Buku Kalkulus Lanjut Oke

FUNGSI BANYAK VARIABEL

DAN PENERAPANNYA

KATA PENGANTAR

Segala puji syukur penulis panjatkan hanya untuk Allah SWT yang telah memberikan rahmat

dan hidayahnya, sehingga atas izin Allah, Alhamdulillah buku yang cukup sederhana ini

dapat diterbitkan. Buku Kalkulus Lanjut atau Matematika Teknik Lanjut ini pada dasarnya

merupakan lanjutan dari Buku Kalkulus Fungsa Satu Variabel yang telah diterbitkan

terdahulu. Pada awalnya buku ini merupakan bahan-bahan dari diktat kuliah untuk Mata

Kuliah Matematika yang penulis susun dan digunakan secara terbatas oleh mahasiswa

jurusan Teknik Mesin dan Teknik Elektro Fakultas Teknik Univeristas Muhammadiyah

Jakarta, dan Sekolah Tinggi Teknik PLN (STT-PLN). Pertama kali bahan ini dipublikasikan

sebagai bahan ajaran sekitar awal tahun 1997. Setelah mengalami berbagai revisi setelah

mendapatkan masukan dari mahasiswa, asisten dan beberapa dosen rekan sejawat, akhirnya

terbentuk suatu buku yang sederhana dan cukup lengkap.

Buku ini lebih ditujukan untuk membantu mahasiswa pada tahun kedua yang mengambil

mata kuliah Matematika Teknik atau Kalkulus Lanjut khususnya yang mempelajari masalah

analisis fungsi dengan banyak variabel dan penerapannya. Oleh karenanya buku ini disusun

dalam rangka menjawab masalah tersebut. Buku ini disusun terdiri atas enam bab, yang

meliputi Fungsi n variabel, Turunan Parsial dan Aplikasinya, Integral Lipat Dua dan Lipat

Tiga, Kalkulus Medan Vektor, Deret Tak Hingga, Fungsi Gamma dan Fungsi Beta. Sasaran

buku ini ditujukan untuk mahasiswa pada tahun kedua di fakultas teknik, sains dan atau

teknologi lainnya yang sedang mengambil mata kuliah Kalkulus Lanjut atau Matematika

Teknik. Oleh karena itu, sebagaimana buku-buku yang pernah penulis susun, pembahasan

pada buku ini lebih menekankan pada penggunaan teori, definisi dan teorema, sehingga

teorema-teorema yang ada tidak dibuktikan kebenarannya. Hal ini sejalan dengan tujuan

diterbitkannya buku ini untuk membantu mahasiswa memahami masalah analisis turunan

parsial dan penerapannya, integral berulang lipat dua dan lipat tiga, analisis kalkulus medan

vektor, deret tak hingga, dan terakhir dibahas fungsi gamma dan fungsi beta. Harapan dengan

digunakannya buku ini sebagai salah satu referensi adalah agar mata kuliah Matematika

Teknik atau Kalkulus Lanjut tidak dijadikan sebagai mata kuliah yang “ditakuti” mahasiswa.

Letak keunggulan dari buku ini adalah bahwa buku ini lebih menekankan pada bagaimana

menyelesaikan masalah, namun demikian tidak meninggalkan kaidah-kaidah secara teori.

Oleh karenanya pendekatan yang digunakan pada pembahasan buku ini adalah pada setiap

awal sub bab diupayakan adanya pengantar teori, dan selanjutnya diteruskan dengan teori

yang terdiri atas definisi dan teorema, selanjutnya diteruskan dengan contoh-contoh soal.

Sehingga teorema-terorema dalam buku ini sengaja tidak dibuktikan, dan bagi pembaca yang

mengharapkan adanya bukti dari teorema dan atau rumus disarankan untuk membaca lebih

lanjut pada buku referensi yang ditunjuk. Pendekatan ini dicoba ditempuh, agar supaya

mahasiswa dan atau pembaca pada umumnya tidak terjebak pada masalah pembuktian

teorema, tetapi lebih menekankan pada penggunaan teorema.

Pada setiap pembahasan contoh soal, diupayakan tahapan dan langkah-langkah yang

digunakan dapat diikuti dengan mudah oleh mahasiswa. Sehingga mahasiswa dan atau

pembaca pada umumnya lebih mudah memahami analisis fungsi n variabel, turunan parsial

dan penerapannya, integral lipat dua dan lipat tiga, analisis kalkulus medan vektor, deret tak

hingga, dan terakhir dibahas fungsi Gamma dan fungsi Beta. Sasaran buku ini ditujukan

untuk mahasiswa pada tahun kedua di fakultas teknik, sains dan atau teknologi lainnya yang

sedang mengambil mata kuliah Kalkulus Lanjut atau Matematika Teknik. Selanjutnya pada

akhir sub bab diberikan soal-soal latihan, dengan harapan soal-soal tersebut dapat menambah

pendalaman materi. Oleh karenanya soal-soal yang disajikan dapat dikerjakan oleh

mahasiswa, dengan tingkat kesulitan yang sepadan dengan mahasiswa baru tahun kedua.

Materi buku ini dapat diajarkan dalam satu semester dengan bobot 4 (empat) sks, atau dengan

bobot 3 (tiga) sks. Pada Bab I Pendahuluan dibahas tentang ruang dimensi tiga, vektor dalam

ruang, garis dan bidang, permukaan benda pejal dalam ruang, dan terakhir dibahas koordinat

silinder dan koordinat bola. Pada Bab II dibahas tentang fungsi n variabel, turunan parsial,

diferensial total, maksimum minimum dan metode langrange. Bab III dibahas tenatng

pengertian intengral lipat dua, transformasi integral lipat dua, integral lipat tiga, integral lipat

tiga dalam koordinat silinder dan koordinat bola, penerapan integral lipat dua dan lipat tiga.

Bab IV dibahas analisis Kalkulus Medan Vektor yang meliputi medan vektor dan medan

skalar, medan vektor konservatif, integral garis, kebebasan lintasan integral garis, teorema

Grenn, integral permukaan dan fluks medan vektor, teorema divergensi Gauss dan teorema

stokes. Pada Bab V Deret Tak Hingga dibahas deret tak hingga, deret berganti tanda, deret

pangkat, operasi deret pangkat, deret taylor dan uji konvergensi deret tak hingga. Pada bah

terakhir dibahas khusus tentang fungsi gamma dan fungsi beta serat penerapannya.

Pada akhirnya penulis berterima kasih kepada istri tercinta Lidya Suryani Widyawati, SH,

M.Hum, anak tercinta Abimanyu Putera Yudha atas dorongan dan kasih sayangnya dan

waktu yang diluangkan. Tak lupa penulis ucapkan teriama kasih kepada asisten mata kuliah

Kalkulus dan Matematika Teknik Hendri ST, MT, dan rekan-rekan sejawat yang telah

memberi masukan dan bantuan sehingga buku ini dapat diselesaikan. Penulis juga berterima

kasih pada pihak penerbit Graha Ilmu dengan segala resiko yang akan ditanggung telah

bersedia menerbitkan buku ini.

