Laporan Praktikum Newton Rapson

(1)

Laporan Praktikum Laporan Praktikum

Pencarian Akar suatu Fungsi dengan

Menggunakan Metode Newton-Raphson

Diajukan untuk Memenuhi Laporan Kegiatan Praktikum Fisika

Diajukan untuk Memenuhi Laporan Kegiatan Praktikum Fisika KomputasiKomputasi

Disusun oleh : Disusun oleh : Nama

Nama : : ohan !"ah Fatomiohan !"ah Fatomi N#M

N#M : : $%&'()*($&P$%&'()*($&PA&$+,A&$+,$$ .ari/

.ari/ 0a0anggal nggal Praktikum Praktikum : : Kamis/ Kamis/ )% )% Maret Maret )$()$(

A

Assiisstteen n PPrraakkttiikkuumm : .: .aammiid d ..aammaaddii :

: 1inan 1inan AhmadAhmad :

: Muhammad Muhammad 2gi2gi

LA34RA0

LA34RA04R#5M 4R#5M F#!#KA K4MPF#!#KA K4MP50A!#50A!# D2PA

D2PAR02M2N F#!#KR02M2N F#!#KAA

FAK5L0A! MA02MA0#KA DAN #LM5 P2N620A.5AN ALAM FAK5L0A! MA02MA0#KA DAN #LM5 P2N620A.5AN ALAM

5N#72R!#0A! 6AD1A. MADA 5N#72R!#0A! 6AD1A. MADA

8468AKAR0A 8468AKAR0A

)$( )$(

(2)

1. Pendahuluan

1.1 Latar Belakang

6am9aran isikawan dalam memandang gejala alam adalah se9uah perumusan "ang matematis; Perumusan matematis 9an"ak "ang susah dipecahkan jika diselesaikan menggunakan metode analisis; !eperti misaln"a dalam pencarian akar suatu ungsi kadang ada "ang sulit dipecahkan terutama ungsi tidak linear; 4leh karena itu di9utuhkan metode "ang mampu memecahkan masalah pencarian akar dengan mudah/ salah satun"a adalah dengan menggunakan metode Newton Raphson

1.2 Tujuan

a; Menentukan nilai akar-akar suatu ungsi secara numerik dengan metode Newton-Raphson;

2. Dasar Teori

Dalam Mencari nilai suatu akar-akar suatu ungsi secara numeric dapat menggunakan metode 9erikut ini :

2.1 Metode Bisection

algoritma pencarian akar pada se9uah inter<al; #nter<al terse9ut mem9agi dua 9agian/ lalu memilih dari dua 9agian ini dipilih 9agian mana "ang

mengandung akar dan 9agian "ang tidak mengandung akar di9uang; .al ini dilakukan 9erulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan atau mendekati akar persamaan; Metode ini 9erlaku ketika ingin memecahkan persamaan f = x> ?  dengan f merupakan ungsi kontin"u;

2.2 Newton-Rapshon

adalah metode pencarian akar suatu ungsi =@> dengan pendekatan satu titik/ dimana ungsi =@> mempun"ai turunan; Metode ini dianggap le9ih mudah dari Metode 3agi-Dua =3isection Method> karena metode ini menggunakan

(3)

pendekatan satu titik se9agai titik awal; !emakin dekat titik awal "ang kita pilih dengan akar se9enarn"a/ maka semakin cepat kon<ergen ke akarn"a;

Prosedur Metode Newton :

menentukan @ se9agai titik awal/ kemudian menarik garis lurus =misal garis l >

"ang men"inggung titik =@>; .al ini 9eraki9at garis l memotong sum9u  @ di

titik @$; !etelah itu diulangi langkah se9elumn"a tapi sekarang @$dianggap

se9agai titik awaln"a; Dari mengulang langkah-langkah se9elumn"a akan mendapatkan @)/ @'/ B @n dengan @n "ang diperoleh adalah 9ilangan riil "ang

merupakan akar atau mendekati akar "ang se9enarn"a;

. Metode !ksperi"en

.1

#cript $o"putasi

PROGRAM titik_nol IMPLICIT NONE

REAL :: x0, x1, delta, tol INTEGER :: i, imak

imak = 100 tol = 1.0e!

