Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

(1)

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

Created by: Rahima & Anny 49

DIFERENSIASI VEKTOR

Fungsi Vektor

Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor , maka bisa dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau , yaitu suatu vektor yang komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar t.

Dalam R2_{, fungsi vektor biasa ditulis dengan,}

dalam R3_{, fungsi vektor ditulis dengan,}

Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik (x,y,z) di R3

dikaitkan dengan suatu vektor , maka bisa dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor sebagai berikut:

Setelah kita mengetahui fungsi vektor, maka selanjutnya kita pelajari turunan biasa dari fungsi vektor.

Turunan Biasa

Masih ingat apa saja yang termasuk vektor? Coba sebutkan! Ya, kecepatan, percepatan, gaya, dan perpindahan termasuk vektor. Sekarang pada kegiatan belajar ini, kita fokuskan pada perpindahan, kecepatan, dan percepatan.

Pernahkah Anda naik alat transportasi pada gambar di samping? Kalau pernah, kemana saja Anda pergi menggunakan alat transportasi tersebut? Pernahkah Anda ke Jakarta menggunakannya? Pesawat yang terbang dengan rute Padang-Jakarta berarti pesawat Materi pokok pertemuan ke 5 : 1. Turunan biasa fungsi vektor

URAIAN MATERI

(2)

kecepatan dan percepatan.

Hubungan apa yang kita dapatkan dari perpindahan, kecepatan, dan percepatan? Kecepatan merupakan perpindahan benda tiap selang waktu tertentu atau bisa dikatakan turunan dari perpindahan sebagai fungsi waktu. Percepatan merupakan hasil bagi antara perubahan kecepatan dengan selang waktu berubahnya kecepatan tersebut atau dapat dikatakan turunan kecepatan sebagai fungsi waktu.

Berikut definisi turunan vektor: Definisi Turunan Vektor

adalah sebuah fungsi vektor yang bergantung pada sebuah variabel , didefinisikan turunan dari sebagai berikut:

... 3.1

jika limitnya ada.

Jika fungsi vektor dengan fungsi skalar-fungsi skalar , , dan dapat diferensialkan terhadap variabel , maka mempunyai turunan variabel terhadap yang dirumuskan sebagai berikut:

... 3.2

Selanjutnya, Anda pelajari sifat-sifatnya. Berikut sifat-sifat turunan fungsi vektor.

(3)

Bukti:

Untuk membuktikan sifat-sifat dari turunan biasa, kita dapat menggunakan definisi turunan biasa dari fungsi vektor 3.1.

i. ii. iv.

Sifat-sifat turunan biasa fungsi vektor:

Jika , , dan adalah fungsi-fungsi vektor dari sebuah skalar t yang diferensiabel dan sebuah fungsi skalar dari t yang diferensiabel, maka

i. ii. iii. iv. v. vi.

(4)

Pembuktian iii, v, dan vi dijadikan latihan untuk Anda.

Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini Contoh 1 Jika , tentukan Penyelesaian Contoh 2 Buktikan sifat Penyelesaian CONTOH SOAL

(5)

Created by: Rahima & Anny 53 Contoh 3 Jika . Tentukan di t = 0 Penyelesaian Cara 1 pada saat t = 0, maka

Cara 2 (menggunakan sifat turunan)

pada saat t = 0, maka

Contoh 4

Jika tentukan vektor singgung satuan pada titik .

(6)

Created by: Rahima & Anny 54 Saat , maka

Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong Latihan 1 Jika _{, carilah} pada saat t = 0 Penyelesaian (a) saat t = 0, maka (b) saat t = 0, maka (c) LATIHAN TERBIMBING

(7)

(d)

Latihan 2

Carilah kecepatan dan percepatan sebuah partikel yang bergerak sepanjang kurva pada sebarang saat . Carilah besarnya kecepatan dan percepatan

Penyelesaian

Vektor posisi dari pergerakan partikel

Kecepatan diperoleh dari turunan pertama Misalkan

Percepatan diperoleh dari turunan pertama Misalkan

Jadi, besarnya kecepatan adalah dan percepatan . Latihan 3

Jika dan , carilah

(8)

Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Latihan 1 Jika dan . Tentukan pada saat . Penyelesaian Latihan 2 Carilah Penyelesaian LATIHAN MANDIRI

(9)

Latihan 3

Carilah vektor singgung satuan di sebarang titik pada kurva dimana adalah konstanta-konstanta.

Penyelesaian

Latihan 4 Jika

, carilah A bila saat diketahui bahwa

dan

saat Penyelesaian

(10)

Created by: Rahima & Anny 58 Kunci Jawaban Latihan 1 : -30i + 14j + 20k Latihan 2 : Latihan 3 : Latihan 4 : Kesimpulan

Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah

(11)

Turunan parsial

Turunan parsial untuk fungsi vektor dua variabel atau lebih, prinsipnya sama dengan definisi turunan fungsi vektor satu variabel, dimana semua variabel dianggap konstan, kecuali satu, yaitu variabel terhadap apa fungsi vektor itu diturunkan.

Misalkan adalah sebuah fungsi vektor yang tergantung kepada variabel skalar , , dan , maka kita tuliskan . Ketiga turunan parsialnya didefinisikan sebagai berikut:

... 3.3

adalah masing-masing turunan parsial dari terhadap , , dan jika limitnya ada.