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL

KATA PENGANTAR

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Ruang Dimensi Tiga

1

Soal-soal Latihan 1.1

7

1.2. Vektor Dalam Ruang Dimensi Dua dan Tiga

9

Soal-soal Latihan 1.2

24

1.3. Permukaan Benda Dalam Ruamh Dimensi Tiga

26

Soal-soal Latihan 1.3

37

1.4. Koordinat Silinder dan Koordinat Bola

38

Soal-soal Latihan 1.4

43

BAB II

TURUNAN PARSIAL

2.1. Fungsi n Variabel

44

Soal-soal Latihan 2.1

49

2.2. Turunan Parsial

50

Soal-soal Latihan 2.2

60

2.3. Aturan Rantai

62

Soal-soal Latihan 2.3

69

2.4. Diferensial Total dan Hampiran

72

Soal-soal Latihan 2.4

82

2.5. Gradien dan Turunan Berarah

84

Soal-soal Latihan 2.5

89

2.6. Bidang Singgung dan Normal Bidang Permukaan

91

Soal-soal Latihan 2.6

96

2.7. Maksimum dan Minimum

98

Soal-soal Latihan 2.7

106

2.8. Metode Langrange

108

Soal-soal Latihan 2.8

115

BAB III

INTEGRAL LIPAT DUA DAN TIGA

3.1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Empat Persegi Panjang

117

Soal-soal Latihan 3.1

124

3.2. Integral Lipat Dua Atas Daerah Umum R

126

3.3. Transformasi Koordinat Integral Lipat Dua, Koordinat Kutub

139

Soal-soal Latihan 3.3

145

3.4. Penerapan Integral Lipat Dua

147

Soal-soal Latihan 3.4

153

3.5. Integral Lipat Tiga

156

Soal-soal Latihan 3.5

168

3.6. Koordinat Silinder dan Koordinat Bola

171

Soal-soal Latihan 3.6

185

BAB IV

KALKULUS MEDAN VEKTOR

4.1. Medan Skalar dan Madan Vektor

188

Soal-soal Latihan 4.1

198

4.2. Medan Vektor Konservatif

200

Soal-soal Latihan 4.2

208

4.3. Integral Garis

211

Soal-soal Latihan 4.3

220

4.4. Kebebasan Lintasan Integral Garis

223

Soal-soal Latihan 4.4

230

4.5. Teorema Grenn

232

Soal-soal Latihan 4.5

245

4.6. Integral Permukaan dan Fluks Medan Vektor

248

Soal-soal Latihan 4.6

267

4.7. Teorema Divergensi Gauss dan Teorema Stokes

270

Soal-soal Latihan 4.7

293

BAB V

DERET TAK HINGGA

5.1. Barisan Tak Hingga

301

Soal-soal Latihan 5.1

309

5.2. Deret Tak Hingga

311

Soal-soal Latihan 5.2

320

5.3. Uji Konvergensi Deret Suku-suku Positif

321

Soal-soal Latihan 5.3

332

5.4. Deret Berganti Tanda, dan Konvergensi Mutlak

333

Soal-soal Latihan 5.4

342

5.5. Deret Pangkat

344

Soal-soal Latihan 5.5

352

5.6. Diferensial dan Integrasi Deret Pangkat

353

5.7. Deret Taylor dan MacLaurin

364

Soal-soal Latihan 5.7

374

BAB VI

FUNGSI GAMMA DAN FUNGSI BETA

6.1. Fungsi Gamma

376

Soal-soal Latihan 6.1

382

6.2. Fungsi Beta

394

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. RUANG DIMENSI TIGA

Ruang dimensi tiga adalah himpunan semua bilangan tripel real, dan dinyatakan dengan R

3

.

Setiap titik dalam ruang dimensi tiga dinyatakan dengan tiga pasangan bilangan berurut. Untuk

menyatakan ruang dimensi tiga, biasanya digunakan sistem koordinat kartesius. Untuk itu,

ambillah tiga buah garis koordinat yang saling tegak lurus, dan saling berpotongan. Ketiga garis

koordinat tersebut selanjutnya masing-masing disebut dengan sumbu x, sumbu y, dan sumbu z.

Ketiga sumbu-sumbu koordinat tersebut berpotong pada titik O(0,0,0), yang selanjutnya disebut

dengan titik sumbu koordinat. Setiap titik dalam ruang dimensi tiga dalam sistem koordinat

kartesius dinyatakan dengan (x,y,z), seperti terlihat pada gambar 1.1.1.

z

P(x,y,z)

O y

x

Gambar 1.1.1.

Ketiga sumbu koordinat dalam ruang dimensi tiga, selanjutnya menentukan bidang-bidang xy, xz,

dan yz, dimana membagi ruang menjadi delapan bagian yang disebut dengan oktan, seperti

terlihat pada gambar 1.1.2.. Pembagian oktan dalam sistem koordinat kartesius tergantung pada

nilai sumbu koordinat, lihat tabel berikut ini :

Oktan

x y z

Oktan

x y z

I (+)

(+)

(+)

V

(+)

(+)

(-)

II (-)

(+)

(+)

VI

(-)

(+)

(-)

III (-)

(-)

(+)

VII (-) (-) (-)

IV (+)

(-)

(+)

VIII

(+)

(-)

(-)

O

z

oktan ketiga oktan kedua

oktan keempat

oktan pertama

O y

x

Gambar 1.1.2.

Misalkan P(x,y,z) adalah sebuah titik dalam ruang dimensi tiga, maka titik P(x,y,z) disebut

dengan koordinat yang mengukur jarak dari titik tersebut terhadap ketiga bidang. Koordinat x

menyatakan jarak P terhadap bidang yz, koordinat y menyatakan jarak P terhadap bidang xz, dan

koordinat z menyatakan jarak P terhadap bidang xy. Sebagai ilustrasi, misalkan diberikan sebuah

titik P(3,4,4), lihat gambar 1.1.3.

z

4

P(3,4,4)

O 4 y

3

x

Gambar 1.1.3.

Dari gambar 1.3., titik P berjarak 3 satuan jarak terhadap bidang yz, berjarak 4 satuan jarak

terhadap bidang xz, dan berjarak 4 satuan jarak terhadap bidang xy.

Jarak Dua Titik

Misalkan diberikan dua buah titik P(x

0

,y

0

,z

0

) dan Q(x

1

,y

1

,z

1

) dalam ruang dimensi tiga. Lihat

gambar 1.1.4. Andaikan pula bahwa d(P,Q) menyatakan jarak antara titik P dan titik Q.

z

z

1

Q

z

0

P

O y

0

4 y

1

y

x

0

x

1

x

Gambar 1.1.4.

Menurut rumus pythagoras, jarak d(P,Q) diberikan oleh :

d(P,Q) =

PQ

=

(x₁ −x₀)2 +(y₁ −y₀)2 +(z₁ −z₀)2

Contoh 1.1.

Misalkan diberikan tiga buah titik dalam ruang dimensi tiga, P(1,3,3), Q(5,1,7), dan R(11,9,9).

