43 – 47 48 – 52 53 – 57 58 – 62 63 – 67 68 – 72 73 – 77 1 6 13 16 6 4 2 42,5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5 72,5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5 72,5 77,5 1 7 20 36 42 46 48 48 47 41 28 12 6 2
BAB III
HISTOGRAM, POLIGON, DAN OGIVE
Sebelumnya telah dipelajari cara menyajikan data ke dalam daftar distribusi data kelompok. Kali ini akan mempelajari cara menyajikan data kelompok ke dalam histogram, poligon dan ogive.
I. HISTOGRAM
Langkah-langkah untuk membuat histogram suatu data kelompok adalah sebagai berikut.
1. Menggambar sumbu horizontal (untuk nilai) dan sumbu vertikal (untuk frekuensi).
2. Menggambar persegi panjang untuk setiap interval. Alas persegi panjang menunjukkan panjang kelas ( c ), yaitu dari tepi bawah kelas sampai tepi atas kelas, sedangkan tinggi persegi panjang menunjukkan frekuensinya.
3. Di atas tiap persegi panjang dapat ditulis frekuensi masing-masing agar histogram mudah dibaca.
Histogram adalah suatu jenis khusus dari diagram batang yang digunakan untuk menunjukkan sebaran atau distribusi frekuensi suatu data. Dalam histogram tidak terdapat ruang diantara batang-batangnya. Tinggi dari masing-masing batang menunjukkan frekuensi data tersebut. Histogram digambarkan dalam sebuah bidang yang memiliki dua sumbu yaitu sumbu tegak untuk menyatakan tingginya frekuensi sedangkan sumbu mendatar untuk menyatakan kelas interval. Masing-masing sumbu dibuat skala. Untuk menggambar histogram, nilai yang digunakan adalah
Definisi
Histogram adalah bentuk diagram batang yang menyajikan daftar distribusi kelompok.
nilai tepi kelas. Untuk nilai tepi kelas ada dua nilai yaitu nilai tepi kelas bawah dan nilai tepi kelas atas.
Dari contoh tentang hasil pengamatan nilai matematika 30 siswa kelas II SMP di suatu SMP sebagai berikut :
60 55 63 74 59 49 58 65 78 68
41 55 45 47 50 65 74 68 88 68
90 63 79 58 85 65 95 81 69 85
Dengan penyajian tabel distribusi frekuensinya sebagai berikut :
Nilai
Matematika Frek.
Nilai tepi bawah kelas
Nilai tepi atas kelas 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 4 6 10 4 4 2 39,5 49,5 59,5 69,5 79,5 89,5 49,5 59,5 69,5 79,5 89,5 99,5
Jika digambarkan dengan histogram maka dicari nilai tepi kelas bawah dan nilai tepi kelas atas seperti berikut ini :
0 2 4 6 8 10 12 39,5 49,5 59,5 69,5 89,5 99,5 frek u e n si
II. POLIGON
Jika titik-titik tengah dari sisi atas tiap persegi panjang yang berdekatan pada histogram dihubungkan, maka akan diperoleh grafik garis yang disebut dengan
poligon distribusi frekuensi.
Poligon distribusi frekuensi merupakan penyajian data dalam bentuk diagram garis tetapi dari tabel suatu frekuensi kelompok. Garis memiliki fungsi menghubungkan titik-titik tengah dari masing-masing interval kelas. Diagram garis tersebut dinamakan polygon frekuensi. Untuk menggambar grafik poligon, nilai yang digunakan adalah nilai tengah masing-masing kelas. Dari tabel frekuensi kelompok ini dicari nilai tengah kelas interval yaitu
NILAI MATEMATIKA FREKUENSI NILAI
TENGAH KELAS INTERVAL
40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 4 6 10 4 4 2 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5 94,5 Definisi
Poligon distribusi frekuensi kumulatif atau ogive adalah bentuk kurva dari daftar distribusi frekuensi kumulatif.
III. OGIVE
Dari suatu daftar distribusi frekuensi kumulatif dapat dibuat suatu diagram. Diagram baru ini disebut sebagai kurva ogive yang akan Anda pelajari pada bagian ini.
Kurva ogive terbagi atas dua, yaitu sebagai berikut :
1) Kurva ogive positif adalah kurva ogive yang diperoleh dari frekuensi kumulatif kurang dari.
2) Kurva ogive negatif adalah kurva ogive yang diperoleh dari frekuensi kumulatif lebih dari.
Apabila diketahui data, cara menentukan kurva ogive positif dan kurva ogive negatif adalah sebagai berikut.
