REGULARISASI SISTEM SINGULAR LINIER
SKRIPSI
RAJAMIN R U MANIK
060803035
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
REGULARISASI SISTEM SINGULAR LINIER
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
RAJAMIN R U MANIK
060803035
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul : REGULARISASI SISTEM SINGULAR LINIER
Kategori : SKRIPSI
Nama : RAJAMIN R U MANIK
Nomor Induk Mahasiswa : 060803035
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Diluluskan di
Medan, Februari 2011
Komisis Pembimbing :
Pembimbing 2 Pembimbing 1
Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19500321 198003 1 001 NIP. 19620901 198803 1 002
Diketahui/Disetujui oleh:
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua Departemen Matematika,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
iii
PERNYATAAN
REGULARISASI SISTEM SINGULAR LINIER
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Februari 2011
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis kepada Tuhan Allah untuk kasih karunia dan penyertaanNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini.
v
ABSTRAK
REGULARIZATION OF LINEAR SINGULAR SYSTEMS
ABSTRACT
vii
2.1.10 Aplikasi pada Teorema Eksistensi dan Keunikan 11 2.1.11 Persamaan Matriks dari Sistem Persamaan Linier 3.1.1 Regularisasi dengan Prediktive Umpan-Balik Statis 24 3.1.2 Regularisasi dengan Prediktive Output Umpan-Balik Statis 26
Bab 4 KESIMPULAN 28
ABSTRAK
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Sistem singular muncul dalam disiplin teknik mesin termasuk jaringan listrik, sistem power, dan teknik mesin ruang angkasa. Sejak tahun , sistem singular telah menarik perhatian banyak peneliti dan stabilisasi sistem tersebut telah menjadi subjek banyak penelitian. Sistem singular merupakan ilmu dinamika yang
mana ditentukan dengan suatu gabungan persamaan differensial dan persamaan secara aljabar. Secara inheren sifat kompleks dari sistem singular menyebabkan banyak kesulitan dalam menyelesaikan sistem tersebut. Akibatnya, pertanyaan dari keunikan dan adanya solusi, solvabilitas, pertanyaan kondisi awal yang konsisten dan stabilitas mendapat perhatian besar. Beberapa buku dan survei yang berhubungan dengan sistem ini telah memusatkan setiap persoalan solvability, controllability, penyelesaian pole dan eliminasi proses impuls.
Dalam catatan ini, diberikan kondisi pertidaksamaan matriks linier yang memenuhi regularisasi sistem waktu diskrit singular. Kemudian, diperkenalkan suatu bentuk baru dari pengontrol penstabilan peregularan yang meliputi aksi
prediksi dan penurunan keadaan umpan-balik. Akhir penulisan ini adalah meregularkan sistem singular dengan penggunaan suatu pengontrol prediksi yang mengharuskan estimasi keadaan sistem pada iterasi selanjutnya. Bentuk penyelesaian muncul sebagai jumlah dari dua pengontrol independent yang dihitung terpisah melalui dua pertidaksamaan matriks linier. Kelas pengontrol yang dimaksud kelihatan menarik, dalam arti, bahwa sistem loop tertutup bertindak sebagai sistem non-singular dan kemudian, semua properti dan kejadian yang berhubungan dengan sistem singular tidak muncul sebelum aksi umpan-balik tersebut, (Salim Ibrir, 2009).
Dalam penelitian ini, adalah himpunan bilangan riel. Notasi
berarti bahwa matriks adalah definit positif (definit negatif).
untuk transpose . adalah matriks identitas dari dimensi yang tepat dan adalah matriks null dari dimensi yang tepat.
1.2 PERUMUSAN MASALAH
Permasalahan yang akan diangkat dalam penulisan ini adalah bagaimana meregularkan sistem singular linier diskrit.
1.3 TINJAUAN PUSTAKA
Karena tulisan ini merupakan studi literatur, maka tinjauan pustaka merupakan titik tolak tulisan ini. Penulis melakukan tinjauan pustaka dari:
3
Glenn W. Stagg dan Ahmed H. El-Abiad dalam bukunya juga memperkenalkan aljabar matriks.