Hitunglah jarak d(P,Q), d(P,R), dan d(Q,R)

Penyelesaian :

Dengan mengunakan rumus jarak diatas, diperoleh :

d(P,Q) =

(

5

−

1

)

2

+

(

1

−

3

)

2

+

(

7

−

3

)

2

=

16

+

4

+

16

= 36 = 6

d(P,R) =

(

11

−

1

)

2

+

(

10

−

3

)

2

+

(

9

−

3

)

2

=

100

+

49

+

36

= 185

d(Q,R) =

(

11

−

5

)

2

+

(

10

−

1

)

2

+

(

9

−

7

)

2

=

36

+

81

+

4

=

121

= 11

Grafik Persamaan Dalam Ruang Dimensi Tiga

Grafik suatu persamaan didalam ruang dimensi tiga adalah himpunan semua titik-titik (x,y,z)

yang koordinatnya berupa bialangan yang memenuhi persamaan tersebut. Grafik persamaan di

dalam ruang dimensi tiga disebut dengan permukaan. Grafik di dalam ruang dimensi tiga yang

yang cukup mudah dibuat sektsanya adalah grafik persamaan derajad satu, dan grafik persamaan

derajad dua. Grafik persamaan derajad satu yang paling sederhana adalah bidang, sedangkan

untuk grafik persamaan derajad dua adalah bola.

Bidang di R

3

Grafik bidang dalam ruang dimensi tiga adalah grafik dari suatu persamaan linier yang

berbentuk,

Ax +By + Cz = D,

dimana, A

2

+ B

2

+ C

2

≠

0. Bilamana A

≠

0, B

≠

0, dan C

≠

0, bidang yang diberikan akan

memotong ketiga sumbu koordinat. Sedangkan untuk membuat sketsa grafiknya, langkah

pertama dicari titik-titik potong bidang dengan ketiga sumbu koordinat. Langkah berikutnya

adalah membuat gambar berkas-berkas garis perpotongan bidang dengan bidang xy, xz, dan yz.

Contoh 1.2.

Gambarkanah sektsa grafik suatu bidang dengan persamaan,2x + 4y + 3z = 12.

Penyelesaian :

Langkah pertama. Untuk membuat sketsa bidang diatas, langkah pertama carilah titik-titik

perpotongan bidang dengan ketiga sumbu koordinat. Untuk menentukan titik potong dengan

sumbu x, tetapkanlah y = 0, dan z = 0, sehingga dihasilkan 2x = 12, atau x = 6. Jadi titik potong

bidang dengan sumbu x adalah (6,0,0). Dengan cara sama dihasilkan titik potong dengan sumbu

y dan sumbu z masing-masing adalah (0,3,0), dan (0,0,4).

Langkah Kedua. Menggambarkan berkas-berkas garis perpotongan bidang dengan bidang xy, xz,

dan yz. Berkas garis pada bidang xy, diperoleh dengan cara menetapkan z = 0. Untuk z = 0,

dihasilkan 2x + 4y = 12. Dengan cara yang sama berkas garis pada bidang xz dengan y = 0,

adalah 2x + 3z = 12, sedangkan berkas garis pada bidang yz dengan x = 0, adalah 4y + 3z = 12.

Langkah Ketiga, Sketsa Permukaan. Dengan menggunakan hasil-hasil dari langkah pertama dan

kedua, sketsa permukaan bidang 2x + 4y + 3z = 12, diperlihatkan pada gambar berikut ini.

z

(0,0,4)

4y + 3z = 12

2x + 3z = 12

2x + 4y + 3z = 12

(0,3,0)

0 y

2x + 4y = 12

(6,0,0)

x

Gambar 1.1.5.

Contoh 1.3.

Penyelesaian :

Karena persamaan bidang tidak memuat variabel x, maka sketsa bidang ini tidak memotong

sumbu x, sehingga grafiknya sejajar dengan sumbu x. Selanjutnya dengan cara yang sama seperti

sebelumnya, bidangnya memotong sumbu y di titik (0,3,0), dan sumbu z di titik (0,0,4). Dengan

membuat sektsa berkas garis yang sejajar dengan garis 4y + 3z = 12 pada bidang yz, sketsa

bidang adalah sebagai berikut.

z

(0,0,4)

4y + 3z = 12

(0,3,0)

y

x

Gambar 1.1.6.

Contoh 1.4.

Buatlah sketsa grafik permukaan bidang, 2x + 3z = 12

Penyelesaian :

Karena persamaan bidang tidak memuat variabel y, maka sketsa bidang ini tidak memotong

sumbu y, sehingga grafiknya sejajar dengan sumbu y. Selanjutnya dengan cara yang sama seperti

sebelumnya bidangnya memotong sumbu x dan sumbu z masing-masing di titik (6,0,0) dan di

titik (0,0,4). Sedangkan sketsa permukaan bidang di oktan pertama dibuat dengan cara membuat

berkas-berkas garis yang sejajar dengan garis 4y + 3z = 12 pada bidang yz, sketsa bidang adalah

sebagai berikut.

z

(0,0,4)

2x + 3z = 12

y

(6,0,0)

x

Gambar 1.1.7.

B o l a

Bola adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap. Titik tetap ini

selanjutnya disebut dengan titik pusat bola, dan ukuran jarak yang sama disebut dengan jari-jari

bola. Persamaan umum bola dengan pusat (a,b,c) dengan jari-jari r diberikan oleh,

(x – a)

2

+ (y – b)

2

+ (z – c)

2

= r

2

Bilamana suku-suku pada persamaan bola diatas dijabarkan, dan dikelompokkan akan dihasilkan

persamaan derajad dua yang berbentuk,

x

2

+ y

2

+ z

2

+ Ax + By + Cz + D = 0.

dimana, A = –2a, B = –2b, C = –2a, dan D = a

2

+ b

2

+ c

2

– r

2

Dari persamaan umum diatas, pusat bolanya diberikan oleh,

a =

2

1

− A, b =

2

1

− B, c =

2

1

− C,

dan jari-jarinya diberikan oleh :

r =

A

B

C

4

D

2

1

_{2 2 2}

−

+

+

Sebagai ilustrasi, suatu bola dengan pusat (0,0,0) dan jari-jarinya adalah r = a, grafiknya adalah

sebagai berikut.

z

(0,0,a)

x

2

+ y

2

+ z

2

= a

2

0 (0,a,0)

y

x

Gambar 1.8.

Contoh 1.5.

Carilah pusat dan jari-jari bola dengan persaman,

x

2

+ y

2

+ z

2

– 8x – 12y + 10z + 52 = 0.

Penyelesaian :

Cara Pertama. Dari persamaan umum bola diperoleh :

A = –8, B = –12, C = 10, dan D = 52

Dengan menggunakan rumus diatas, pusat dan jari-jari bola diberikan oleh :

a =

2

1

− (–8) = 4, b =

2

1

− (–12), c =

2

1

− (10),

O

dan jari-jarinya adalah,

r =

2

1

)

52

(

4

)

10

(

)

12

(

)

8

(

−

2

+

−

2

+

2

−

= 5

Cara Kedua, Tulislah persamaan umum bola diats menjadi,

(x

2

– 8x + ... ) + (y

2

– 12y + ... ) + (z

2

+ 10z + ... ) = –52

(x

2

– 8x + 16) + (y

2

– 12y + 36) + (z

2

+ 10z + 25) = –52 + 16 + 36 + 25

(x – 4)

2

+ (y – 6)

2

+ (z + 5)

2

= 25

Dari persamaan terakhir ini, maka pusat bolanya (4,6,–5) dan jari-jarinya adalah r = 5.

