Pengertian dan Kaidah Diferensial

DIFERENSIAL

A.

PENGERTIAN

y y = f(x)

y +δy Q

δy y P f ( x +δx ) f(x)

x x+δx x

Keterangan:

x : variable bebas y : variable terikat

x

δ : perubah pada sumbu x

y

δ : perubah pada sumbu y x

δ

P : (x,y)

Tetapi karena y=f(x) maka P = ( x, f(x)) Q : [ (x +δx), f (x+δx) ] Î mengapa (x+δx)?

Hal ini dikarenakan fungsi di titik P adalah f(x) maka fungsi dititik Q adalah f (x+δx)

y

δ : f ( x+δx) – f(x) laju perubahan =

x x f x x f x y

δ δ δ

δ ( + )− ( ) =

Jika diambil limitnya untuk δx mendekati nol atau δx→0,maka Limit

x x f x x f x

y

δ δ δ

δ ( ) ( )

lim + −

= ………….(1)

o x→

δ δx→o

secara aljabar pers (1) disebut turunan pertama dari fungsi y = f(x)

Proses mencari y1 dari y = f(x) disebut sebagai penurunan atau pendeferensialan Turunan kedua dari fungsi y = f(x) dilambangkan dengan

2 2

dx y d

atau y11

Contoh soal

Carilah fungsi turunan yang dinyatakan dengan f(x) = x2 – 2x Jawab :

f(x) = x2 – 2x, maka

f (x+δx)= ( x + δx)2 −2(x+δx) Î didapat dari (x) diganti dengan (x+δx) sehingga

x x f x x f x

y

x δ

δ δ

δ

δ

) ( ) (

lim 0

− + = _→

=

x

x x x x x

x

x δ

δ δ

δ

) 2 ( )} (

2 )

{( 2 2

0

lim + − + − −

→

=

x

x x x x x x x x

x δ

δ δ

δ

δ

2 2

2

2 2 2

2 0

lim + + − − − +

→

= lim₀(2_x 2 _x)

x δ

δ → − +

= 2x - 2

dari contoh soal diatas, dapat ditarik rumus umum untuk mencari turunan pertama dari suatu fungsi sebagai berikut :

Jika y = xn maka = n−1

B.

KAIDAH-KAIDAH DIFERENSIASI

1. Diferensiasi konstanta

y = k, k adalah konstanta, maka =0 dx dy

contoh : y = 7 → =0 dx dy

2. Diferensiasi fungsi pangkat

y = xn ; n = konstanta, maka =nxn−1 dx

dy

contoh : y = x9 maka dx dy

= 9 x 8

3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi

y = K.V ; V = g(x), maka

dx dv K dx dy

. =

contoh : y = 3x5 maka _dx 3(5x4) 15x4 dy

= =

4. Diferensiasi Pembagian konstanta dengan fungsi

v k

y = ;v=g(x),maka ₂ . v

dx dv k

dx dy −

=

contoh : y = ₈

3 2

4 3 4

28 )

( ) 4 ( 7 7

x x x

x dx

dy x

− = −

5. Diferensiasi Penjumlahan/Pengurangan fungsi

y = U + V ; U = g(x), V = h(x), maka

dx dv dx du dx

dy _{= +}

contoh : y = 8x5 + 4x3 → U = 8x5→ 4

40x dx dv

=

V = 4x3→ 2

12x dx dv ₌

2 4

12

40x x

dx

dy _{= +}

6. Diferensiasi Perkalian Fungsi

y = U . V ; U = g(x), V = h(x), maka

dx du V dx dv U dx dy

+ = . contoh : y = (6x2) (5x3)

(6x2)(15x2) (5x3)(12x) dx

dy _{= +}

= 90x4 + 60x4 = 150x4

7. Diferensiasi Pembagian Fungsi

V U

y= dimana U =g(x);V =h(x) maka ₂ . .

V dx dv U dx du V

dx

dy −

=

contoh : y = ₂

5

3 5 x x

4 6 6

2 2

5 4 2

9 30 75

) 3 (

) 6 ( 5 ) 25 ( 3

x x x

x

x x x x dx

dy −

= −

=

= 2 2

5 9

45

8. Diferensiasi Fungsi Berpangkat

9. Diferensiasi Fungsi Logaritmik

x

Catatan: e = 2,71828 contoh :

10. Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik

U

maka dalam soal ini

)

11.Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik Berpangkat

12.Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik Napier

Log. Napier →logaritma yang bilangan pkoknya e

e = 2,71828

Biasa ditulis dengan

→ eloga=lna

13.Diferensiasi Fungsi Komposit logaritmik Napier Berpangkat

contoh :

y = ( ln 3x2 )4 → U = 3x2 → x dx du

6 =

x x x Ln dx

dy

6 . 3

1 ) 3 (

4 2 3 ₂

=

8_(Ln3x2₎3

x dx dy

=

14.Diferensiasi Fungsi Komposit Eksponensial

Y = au ; U = g(x) dan a=konstanta ; maka

dx du a a dx dy u

ln =

Contoh :

) 2 ( 2

5

−

=

x

y

_{maka U =x}2

– 2 sehingga x dx du

2 =

x dx

dy x

2 . 5 ln 5( 2−2) =

15.Diferensiasi Fungsi Kompleks

Y = UV ; U = g(x) dan V = h(x) ;

maka

dx du U V dx

dy v 1

. − =

dx dv U Uvln +

contoh

y = 7x 5

x

x U =7

→ → =7 dx du

V = x5 4

5x dx dv

=

4 1

5

5 . 7 ln 7 7 . 7

. x 5 x 5 x x

x dx

dy ₌ x − ₊ x

4

5₊

16.Diferensiasi Fungsi Balikan

Jika y = f(x)dan x = g(y) adalah fungsi-fungsi yang berbalikan, maka

dy dx dx dy

/ 1 =

contoh :

x = 10y + 3y4

maka 3

12

10 y

dy dx

+ =

sehingga ₃ 12 10

1 y dx

dy