Dianhui Wang dan C. B. Soh menjelaskan dalam jurnalnya bahwa suatu sistem dikatakan menjadi regular jika pasangan pensil adalah regular, yaitu
tidak sama dengan nol.
Liyi Dai mengatakan dalam jurnalnya , ,
bahwa
1. Sistem disebut controllable ( observable) jika rank
, terbatas ( rank terbatas ).
2. Sistem disebut controllable (observable) jika kedua controllable
( observable) dan rank , (rank ).
3. Sistem disebut controllable ( observable) jika terdapat sebuah matriks sedemikian hingga deg rank ( atau ada
sebuah sedemikian hingga deg rank ). Di
sini deg menunjukkan degree dari suatu polinomial.
Salim Ibrir dalam jurnalnya menjelaskan bahwa regularisasi dapat dilakukan dengan dua cara yaitu dengan suatu prediktive umpan-balik statis dan prediktive output umpan-balik statis.
1.4 TUJUAN PENELITIAN
Tujuan dalam penelitian ini adalah memperoleh sistem singular yang regular.
1.5 MANFAAT PENELITIAN
1.6 METODE PENELITIAN
Tulisan ini disusun atas suatu kerangka pemikiran yang langkah-langkahnya
adalah sebagai berikut:
1. Diberikan konsep-konsep matriks yang berhubungan penelitian ini dan regularisasi sistem singular.
BAB 2
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas beberapa definisi dan teorema dengan atau tanpa bukti yang akan digunakan untuk menentukan regularisasi sistem singular linier. Untuk itu akan diberikan terlebih dahulu pengertian-pengertian dasar berikut:
2.1Matriks
Definisi 2.1:
Anggap menyatakan baris dan menyatakan kolom maka matriks adalah susunan
segiempat angka-angka berdasarkan baris dan kolom yang dibatasi oleh kurung siku maupun kurung biasa dan
Selanjutnya akan dibahas tipe-tipe matriks dan operasi aljabarnya.
2.1.1 Matriks Bujursangkar
Definisi 2.1:
Matriks bujursangkar adalah matriks yang memiliki baris dan kolom yang sama disimbolkan sebagai . Anggap matriks bujursangkar maka .
2.1.2 Matriks Transpos
Definisi 2.2:
Anggap matriks berukuran , maka transpose matriks disimbolkan dengan
Teorema 2.1:
Anggap dan B adalah matriks-matriks dan adalah suatu skalar. Maka, penjumlahan dan perkalian matriks-matriks ini selalu didefinisikan sebagai berikut:
a)
Jika matriks sama dengan matriks transposenya atau disimbolkan dengan
maka matriks simetris. Demikian juga, dikatakan simetris jika elemen-elemen simetrisnya (elemen-elemen-elemen-elemen cermin terhadap diagonal) sama, yaitu, jika setiap
.
2.1.4 Determinan
Algoritma mereduksi penghitungan determinan berorde menjadi penghitungan determinan berorde .
Algoritma 2.1:
(Reduksi orde determinan). Inputnya adalah matriks bujursangkar- bukan-nol,
dengan .
Langkah . Memilih elemen atau, jika tidak ada, .
Langkah . Dengan menggunakan sebagai pivot, lakukan operasi baris (kolom) elementer sehingga diperoleh di semua posisi selain posisi kolom (baris) yang mengandung .
7
Contoh 2.1:
Gunakan algoritma di atas untuk menentukan determinan dari
Gunakan sebagai pivot sehingga diperoleh bilangan-bilangan di
posisi-posisi selain kolom ke- , yaitu dengan melakukan operasi baris (b) “Mengganti dengan ”, “Mengganti dengan ”, dan “Mengganti dengan
”, Menurut Teorema “Anggap diperoleh dari melalui operasi baris (kolom) elementer. Jika kelipatan suatu baris (kolom) ditambahkan ke baris (kolom) yang lain dari , maka ”, nilai determinan tidak berubah oleh oper
asi-operasi ini. Jadi
Selanjutnya sederhanakan dengan menggunakan kolom ketiga. Secara spesifik, abaikan semua suku yang mengandung dan gunakan fakta bahwa tanda dari minor
adalah . Jadi
2.1.5 Matriks yang Dapat-Dibalik (Non-Singular)
Definisi 2.4:
Matriks bujursangkar dikatakan dapat-dibalik (invertible) atau non-singular jika
di mana adalah matriks identitas yaitu matriks bujursangkar- dengan bilangan pada diagonalnya dan pada entri-entri lainnya. Matriks seperti ini bersifat unik.