Contoh 1.6.

Carilah persamaan bola dengan titik-titik ujung dari salah satu diameternya adalah A(9,8,4) dan

B(1,0,8).

Penyelesaian :

Pusat bola adalah titik tengah segmen garis dari salah satu diameter bola. Misalkan P(x

0

,y

0

,z

0

)

adalah titik tengah segmen garis tersebut, maka pusat bolanya adalah :

x

0

=

2

1

9

+

= 5, y

0

=

2

0

8

+

= 4, dan z

0

=

2

8

4

+

= 6

Jadi titik pusat bolanya adalah (5,4,6). Sehingga jari-jari bolanya adalah :

r =

(

9

−

5

)

2

+

(

8

−

4

)

2

+

(

4

−

6

)

2

= 36 = 6

Dengan demikian persamaan bolanya diberikan oleh :

(x – 5)

2

+ (y – 4)

2

+ (z – 6)

2

= 36

Soal-soal Latihan 1.1.

Dalam soal-soal nomor 1 s/d 10 berikut ini, buatlah sketsa grafik dalam ruang dimensi tiga dari

persamaan bidang yang diberikan :

1. 2x + 6y + 4z = 12

2. 3x – 4y + 3z = 12

3. x + 3y – 2z = 6

4. –2x + 2y + z = 6

5. x + 3y = 12

6. 2x + z = 6

7. y + 2z = 8

8. 2x + 3y = 12

9. 3y + 2z = 12

10. 3x – 4y = 12

Dalam soal-soal nomor 11 s/d 16 berikut ini, tulislah persamaan bolanya bilamana diberikan

pusat dan jari-jarinya :

11. P(3,2,1) dan r = 4

12. P(2,1,–3) dan r = 5

13. P(–1,2,3) dan r = 6

14. P(3,–1 ,–4) dan r = 2

15. P(–2,1,5) dan r = 5

16. P(–2,–3,–5) dan r = 4

Dalam soal nomor 17 s/d 21, dengan proses pelengkap kuadrat tentukanlah pusat dan jari-jari

dari persamaan bola berikut ini,

17. x

2

+ y

2

+ z

2

– 12x + 6y – 8z + 4 = 0

18. x

2

+ y

2

+ z

2

+ 6x – 8y – 10z + 25 = 0

19. x

2

+ y

2

+ z

2

– 8x – 4y + 22z + 77 = 0

20. 4x

2

+ 4y

2

+ 4z

2

+ 8x – 8y – 16z – 12 = 0

21. 4x

2

+ 4y

2

+ 4z

2

– 16x + 24y – 32z – 28 = 0

Dalam soal nomor 22 s/d 24, carilah persamaan bola yang mempunyai ruas garis atau diameter

yang dihubungkan oleh dua buah titik berikut ini :

22. A(2,4,8) dan B(6,10,16)

23. A(–1,3,–4) dan B(10,5,8)

24. A(5,–3 ,2) dan B(7,–5,4)

25. Carilah dua persamaan bola yang bersinggungan, dimana pusat-pusatnya adalah (–3,2,1) dan

(5,6,–3) dengan jari-jarinya sama.

1.2. VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI DUA DAN TIGA

Vektor adalah segmen garis yang berarah. Titik awal disebut dengan pangkal vektor, dan titik

akhirnya disebut dengan ujung vektor, sedangkan panjangnya disebut dengan panjang vektor.

Lihat gambar 1.2.1. Notasi vektor biasanya digunakan huruf kecil seperti u, v, w, z

u

Gambar 1.2.1.

Titik awal vektor disebut pangkal vektor dan titik akhir vektor disebut dengan ujung vektor.

Dalam ruang dimensi dua, suatu vektor mempunyai dua komponen, dan ditulis dengan :

u = <u

1

, u

2

> = u

1

i + u

2

j

dimana i = <1,0> dan j = <0,1> adalah vektor-vektor satuan baku yang searah dengan

sumbu-sumbu koordinat x dan y. Seperti terlihat pada gambar 1.2.2. berikut ini

y

j = <0,1>

x

i = <1.0>

Gambar 1.2.2

Sedangkan sebuah vektor u dalam ruang dimensi tiga mempunyai tiga buah komponen, dan

ditulis dengan :

u = <u

1

, u

2

, u

3

> = u

1

i + u

2

j + u

3

k

dimana i = <1, 0, 0>, j = <0, 1, 0>, dan k = <0, 0, 1> adalah vektor-vektor satuan baku yang

searah dengan sumbu-sumbu koordinat x, y dan z. Lihat gambar 1.2.3.

z

u

3

k

u

u

2

j

y

u

1

i

x

Gambar 1.2.3.

Selanjutnya bilamana u menyatakan vektor yang menghubungkan dua buah titik P(x

0

, y

0

, z

0

) dan

Q(x

1

, y

1

, z

1

), maka komponen-komponen vektornya diberikan oleh :

u = <x

1

– x

0

, y

1

– y

0

, z

1

– z

0

>

= (x

1

– x

0

)i + (y

1

– y

0

)j + (z

1

– x

0

)k

Selanjutnya dimana P(x,y,z) adalah sembarang titik dalam ruang dimensi tiga, vektor posisi r

diberikan oleh,

r =

OP

= <x, y, z> = xi + yj + z k

Sebagai ilustrasi, misalkan P(4,3,2) suatu titik dalam ruang dimensi tiga, maka vektor posisinya

diberikan oleh,

r

0

= 4i + 3j + 2k

Panjang Vektor

Andaikan u = <u

1

, u

2

, u

3

>, sembarang vektor dalam ruang dimensi tiga, panjang vektor u, ditulis

dengan | u | didefinisikan oleh,

| u | =

u₁2 +u₂2 +u₃2

Selanjutnya, misalkan u adalah suatu vektor yang menghubungkan dua buah titik P(x

0

, y

0

, z

0

)

dan Q(x

1

, y

1

, z

1

), maka jarak vektornya diberikan oleh :

| u | =

(x₁ −x₀)2 +(y₁ −y₀)2 +(z₁ −z₀)2

Rumus diatas berlaku juga untuk vektor u dalam ruang dimensi dua. Misalkan u = <u

1

, u

2

>,

sembarang vektor dalam ruang dimensi dua, yang menghubungkan dua buah titik P(x

₀

, y

₀

) dan

Q(x

1

, y

1

), maka jarak vektornya diberikan oleh :

| u | =

u₁2 +u₂2

=

(x₁ −x₀)2 +(y₁ − y₀)2

Contoh 1.2.1.

Misalkan diberikan P(2,1,4), Q(4,5,3), dan R(6,3,7). Tentukanlah komponen dan panjang

vektor-vektor u, v, dan w, bilamana u = PQ , v = QR , dan w =

PR .

