Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

(1)

Buku

Kerja 5

Integrasi Vektor

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

Created by: Rahima & Anny

99

INTEGRASI VEKTOR

Sebelum masuk ke integral garis, Anda pelajari dulu mengenai integral biasa dari vektor.

Integral Biasa

Pada buku kerja 3, kita telah mengetahui hubungan antara perpindahan, kecepatan, dan percepatan. Kecepatan merupakan turunan dari perpindahan sebagai fungsi waktu. Percepatan merupakan turunan kecepatan sebagai fungsi waktu.

Bagaimana jika kita ingin mencari kecepatan dan perpindahan dengan diketahui percepatannya? Percepatan adalah turunan dari kecepatan, berarti kecepatan adalah anti turunan dari percepatan. Sedangkan, kecepatan adalah turunan dari perpindahan, berarti perpindahan adalah anti turunan dari kecepatan. Oleh karena itu, untuk mencari kecepatan berarti kita harus mengintegralkan percepatan dan untuk mencari perpindahan berarti kita harus mengintegralkan kecepatan.

Perhatikan definisi integral biasa dari fungsi vektor, sebagai berikut. Definisi Integral Biasa

Misalkan , dimana sebuah vektor yang bergantung pada variabel atau parameter t dan kontinu dalam suatu selang yang ditentukan. Maka, integral tak tentu dari didefinisikan sebagai berikut.

Materi pokok pertemuan ke 11: 1. Integral Biasa

2. Integral Garis

URAIAN MATERI

(2)

100

Jika terdapat sebuah vektor , sehingga

maka :

dimana adalah vektor konstanta.

Sedangkan integral tentu dengan batas antara dan t , dapat ditulis

Jadi, misalkan fungsi percepatan diberikan oleh , yang bergantung pada parameter t (waktu). Maka, kecepatan adalah integral dari percepatan diberikan oleh.

Setelah Anda mempelajari integral biasa dari fungsi vektor, selanjutnya Anda pelajari integral garis dari fungsi vektor.

Integral Garis

Dalam buku kerja 2 telah dijelaskan bahwa usaha merupakan hasil dari perkalian titik antara gaya yang dilakukan dengan perpindahan yang terjadi.

Rumusnya adalah

Selanjutnya, coba perhatikan gambar berikut.

A B objek

(3)

Buku

Kerja 5

Integrasi Vektor

101

Apa yang bisa Anda kemukakan dari gambar tersebut? Ada objek yang bergerak dari titik A ke titik B namun objek tersebut bergerak tidak lurus. Jadi, jika gaya yang diberikan berubah besar dan arahnya, dan objek bergerak tidak lurus, maka usaha yang dilakukan adalah

Jika perubahannya kontinu, maka perumusan di atas berubah menjadi integral

untuk perpindahan dari titik a ke titik b sepanjang lintasan C. Usaha yang dihasilkan merupakan integral garis dari fungsi vektor .

Untuk lebih jelasnya, berikut definisi integral garis. Definisi Integral Garis

Integral garis dari suatu fungsi vektor sepanjang kurva C yang terdefinisi pada , didefinisikan sebagai berikut.

Selanjutnya, perhatikan gambar di bawah ini!

Gambar di samping tampak bahwa objek bergerak sepanjang lintasan C yang tidak lurus yang berawal dari titik A dan berakhir pada titik B, dimana A=B. Jadi, objek tersebut bergerak sepanjang lintasan tertutup.

Jadi, usaha yang diperoleh pada lintasan tertutup di atas adalah

A B Objek

(4)

102

Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini! Contoh 1

Jika , carilah (a) dan (b) Penyelesaian (a) (b)

di mana c adalah vektor konstan Contoh 2

Jika dan , hitunglah Penyelesaian

CONTOH SOAL

(5)

Buku

Kerja 5

Integrasi Vektor

103 Contoh 3 Jika , hitunglah dari (0, 0, 0) sampai (1, 1, 1) sepanjang lintasan berikut.

(a)

(b) Garis lurus dari (0, 0, 0)sampai(0, 0, 1), kemudian sampai (0, 1, 1) dan setelah itu sampai (1, 1, 1)

(c) Garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 1) dan (1, 1, 1) Penyelesaian