INTERVAL KELAS FREKUENSI
120 – 128 129 – 137 138 – 146 147 – 155 156 – 164 165 – 173 174 - 182 3 5 10 13 4 3 2 0 2 4 6 8 10 12 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5 94,5 Frek u en si Nilai
Nilai Matematika
Berdasarkan data pada tabel dan dengan menambahkan kolom titik tengah, batas bawah, serta frekuensi kumulatif kurang dari dan frekuensi kumulatif lebih dari diperoleh tabel berikut ini.
Interval Kelas Frel. (fi) Titik Tengah (xi) Batas Bawah Frek. Kumulatif < ˃ 120 – 128 129 – 137 138 – 146 147 – 155 156 – 164 165 – 173 174 - 182 3 5 10 13 4 3 2 124 133 142 151 160 169 178 119,5 128,5 137,5 146,5 154,5 164,5 173,5 182,5 0 3 8 18 31 35 38 40 40 37 32 22 9 5 2 0 Jumlah 40
Dengan menghubungkan pasangan titik batas bawah dengan frekuensi kumulatif kurang dari ( < ) diperoleh kurva ogif positif dibawah ini.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 119,5 128,5 137,5 146,5 154,5 164,5 173,5 182,5 fi xi
Kurva Ogive Positif
Dengan menghubungkan pasangan titik batas bawah dengan frekuensi kumulatif lebih dari ( ˃ ) diperoleh kurva ogif negatif dibawah ini.
0 10 20 30 40 50 182,5 173,5 164,5 154,5 146,5 137,5 128,5 119,5 fi xi
Kurva Ogive Negatif
BAB IV
UKURAN PEMUSATAN DATA
Nilai statistik yang dapat menggambarkan keadaan suatu data antara lain adalah mean (rataan hitung), modus, dan median dengan menyatakan ukuran pemusatan data.
I. UKURAN PEMUSATAN UNTUK DATA TUNGGAL a. Rataan Hitung (Mean)
b. Modus
CONTOH 8
Data : 4, 7, 7, 7, 5, 4, 9 mempunyai modus 7.
Data : 3, 9, 8, 7, 9, 7, 4, 7, 5, 9 mempunyai modus 7 dan 9.
Data : 2, 5, 6, 8, 9, 12, 15, 7 tidak mempunyai modus. Definisi
Modus adalah nilai data yang paling sering muncul atau nilai data yang mempunyai frekuensi terbesar.
CONTOH 7
Tentukan rataan hitung dari data : 4, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 5
Jawab :
Jadi, rataan hitungnya adalah . Definisi
c. Median (Me)
Misalnya terdapat data dengan . Jika n ganjil, maka :
Jika n genap, maka :
II. UKURAN PEMUSATAN DATA UNTUK DATA KELOMPOK a. Rataan Hitung (Mean)
Untuk data yang disajikan dalam daftar distribusi frekuensi, maka rataan hitungnya dapat ditentukan dengan rumus :
CONTOH 9
Tentukan median dari data berikut : a. 2, 4, 3, 3, 7, 2, 6, 12, 8
b. 4, 8, 7, 3, 6, 7, 9, 8, 2, 1 Jawab :
a. n = 9
Data yang telah diurutkan : 2, 2, 3, 3, 4, 6, 7, 8, 12
Jadi, mediannya adalah 4. b. n = 10
Data yang telah diurutkan : 1, 2, 3, 4, 6, | 7, 7, 8, 8, 9
Jadi, mediannya adalah 6,5. Definisi
Median adalah suatu nilai yang membagi data menjadi dua bagian yang sama banyakya setelah data tersebut diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.
Keterangan :
= titik tengah kelas interval = frekuensi dari
= banyaknya kelas interval
Selain menggunakan cara diatas , kita dapat menentukan rataan dari sekumpulan data dengan terlebih dahulu menentukan rataan sementaranya. Rataan sementara biasanya diambil dari nilai tengah yang mempunyai frekuensi terbesar. Terdapat dua cara dalam menghitung rataan setelah rata-rata sementara ditentukan, yaitu cara simpangan rata-rataan dan cara pengkodean (coding).
1) Cara Simpangan Rataan
Rataan hitung dengan cara simpangan rataan dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut.
