Linear Programming
(Pemrograman Linier)
Program Studi Statistika
Semester Ganjil 2011/2012
Analisis Sensitivitas
Untuk menganalisis bagaimana
perubahan parameter di dalam LP
mempengaruhi solusi optimal:
◦
BV tetap atau mengalami perubahan
Analisis memanfaatkan sifat
Tableau Optimal (kasus Maks):
◦
Setiap peubah BV mempunyai rhs>=0
◦
Setiap peubah BV mempunyai koefisien
Perubahan parameter yang
dianalisis
Perubahan koefisien fungsi
obyektif dari peubah NBV
Perubahan koefisien fungsi
obyektif peubah BV
Perubahan rhs dari kendala
Perubahan kolom dari NBV
Penambahan aktivitas (peubah)
baru
Prinsip utama Analisis
Sensitivitas
Menggunakan notasi matriks
Mengevaluasi bagaimana perubahan
parameter LP merubah rhs dan
koefisien baris nol tableau optimal
(pada BV terakhir)
Jika baris koefisien baris nol dan rhs
Semua perubahan parameter
di-ilustrasikan dengan contoh pada
masalah DAKOTA
0 , , , , , 8 5 . 0 5 . 1 2 20 5 . 1 2 4 48 6 8 . . 0 0 0 20 30 60 max 3 2 1 3 2 1 3 3 2 1 2 3 2 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 s s s x x x s x x x s x x x s x x x t s s s s x x x z
x2,s2,s3
NBV
s1, x3, x1
BV 1 3 1 x x s BV x 3 2 2 s s x NBV x 1 0 5 . 1 0 1 2 0 0 6 N 8 20 48 b
0 20 60
BV
c cNBV
30 0 0
2 5 . 0 0 4 5 . 1 0 8 1 1 B 1 3
1 a a
as
3 2
Perubahan koefisien fungsi
obyektif dari NBV
Pada LP Dakota x2 adalah NBV, akan dipelajari
perubahan koefisien fungsi obyektif bagi peubah ini:
30 2 30
2 c
c
Matriks dan vektor berikut ini tidak
mengalami perubahan:
b
B
B
,
1,
dan
rhs
:
B
1b
Karena c
BVkoefisien fungsi obyektif bagi BV
tidak berubah,
j j
BV
j
B
c
c
c
1a
Hanya koefisien baris nol bagi
x
2yang
Perubahan koefisien fungsi
obyektif dari NBV
BV tetap optimal jika:
0
2 2
1
2
c
B
c
c
BVa
BV akan mengalami perubahan (suboptimal)
jika:
0
2 2
1
2
c
B
c
c
BVa
x
2dapat meningkatkan nilai z (koefisien baris
Perubahan Parameter Fungsi
Obyektif NBV Pada Masalah Dakota
5 . 1 2 6 2 a
30 2 30
2 c
c
2 2
1
2
B
c
c
c
BV a
(30 )5 . 1 2 6 10 10
0
5 . 1 5 . 0 0 4 2 0 8 2 1 1 B
0 10 10
BV
c
0 10 10
1 B cBV
Perubahan Parameter Fungsi
Obyektif NBV Pada Masalah Dakota
5 0
5
BV tetap optimal jika:
Jika koefisien fungsi obyektif bagi x2 berubah, dengan penambahan kurang dari 5 unit, BV tetap optimal.BV
s1, x3,x1
NBV
x2,s2,s3
Jika keuntungan produksi meja (x2 ) berubah dengan penambahan sampai dengan $5, BV tetap optimal: meja tidak diproduksi
Perubahan Parameter Fungsi
Obyektif NBV Pada Masalah Dakota
35
30 2
2 c
c
Jika:
BV tetap optimal: meja tidak diproduksi
5 40
30 2
2 c
c
Jika:
BV tidak lagi optimal: meja menguntungkan untuk diproduksi
2 2
1
2
B
c
c
c
BV a
405 . 1
2 6 10 10
0
Perubahan Parameter Fungsi
Obyektif NBV Pada Masalah Dakota
Tableau
2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris 0 1 0 -5 0 0 10 10 280 z=280 Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 24 s1=24 Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 8 x3=8 Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 2 x1=2
Tableau yang sub optimal:
Dari tableau optimal sebelum perubahan,
dengan perubahan koefisien baris nol bagi x2
Koefisien baris nol bagi x2 <0, x2 dapat meningkatkan nilai z.
Tableau
2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris 0 1 0 -5 0 0 10 10 280 z=280 Baris 1 0 0 -2 0 1 2 -8 24 s1=24 Baris 2 0 0 -2 1 0 2 -4 8 x3=8 Baris 3 0 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 2 x1=2
Karena semua koefisien pada kolom pivot < 0, kecuali pada baris 3, tidak perlu dilakukan ratio test.
x2 pasti menggantikan x1
Dengan ERO diperoleh tableau berikut:
Tableau
3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris 0 1 4 0 0 0 8 16 288 z=288 Baris 1 0 1.6 0 0 1 1.2 -5.6 27.2 s1=27.2
Tableau
3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris 0 1 4 0 0 0 8 16 288 z=288 Baris 1 0 1.6 0 0 1 1.2 -5.6 27.2 s1=27.2
Baris 2 0 1.6 0 1 0 1.2 -1.6 11.2 x3=11.2 Baris 3 0 0.8 1 0 0 -0.4 1.2 1.6 x2=1.6
Dengan keuntungan produksi meja yang meningkat, dari $30 menjadi $40, meja
diproduksi sebanyak 1.6 bersama-sama dengan kursi sebanyak 11.2.