Pnyelesaian :

u = <4 – 2, 5 – 1, 3 – 4> = <2, 4, –1> = 2i + 4j – k

v = <6 – 4, 3 – 5, 7 – 3> = <2, –2 , 3> = 2i – 2j + 3k

Sedangkan panjang vektornya diberikan oleh :

| u | =

(

2

)

2

+

(

4

)

2

+

(

−

1

)

2

=

21

| v | =

(

2

)

2

+

(

−

2

)

2

+

(

3

)

2

=

24

| w | =

(

4

)

2

+

(

2

)

2

+

(

3

)

2

= 29

Operasi Aljabar Vektor

Andaikan, u = <u

1

, u

2

, u

3

> dan v = <v

1

, v

2

, v

3

>, adalah vektor-vektor tak nol. Bilamana k adalah

konstanta tak nol, maka berlaku :

1). Perkalian dengan skalar, didefinisikan :

k u = k<u

1

, u

2

, u

3

> = <ku

1

, ku

2

, ku

3

>

2). Perjumlahan dua vektor didefinisikan,

u + v = <

u

1

, u

2

, u

3

> + <v

1

, v

2

, v

3

>

= <u

₁

+ v

₁

, u

₂

+ v

₂

, u

₃

+ u

₃

>

Operasi diatas berlaku pula untuk vektor dalam ruang dimensi dua.

Contoh 1.2.2.

Misalkan diberikan u = <4,5, –2,> = 4i + 5j – 2k , dan v = <3,–5,7> = 3i – 5j + 7k . Hitunglah

(a). 3u + 4v (b). 4u – 3v, (c). 4v – 3u

Penyelesaian :

(a). 3u + 4v = 3(4i + 5j – 2k ) + 4(3i – 5j + 7k)

= (12i + 15j – 6k) + (12i – 20j + 28k) = 24 i – 5j + 22k .

(b). 4u – 3v = 4(4i + 5j – 2k ) – 3(3i – 5j + 7k)

= (16i + 20j – 8k) + (–9i + 15j – 21k) = 7i + 35j – 29k

(c). 4v – 2u = 4(3i – 5j + 7k ) – 2(4i + 5j – 2k )

= (12i – 20j + 28k) + (–8i – 10j + 4k) = 4i – 30j + 32k .

Hasil Kali Titik

Andaikan, u = <u

₁

, u

₂

, u

₃

> = u

₁

i+

u

₂

j +

u

₃

k, dan v = <

v

₁

, v

₂

, v

₃

> = v

₁

i +

v

₂

j +

v

₃

k adalah

vektor-vektor tak nol. Hasil kali titik u dan v dinyatakan (u • v)didefinisikan oleh :

u

• v = u1

v

1

+ u

2

v

2

+ u

3

v

3

,

Bilamana

θ

merupakan sudut antara u dan v, hasil kali titik u dan v didefinisikan pula oleh,

Selanjutnya dengan menggunakan rumus diatas, besarnya sudut

θ

diberikan oleh,

cos

θ

=

|

v

||

u

|

v

u

•

dimana berlaku :

0 <

θ

< π/2, bilamana u • v > 0,

θ

= π/2, bilamana u • v = 0,

π/2 <

θ

< π, bilamana u • v < 0

Dari definisi diatas terlihat bahwa jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol, hasil kali titik dua

vektor ortogonal adalah 0. Demikian pula, dengan menggunakan definisi diatas, untuk vektor

satuan baku i, j, dan k berlaku :

i

•i = 1, j•j = 1, k • k = 1,

i

•j = j • i = 0, i• k = k •i = 0, j•k = k•j = 0,

Contoh 1.2.2.

Carilah sudut PQR, jika P(7,1,3), Q(5,3,2), dan R(6,5,4).

Penyelesaian :

Perhatikanlah sketsa berikut ini.

R

Ambil,

u

=

QP , dan v = QR . Dari

sketsa

disamping,

terlihat

bahwa

sudut

u

terlihat bahwa sudut PQR adalah sudut

θ

antara u dan v.

Q v P

Gambar 1.2.3.

Selanjutnya, mengingat :

u =

QP = <7 – 5, 1 – 3, 3 – 2> = <2, –2, 1>

v =

QR = <8 – 5, 5 – 3, 8 – 2> = <3, 2, 6>

dengan demikian dihasilkan :

cos

θ

=

|

v

||

u

|

v

u

•

=

2 2 2 2 2 2

₍

₂

₎

₍

₁

₎

₍

₃

₎

₍

₂

₎

₍

₆

₎

)

2

(

)

6

)(

1

(

)

2

)(

2

(

)

3

)(

2

(

+

+

+

−

+

+

−

+

=

49

9

6

4

6

−

+

=

21

8

= 0,38095

dan,

θ

= 67,61

o

Contoh 1.2.3.

Nyatakanlah, u = <9,6,3> sebagai jumlahan suatu vektor m yang sejajar dengan v = <2,–1,2>

dan suatu vektor n yang tegak lurus v.

Penyelesaian :

Perhatikanlah sketsa pada gambar berikut ini.

Dari sketsa disamping, vektor yang dicari adalah

n

vektor m dan n, dimana u = m + n

v

m

Gambar 1.2.4.

Langkah pertama, mengitung m. Andaikan

θ

sudut antara u dan v, dan m sejajar dengan v, dan

m

proyeksi u pada v. Dengan demikian,

m

= | m |

|

| v

v

= | u| cos

θ

|

| v

v

= |u|

|

v

||

u

|

v

u

•

|

| v

v

=

2

|

u

|

v)v

(u

•

Sehingga dengan rumus proyeksi diatas dihasilkan,

m =

2 2 2

₍

₁

₎

₍

₂

₎

)

2

(

)

2

)(

3

(

)

1

)(

6

(

)

2

)(

9

(

+

−

+

+

−

+

<2,–1,2>

=

9

18

<2,–1,2>

= <4,–2,4>

Jadi suatu vektor m yang sejajar dengan v adalah <4,–2,4>

Langkah kedua, mengitung n.

Dari sketsa pada gambar 1.2.4, terlihat bahwa u = m + n, dengan demikian :

n = u – m

= <9, 6, 3> – <4, –2, 4>

= <5, 8, –1>

Jadi vektor n yang tegak lurus v adalah <5, 8, –1>

Sudut dan Kosinus Arah

Misalkan diberikan vektor tak nol u dalam ruang dimensi tiga. Sudut-sudut antara vektor tak nol

u

, dengan vektor-vektor satuan baku i, j, dan k disebut dengan sudut-sudut arah vektor u.

Sudut-sudut ini ditunjukkan oleh α, β, dan γ. Lihat gambar.

u

θ

z

u = u

1

i

+ u

2

j

+ u

3

k,

γ

u

0 β y

α

x

Gambar 1.2.5.

Misalkan u = u

1

i

+ u

2

j

+ u

3

k,, menurut hasil kali titik besarnya sudut-sudutnya diberikan oleh,

cos α =

|

||

|

u

i

i

u

•

=

|

|

1

u

u

cos β =

|

||

|

u

j

j

u

•

=

|

|

2

u

u

cos γ =

|

||

|

u

k

k

u

•

=

|

|

3

u

u

Rumus diatas dikenal dengan rumus sudut dan cosinus arah vektor dalam ruang dimensi tiga.

