KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR
Oleh:
LIA NURLIANA
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2005
‘’ Karya ilmiah ini ku persembahkan untuk : Mamah, Aa, Kakak-kakak ku tersayang dan
semua orang yang kusayangi ‘’
RINGKASAN
LIA NURLIANA. Kekonsistenan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear.
Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI.
Banyak fenomena nyata dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Sehingga proses stokastik mempunyai peranan cukup penting dalam memodelkan fenomena di berbagai bidang kehidupan kita sehari-hari. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah proses Poisson periodik dengan suatu tren. Sebagai contoh, banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Namun, kalau misalkan banyaknya kendaraan yang melewati ruas jalan tersebut mempunyai kecenderungan meningkat secara linear terhadap waktu, maka model yang lebih cocok adalah proses Poisson periodik dengan tren linear. Dengan demikian model fungsi intensitas untuk kasus ini terdiri atas komponen periodik dan komponen tren linear.
Pada tulisan ini dibahas pendugaan fungsi intensitas dari proses Poisson periodik dengan tren linear yang diamati pada interval
[
0, n) .
Diasumsikan bahwa periode dari komponen periodik diketahui, tetapi kemiringan dari tren linear dan komponen periodik dari fungsi intensitasnya tidak diketahui. Pada kajian ini dipelajari perumusan penduga dari kemiringan tren linear dan penduga dari komponen periodik fungsi intensitas yang bersangkutan. Disamping itu juga dikaji:kekonsistenan lemah dan kuat serta sebaran normal asimtotik dari penduga kemiringan tren linear, dan kekonvergenan dalam peluang dan kekonvergenan dalam rataan ke-2 dari penduga komponan periodik dari fungsi intensitas proses Poisson yang dikaji.
KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Oleh:
LIA NURLIANA
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2005
Judul : Kekonsistenan Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear.
Nama : Lia Nurliana NRP : G54102005
Menyetujui,
Pembimbing I Pembimbing II
Dr. Ir. I. Wayan Mangku, Msc Ir. Retno Budiarti, MS
NIP. 131 633 020 NIP. 131 842 409
Mengetahui,
Dekan FMIPA
Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS NIP. 131 473 999
Tanggal Lulus :
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Cianjur 7 September 1983 sebagai anak ketujuh dari tujuh bersaudara, anak dari pasangan Maman Abdurahman dan Niah Mariah.
Tahun 2002 penulis lulus dari SMUN I Cianjur dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI. Tahun 2003-2004 menjabat sebagai Ketua Keputrian Gugus Mahasiswa Matematika Departemen Matematika Institut Pertanian Bogor. Penulis juga pernah menjadi Asisten Dosen untuk matakuliah Kalkulus 1, Kalkulus 2, dan Persamaan Diferensial Biasa.
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena hanya dengan izin dan rahmat – Nya lah penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul “Kekonsistenan Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear ”.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1. Bapak Dr. Ir. I. Wayan Mangku, Msc. sebagai pembimbing I atas kesabaran, koreksi, dan
bimbingannya selama ini.
2. Ibu Ir. Retno Budiarti, MS. sebagai pembimbing II atas kesabaran, koreksi, dan bimbingannya.
3. Bapak Drs. Siswandi, MS. sebagai moderator seminar dan dosen penguji.
4. Mamah dan Aa untuk doa dan dukungannya, serta kesabaran dan kasih sayangnya selama ini.
5. Kakak-kakak ku tersayang (Teh Ai, Teh Elis, Teh Ois, Kang Yayan, Teh Nunung, dan Teh Yuyun), terima kasih atas dukungan, doa dan kasih sayangnya selama ini.
“Alhamdulillah adik kalian yang bungsu ini bisa lulus juga”.
6. Keponakan-keponakan dan cucu ku yang lucu-lucu, terima kasih atas doanya selama ini pada Bi Iya.
7. Kak Imron Amirullah untuk kasih sayang, kesabaran, dan doanya selama ini.
“Alhamdulillsh Ade bisa menyelesaikan skripsi ini dengan lancar dan cepat, terima kasih juga telah menemani saat sidang”.
8. Kakak-kakak ipar, Bibi, Ua, Amang, dan saudara-saudara ku terima kasih atas doa dan dukungannya.
9. Andri, Aden, dan Erra yang telah bersedia menjadi pembahas dalam seminar.
10. Teman sebimbingan Nur dan Lutfi untuk persahabatan, doa, dan bantuannya.”Lutfi, tetap semangat. Kamu pasti bisa”.
11. Azhari, Erra, Lutfi, Moza, Nur (terima kasih sudah menemani saat sidang dan membantu jadi seksi konsumsi), Neli dan Elis untuk persahabatan, doa, serta bantuannya.
12. Sahabat-sahabat ku: Miranti, Innike atas doa, kasih sayang, dukungan, dan dorongannya selama ini.
13. Warga Balsem: Nyimas, Mbak Tanti, Mbak Ari, Dewi Titi, Ainy, Ela, Wicha, Zakiah, Yolanda, Sarry, Ani, Teh Lili, Teh Atin, Harni, Tati, Renti, Achi, Enny, Desy, Mbak Umi, Mbak Iib, Mbak Tutut atas doa dan dukungannya selama ini.