"RITE #$,$%&'e(ikan ma)*kan nilai x0 = & REA+ #$,$%x0 i=0 +O i = i 1 x1 = x0-*n#x0%/d-*n#x0% delta = x1  x0

"RITE #$,$%&Aka( ite(a)i ke &,i,&adala&, x1

I ##A'2#delta% .LE. tol% .OR. #i .GE. imak%%E3IT EN+ +O

(4)

"RITE #$,$%&Nilai aka( = &, x1 CONTAIN2 4NCTION -*n#3% REAL :: -*n REAL, INTENT#in% :: x -*n = 5.0/#6.0x%$$ 7  6.0/x$$7 EN+ 4NCTION -*n 4NCTION d-*n#x% REAL :: d-*n REAL, INTENT#in% :: x d-*n = 8.0/#6.0x%$$5 10.0/x$$5 EN+ 4NCTION d-*n

EN+ PROGRAM titik_nol

.2

%ungsi &ang Digunakan

No; f

(

x

)

_f'

(

x

)

$; 3.0

(

5.0

−

x

)

2

−

5.0

(

x

)

2 6.0

(

5.0₋_x

)

3 + 10.0 x3 ); 6.0

(

8.0

−

x

)

2

+

3.0

(

5

−

x

)

2

−

5.0 x2

−

2

(

x

+

12 8₋_x3+ 6

(

5₋_x

)

3+ 10

(

x

)

3+ 4

(

x+1

)

3 '; sin x cos x %; _x2

+

2 x

−

x−3 ₂_x₊₂₊ 3 x4

'. (asil !ksperi"en

!etelah dilakukan pem9uatan listing program dan mengcompilen"a sehingga didapatkan hasil 9erikut ini :

$; f

(

x

)

=

3.0

(

5.0

−

x

)

2

−

5.0

(

x

)

2 , x0

=

10,imaks

=

100 Akar iterasi ke $ adalah $$;,%)$+ Akar iterasi ke ) adalah $$;,%)$+ B;;

B;;

Akar iterasi ke CC adalah $$;,%)$+ Akar iterasi ke $ adalah $$;,%)$+ Nilai akar ? $$;,%)$+

(5)

); f

(

x

)

=

3.0

(

5.0

−

x

)

2

−

5.0

(

x

)

2 , x0

=

3,imaks

=

100 Akar iterasi ke $ adalah );%',(C$( Akar iterasi ke ) adalah );%',(C$( B

B

Akar iterasi ke CC adalah );%',(C$( Akar iterasi ke $ adalah );%',(C$( Nilai akar ? );%',(C$( '; f

(

x

)

=

3.0

(

5.0

−

x

)

2

−

5.0

(

x

)

2 , x0

=

5,imaks

=

100 Akar iterasi ke $ adalah NaN Akar iterasi ke ) adalah NaN B

B

Akar iterasi ke CC adalah NaN Akar iterasi ke $ adalah NaN Nilai akar ? NaN

%; f

(

x

)

=

6.0

(

8.0

−

x

)

2

+

3.0

(

5

−

x

)

2

−

5.0 x2

−

2

(

x

+

1

)

2 , x0

=

2,imaks

=

100

Akar iterasi ke $ adalah ); Nilai akar ? ); +; f

(

x

)

=

6.0

(

8.0

−

x

)

2

+

3.0

(

5

−

x

)

2

−

5.0 x2

−

2

(

x

+

1

)

2 , x0

=−

2,imaks

=

100

Akar iterasi ke $ adalah -);(C*CC(C Akar iterasi ke ) adalah -);(C*CC(C B;