Keterangan : = rataan sementara = simpangan terhadap =
2) Cara Pengkodean (Coding)
Rataan hitung dengan cara pengkodean dapat ditentukan dengan rumus berikut. Keterangan :
= panjang kelas interval = kode
CATATAN
Cara coding dimaksudkan untuk menghindari perkalian yang besar (fi.xi atau fi.di)
b. Modus
Nilai modus untuk data yang disajikan dalam daftar distribusi frekuensi kelompok tidak dapat tepat, tetapi hanya merupakan nilai pendekatan. Cara yang dapat kita gunakan untuk menentukan modus dari data distribusi frekuensi kelompok adalah dengan menggunakan rumus.
Keterangan :
= tepi bawah kelas modus
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya = panjang kelas interval
c. Median
Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, median dihitung dengan rumus sebagai berikut.
Keterangan :
= tepi bawah kelas modus = banyaknya data
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median = frekuensi kelas median
BAB V
UKURAN LETAK DATA
I. KUARTIL DAN DESIL UNTUK DATA TUNGGAL
a. Kuartil (Q)
Terdapat 3 buah kuartil, yaitu kuartil bawah atau kuartil pertama dilambangkan Q1, kuartil tengah atau kuartil kedua atau median dilambangkan Q2, dan kuartil atas atau kuartil ketiga dilambangkan Q3. Kuartil-kuartil suatu data dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut.
1) Mengurutkan data dari nilai yang terkecil hingga yang terbesar. 2) Menentukan median atau kuartil kedua, Q2.
3) Menentukan Q1 (median dari semua data yag kurang dari Q2) dan Q3 (median dari semua data yag lebih dari Q2).
b. Desil
Untuk data yang tidak dikelompokkan, letak desil dapat ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
terletak pada nilai ke -
Definisi
Desil adalah nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak setelah data diurutkan dari data terkecil hingga yang terbesar.
Definisi
Kuartil adalah nilai yang membagi data menjadi empat bagian yang sama banyak, setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.
II. KUARTIL DAN DESIL UNTUK DATA KELOMPOK a. Kuartil (Q)
Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, kuartil dihitung dengan rumus sebagai berikut.
Keterangan :
= tepi bawah kelas kuartil = banyaknya data
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil = frekuensi kelas kuartil
= panjang kelas interval = 1, 2, 3
b. Desil
Sedangkan, nilai desil dapat ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
Keterangan : = desil ke-i = ukuran data
= frekuensi kumulatif sebelum kelas = frekuensi kelas yang memuat = panjang kelas interval
BAB VI
UKURAN PENYEBARAN DATA
Sejauh ini kita hanya mempetimbangkan satu nilai tunggal untuk mewakili data, misalnya rataan, median, atau modus. Hasilnya biasanya merupakan nilai tunggal, walaupun di beberapa kasus berupa interval kelas. Perhatikan dua data berikut.
Data 1 : 8 8 8 9 9 10 11 11 12 12 12
Data 2 : 1 5 6 6 9 10 10 14 15 15 19
Kedua data di atas memiliki rataan yang sama, yaitu 10. Tapi jelas bahwa penyebaran kedua data di sekitar rataan jauh berbeda. Jika demikian untuk lebih memahami data, selain ukuran pemusatan data kita perlu juga ukuran penyebaran data. Salah satu ukuran penyebaran data yang telah kita kenal adalah Jangkauan. Dari dua data di atas kita ketahui bahwa jangkauan data pertama adalah 4, sedangkan jangkauan data kedua adalah 18 . Jelas bahwa penyebaran data kedua lebih luas daripada data pertama. Ukuran penyebaran data lainnya yang akan kita bahas adalah Simpangan rata-rata,
Ragam dan Simpangan baku.
I. UKURAN PENYEBARAN UNTUK DATA TUNGGAL
a. Rentang, Hamparan, dan Simpangan Kuartil
Definisi
Jangkauan antar kuartil atau hamparan, H adalah selisih antara kuartil ketiga dengan kuartil pertama.
Definisi
Jangkauan data atau rentang data atau range data, J adalah selisih antara data terbesar, xmaks, dengan data terkecil, xmin.
Jangkauan dari sekumpulan data adalah nilai yang diperoleh jika nilai data terbesar dikurangi nilai data terkecil. Misalnya data hasil observasi banyak siswa yang absen pada hari Senin pada suatu kelas dalam periode waktu 7 minggu.
5 4 5 2 1 0 3
Jangkauan = nilai terbesar – nilai terkecil = 5 – 0
= 5
Meskipun mudah diperoleh, dalam statistik lanjut jangkauan jarang digunakan sebagai ukuran penyebaran data, dan pada data berukuran kecil cenderung dipergunakan untuk memperkuat modus atau median.