(a) Jika , titik (0, 0, 0)dan (1, 1, 1) masing-masing dengan t = 0 dan t = 1 yang diperoleh dengan menggunakan persamaan parameter. Maka Metode lain Sepanjang C, dan . Maka

(6)

104

(b) Sepanjang garis lurus dari (0, 0, 0) sampai (0, 0, 1), sedang berubah dari 0 sampai 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah

Sepanjang garis lurus dari (0, 0, 1) sampai (0, 1, 1), sedang berubah dari 0 sampai 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah

Jadi

(c) Garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (1, 1, 1) dalam bentuk persamaan parameter adalah Maka

Contoh 4

Carilah usaha yang dilakukan untuk menggerakkan sebuah partikel dalam medan gaya yang diberikan oleh sepanjang kurva

dari t =0 hingga t =2 Penyelesaian

(7)

Buku

Kerja 5

Integrasi Vektor

105

Jadi, usaha yang dilakukan untuk menggerakkan sebuah partikel dalam medan gaya adalah 100/3.

Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong! Latihan 1 Hitunglah Penyelesaian Latihan 2

Percepatan a dari sebuah partikel pada sebarang t diberikan oleh . Jika kecepatan v dan perpindahan r adalah nol pada saat t = 0, carilah v dan r pada sebarang saat.

Penyelesaian Perhatikan , , maka: (*) Jika v = 0 pada saat t = 0, menyebabkan

substitusi ke persamaan (*), sehingga diperoleh

(8)

106

Jika v = 0 pada saat t = 0, menyebabkan (**)

substitusi ke persamaan (**), sehingga diperoleh

Latihan 3

Jika . Hitunglah sepanjang lintasan-lintasan C berikut:

(a) dari t = 0 hingga t = 1

(b) garis-garis lurus dari (0, 0, 0) ke (0, 0, 1), kemudian ke (0, 1, 1) dan kemudian ke (2, 1, 1)

(c) garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (2, 1, 1) Penyelesaian

(a) Jika , dari t = 0 dan t = 1. Maka

(b) garis-garis lurus dari (0, 0, 0) ke (0, 0, 1), kemudian ke (0, 1, 1) dan kemudian ke (2, 1, 1).

Sepanjang garis lurus dari (0, 0, 0) ke (0, 0, 1), sedangkan z berubah dari 0 sampai 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah

(9)

Buku

Kerja 5

Integrasi Vektor

107

Jadi

(c) Garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (2, 1, 1) dalam bentuk persamaan parameter adalah Maka

Latihan 4

Jika , hitunglah mengelilingi segitiga C pada gambar berikut

Penyelesaian

Sepanjang garis lurus dari (0, 0) ke (2, 0), sedangkan berubah dari 0 sampai 2. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah

(2,1) ) (2,0) O

(10)

108

Sepanjang garis lurus dari (2, 0) ke (2, 1), sedangkan berubah dari 0 sampai 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah

Sepanjang garis lurus dari (2, 1) ke (0, 0), dalam bentuk persamaan parameter adalah Maka

Jadi,

Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia! Latihan 1 Misalkan , , dan . Hitunglah Penyelesaian LATIHAN MANDIRI

(11)

Buku

Kerja 5

Integrasi Vektor

109

Latihan 2

Hitunglah . Jika dan Penyelesaian

(12)

110

Latihan 3

Percepatan a dari sebuah benda pada sebarang titik saat t diberikan oleh a = - g j, di mana g sebuah konstanta. Pada saat t = 0 kecepatan diberikan oleh dan perpindahan = 0. Carilah v dan r pada sebarang saat t > 0. Ini menggambarkan gerak sebuah peluru yang ditembakkan dari sebuah meriam yang membuat sudut terhadap sumbu positif dengan kecepatan awal yang besarnya .

Penyelesaian

Latihan 4

Carilah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah partikel dalam medan gaya sepanjang

(a) garis lurus dari (0, 0, 0) ke (2, 1, 3)

(b) kurva ruang dari t = 0 ke t = 1

(c) Kurva yang didefinisikan oleh dari Penyelesaian

(13)

Buku

Kerja 5

Integrasi Vektor

111

Latihan 5

Hitunglah di mana dan C adalah kurva tertutup dalam bidang , dari

(14)

112

Latihan 6

Hitunglah mengelilingi kurva tertutup C dari gambar di bawah jika Penyelesaian y x 0 (1,1) Y=x2 Y2=x

(15)

Buku

Kerja 5

Integrasi Vektor

113

Latihan 7

Jika . Hitunglah sirkulasi A mengelilingi sebuah lingkaran C dengan pusat di titik asal dan jari-jari 2, jika C dilintasi dalam arah positif.

