BAB V
PENGGUNAAN TURUNAN
Setelah pada bab sebelumnya kita membahas pengertian, sifat-sifat, dan rumus-rumus dasar turunan, pada bab ini kita akan membahas tentang aplikasi turunan, diantaranya untuk menghitung nilai limit bentuk tak tentu, laju sesaat, aproksimasi, dan maksimum minimum.
TIK : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan mampu menerapkan turunan fungsi pada masalah yang diberikan.
5.1. Laju Perubahan Contoh :
1. Tentukan laju perubahan P terhadap T, jika P = kT Penyelesaian :
P(T) = kT
Laju perubahan P terhadap T adalah dT dP = k.
2. Jika s = 16t2 menyatakan posisi benda terhadap waktu pada gerak jatuh bebas, maka tentukan laju jatuhnya benda tersebut pada saat t = 6.
Penyelesaian : s = 16t2 Laju jatuhnya benda adalah
dt
ds = 32 t. Untuk t = 6, maka dt
ds= 32.6 = 192.
Soal Latihan
1. Tentukan laju pertumbuhan bakteri yang persamaan pertumbuhannya diberikan oleh N = No e-kt, k > 0.
2. Diketahui sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat sehingga jarak berarah dari titik asal ke titik setelah t detik adalah (-t2+4t) meter. Tentukan kapan partikel berhenti.
3. Suatu kultur bakteri berkembang sehingga mempunyai massa sebesar ½ t2 + 1 gram setelah t detik.
a. berapa banyak kultur yang tumbuh selama selang 3 t 3,01 b. berapa laju pertumbuhan rata-rata selama selang 3 t 3,01 c. berapa laju pertumbuhan sesaatnya pada t = 3.
5.2. Hampiran (Aproksimasi)
Jika y = f(x), maka dy = f’(x) dx. Dari bentuk ini, nilai y dapat dihampiri oleh :
y f’(x) x. Selanjutnya, y f(xx) f(x), maka nilai f(xx) dapat dihampiri oleh: f(xx) f(x)y f(x) f'(x)x.
Contoh :
1. Tentukan hampiran dari 4,6. Penyelesaian :
Misalkan f(x) x. Diambil x4 dan x 0,6 (mengapa?) f(xx) f(x) f'(x)x
x x x ) x x (
f
2
1
15 0 2 6 0 4 2 4 1 6
4, . , , Jadi 4,6 2,15.
2. Tentukan hampiran pertambahan luas gelembung sabun pada saat jari-jarinya bertambah dari 3 cm menjadi 3,025 cm.
Penyelesaian :
Luas gelembung bola sabun : A = 4r2. dA = 8r dr.
A 8rr = 8..3. 0,025 = 1,885 cm2 Jadi hampiran pertambahan luas gelembung sabun adalah 1,885 cm2. Soal Latihan
1. Rusuk kubus diukur sebagai 11,4 cm dengan galat yang mungkin 0,05 cm. Hitung volume kubus dan berikan taksiran untuk galat dalam nilai ini.
2. Garis tengah luar sebuah tempurung bola tipis adalah 12 dm. Jiksa tebal tempurung 0,3 dm, carilah volume daerah sebelah dalam tempurung .
3. Garis tengah sebuah bola diukur sebagai 20 0,1 cm. Hitung volumenya dengan suatu taksiran untuk galat
4. Penggiling berbentuk tabung panjangnya tepat 12 cm dan panjang garis tengahnya adalah 6 0,005 cm. Hitung volumenya dengan taksiran untuk galat.
5.3. Kemiringan Kurva
(xo+h,f(xo+h)) L1 L2
(xo,f(xo))
Pada gambar di atas, L1 merupakan garis singgung kurva y = f(x) di titik (xo,f(xo)) dan L2
adalah garis yang melalui (xo,f(xo)) dan (xo+h,f(xo+h)). Gradien (kemiringan) garis L2 adalah :
h
) x ( f ) h x (
mL f o o
2 .
Selanjutnya jika h 0, maka L2 L1, sehingga
1
2 L
L m
m . Oleh karena itu
h
) x ( f ) h x ( lim f m lim
m o o
L h L h
0 0
1 2 = f’(xo).
Contoh :
1. Tentukan kemiringan garis yang menyinggung kurva y = 1 + x2 di x = 5.
Penyelesaian :
Kemiringan garis singgung kurva y = 1 + x2 adalah y’= 2x pada saat x =5., sehingga kemiringannya adalah 10.
2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 – 5x + 6 di titik (2,0) Penyelesaian :
Kemiringan kurva y = x2 – 5x + 6 adalah y’ = 2x - 5, sehingga di x = 2 kemiringannya adalah -1. Oleh karena itu kemiringan garis singgung adalah m = -1, sehingga persamaan garis singgungnya adalah :
y = m(x – xo) + yo = -1(x – 2) + 0 atau y = -x + 2.
Soal Latihan
1. Carilah garis singgung lingkaran x2 + 4x + y2 + 3 = 0 di titik (-1,0) 2. Carilah garis pada kurva 8(x2 + y2)2 = 100(x2 - y2) di titik (3,1)
3. Perlihatkan bahwa grafik dari 2x2 + y2 = 6 dan y2 = 4x berpotongan tegak lurus 4. Perlihatkan bahwa grafik dari xy = 1 dan x2 - y2 = 1 berpotongan tegak lurus
5. Tentukan titik-titik pada kurva x2y - xy2 = 2 yang garis singgungnya tegak lurus sumbu x
5.4. Naik Turunnya Kurva
Perhatikan gambar di bawah ini.