B;

Akar iterasi ke CC adalah -);(C*CC(C Akar iterasi ke $ adalah -);(C*CC(C Nilai akar ? -);(C*CC(C (; f

(

x

)

=

6.0

(

8.0

−

x

)

2

+

3.0

(

5

−

x

)

2

−

5.0 x2

−

2

(

x

+

1

)

2 , x0

=

10,imaks

=

100

Akar iterasi ke $ adalah %);C,,'%( Akar iterasi ke ) adalah %);C,,'%( B;

B;

Akar iterasi ke CC adalah %);C,,'%( Akar iterasi ke $ adalah %);C,,'%( Nilai akar ? %);C,,'%(

(6)

*; f

(

x

)

=

sin x , x0

=

0.3,imaks

=

100

Akar iterasi ke $ adalah ;%+$$*%)C Akar iterasi ke ) adalah ;%+$$*%)C B

B

Akar iterasi ke CC adalah ;%+$$*%)C Akar iterasi ke $ adalah ;%+$$*%)C Nilai akar ? ;%+$$*%)C

,; f

(

x

)

=

sin x , x0

=

0.6,imaks

=

100

Akar iterasi ke $ adalah ;,C%(,%) Akar iterasi ke ) adalah ;,C%(,%) B

B

Akar iterasi ke CC adalah ;,C%(,%) Akar iterasi ke $ adalah ;,C%(,%) Nilai akar ? ;,C%(,%)

C; f

(

x

)

=

x

2

+

2 x

−

x−3, x0

=

5,imaks

=

100

Akar iterasi ke $ adalah );,+$(+* Akar iterasi ke ) adalah );,+$(+* B

B

Akar iterasi ke CC adalah );,+$(+* Akar iterasi ke $ adalah );,+$(+* Nilai akar ? );,+$(+*

$; f

(

x

)

=

x

2

+

2 x

−

x−3, x0

=

5,imaks

=

100

Akar iterasi ke $ adalah %;+%++*%) Akar iterasi ke ) adalah %;+%++*%) B

B

Akar iterasi ke CC adalah %;+%++*%) Akar iterasi ke $ adalah %;+%++*%) Nilai akar ? %;+%++*%)

(7)

Pada praktikum metode newton raphson "ang menggunakan 9ahasa pemrograman ortran C; Kode-kode "ang digunakan 9ertujuan untuk mem9uat suatu iterasi&pengulangan agar mendapatkan nilai f

(

x

)

=

0 sehingga nilai xi

+

1

=

x1 _;

!ehingga didapatkanlah nilai akar ungsi itu;

!intaks Program titik_nol adalah nama program itu; Implicit NONE adalah untuk mem9eritahu compiler agar menga9aikan ortran implicit 9ahwa <aria9el "ang diawali dengan a-h atau - adalah real sedangkan "ang diawali dengan 1

−

n adalah integer; Aki9atn"a compiler mengharuskan untuk secara eksplisit mendeinisikan jenis dari setiap <aria9le "ang digunakan dalam program; Real ::x0,x1,delta,tol menjelaskan 9ahwa input dari @/@$/delta/ dan tol adalah 9ilangan real/atau 9ilangan "ang ada koman"a; Integer :: i,imak adalah

mendeinisikan 9ahwa iterasi dan iterasi maksimumn"a adalah 9ilangan 9ulat/ karena memang 9ulat tidak ada iterasi "ang menggukanan koma; Perintah write(*,* !"erikan ma#$kan nilai x0 % ! adala& sintaks untuk memasukkan nilai te9akan awal melalui ke"9oard / sedangkan read(*,*x0 men"atakan 9ahwa nilai "ang dimasukkan lewat ke"9oard itu adalah @/ i%0 menunjukkan 9ahwa saat nilai awal dimasukkan 9elum terjadi iterasi; Perintah imak % 100 dan tol%1'0e) men"atakan 9ahwa 9an"akn"a iterasi maksimum adalah $ dan

toleransin"a adalah $;e-%; Perintah do adalah untuk memulai iterasi/ i%i1 men"atakan9ahwa iterasi dilakukan dengan rentang $; x_i