Jika fungsi vektor dengan fungsi skalar-fungsi skalar , , dan mempunyai turunan parsial terhadap variabel , , dan , maka juga mempunyai turunan variabel terhadap , , dan yang dirumuskan sebagai berikut:

... 3.4

Selanjutnya pelajari sifat-sifatnya. Berikut sifat-sifat turunan parsial: Materi pokok pertemuan ke 6 : 2. Turunan parsial fungsi vektor

URAIAN MATERI

(12)

Bukti:

i. Berdasarkan definisi 3.3, maka Sehingga

ii. Untuk membuktikannya, kita dapat menggunakan definisi 3.3. Maka Sifat-sifat turunan parsial:

Misalkan dan adalah fungsi-fungsi vektor dan adalah fungsi skalar , , dan dan dapat dideferensialkan terhadap ketiga variabel tersebut, maka berlaku i. ii. iii. iv. v.

(13)

Created by: Rahima & Anny 61 Sehingga atau

Pembuktian iii, iv, dan v dijadikan tugas buat Anda. Aturan Rantai

Misalkan adalah fungsi vektor yang dapat dideferensialkan terhadap variabel , , dan , dimana , , dan adalah fungsi-fungsi skalar yang dapat dideferensialkan terhadap variabel , , dan , maka bentuk fungsi tersusun dapat dituliskan dengan

Turunan parsial terhadap variabel , , dan dapat diberikan sebagai berikut: ... 3.5

(14)

Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini Contoh 1

Jika , tentukanlah (a)

, (b) , (c) Penyelesaian (a) (b) (c) Contoh 2 Misalkan _{. Tentukan(a)} ,(b) ,(c) Penyelesaian (a) (b) (c)

(15)

Contoh 3

Jika , dengan dan , tentukan

dan

nyatakan dalaam bentuk s dan t. Penyelesaian

Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong Latihan 1 Jika . Tentukan Penyelesaian Latihan 2 Jika , , tentukan Penyelesaian LATIHAN TERBIMBING

(16)

Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Latihan 1 Jika , carilah Penyelesaian Latihan 2

Jika dan , carilah

di titik (1,0,-2) Penyelesaian

(17)

Created by: Rahima & Anny 65 Latihan 3 Misalkan , dimana . Tentukan (a) , (b) , (c) Penyelesaian Latihan 4

Jika , tentukanlah (a)

, (b) , (c) Penyelesaian

(18)

(19)

Created by: Rahima & Anny 67 Kunci Jawaban Latihan 1 : , , , , Latihan 2 : Latihan 3 : (a) (b) (c) Latihan 4 : (a) (b) (c) Kesimpulan

(20)

Vektor Singgung Satuan

Misalkan adalah vektor posisi yang menghubungkan titik pangkal dengan sebarang titik dalam ruang R3_.

Jika berubah, maka

adalah sebuah vektor yang searah dengan . Sedangkan

adalah sebuah vektor yang searah dengan arah garis singgung pada kurva ruang di .

Jika adalah vektor singgung satuannya, maka

URAIAN MATERI

(21)

Rumus Frenet-Serret

Jika kurva C dalam ruang adalah sebuah kurva ruang yang didefinisikan oleh kurva , maka kita telah mengetahui bahwa

adalah sebuah vektor

yang searah dengan garis singgung pada C. Jika skalar u diambil sebagai panjang busur s yang diukur dari suatu titik pada C, maka

... 3.6

adalah sebuah vektor singgung satuan pada C.

Laju perubahan terhadap s adalah ukuran dari kelengkungan C dan dinyatakan dengan

Arah dari

pada sebarang titik pada C adalah normal terhadap kurva pada

titik tersebut. Jika adalah sebuah vektor satuan dalam arah normal ini, maka disebut normal utama pada kurva.

Jadi

dimana disebut kelengkungan dari C pada titik yang dispesifikasikan. Besaran

... 3.7

disebut jari-jari kelengkungan.

(22)

... 3.8

disebut binormal terhadap kurva. Dari sini diperoleh bahwa , , dan membentuk sebuah sistem koordinat tegak lurus tangan kanan pada sebarang titik dari C.

Himpunan relasi-relasi yang mengandung turunan-turunan dari vektor-vektor , , dan dikenal sebagai rumus Frenet-Serret yang diberikan oleh

... 3.9

dimana adalah sebuah skalar yang disebut torsi. Besaran

... 3.10 disebut jari-jari torsi.

Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini Contoh 1

Carilah (a) vektor singgung satuan T, (b) normal utama N, kelengkungan dan jari-jari kelengkungan , (c) Binormal B, torsi , dan jari-jari torsi untuk kurva ruang .

Penyelesaian

(a) Vektor kedudukan dari sebarang titik pada kurva adalah , maka CONTOH SOAL

(23)

Created by: Rahima & Anny 71 Jadi (b) karena , maka dan dari , diperoleh (c) dari , diperoleh

(24)

Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong Latihan 1

Diketahui . Carilah (a) vektor singgung satuan T, (b) kelengkungan , (c) normal utama N, dan (d) Binormal B

Penyelesaian

(a) Vektor kedudukan dari sebarang titik pada kurva adalah , maka Jadi (b) karena , maka

(25)

Created by: Rahima & Anny 73 (c) dari , diperoleh (d)

(26)

Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Latihan 1

Tentukan torsi dari

Penyelesaian

(27)

Latihan 2

Carilah (a) vektor singgung satuan T, (b) kelengkungan , (c) jari-jari kelengkungan , (d) normal utama N, (e) Binormal B, dan (f) torsi , untuk kurva

(28)

Created by: Rahima & Anny 76 Latihan 1 :0 Latihan 2 : Kesimpulan