Dengan menggunakan hasil diatas, maka diperoleh pula hubungan, cos

2

α + cos

2

β + cos

2

γ = 1

Contoh 1.2.4.

Carilah besarnya sudut-sudut arah vektor dari,

u

= 8i – 6

j

+ 10 k,

Penyelesaian :

Karena, |u| =

64

+

36

+

100

=

200 = 10

2

, dan u

1

= 8, u

2

= –6, u

3

= 10, maka dengan

rumus diatas diperoleh :

cos

α =

2

10

8

=

5

2

2

dan α = 55,55

o

cos β =

2

10

6

−

= –

10

2

3

dan β = 115,10

o

cos γ =

2

10

10

=

2

2

dan γ = 45

o

Contoh 1.2.5.

Sebuah vektor u, panjangnya 6 satuan yang mempunyai α = 60

o

_{dan β = 135}

o

, carilah u.

Penyelesaian :

Langkah pertama, menentukan γ.

cos

2

γ = 1 – cos

2

α – cos

2

β = 1 – cos

2

60

o

– cos

2

135

o

= 1 –

2 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

–

2 2 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

= 1 –

4

1

–

2

1

=

4

1

Jadi, cos γ = ± 0,5 dan γ = 60

o

_{atau γ = 120}

o

.

Langkah kedua menentukan u. Karena vektor u, panjangnya 6 satuan, dan diketahui α = 60

o

, dan

β = 135

o

_{, serta untuk γ = 60}

o

, maka udiberikan oleh :

u = 6<cos α, cos β, cos γ> = 6<cos 60

o

, cos 135

o

, cos 60

o

>

= 6<

2

1

, –

2

2

,

2

1

> = <3, –3

2

, 3>

Demikian pula untuk α = 60

o

_{, β = 135}

o

_{, dan γ = 120}

o

dihasilkan vektor :

u = 6<cos α, cos β, cos γ> = 6<cos 60

o

, cos 135

o

, cos 120

o

>

= 6<

2

1

, –

2

2

,–

2

1

> = <3, –3

2

, –3>

Jadi vektor yang panjangnya 6 satuan yang mempunyai α = 60

o

_{dan β = 135}

o

, adalah vektor :

u = <3, –3

2

, 3> atau u = <3, –3

2

, –3>

Hasil Kali Silang Dua Vektor

Hasil kali silang vektor u = <u

1

, u

2

,

u

3

> dan v = <v

1

, v

2

,

v

3

> dinyatakan (u × v) didefinisikan

oleh :

u × v =

3 2 1 3 2 1 v v v u u u k j i

=

3 2 3 2 v v u u

i

–

3 1 3 1 v v u u

j

+

2 1 2 1 v v u u

k

= (u

2

v

3

– u

3

v

3

)i – (u

1

v

3

– u

3

v

1

)j + (u

1

v

2

– u

2

v

1

)k

Dari definisi diatas, jelas terlihat bahwa hasil kali silang vektor adalah vektor, sedangkan hasil

kali titik adalah sklar. Selanjutnya dengan menerapkan rumus diatas, untuk vektor-vektor satuan

baku i, j dan

k

dihasilkan :

i

× i = 0

j

× j = 0

k

×

k = 0

i

× j = k

j

× k= i

k

×

i

= j

i

× k = –j

j

× i = -k

k

×

j

= -i

Tafsiran Geometri (u × v)

Secara geometri, tafsiran dari (u × v) sangat bermafaat dalam praktek. Untuk itu perhatikanlah

sketsa berikut ini.

(u × v)

θ

u v

Gambar 1.2.6.

Misalkan u dan v adalah vektor-vektor tak nol dalam ruang dimensi tiga, dan

θ

adalah sudut

antara u dan v. Dari sketsa diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa :

1). u • (u × v) = 0, artinya adalah (u × v) tegak lurus terhadap vektor u;

2). v • (u × v) = 0, artinya adalah (u × v) tegak lurus terhadap vektor v; dan

3). | u × v| = | u| |v| sin

θ

Contoh 1.2.6.

Misalkan u = <1, 3, –2>, dan v = <–2, 1, 3>. Hitunglah : (u × v) ; (v × u); u • (u × v), dan v •

(u × v).

Penyelesaian :

u × v =

k j i 3 1 2 2 3 1 − −

=

3

2

2

3

−

i

–

3

2

2

1

−

−

j

+

1

2

3

1

−

k

= 11i + j + 7 k = <11, 1, 7>

v

× u =

k j i 2 3 1 3 1 2 − −

=

2

3

3

1

−

i

–

1

2

3

2

−

−

j

+

3

1

1

2

−

k

= –11i – j – 7 k = – <11, 1, 7>

Jadi,

u • (u × v) = <1, 3, –2> • <11, 1, 7> = 11 + 3 – 14 = 0

v • (u × v) = <–2, 1, 3> • <–11, –1 , –7> = 22 – 1 – 21 = 0

Contoh 1.2.7.

Hitunglah luas segitiga dengan titik-titik sudut P(2, 3, 1), Q(4, 2, 3) dan R(6, 7, 8)

Penyelesaian :

Perhatikanlah sketsa pada gambar berikut ini.

R

Dari

sketsa

disamping,

ambil

u

=

PQ , v =

PR

v

dengan

θ

sudut antara u dan v. Ambil pula t

sebagai

tinggi

segitiga,

dimana

:

t = | v | sin

θ

P u Q

Gambar 1.2.7.

Mengingat luas segitiga adalah,

A(R) =

|

|

t

2

1

u

=

|

||

|

sin

θ

2

1

v

u

=

2

1

| u

× v|

Selanjutnya, karena :

u = PQ = <4 – 2, 2 – 3, 3 – 1> = <2, –1, 2>

v =

PR = <6 – 2, 7 – 3, 8 – 1> = <4, 4, 7>

u

× v =

k j i 7 4 4 2 1 2 −

=

7

4

2

1

−

i–

7

4

2

2

j +

4

4

1

2

−

k

= –15

i – 6j + 12 k

Maka,

| u

× v| =

(

−

15

)

2

+

(

−

6

)

2

+

(

12

)

2

=

225

+

36

+

144

= 445

Jadi luas segitiganya adalah:

A(R) =

2

1

| u

× v| =

2

1

445

Bidang Dalam Ruang Ruang

Dalam awal pembahasan secara tidak langsung telah dibicarakan masalah bidang dalam dimensi

tiga. Cara yang paling mudah untuk menjelaskan masalah bidang adalah dengan pendekatan

vektoris. Salah satu manfaat dari hasil kali titik dan hasil kali silang vektor adalah untuk

menentukan persamaan bidang dalam ruang dimensi tiga. Untuk itu perhatikanlah sketsa pada

gambar 1.2.8. berikut ini.

t

θ

n

Andaikanlah,

n = <A, B, C>

adalah vektor tak nol yang tegak

lurus bidang, dan disebut dengan

vektor

normal

bidang.