(16)

114

Latihan 8

Diketahui (a) Buktikan bahwa F adalah medan vektor konservatif (b) Carilah potensial skalar untuk F

(17)

Buku

Kerja 5

Integrasi Vektor

115 Kunci Jawaban Latihan 1 : 12 Latihan 2 : 10 Latihan 3 : Latihan 4 : (a) 16, (b) 14,2 (c) 16

Latihan 5 : , jika C dilintasi dalam arah positif (berlawanan arah jarum jam)

Latihan 6 : 2/3 Latihan 7 : 8

Latihan 8 :

Kesimpulan

Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah

(18)

116

Integral Permukaan

Pernahkah Anda terpikir dari manakah kita mendapat air bersih? Ya, kita mendapat air tersebut dari PDAM. Bagaimana PDAM menyalurkan air tersebut? Agar air dapat sampai ke tempat

kita, air disalurkan melalui pipa. Air yang mengalir melalui pipa tersebut memiliki kecepatan. Kita dapat mengetahui berapa volume air yang mengalir melewati pipa tersebut dengan menggunakan rumus integral permukaan. Semakin besar kecepatan yang dimiliki air tersebut, maka

semakin besar pula volume air yang mengalir tersebut.

Jadi, misalkan = kecepatan pada setiap titik dari fluida yang bergerak, dimana air adalah salah satu jenis fluida

Volume dari fluida yang melewati dalam detik

= volume yang terkandung dalam silinder dengan luas alas dan tinggi atau panjang

Maka volume per detik dari fluida yang melewati

Volume total per detik dari fluida yang keluar dari permukaan tertutup S

adalah integral permukaan S dari vektor Berikut definisi integral permukaan Definisi Integral Permukaan

Misalkan S suatu permukaan 2 sisi yang demikian mulus dan adalah vektor normal satuan positif, maka fluks (massa yang mengalir per satuan waktu) dari melalui permukaan S adalah

Materi pokok pertemuan ke I1: 3. Integral permukaan

URAIAN MATERI

(19)

Buku

Kerja 5

Integrasi Vektor

117

yang disebut integral permukaan.

Untuk menghitung integral permukaan akan lebih sederhana dengan memproyeksikan S pada salah satu bidang koordinat, kemudian menghitung integral lipat 2 dari proyeksinya.

Misalkan permukaan S memiliki proyeksi pada bidang xy, maka integral permukaan diberikan oleh

Sedangkan jika proyeksi pada bidang xz, maka integral permukaannya adalah

Dan proyeksi pada bidang yz, maka integral permukaan diberikan oleh:

Hitunglah dimana , S adalah bagian dari bidang yang terletak pada oktan pertama dan n adalah normal satuan pada S.

Penyelesaian

Suatu normal untuk S adalah , sehingga CONTOH SOAL

(20)

118 maka

Permukaan S proyeksi R nya terhadap bidang . Sehingga integral permukaan yang diinginkan adalah

(21)

Buku

Kerja 5

Integrasi Vektor

119

Contoh 2

Hitunglah melalui permukaan S dari kubus satuan yang dibatasi oleh bidang-bidang

Penyelesaian

Bidang DEFG : . Maka

Bidang ABCO : . Maka

Bidang ABGF : . Maka

B C A 0 E D F G

(22)

120

Bidang OGDC : . Maka

Bidang BCDE : . Maka

Bidang AFGO : . Maka

= 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 = 3

Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong!

(23)

Buku

Kerja 5

Integrasi Vektor

121

Latihan 1

Hitung jika dan S adalah permukaan bidang dalam oktan pertama yang dipotong oleh bidang

Penyelesaian

Suatu normal untuk S adalah , sehingga

maka

Permukaan S proyeksi R nya terhadap bidang . Sehingga integral permukaan yang diinginkan adalah

(24)

122

Latihan 2

Hitung jika dan S adalah permukaan bidang dalam oktan pertama

Penyelesaian

Suatu normal untuk S adalah , sehingga maka

Permukaan S proyeksi R nya terhadap bidang Sehingga integral permukaan yang diinginkan adalah

(25)

Buku

Kerja 5

Integrasi Vektor

123

Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia! Latihan 1

Hitunglah dimana , S adalah bagian dari bidang yang terletak pada oktan pertama dan n normal satuan pada S.