Yaitu, jika dan , maka
.
Dari hubungan di atas dinamakan matriks sebagai invers dari matriks dan
invers dari matriks ditulis dan hubungan di atas bersifat simetris; yaitu, jika invers , maka invers .
2.1.6 Matriks Invers
Algoritma menentukan invers dari sebuah matriks.
Algoritma 2.2:
Langkah . Mereduksi-baris menjadi bentuk eselon. Jika proses ini menghasilkan sebuah baris nol di setengah dari , maka tidak mempunyai invers.
(Jika tidak, berbentuk segitiga).
Langkah . Mereduksi-baris lebih jauh lagi menjadi bentuk kanonis barisnya, , di mana matriks identitas menggantikan di setengah kiri
dari .
Langkah . Menetapkan , matriks yang sekarang berada di setengah kanan dari .
Contoh 2.2:
9
Membentuk matriks (blok) dan mereduksi-baris menjadi bentuk eselon:
Matriks identitas berada di setengah kiri dari matriks akhir, sehingga setengah
kanannya adalah atau dengan perkataan lain:
2.1.7 Matriks Eselon
Definisi 2.5:
Matriks disebut matriks eselon, atau dikatakan berbentuk eselon, jika dua syarat berikut berlaku (dimana elemen bukan-nol utama (leading non-zero element) dari suatu baris pada matriks adalah elemen bukan-nol pertama pada baris tersebut):
1) Suatu baris nol, jika ada, terletak di bagian bawah matriks.
2) Setiap entri bukan-nol utama pada suatu baris berada di sebelah kanan entri bukan-nol utama pada baris sebelumnya.
Yaitu, adalah matriks eselon jika terdapat entri-entri bukan-nol
dimana
dengan sifat
untuk
Entri-entri , yang merupakan elemen-elemen bukan-nol utama
pada masing-masing barisnya, disebut pivot-pivot dari matriks eselon.
Contoh 2.3:
2.1.8 Bebas Linier
Kolom matriks ; dapat ditulis sebagai vektor kolom.
Juga, baris matriks dapat di tulis sebagai vektor baris.
Vektor kolom adalah bebas linier jika persamaan
memenuhi hanya untuk semua . Sama halnya dengan
vektor baris adalah bebas linier jika hanya nilai nol untuk skalar memenuhi persamaan
Jika beberapa memenuhi , vektor kolom adalah bebas linier. Jika beberapa memenuhi , vektor baris adalah bebas linier. Hal ini mungkin
menunjukkan satu atau lebih vektor kolom (vektor baris) sebagai kombinasi linier lainnya. Jika vektor kolom (vektor baris) matriks adalah bebas linier, maka
determinan adalah nol.
2.1.9 Rank Matriks
Definisi 2.6:
Rank matriks ; adalah sama pada maksimum bilangan kolom tidak bebas linier atau maksimum bilangan baris tidak linier . Bentuknya disebut rank kolom
dan selanjutnya rank baris. Rank kolom adalah sama dengan rank baris. Rank matriks adalah sama dengan order determinan non-vanishing terbesar di , (Stagg dan
11
Contoh 2.4:
Anggap matriks
Baris adalah bebas linier karena persamaan
memenuhi untuk
Sama halnya dengan kolom adalah bebas linier karena persamaan
memenuhi untuk
Bagaimanapun, tidak dua kolom adalah bebas linier dan, oleh karena itu, rank matriks adalah .
Rank dari matriks , ditulis rank , juga dapat diselesaikan dengan metode matriks
eselon yaitu sama dengan banyaknya pivot pada bentuk eselon dari .