Konsep jangkauan ini diperluas pada kuartil untuk mengetahui seberapa besar penyebaran 50% data paling tengah. Kita ketahui bahwa jangkauan bisa memberikan petunjuk yang sangat bias jika pada data terdapat nilai-nilai ekstrim, misalnya pada data berikut.
1 1 2 3 5 6 8 8 100
Jangkauan data adalah 99 dan mediannya 5. Tapi jelas data tidak menyebar sebesar itu. Ukuran penyebaran yang melibatkan kuartil adalah jangkauan antar-kuartil dan simpangan antar-kuartil.
Untuk data di atas, diperoleh Q =2 dan Q = 8.. Dengan demikian H = 6 dan Q
Definisi
Jangkauan semi antar kuartil atau simpangan kuartil, Qd adalah
setengah kali panjang hamparan.
dikatakan median data 5 dan 50% data terletak antara 3 dan 8 (selang Qd dari median). CONTOH 10
Tentukan ragam dan simpangan baku dari satu kelompok data berikut.
a) 2 3 6 8 11 b) 11 12 13 14 15 16 17 18 Jawab : a) . xi xi - x x 2 2 2 – 6 = -4 16 3 3 – 6 = -3 9 6 6 – 6 = 0 0 8 8 – 6 = 2 4 11 11 – 6 = 5 25 x ( satu desimal) Jadi, ragamnya 10,8 dan simpangan bakunya 3,3.
b. Simpangan Rata-Rata
Jika x adalah rataan hitung dari data x1, x2, x3, …, xn, maka :
Simpangan dari x1 adalah x1 - x, nilai mutlaknya adalah x ,
b) . xi xi - x x 2 11 11 – 14,5 = -3,5 12,25 12 12 – 14,4 = -2,5 6,25 13 13 – 14,5 = -1,5 2,25 14 14 – 14,5 = -0,5 0,25 15 15 – 14,5 = 0,5 0,25 16 16 – 14,5 = 1,5 2,25 17 17 – 14,5 = 2,5 6,25 18 18 – 14,5 = 3,5 12,25 x
Jadi ragamnya 5,25 dan simpangan bakunya 2,3.
Definisi
Simpangan rata-rata menyatakan jarak rata-rata suatu data terhadap rataannya.
Simpangan dari x3 adalah x3 - x, nilai mutlaknya adalah x , Simpangan dari xn adalah xn - x, nilai mutlaknya adalah x .
Jumlah nilai mutlak itu adalah
n i i x x 1 = x + x + x + … + xNilai simpangan rata-rata (SR) untuk data tunggal dapat ditentukan dengan rumus:
Keterangan :
= banyaknya data = nilai data ke-i = rataan hitung CONTOH 11
Tentukan simpangan rata-rata dari data berikut : 3 4 6 8 9
Jawab :
Simpangan rata-rata :
c. Ragam dan Simpangan Baku
Misalnya data mempunyai rataan , maka ragam atau varians (S2) dapat ditentukan dengan rumus :
Sementara itu, simpangan baku atau standar deviasi (S) dapat ditentukan dengan rumus :
Keterangan :
= banyaknya data = nilai data ke-i = rataan hitung
II. UKURAN PENYEBARAN UNTUK DATA KELOMPOK
a. Rentang Antarkuartil dan Simpangan Kuartil
Rentang antarkuartil disebut juga hamparan atau jangkauan antarkuartil, sedangkan simpangan kuartil disebut juga jangkauan semi antarkuartil. Seperti halnya untuk data tunggal, rentang antar kuartil (H), dan simpangan kuartil (Qa), untuk data kelompok dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut.
Definisi
Ragam menyatakan rata-rata kuadrat jarak suatu data terhadap rataannya.
b. Simpangan Rata-Rata, Ragam, dan Simpangan Baku
Untuk data kelompok, nilai simpangan rata-rata ditentukan dengan rumus :
Keterangan :
= banyaknya data = titik tengah kelas ke-i =
Untuk data kelompok, nilai ragam dapat ditentukan dengan rumus :
Keterangan :
= frekuensi kelas ke - i = titik tengah kelas ke-i = banyaknya kelas = rataan hitung
CONTOH 12
Tentukan jangkauan antar kuartil dan simpangan kuartil dari data berikut. Nilai Frekuensi 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94 7 12 23 21 18 10 8 1 Jawab :
Nilai Frekuensi Frekuensi kumulatif kurang dari (fkk) 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94 7 12 23 21 18 10 8 1 7 19 42 63 81 91 99 100 Ukuran data ( n ) = 100.