Andaikan pula P(x

0

, y

0

, z

0

) adalah

Gambar 1.2.8

suatu titik tetap dalam bidang.

Himpunan semua titik-titik Q(x,y,z) yang memenuhi,

PQ

•

n

= 0 adalah suatu bidang yang

melalui titik tetap P, dan tegak lurus normal bidang n. Karena,

n = <

A, B, C>,

dan

PQ = <x – x

0

, y – y

0

, z – z

0

>,

maka bidang

PQ

•

n

= 0 dapat dituliskan menjadi :

<x – x

0

, y – y

0

, z – z

0

> • <A, B, C> = 0

atau,

A(x – x

0

) + B(y – y

0

) + C(z – z

0

) = 0

Persamaan bidang ini seringkali dituliskan dalam bentuk persamaan linier, yaitu :

Ax + By + Cz = D

dimana D = Ax

0

+ By

0

+ Cz

0

.

Contoh 1.2.8.

Carilah persamaan bidang yang melalui titik (2,–4,3) dan tegak lurus dengan vektor

n= <4,2,5>.

Selanjutnya carilah jarak tegak lurus dari titik (5,3,5) ke bidang tersebut.

Penyelesaian :

Menentukan persamaan bidang. Dari masalah diatas diketahui, P(x

₀

,

y

₀

, z

₀

) = (2,–4,3) dan

n =

<A, B, C> = <5,3,5>. Dengan menerapkan rumus diatas, diperoleh persamaan bidangnya yaitu :

4(x – 2) + 2(y + 4) + 5(z – 3) = 0,

atau,

4x + 2y + 5z = 15

Jarak tegak lurus dari titik terhadap bidang. Misalkan L menyatakan jarak tegak lurus dari suatu

titik (x

1

, y

1

, z

1

) terhadap bidang, Ax + By + Cz = D , maka jarak L dihitung dengan menggunakan

rumus,

L =

2 2 2 1 1 1 | | C B A D Cz By Ax + + − + +

Maka jarak L dari titik (5,3,5) terhadap bidang, 4x + 2y + 5z = 15 diberikan oleh,

Q

L =

2 2 2

)

5

(

)

2

(

)

4

(

|

15

)

5

)(

5

(

)

3

)(

2

(

)

5

)(

4

(

|

+

+

−

+

+

=

5

3

36

=

5

5

12

Contoh 1.2.9.

Carilah persamaan bidang yang melalui titik-titik P(5,2,3), Q(7,5,4) dan R(4,4,5). Selanjutnya

carilah sudut antara bidang terseut dengan bidang 2x + 4y – 3z = 20.

Penyelesaian.

Menentukan persamaan bidang. Dengan pendekatan vektor, persamaan bidang ditentukan oleh

sebuah titik tetap dan sebuah vektor normal. Oleh karena itu perhatikanlah sketsa tersebut

dibawah ini.

n

Dari sketsa seperti tergambar ambil

sebagai P(5,2,3)

titik

tetap.

Sedangkan untuk menentukan

normal

bidangnya,

dari

sketsa

terlihat

pula

bahwa

n tegak lurus

Gambar 1.2.9.

PQ dan

n tegak lurus PR .

Sehingga dengan menggunakan hasil kali silang vektor normal bidangnya diberikan oleh

n =

PQ

×

PR

Mengingat,

PQ = <7 – 5, 5 – 2, 4 – 3> = <2, 3, 1>

PR = <4 – 5, 4 – 2, 5 – 3> = <–1, 2, 2>

maka normal bidangnya diberikan oleh :

n =

k j i 2 2 1 1 3 2 −

=

2

2

1

3

i –

2

1

1

2

−

j +

1

2

3

2

−

k

= 4

i – 5j + 7k

Dengan mengambil sebagai titik tetap adalah (5,2,3) dengan noemal bidang

n = 4i – 5j + 7k, jadi

persamaan bidangnya diberikan oleh,

4(x – 5) – 5(y – 2) + 7(z – 3) = 0

atau,

4x – 5y + 7z = 31

P

Q R

Sudat Antara Bidang

Untuk memudahkan menentukan sudut antara dua bidang, perhatikanlah sketsa pada gambar

1.2.10. berikut ini.

n

Andaikan

n adalah normal bidang

pertama, dan

m adalah normal

bidang kedua, maka sudut antara

m

dua bidang ditentukan oleh sudut

antara dua vektor normal bidangnya.

Gambar 1.2.10.

Sedangkan sudut antara dua buah vektor diberikan oleh definisi dari pengertian hasil kali titik.

Oleh karena itu untuk bidang pertama ambil bidang dengan persamaaan, 4x – 5y + 7z = 31

sehingga diperoleh

n = <4, –5, 7> dan untuk bidang kedua ambil bidang 2x + 4y – 3z = 20

diperoleh

m = <2, 4,–3>. Dengan demikian,

cos

θ

=

|

|

|

|

n

m

m

n

•

=

9

16

4

49

25

16

3

,

4

.,

2

7

,

5

,

4

+

+

+

+

>

−

<

•

>

−

<

=

29

10

3

33

−

= – 0,6459

sehingga diperoleh,

θ

= 130,24

o

. Dengan demikian sudut antara dua bidang yang berpotongan

diberikan adalah

θ

= 130,24

o

.

Garis Dalam Ruang Dimensi Tiga

Kurva dalam ruang dimensi tiga adalah suatu persamaan yang ditentukan oleh tiga persamaan

parameter, yaitu :

x = x(t), y = y(t), dan z = z(t).

dalam notasi vektor, kurva dalam ruang dimensi tiga diberikan oleh persamaan,

r

(t

)

= x(t)i + y(t)j + z(t)k

Bentuk kurva dalam ruang dimensi tiga yang paling sederhana adalah garis lurus. Sebuah Garis

lurus dalam ruang dimensi tiga ditentukan oleh sebuah titik tetap (x

₀

,y

₀

,z

₀

), dan sebuah vektor

taknol v = <a,b,c> sebagai vektor arah garis. Lihat gambar 1.2.11.

Bidang 1

Dari gambar 1.2.11. misalkan l yang melalui sebuah titik tetap P(x

0

,y

0

,z

0

) dengan vektor arahnya

v = <

a,b,c>, maka persamaan garis l adalah himpunan semua titik-titik Q(x,y,z) sedemikian rupa

sehingga,

PQ = tv

Lihat gambar

z

Q(x,y,z)

P(x

0

,y

0

,z

0

) v= <a,b,c>

y

x

Gambar 1.2.11.

Karena,

PQ = <x – x

0

,y – y

0

,z – z

0

>,

dan,

v = <

a,b,c>

maka persamaan garis l dalam bentuk vektor diberikan oleh :

<x,y,z> = <x

0

,y

0

, z

0

> + t<a,b,c>

Dari bentuk vektor diatas, dengan kesamaan vektor persamaan garis dapat dinyatakan dalam

bentuk parameter yaitu :

x = x

0

+ at ; y = y

0

+ bt ; z = z

0

+ ct

Bilamana komponen vektor v = <a,b,c> adalah tak nol artinya a

≠ 0, b ≠ 0, dan c ≠ 0, maka

persamaan garis l dapat pula dinyatakan dalam bentuk persamaan simetris, yaitu :

a x x− ₀

=

b y y− ₀

=

c z z− ₀

Contoh 1.2.10.