Contoh 2.5:
2.1.10 Aplikasi pada Teorema Eksistensi dan Keunikan
Subbagian ini membahas mengenai syarat-syarat teoretis bagi eksistensi dan keunikan
dari solusi sistem persamaan linier dengan menggunakan pengertian rank dari suatu matriks.
Teorema 2.2:
Diberikan sistem persamaan linier dengan variabel tidak diketahui dan matriks yang
diperbesar . Maka:
a) Sistem memiliki solusi jika dan hanya jika rank rank . b) Solusinya unik jika dan hanya jika rank rank .
Bukti:
a) Sistem memiliki solusi jika dan hanya jika bentuk eselon dari
tidak memiliki baris berbentuk , dengan
Jika bentuk eselon dari memiliki baris, maka adalah pivot dari tetapi
bukan pivot dari , dan oleh karena itu rank rank . Jika sebaliknya,
bentuk eselon dari dan memiliki pivot-pivot yang sama, dan oleh karena itu rank rank . Ini membuktikan kebenaran .
b) Sistem memiliki solusi unik jika dan hanya jika bentuk eselon tidak memiliki variabel bebas. Ini berarti bahwa ada satu pivot untuk setiap variabel tidak diketahui. Sehingga rank rank . Ini membuktikan kebenaran .
2.1.11 Persamaan Matriks dari Sistem Persamaan Linier Bujursangkar
Sistem persamaan linier adalah bujursangkar jika dan hanya jika matriks yang terdiri dari koefisien-koefisien adalah matriks bujursangkar.
Teorema 2.3:
Sistem persamaan linier bujursangkar memiliki suatu solusi unik, jika dan
13
Bukti:
Jika dapat-dibalik, maka adalah suatu solusi unik. Jika dapat-dibalik, maka
dan sehingga adalah sebuah solusi. Selanjutnya, anggap adalah sebarang solusi, maka . Maka
Jadi, solusi unik.
2.1.12 Matriks Definit Positif
Teorema 2.4:
Anggap adalah suatu matriks simetrik berorde ekuivalen dengan: a) adalah definit positif.
b) Submatriks utama semuanya mempunyai determinan-determinan positif.
c) dapat direduksi menjadi matriks segitiga atas dengan hanya menggunakan operasi baris dan semua elemen poros akan positif.
d) mempunyai suatu faktorisasi Cholesky (di mana adalah matriks segitiga bawah, dengan entri-entri diagonal positif).
e) dapat difaktorkan ke dalam hasil kali untuk suatu matriks tak singular .
Bukti:
Dari yang telah diketahui bahwa (a) mengakibatkan (b), (b) mengakibatkan (c), dan (c) mengakibatkan (d). Untuk melihat bahwa (d) mengakibatkan (e), asumsikan bahwa
. Jika ditetapkan , maka taksingular dan
Akhirnya, untuk menunjukkan bahwa (e) (a), asumsikan bahwa , di mana
taksingular. Misalkan adalah sembarang vektor taknol dalam dan tetapkan
. Karena taksingular, akan menyebabkan
Terbukti.
Hasil-hasil analog terhadap Teroema 6.6.1 tidak berlaku untuk keadaan semidefinit
positif.
Contoh 2.5:
Submatriks utama semuanya mempunyai determinan taknegatif.
namun bukan semidefinit positif karena mempunyai nilai eigen negative . Sebenarnya, adalah suatu vektor eigen dari dan
Sistem Waktu Diskrit
Definisi 2.7:
Sistem adalah suatu alat atau algoritma yang beroperasi pada sinyal waktu
kontinu/diskrit (input), menurut beberapa aturan yang dibuat, untuk menghasilkan sinyal waktu kontinu/diskrit dengan bentuk lain (output) sistem tersebut.
Secara umum dinyatakan: ,
Definisi 2.8:
Sistem waktu diskrit pada dasarnya (A. Abdurrochman, 2010) adalah algoritma matematik dengan deretan masukan, , yang menghasilkan deretan keluaran, .