14. Warga Griya Amani di Baranangsiang.
15. Riswan dan teman-teman di kosan Kc Math terima kasih atas pinjaman komputernya.”Yana, tetap semangat dalam mengerjakan skripsi”.
16. Teman–teman math 39, ”Kalian telah membuat suatu kenangan yang indah bagi Iya”.
17. Seluruh pegawai Departemen Matematika ( Bu Ade, Mas Bono, Mas Yono, Bu Susi, Mas Deni ... ) dan FMIPA .
18. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi semua pihak yang mempunyai ketertarikan yang sama pada materi ini. Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih jauh dari kesempurnaan oleh karena itu kritik dan saran sangat penulis harapkan.
Bogor, Oktober 2005 LIA NURLIANA
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR LAMPIRAN ...vi
PENDAHULUAN Latar Belakang ... 1
Tujuan . ...1
LANDASAN TEORI Kejadian dan Peluang . ...1
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran . ...2
Kekonvergenan ...2
Momen dan Nilai Harapan ...3
Penduga Tak-bias dan Penduga Konsisten...4
Beberapa Definisi dan Lema Teknis ...4
Proses Stokastik dan Proses Poisson ...6
HASIL DAN PEMBAHASAN Perumusan Penduga ...7
Kekonvergenan dari Penduga Kemiringan Tren Linear...8
Kekonsistenan dari Penduga Komponen Periodik ...11
SIMPULAN ...15
DAFTAR PUSTAKA ...16
LAMPIRAN...17
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Bukti Lema 2 ………... . . .. .. . . 17
Bukti Lema 3 ……….... . . .. . . . .17
Bukti Lema 4 Ketaksamaan Markov………18
Bukti Lema 5 Ketaksamaan Chebyshev………...…18
Bukti Lema 6 Ketaksamaan Cauchy-Schwarz……….19
Bukti Lema 11 ……….20
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tulisan ini mengkaji kekonsistenan penduga kernel dari fungsi intensitas pada proses Poisson periodik dengan tren linear. Ini merupakan rekonstruksi dari paper: Helmers dan Mangku (2005). Banyak fenomena nyata dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik.
Proses stokastik mempunyai peranan cukup penting dalam berbagai bidang pada kehidupan kita sehari-hari. Sebagai contoh dalam bidang transportasi: banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya pada suatu selang waktu tertentu hanya bisa diamati sekali. Beberapa kendala tersebut memaksa kita untuk mengkaji pemodelan stokastik tentang fungsi intensitas dari sebuah proses Poisson dengan hanya menggunakan sebuah realisasi dari proses tersebut.
Fungsi intensitas λ diasumsikan terintegralkan lokal, yaitu nilai integral dari fungsi tersebut pada sebarang interval dengan panjang terhingga adalah bernilai terhingga.
Ini berakibat bahwa nilai harapan dari banyaknya data pengamatan pada sebarang interval dengan panjang terhingga adalah bernilai terhingga. Untuk menyusun suatu penduga yang konsisten, diperlukan data yang banyaknya menuju tak hingga. Agar data pengamatan di berbagai bagian selang waktu yang berbeda bisa digunakan untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik s, maka diperlukan asumsi bahwa fungsi intensitas tersebut adalah periodik (siklik). Pada kajian
ini , kita anggap periode dari fungsi intensitas λ diketahui, yaitu τ .
Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah proses Poisson periodik dengan suatu tren linear. Sebagai contoh, banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Namun, kalau misalnya banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan tersebut mempunyai kecenderungan meningkat secara linear terhadap waktu, maka model yang lebih cocok adalah proses Poisson periodik dengan tren linear. Dengan demikian model fungsi intensitas untuk kasus ini dapat diformulasikan sebagai berikut
( )
s =λc( )
s +as λdengan λc
( )
s adalah suatu fungsi periodik, dana
dalah komponen tren linear dengan menyatakan kemiringan dari tren tersebut.Sehingga permasalahan di atas dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan tren linear.
as a
Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk:
(i) Mempelajari penyusunan penduga kernel pada proses Poisson periodik dengan tren linear.
(ii)
Mempelajari pembuktian kekonsistenan dan beberapa jeniskekonvergenan dari penduga dan penduga kernel bagi
( )
s a λc .LANDASAN TEORI
Kejadian dan Peluang
Definisi 1 (Ruang Contoh dan Kejadian) Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak bisa diprediksi secara tepat tapi kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak. Himpunan semua hasil yang mungkin dari percobaan acak disebut ruang contoh dan dinotasikan dengan . Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang contoh.
Ω
[Ross, 1996]
Definisi 2 (σ−field)
Suatu himpunan
F
yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari Ω disebut denganσ field jika memenuhi kondisi − (i) ∈φ F.
(ii) JikaA1,A2,...∈F maka
U
i∞=1Ai∈ F;(iii) Jika A∈F maka Ac∈F.
[Grimmett dan Stirzaker,1992]
σ - field terkecil yang mengandung semua selang berbentuk