=

x0 – fung

(

x0

)/

dfung

(

x0

)

_{adalah rumusan newton raphson "ang akan}

digunakan untuk mencari nilai akar melalui iterasi/sedangkan delta%x1x0 adalah selisih antara xi1 dengan xi ; write(*,* !akar itera#ike+,i,+ adala& !,1 untuk menampilkan pada output saat iterasi ke9erapa hasiln"a 9erapa/ hasiln"a 9erupa nilai x1 _"ang _didapat _dari _rumusan _newton _raphson; _Perinta&

if((a#(delta '-E' tol 'OR' (I '.E' imak exit kalau diterjemahkan ke 9ahasa manusia adalah jika nilai a9solute =mutlak> dari delta =selisih @iE$ dengan @i> le9ih kecil sama dengan nilai toleransi atau i le9ih 9esar sama dengan imak maka iterasi&pengulangan dihentikan; Perintah x0

=

x1 _{End do men"atakan saat delta sama atau le9ih kecil}

dari toleransi maka nilai akar sudah didapatkan sehingga iterasi 9erakhir cukup sampai disini; Perintah write(*,* !Nilai akar % !,x1 adalah untuk menghasilkan nilai keluaran nilai akar "ang dicari "aitu x1 _{"ang didapat dengan iterasi perumusan}

newton raphson/9ukan masukan dari ke"9oard; /ontain# adalah perintah tentang konten-konten "angada pada program; Perintah Function ung=@> men"atakan ungsi @; Real :: f$ng men"atakan 9ahwa ung adalah real/ atau nilain"a 9isa menggunakan koma; Real,intent(in :: x mem9eri tahu compiler 9ahwa @ digunakan se9agai nilai masukkan&inputsaja; Atau dengan kata lain/ @ dimasukkan ke dalam

(8)

d-*n intin"a sama "ang mem9edakan adalah dung merupakan turunan dari ung;

Dengan perhitungan program diatas didapatkan hasil se9agai 9erikut :

No; f

(

x

)

x0 Hasil $; f

(

x

)

=

3.0

(

5.0

−

x

)

2

−

5.0

(

x

)

2 $ _$$;,%)$+ ); f

(

x

)

=

3.0

(

5.0

−

x

)

2

−

5.0

(

x

)

2 ' );%',(C$( '; f

(

x

)

=

3.0

(

5.0

−

x

)

2

−

5.0

(

x

)

2 + Nan %; f

(

x

)

=

6.0

(

8.0

−

x

)

2

+

3.0

(

5

−

x

)

2

−

5.0 x2

−

2

(

x

+

1

)

2 ) ₎ +; f

(

x

)

=

6.0

(

8.0

−

x

)

2

+

3.0

(

5

−

x

)

2

−

5.0 x2

−

2

(

x

+

1

)

2 -) _-);(C*CC(C (; f

(

x

)

=

6.0

(

8.0

−

x

)

2

+

3.0

(

5

−

x

)

2

−

5.0 x2

−

2

(

x

+

1

)

2 $ _%);C,,'%( *; sin x ;' ;%+$$*%)C ,; sin x ;( ;,C%(,%) C; _f

(

_x

)

₌

_x2

+

2 x

−

x−3 + );,+$(+* $; _f

₍

_x

₎

₌_x2 +2 x− x−3 + %;+%++*%)

dengan nilai imak# % $;

1ika kita lihat ada nilai-nilai "ang tidak 9iasa di sini "aitu nilai Nan pada akar ungsi f

(

x

)

=

3.0

(

5.0

−

x

)

2

−

5.0

(

x

)