berkorespondensi dengan kelas 65 – 69. berkorespondensi dengan kelas 75 – 79. Untuk kelas Q1 (65 – 69); tepi batas bawah (b1) = 64,5; fkks1 = 19; fQ1
Q1 =
=
=
= 65,804
Untuk kelas Q3 (75 – 79); tepi batas bawah (b3) = 74,5; fkks3 = 63; fQ3 = 18; dan k = 5. Berarti : Q3 =
=
=
= 77,833
Jadi, Jangkauan Antarkuartil (H) = Q3 - Q1
= 77,833 - 65,804 = 12,029 dan Simpangan kuartil (Qd) = = = 6,0145
UJI KOMPETENSI
I. Pilihlah jawaban yang benar!
1. Nilai rata-rata dari data : 4, 10, 7, x, 10, 6, 11, adalah 8. Nilai x adalah … a. 4
b. 6 c. 8 d. 9 e. 10
2. Jangkauan antar kuartil dari sekelompok data : 16, 7, 10, 14, 9, 14, 11, 12, 9, 12 adalah … a. 2,5 b. 4 c. 4,5 d. 5 e. 9
3. Rata-rata tinggi badan 9 siswa adalah 155 cm. jika ditambah seorang siswa baru, maka rataan hitung tinggi badan menjadi 156 cm. Tinggi badan siswa baru itu adalah …
a. 156 cm b. 159 cm c. 162 cm d. 165 cm e. 168 cm
4. Nilai rata-rata pelajaran matematika dalam suatu kelas adalah 5,5. Jika ditambah nilai seorang siswa baru dengan nilai 7,5 maka nilai rata-rata menjadi 5,7. Banyaknya siswa dalam kelas tersebut adalah …
a. 9 b. 18 c. 32 d. 36
5. Nilai simpangan kuartil dari data : 16, 7, 10, 14, 9, 14, 11, 12, 9, 12 adalah … a. 2 b. 4 c. 4,5 d. 5 e. 9
6. Nilai rata-rata dari data berikut adalah 34. Nilai p adalah … Nilai Frekuensi 21 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45 46 - 50 2 8 9 p 3 2 -15 -10 -5 0 5 10 a. 6 b. 9 c. 13 d. 11 e. 21
7. Median dari data tabel frekuensi dibawah ini adalah … Nilai Frekuensi 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 4 8 14 35 27 9 4 a. 67 b. 67,9 c. 68 d. 68,4
e. 68,9
8. Diketahui kelas modus pada data berikut adalah 51 – 60 dan nilai modusnya 56,5. Nilai p adalah … Nilai Frekuensi 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 2 p 12 10 a. 9 b. 8 c. 7 d. 6 e. 5
9. Nilai modus dari data yang dinyatakan dalam histogram berikut adalah …
a. 47,50 b. 47,75 c. 48,25 d. 49,25 e. 49,75
10. Simpangan rata-rata dari data : 6 4 8 2 10 adalah … a. 2,0 b. 2,4 c. 2,5 0 2 4 6 8 10 12 41-45 46-50 51-55 56-60 61-65 NIlai
II. Jawablah pertanyaan berikut secara teliti!
1. Jumlah nilai rapor Semester I di kelas XIA yang terdiri dari 40 siswa adalah sebagai berikut.
76 77 78 78 79 79 79 79 80 81
82 82 82 83 83 83 84 85 86 81
87 89 90 90 91 91 91 92 92 92
92 92 92 93 93 94 94 95 96 96
a) Buatlah tabel distribusi frekuensi kelompok dari data tersebut. b) Tentukan nilai mean, median, dan modus!
2.
Nilai 52 – 56 57 – 61 62 – 66 67 – 71 72 – 76 77 – 81
Frekuensi 4 6 10 12 8 8
Berdasarkan data tersebut, buatlah : a) Poligon frekuensi, dan
b) Ogive positif 3. Hasil Ukur 10 – 14 15 – 19 20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44 Frekuensi 6 8 16 20 22 18 10
Tentukan rataan hitungnya dengan cara : a) Simpangan
b) Pengkodean
4. Berdasarkan data pada nomor 3 diatas hitunglah ragam, simpangan baku, desil ke-3, dan desil ke-5.
5. Umur rata-rata dari suatu kelompok yang terdiri dari dokter dan jaksa adalah 40 tahun. Jika umur rata-rata para dokter adalah 35 tahun dan umur rata-rata para jaksa adalah 50 tahun, tentukan banyaknya dokter dan jaksa tersebut!
DAFTAR PUSTAKA
Anggota Ikapi. 2009. Mathematics For Senior High School Year XI Science Program (Bilingual). Jakarta: Yudhistira.