L1 (xo+h,f(xo+h)) L2
(xo,f(xo))
Dari penjelasan sebelumnya telah disebutkan bahwa h
) x ( f ) h x ( lim f m lim
m o o
L h L h
0 0
1 2 = f’(xo).
Karena garis singgung kurva L1 condong ke kanan, maka
L1
m = f’(xo) > 0. Selanjutnya di x = xo kurva f naik, maka dapat disimpulkan bahwa :
1. Kurva f naik di x = xo, jika f’(xo) > 0 2. Kurva f turun di x = xo, jika f’(xo) < 0
3. Kurva f tidak naik dan tidak turun di x = xo, jika f’(xo)=0.
Titik (xo,f(xo)) dengan f’(xo) = 0 disebut titik kritis.
i. Titik kritis disebut titik maksimum, jika f’(x)<0 untuk x>xo dan f’(x) > 0 untuk x< xo
ii. Titik kritis disebut titik minimum, jika f’(x)>0 untuk x > xo dan f’(x) < 0 untuk x< xo
iii. Titik kritis disebut titik belok, jika f’(x)<0 untuk x xo atau f’(x) > 0 untuk x xo.
Contoh :
1. Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan titik belok dari kurva y = 3 5 5 1 3
1x x , kemudian sketsalah grafiknya.
Penyelesaian :
y’ = x2 – x4 = x2(1 – x)(1+x). Titik kritis terjadi pada saat y’ = 0, yaitu pada x = 0, -1, dan 1.
x < -1 -1 < x < 0 0 < x < 1 x > 1
y’ Negatif positif positif Negatif
Minimum di x = -1, maksimum di x = 1, dan belok di x = 0 Sketsa grafik :
Titik potong dengan sumbu x, jika y = 0 = 3 5 5 1 3
1x x , maka x = 0 atau x = 3 5
Titik potong dengan sumbu y, yaitu jika x = 0, diperoleh y = 0.
Nilai maksimum y = 15
2 dan nilai minimum y = - 15
2 .
Titik belok adalah (0,0). Sketsa grafiknya ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.
2. Tentukan nilai maksimum fungsi y = x3 - 3x – 5 pada interval [-2,2]
Penyelesaian :
y’ = 3x2 – 3 = 0, maka x = 1 atau x = -1.
+ - --- + -1 1
Nilai maksimum kurva di x = -1, yaitu y = -3 Nilai minimum kurva di x = 1, yaitu y = -7.
f(2) = -3 dan f(-2) = -7 .
Jadi nilai minimum kurva adalah –7, sedangkan nlai maksimumnya adalah –3.
Soal Latihan
1. Tentukan laju perubahan luas A dari suatu lingkaran terhadap jari-jari dan sketsa kurva A terhadap jari-jari = 1, 2, 3, 4 dan kemudian plot kemiringan kurva pada masing-masing jari-jari.
2. Tentukan laju perubahan volume suatu partikel emulsi berbentuk bola terhadap jari- jarinya.
3. Kotak segi empat dibuat dari selembar papan, panjang 24 cm dan lebar 9 cm, dengan memotong bujur sangkar identik pada keempat pojok dan melipat ke atas sisi-sisinya.
Cari ukuran kotak yang volumenya maksimum.
4. Sebuah segi empat mempunyai dua titik sudut pada sumbu x dan dua titik sudut lainnya pada parabola y = 12 – x2 dengan y 0. Tentukan ukuran segi empat dengan luas maksimum.
5. Carilah ukuran tabung lingkaran tegak yang volumenya semaksimum mungkin yang dapat diletakkan di dalam sebuah kerucut lingkaran tegak.
6. Sketsa grafif dari fungsi di bawah ini : a. f(x) = x3 – 12x + 1
b. g(x) = 4x3 – 3x2 – 6x + 12 c. h(x) = x6 – 3x4
5.5. Aturan L’Hospital
Pada bab III kita telah membahas tentang teknik menghitung limit fungsi. Teknik yang telah diberikan sebelumnya ternyata tidak cukup untuk menghitung limit fungsi yang ada, khususnya limit bentuk tak tentu, seperti
x e x cos limx
x
x
0 . Bentuk tak tentu ini berupa bentuk
0
0, sedangkan bentuk tak tentu lainnya adalah 0., - , 00, 0, dan
. Oleh karena itu diperlukan teknik yang lainnya, diantaranya adalah aturan L’Hospital. Aturan L’Hospital adalah sebagai berikut:
Jika f(a)0 dan g(a)0 atau f(a) dan g(a), maka
) x ( ' g
) x ( ' lim f ) x ( g
) x ( lim f
a x a
x .
Contoh :
6 2
1 3 1
1 2
3
1
x lim x x
lim x
a x x
Soal Latihan
Dengan menggunakan dalil L’Hospital, hitunglah (jika ada) : 1.
2 3
1
1 2
x
lim x
x
8.
h x h lim x
h
0
2. 1
2 1
1
x limx
x 9.
h lim h
h
3 3
0
3.
x x
lim x
x
3 5
4
4 10. )
) x x ( ( lim
x
1
1 1 2
1 2
4.
3 2
1 1
1 1 1
x lim x
x
11. lim( x x x )
x 4 25 62 1
5.
x x lim x
x0 3 12. lim( x x x)
x
2 2 1
6. 2
0 )
x ( x lim
x 13.
x x
x lim x
x
2 2
6
7. 5 6
9
2 2
3
x x
lim x
x