Carilah persamaan garis yang melalui titik P(2,–1, 3) dan Q(4,3,6).

Penyelesaian :

Untuk menentukan persamaan garis diatas yang harus dicari adalah sebuah titik tetap dan vektor

arah garis. Oleh karena itu perhatikanah sketsa pada gambar 1.2.12 berikut ini.

z

Menentukan

titik

tetap

Q(4,3,6)

Dari sketsa disamping, ambil sebagai

titik tetap adalah P(2,–1,3), dengan

P(2,–1,3)

demikian x

0

= 2, y

0

= –1, z

0

= 3.

O

Menentukan vektor arah

y

Dari sketsa, ambil sebagai vektor

arah garis adalah vektor yang

x searah dengan vektor PQ .

Gambar 1.2.12

Dengan demikian, v =

PQ = <4 – 2,3 – (–1),6 – 3> = <2,4,3>. Berdasarkan hasil ini, maka

persamaan garis yang melalui titik P(2,–1, 3) dan Q(4,3,6) diberikan oleh :

x = 2

+ 2t ; y = –1

+ 4t ; z =3 + 3t ;

atau,

2

2

−

x

=

4

1

+

y

=

3

3

−

z

Contoh 1.2.11.

Carilah persamaan garis simetri perpotongan bidang, 2x + 4y + z = 16, dan x + 3y + 2z = 17.

Penyelesaian.

Andaikan P dan Q adalah dua buah titik pada garis l yang merupakan perpotongan kedua bidang.

Ambilah P dan Q adalah titik tembus garis l pada bidang yz dan xz. Lihat gambar 1.2.13.

z

Dari

sketsa,

untuk

tititik

P

ambilah P sebagai titik pada bidang

P(x

1

,y

1

,z

1

)

yz, atau x = 0. Sehingga untuk x = 0

l

diperoleh,

Q(x

0

,y

0

,z

0

)

4x + z = 16

3y + 2z = 17

y

Dengan menyelesaikan secara

simultan dihasilkan y = 3, dan z = 4

x

Sehingga

titik

P diberikan oleh,

P(0,3,4).

Gambar 1.2.13

Selanjutnya untuk titik Q, ambilah Q sebagai sembarang titik pada bidang xz atau y = 0. Untuk y

= 0, diperoleh :

2x + z = 16

Dengan menyelesaikan secara simultan kedua persamaan dihasilkan x = 5, dan z = 6. Sehingga

titik Q diberikan oleh (5,0,6). Berdasarkan hasil diatas, ambilah sebagai titik tetap garis l adalah

(0,3,4), dan vektor arah garisnya adalah :

v =

PQ = <5 – 0,0 – 3,6 – 4> = <5,–3,2>.

Dengan demikian persamaan garis simetris yang merupakan perpotongan kedua bidang adalah,

5

x

=

3

3

−

−

y

=

2

4

−

z

Contoh 1.2.12.

Suatu garis l terletak pada bidang 3x – 2y + 4z = 16, melalui (2,1,3) dan tegak lurus dengan garis,

5

2

−

x

=

2

3

−

+

y

=

3

3

−

z

Carilah persamaan garis l.

Penyelesaian :

Karena garis l melalui titik P(2,1,3), maka untuk menentukan persamaan garisnya, yang harus

dicari adalah vektor arah garis l. Untuk itu perhatikanlah sketsa berikut ini.

n

Dari

sketsa,

andaikan

v vektor arah

l

garis l, dan m vektor arah garis g,

v

dan

n normal bidang. Karena garis

l terletak pada bidang maka, v tegak

m

lurus dengan n. Demikian pula garis

l tegak lurus garis g, maka berlaku

g

pula v tegak lurus dengan m.

Gambar 1.2.114

Maka menurut hasil kali silang vektor, dihasilkan, v = n × m. Mengingat n = <3,–2,4> dan m =

<5,–2,3> maka vektor arah garisnya diberikan oleh :

v = n × m =

k j i 3 2 5 4 2 3 − −

=

3

2

4

2

−

−

i –

3

5

4

3

j +

2

5

2

3

−

−

k

= 2i + 11j + 4k = <2,11,4>

Jadi persamaan garis l yang melalui (2,1,3) dengan vektor arah <2,11,4> diberikan oleh,

2

2

−

x

=

11

1

−

y

=

4

4

−

z

Contoh 1.2.13.

Carilah persamaan suatu bidang yang melalui titik P(3,2,5) dan memuat garis, x = 4 + 2t, y = 6 –

3t, z = 2 + 4t.

Penyelesaian :

Karena bidang yang ditanyakan melalui titik P(3,2,5), sehingga untuk menentukan persamaan

bidangnya, yang harus dicari adalah vektor normal bidang. Perhatikanlah sketsa berikut ini.

n

Dari

sketsa,

andaikan

n vektor

l

normal bidang, dan v adalah vektor

v

arah

garis

l , dimana garis l terletak

Q

pada bidang maka, n tegak lurus v.

P

Misalkan pula Q sembarang titik

pada garis l, maka berlaku pula

Gambar 1.2.15

QP

tegak lurus dengan n.

Maka menurut hasil kali silang vektor, dihasilkan, n = v× QP . Dari garis l diperoleh vektor

arahnya adalah v = <2,–3,4>. Sedangkan untuk menentukan QP , ambil Q titik pada garis l

dengan t = 0, sehingga diperoleh Q(4,6,2). Dengan demikian vektor QP diberikan oleh,

QP = <3 – 4,2 – 6,5 – 2> = <–1,–4,3>.

Karena, v = <2,–3,4> dan QP = <–1,–4,3>, maka normal bidangnya diberikan oleh :

n = v × QP =

k j i 3 4 1 4 3 2 − − −

=

3

4

4

3

−

−

i –

3

1

4

2

−

j +

1

4

3

2

−

−

−

k

= 7i – 10j – 11k = <7,–10,–11>

Dengan demikian persamaan bidang yang ditanyakan yakni persamaan bidang yang melalui titik

P(3,2,5) dan memuat garis, x = 4 + 2t, y = 6 – 3t, z = 2 + 4t, diberikan oleh,

7(x – 3) – 10(y – 2) – 11(z – 5) = 0

atau,

7x – 10y – 11z + 56 = 0

Soal-soal Latihan 1.2.

Diberikan, u = <4, 2, – 4>, v = <7, 2, 1> dan w = <2, – 6, 3>. Dengan menggunakan vektor

tersebut hitunglah :

1. a. u • (v + w) ;

b. u • (v × w) ;

c. (u × v) × (u × w)

2. a. u × (v + w) ;

b. v • (u × w) ;

c. (u × v) × (v × w)

3. a. v × (u + w) ;

b. w • (u × v) ;

c. (u × w) × (v × w)

4. a. w × (u + v) ;

b. (u× v) • (u×w) ;

c. (u(v • w)) × (v × w)

5. a. u × (w – v) ;

b. (u × v) • (v × w) ;

c. (v(v • w)) × (u × w)