Ciri sistem diskrit yang linier:
Jika masukan menghasilkan
Jika masukan menghasilkan
Sistem waktu diskrit dikatakan statik (memoryless) jika output pada tiap hanya
15
Sistem Singular
Sistem singular adalah sistem dinamik yang prosesnya ditentukan dengan kedua persamaan differensial dan persamaan aljabar. Sistem seperti itu muncul dalam jaringan listrik, sistem power, dan sebagainya. Akhir dua dekade ini, ada mempelajari sistem singular secara luas seperti mencakup persoalan sebagai solvability,
controllability dan observability, penyelesaian pole dan eliminasi proses impuls, kontrol geometri kuadratik linier, regulasi output, dan decoupling input-output, (Jie Huang dan Ji-Feng Zhang, 1998).
Anggap sistem singular diskrit berikut:
dimana adalah vektor keadaan, adalah input kontrol, dan
adalah output sistem. adalah matriks konstanta yang berdimensi
telah ditentukan. Seluruh pembahasan ini diasumsikan bahwa rank dan
dengan singular. Hal ini bertujuan bahwa sistem tampak secara lengkap dan adalah pasangan regular, yaitu . Diturunkan
secara teratur sehingga menjamin memiliki adanya dan keunikan solusi, (Dianhui Wang dan C. B. Soh, 1999).
Dengan asumsi regulariti bahwa terdapat dua matriks non-singular , sedemikian
hingga sistem adalah ekuivalen sistem terbatas pada
dan adalah matriks nilpotent.
Definisi 2.9:
1. Sistem disebut controllable ( observable) jika rank
, terbatas ( rank terbatas ).
2. Sistem disebut controllable (observable) jika kedua controllable
( observable) dan rank (rank ).
3. Sistem disebut controllable ( observable) jika terdapat sebuah matriks
sedemikian hingga deg rank ( atau ada
sebuah sedemikian hingga deg rank ). Di
sini deg menunjukkan degree dari suatu polinomial.
Anggap kontrol umpan-balik keadaan:
dimana input baru. Menggunakan pada sistem menghasilkan sistem loop tertutup
Menjamin bahwa sistem loop-tertutup memiliki solusi yang unik untuk
setiap , selanjutnya menggunakan hanya yang membuat regular. Berikut tiga lemma akan dibutuhkan untuk selanjutnya.
Lemma 1:
17
dimana adalah konstanta, jika dan hanya jika sistem adalah
controllable dan atau .
Bukti:
Perlu: Dengan asumsi sebelumnya bahwa sistem adalah regular, terdapat dua matriks non-singular sedemikian hingga adalah ekuivalen sistem terbatas pada . Akibat teori sistem linier juga menunjukkan bahwa terdapat non-singular
sedemikian hingga
dimana , dan
adalah controllable. Untuk setiap matriks , sistem loop tertutup memiliki polinimial karakteristik dari
dengan
.
Telah diasumsikan bahwa sistem loop tertutup adalah regular, sehingga
deg deg . Jika terdapat memenuhi , maka
harus ditarik kesimpulan bahwa deg . Oleh sebab itu dapat tidak
ada. Ini berarti bahwa adalah controllable, atau dengan perkataan lain sistem
Cukup: Bukti cukup adalah berguna. Dengan tidak menghilangkan secara umum bahwa adalah controllable (sebaliknya, dapat membiarkannya pada bentuk controllability standard an melanjutkan pembahasan subsistem controllable). Oleh karena itu, sistem adalah controllable. dapat dipilih sedemikian hingga
deg rank . Hal itu dapat ditarik kesimpulan bahwa matriks
non-singular ada, sedemikian hingga sistem loop tertutup
adalah ekuivalen sistem terbatas pada
dimana
diag , diag ,
Karena sistem adalah controllable, adalah controllable dan
memiliki rank baris penuh , dan rank rank . Oleh karena itu, dapat memilih sedemikian hingga
Anggap
19
dan adalah controllable. Diskusi berikut dibagi menjadi dua bagian.