2 nilai x0

=

5 ; .al itu terjadi dikarenakan pada saat

perhitungan didapatkan nilai

suatu persamaan

(

5.0

−

5.0

)

=

tidak terdefinisi ; 0idak terdeinisi

dilam9angkan pada ortran se9agai Nan;

+. $esi"pulan

$; Metode Newton-Raphson merupakan metode "ang 9agus untuk mendapatkan nilai suatu akar dari suatu ungsi non linear / mudah dipelajari serta mudah diterapkan di koding pemrograman ortran

(9)

No; f

(

x

)

x0 Hasil $; f

(

x

)

=

3.0

(

5.0

−

x

)

2

−

5.0

(

x

)

2 $ $$;,%)$+ ); f

(

x

)

=

3.0

(

5.0

−

x

)

2

−

5.0

(

x

)

2 ' );%',(C$( '; f

(

x

)

=

3.0

(

5.0

−

x

)

2

−

5.0

(

x

)

2 + Nan %; f

(

x

)

=

6.0

(

8.0

−

x

)

2

+

3.0

(

5

−

x

)

2

−

5.0 x2

−

2

(

x

+

1

)

2 ) ₎ +; f

(

x

)

=

6.0

(

8.0

−

x

)

2

+

3.0

(

5

−

x

)

2

−

5.0 x2

−

2

(

x

+

1

)

2 -) -);(C*CC(C (; f

(

x

)

=

6.0

(

8.0

−

x

)

2

+

3.0

(

5

−

x

)

2

−

5.0 x2

−

2

(

x

+

1

)

2 $ _%);C,,'%( *; sin x ;' ;%+$$*%)C ,; sin x ;( ;,C%(,%) C; _f

(

_x

)

₌_x2 +2 x− x−3 + );,+$(+* $; _f

₍

_x

₎

₌

_x2

+

2 x

−

x−3 + %;+%++*%) dengan nilai imak# % $;

,. Datar Pustaka

1. Nurwantoro/ Pekik ; )$; Pet$n$k Praktik$m i#ika 2omp$ta#i/ 5ni<er sitas 6adjah Mada:8og"akarta;

2. Nugroho/ Fahrudin; )$%; Pemrograman dan 3etode N$merik /5ni<ersitas 6adjah Mada:8og"akarta;

. Fujianto/)$+; NewtonRap&#on 4ec&ni5$e diakses pada tanggal )C April )$(

. Le"*ar Pengesahan

8og"akarta/ $$ April )$%

Asisten Praktikum Asisten Praktikum

(10)

Asisten Praktikum Praktikan

Muhammad 2gi ohan !"ah Fatomi

/. La"piran

10. PROGRAM titik_nol 11. IMPLICIT NONE

17. REAL :: x0, x1, delta, tol 15. INTEGER :: i, imak 1!. 16. imak = 100 18. tol = 1.0e! 19. 1.

1;. "RITE #$,$%&'e(ikan ma)*kan nilai x0 = & 70. REA+ #$,$%x0 71. i=0 77. 75. +O 7!. 76. i = i 1 78. x1 = x0-*n#x0%/d-*n#x0% 79. delta = x1  x0

7. "RITE #$,$%&Aka( ite(a)i ke &,i,&adala&, x1 7;.

50. I ##A'2#delta% .LE. tol% .OR. #i .GE. imak%%E3IT 51. EN+ +O

57.

55. "RITE #$,$%&Nilai aka( = &, x1 5!. 56. CONTAIN2 58. 59. 4NCTION -*n#3% 5. REAL :: -*n 5;. REAL, INTENT#in% :: x !0. -*n = 5.0/#6.0x%$$ 7  6.0/x$$7

(11)

!1. EN+ 4NCTION -*n !7. !5. 4NCTION d-*n#x% !!. REAL :: d-*n !6. REAL, INTENT#in% :: x !8. d-*n = 8.0/#6.0x%$$5 10.0/x$$5 !9. EN+ 4NCTION d-*n !.