Materi Pemrograman Linier

(1)

Linear Programming

(Pemrograman Linier)

Program Studi Statistika

(2)

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

kursi produksi

:#

meja produksi

:#

bangku produksi

:#

3 2 1

x x x

280 ,

0 ,

24 ,

8 ,

0 ,

2

: x₁  x₂  x₃  s₁  s₂ s₃  z 

BFS

 Solusi optimal masalah Dakota

(3)

Perubahan koefisien fungsi

obyektif peubah BV

Pada LP Dakota x₁dan x₃adalah BV, akan

dipelajari perubahan koefisien fungsi obyektif bagi peubah ini:



s₁,x₃,x₁



BV  c₁ 60  c₁ 60

Matriks dan vektor berikut ini tidak

mengalami perubahan:

B

,

B

1

,

dan

b

rhs

:

B

 1

b

c_BVkoefisien fungsi obyektif bagi BV

mengalami perubahan, sehingga terdapat perubahan pada: _c _B1

BV

z optimal akan mengalami perubahan, karena

(4)

Koefisien baris nol untuk seluruh NBV

mengalami perubahan:

j j

BV

j B c

c c 1a 

BV tetap optimal jika setiap koefisien baris nol

bagi setiap NBV tetap non negatif:

0



j

c

BV akan mengalami perubahan (suboptimal) jika salah

satu dari koefisien baris nol bagi NBV bernilai negatif:

0



j

c

Koefisien baris nol untuk BV tidak mengalami

(5)

Pada Kasus Dakota

  



60 ₁ 60

1 c c                5 . 1 5 . 0 0 4 2 0 8 2 1 1 B







 0 20 60

BV

c



   





1 ₀ ₁₀ ₀_.₅ ₁₀ ₁_.₅

B c_BV

Koefisien baris nol untuk NBV mengalami

perubahan



x₂,s₂,s₃



NBV             1 0 5 . 1 0 1 2 0 0 6 N 3 2

2 as as

(6)

2 2

1

2 B c

c c_BV  a 

Koefisien baris nol untuk x₂:

  30

5 . 1 2 6 5 . 1 10 5 . 0 10 0 2                

c 51.25

2 2 2 1 s s BV

s B c

c c  a 

Koefisien baris nol untuk s₂:

  0

0 1 0 5 . 1 10 5 . 0 10 0 2                

c 10 0.5

3 3 3 1 s s BV

s B c

c c  a 

Koefisien baris nol untuk s₃:

  0

1 0 0 5 . 1 10 5 . 0 10 0 2                

(7)

BV tetap optimal jika setiap koefisien baris nol

bagi setiap NBV tetap non negatif:

0 25

. 1

5  

0 5

. 0

10  

0 5

. 1

10  

4

  

20

 

3 20

  

20

4









Irisan bagi ketiga rentang daerah ∆ agar BV

tetap optimal:

Jika keuntungan membuat bangku (c1) turun

sampai dengan $56 dan naik sampai dengan $80, bangku (x1) masih tetap diproduksi

80 56 c₁ 

  



60 ₁ 60

1 c

(8)

Jika keuntungan membuat bangku (c1) berubah

menjadi 70 (∆=10), BV yang ada tidak mengalami perubahan

Karena:

Tidak mengalami perubahan

Solusi bagi BV juga tidak berubah



s₁, x₃, x₁



BV 

Akan tetapi koefisien baris nol bagi NBV

dan solusi optimal z mengalami perubahan

b

B

,

1

,

dan

rhs

:

B

1

b

 10 15 5 . 0 10 5 . 0 10

2      

s

c

 10 25 5 . 1 10 5 . 1 10

3      

s

c

 10 17.5 25 . 1 5 25 . 1 5

2      

(9)

Solusi optimal z:

 

0 5 25

5 . 1 10 5 . 0 10 0 1        B c_BV ∆=10 b B

c 1

 _BV z            8 20 48 b





0 100 200 300 8

20 48 25

5

0    

          

Atau dari koefisien fungsi obyektif yang

baru dan solusi optimal:

3 2

1

30

20

70

x

z





 

2 30

 

0 20

 

8 300

70   

(10)

15

2 

s

c cs3 25

5

.

17

2



c

_z _₃₀₀

Tableau Optimal

Tablea

u 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV

Baris 0 1 0 17.5 0 0 15 25 300 z=300

Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 24 s1=24

Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 8 x3=8

Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 2 x1=2

Perubahan keuntungan membuat bangku,

menjadi $70, dianggap tidak cukup tinggi, sehingga produksi bangku (x₁) tidak

bertambah (tetap 2 buah).

Perubahan keuntungan tersebut tetap

(11)

Jika keuntungan membuat bangku (c1) berubah

menjadi 100 (∆=40), BV akan mengalami perubahan

Perubahan akan terjadi pada koefisien baris

nol yang memuat ∆ (koefisien NBV)

 

5 1.25

2 c

 

10 0.5

2 s

c

 

10 1.5

3

s

c

 

40 55 25

. 1

5 



 

40 10 5

. 0

10 



 

40 70 5

. 1

10 



Dan z:





                 10 20 48 5 . 1 10 5 . 0 10 0 1_b B c_BV z





360

(12)

Tablea

Baris 0 1 0 55 0 0 -10 70 360 z=360

Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 24 s1=24

Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 8 x3=8

Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 2 x1=2

Tableau yang sub optimal:

Dari tableau optimal sebelum perubahan,

dengan perubahan koefisien baris nol bagi x₁

Koefisien baris nol bagi s₂ <0, s₂ dapat dipilih

sebagai BV untuk meningkatkan nilai z.

Dengan ratio test akan dipilih BV mana yang

digantikan oleh s_2.

Ratio Test

24/2=12 8/2=4 No ratio

Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 8 x3=8

(13)

Tablea

Baris 0 1 0 45 5 0 0 50 400

z=40 0

Baris 1 0 0 0 -1 1 0 -4 16 s1=16 Baris 2 0 0 -1 0.5 0 1 -2 4 s2=4 Baris 3 0 1 0.75 0.25 0 0 0.5 4 x1=4

Dengan ERO untuk menentukan bentuk kanonik

bagi BV yang baru

x₁ satu-satunya peubah keputusan yang dipilih

sebagai BV di dalam solusi optimal.

Tingginya keuntungan membuat bangku (x₁) :

paling menguntungkan jika bangku saja yang diproduksi (4 buah)