1. Assumsikan bahwa terdapat bilangan , rank , kolom ke dari
tidak nol. Dalam kasus ini, tanpa menghilangkan secara umum, menunjukkan bahwa . Maka dapat diketahui dengan segera bahwa
matriks ada sedemikian hingga adalah controllable. Anggap
Maka sistem loop tertutup dari dan digambarkan dengan
Pemberitahuan fakta bahwa adalah controllable, terdapat matriks
non-singular sedemikian hingga
Menunjukkan
Hal itu mengikuti bahwa sistem adalah ekuivalen sistem terbatas pada
Maka secara langsung komputasi memberikan bahwa sistem loop tertutup dibentuk dengan dan memiliki polinomial karakteristik:
konstanta,
dimana . Dan sekarang
dipilih sebagai suatu cara akan memenuhi persamaan .
2. Pada bagian yang lain, membiarkan rank kolom dari , adalah nol.
Menunjukkan
dimana kolom pertama dari tidak vektor nol. Anggap ,
sistem menjadi
Jadi, hal itu ditukar pada kasus
Akibat 2.1:
Jika sistem adalah controllable dan , terdapat sedemikian
hingga ada.
Akibat 2.2:
21
Lemma 2.2:
Menunjukkan sistem menjadi controllable dan keduanya memenuhi deg rank . Maka lanjutan subsistem dari dua sistem berikut:
memiliki indeks observabiliti yang sama.
Bukti:
Pertama, terdapat matriks non-singular sedemikian hingga sistem dan adalah, berturut-turut, ekuivalen sistem terbatas pada
dimana
diag diag
Pada bagian lain, anggap , dengan matriks
transformasi sistem adalah ekuivalen sistem terbatas pada
Sistem menjadi
dimana
Karena dan adalah keduanya dekomposisi standar dari sistem ,
maka diketahui bahwa terdapat matriks non-singular sedemikian hingga
Jika adalah indeks observabiliti dari berturut-turut. Dari definisi
BAB 3
PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibahas penyelesaian masalah regularisasi sistem singular linier.
Regularisasi Sistem Waktu Diskrit Singular
Diberikan sistem waktu diskrit singular:
dimana adalah vektor keadaan, adalah input kontrol, dan
adalah output sistem. Matriks dimaksudkan menjadi sebuah matriks singular. Hal ini bertujuan bahwa sistem tampak secara lengkap dan
adalah pasangan regular, yaitu . Diturunkan secara teratur sehingga menjamin memiliki adanya dan keunikan solusi.
Dalam bab ini, akan diselidiki kondisi adanya peningkatan controller sedemikian hingga sistem di bawah umpan-balik
adalah ekuivalen terhadap sistem waktu-diskrit regular dari bentuk:
dimana adalah invertible atau sebuah matriks bujursangkar rank
adalah input kontrol baru yang dibentuk sebelumnya. Komputasi diselesaikan melalui solusi pertidaksamaan matriks linear. Selanjutnya, berikan kondisi pertidaksaan matriks linear yang sama bahwa terdapat adanya pengontrol peregularan dari bentuk:
dimana adalah sebuah matriks konstan dari dimensi . Untuk kedua hal ini,
diasumsikan bahwa didapatkan untuk umpan-balik dengan observer yang tepat.
3.1.1 Regularisasi dengan Prediktive Umpan-Balik Statis
Suatu prediksi umpan-balik statis didefinisikan seperti dalam persamaan .
Perhitungan keadaan penuh sistem singular pada tahap mengharuskan perintah
obersver penuh. Sebuah kondisi yang perlu untuk adanya penanbahan adalah bahwa
rank
Dalam subbab ini, diberikan kondisi pertidaksamaan matriks linear cukup
untuk meregularkan sistem dengan prediksi umpan-balik statis dari bentuk . Dapat diringkaskan hasil subbab ini dalam pernyataan berikut.