Penyelesaian

(26)

124

Latihan 2

Jika dan S adalah permukaan silinder parabolik dalam oktan pertama yang dibatasi oleh bidang-bidang y=4 dan z=6, hitunglah

(27)

Buku

Kerja 5

Integrasi Vektor

125

Latihan 3

Hitunglah melalui seluruh permukaan S dari daerah yang dibatasi oleh silinder ,

(28)

126

Latihan 4

Hitunglah integral jika dan S adalah permukaan yang dibatasi oleh

Penyelesaian

Latihan 5

Hitunglah jika , , dan S adalah permukaan 2x+y+2z=6 yang dibatasi oleh x=0, x=1, y=0, dan y=2, maka

(29)

Buku

Kerja 5

Integrasi Vektor

(30)

128 Kunci Jawaban Latihan 1 : 27/4 Latihan 2 : 132 Latihan 3 : Latihan 4 : Latihan 5 : Kesimpulan

(31)

Buku

Kerja 5

Integrasi Vektor

129

Integral volume

Pernahkah terpikir berapa banyak air yang dapat ditampung oleh sebuah bak mandi? Anda dapat mencarinya dengan menggunakan integral volume.

Berikut definisi integral volume Integral Volume

Pandang sebuah permukaan tertutup dalam ruang yang menutup volume V, maka

dinyatakan sebagai limit dari jumlah. Berikut penjelasannya: Bagi ruang V ke dalam M buah kubus-kubus dengan volume seperti diperlihatkan pada gambar berikut.

Materi pokok pertemuan ke I3: 4. Integral Volume

URAIAN MATERI

(32)

130

Misalkan sebuah titik dalam kubus ini. Definisikan Pandang jumlah

yang diambil untuk semua kubus yang mungkin dalam ruang yang ditinjau. Limit dari jumlah ini, bila sehingga kuantitas-kuantitas terbesar akan mendekati nol, dan jika limit ini ada, dinyatakan oleh

adalah integral volume.

Agar lebih paham, pelajari contoh-contoh berikut!

Misalkan . Hitunglah dimana adalah ruang yang dibatasi oleh permukaan-permukaan . Penyelesaian

(33)

Buku

Kerja 5

Integrasi Vektor

131 Integral untuk komponen i

Integral untuk komponen j

Integral untuk komponen k

(34)

132 Maka, Contoh 2

Hitung di mana ,V adalah ruang tertutup yang dibatasi oleh , .

Penyelesaian

(35)

Buku

Kerja 5

Integrasi Vektor

133 Jadi,

Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong! Latihan 1

Hitung di mana V adalah ruang tertutup yang dibatasi oleh dengan Penyelesaian LATIHAN TERBIMBING 1 1 0 1

(36)

134 Latihan 2

Hitung , di mana V adalah ruang tertutup yang dibatasi oleh silinder dan bidang-bidang

Penyelesaian

(37)

Buku

Kerja 5

Integrasi Vektor

135 Latihan 3

Jika , hitunglah di mana V adalah ruang tertutup yang dibatasi oleh bidang-bidang Penyelesaian

(38)

136

Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia! Latihan 1

Hitunglah volume benda yang dibatasi oleh permukaan , yang terletak dikuadran pertama jika diketahui .

Penyelesaian

(39)

Buku

Kerja 5

Integrasi Vektor

137

Latihan 2

Hitung integral lipat tiga di mana yang dibatasi oleh bidang

(40)

138

Latihan 3

Jika , hitunglah di mana V adalah ruang tertutup yang dibatasi oleh bidang-bidang

(41)

Buku

Kerja 5

Integrasi Vektor

139

Latihan 4

Tentukanlah volume dan pusat daerah R yang dibatasi oleh silinder parabolik dan bidang-bidang .

(42)

(43)

Buku

Kerja 5

Integrasi Vektor

141 Kunci Jawaban Latihan 1 : Latihan 2 : 11/3 Latihan 3 : Latihan 4 : 3/2 Kesimpulan