Teorema 3.1:
Jika terdapat matriks pasti positif dan sebuah matriks sedemikian hingga pertidaksamaan matriks linear diperoleh
Maka terdapat sedemikian hingga matriks memiliki
25
Bukti:
Matriks memiliki sebuah rank penuh jika dan hanya jika
. Hal ini berarti bahwa ada dan sebagai akibatnya,
ada. Jika , maka
Sebaliknya dengan , ini memberikan
Karena diberikan matriks simetri dan , diperoleh
maka jika diambil dan , diperoleh
Jika pertidaksamaan berikut diperoleh
maka dengan sebelum dan melalui perkalian pertidaksamaan sebelumnya dengan ,
diperoleh
dan kemudian dibuktikan dimana menjelaskan bahwa invertibel. Dengan lemma komplemen Schur, pertidaksamaan adalah ekuivalen
terhadap . Terbukti.
3.1.2 Regularisasi dengan Prediktive Output Umpan-Balik Statis
Peregularan sistem singular dengan prediksi output umpan-balik statis dari
bentuk adalah hal yang khusus dari regularisasi dengan prediksi ouput keadaan penuh umpan-balik statis yang didiskusikan pada subbab sebelumnya. Informasi dapat diperoleh dengan gambaran seorang pengamat untuk sistem
waktu-diskrit singular atau dengan perhitungan output diskrit . Prediksi output
dapat juga diperoleh dari estimasi turunan pertama dari . Kondisi cukup untuk adanya sebuah prediksi output umpan-balik statis bahwa meregularkan sistem singular yang diberikan dengan teorema berikut.
Teorema 3.1:
meregularkan sistem dan matriks memiliki sebuah rank penuh.
Bukti: Seperti yang telah diketahui dari subbagian sebelumnya, kondisi invertibiliti matriks adalah ekuivalen terhadap pertidaksamaan berikut
27
Pertidaksamaan sebelumnya dapat ditulis kembali sebagai
Untuk beberapa , diperoleh
Lebihlanjut, dengan menggunakan (3.8), dapat ditulis
Hal ini menyatakan bahwa jika
maka dibuktikan. Menggunakan lemma komplemen Schur, maka
BAB 4
KESIMPULAN
Masalah regularisasi sistem singular waktu diskrit dengan predictive controller telah ditunjukkan. Pertidaksamaan matriks linier yang memenuhi kondisi untuk eksistensi
peregularan umpan-balik sistem
diberikan, dimana adalah vektor keadaan, adalah input
kontrol, dan adalah output sistem. Matriks dimaksudkan menjadi sebuah matriks singular. Hal ini bertujuan bahwa sistem tampak secara lengkap dan adalah pasangan regular, yaitu atau dengan perkataan lain
29
DAFTAR PUSTAKA
1. A. Bunse-Gerstner, Ralph Byers, Volker Mehrmann, dan Nancy K. Nichols. 1999. “Feedback design for regularizing descriptor system”. Journal ofLinear algebra and its application.
2. Abdurrochman, A. 22 Juni 2010. Pengolahan Sinyal Elektronika (Transformasi ).
3. Dianhui Wang dan C. B. Soh. 1999. “On Regularizing Singular Systems by Decentralized Output Feedback”. IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 44.
4. Glenn W. Stagg dan Ahmed H. El-Abiad. 1968. Computer Methods in Power System Analysis. International Student Edition. Tokyo: McGraw-Hill, Inc.
5. Guang-Ren Duan dan Xian Zhang. September 2003. “Regularizability of linear descriptor system via output plus partial state derivative feedback”. Asian journal of Control.
6. Jie Huang dan Ji-Feng Zhang. 1998. “Impulse-Free Output Regulation of Singular Nonlinear Systems”. International Journal Control, vol.71. 7. Liyi Dai, 1988. “Observer for Discrete Singular System”. IEEE
Transactions on Automatic Control, vol. 33.
8. Liyi Dai. 1989. “Observer for Discrete Singular System”. IEEE
Transactions on Automatic Control, vol. 34.
9. S. Ibrir. 2009. “Linear matrix inequality approach to regularization and stabilization of linear singular system: the discrete-time case”. World
Academy of Science, Engineering and Technology.
11.Leon, J. Steven. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Terjemahan Drs. Alit Bondan, M.Kom. Jakarta: Penerbit Erlangga.
12.http://www.google.com/pdf/ppt-te4230-bab_sinyal_dan_sistem.pdf.
