Limit Dan Kekontinuan

(1)

MAKALAH MAKALAH

Kelompok 4 Kalkulus 1 yang berjudul : Kelompok 4 Kalkulus 1 yang berjudul :

“LIMIT DAN KEKONTINUAN” “LIMIT DAN KEKONTINUAN”

Disusun oleh : Disusun oleh : 

 Tri Prastyo UtomoTri Prastyo Utomo 

 Rivan SuwandiRivan Suwandi 

 Rian RachmatsyahRian Rachmatsyah 

 Randi KurniaRandi Kurnia 

 Sigit WidigdoSigit Widigdo 

 Ogih Ardi GinantoOgih Ardi Ginanto   MiswantoMiswanto   SutoyoSutoyo   RulliRulli

(2)

KATA PENGANTAR KATA PENGANTAR Bismillahirrahmaanirrahim Bismillahirrahmaanirrahim Assalamu’alaikum Wr Wb Assalamu’alaikum Wr Wb

Puji dan syuk

Puji dan syukur penyusur penyusun panjatkun panjatkan ke Khadirat Alloh SWTan ke Khadirat Alloh SWT, , karenkarena atasa atas cur

curahaahan n RahRahmat mat dan dan KaruKaruniania-Ny-Nya a penpenyusyusun un dapdapat at menmenyelyelesaiesaikan kan makmakalah alah iniini dengan baik.

dengan baik. Sho

Sholawlawat at besbeserta erta salasalam m semsemoga oga selaselamanmanya ya terctercuraurah h limlimpahpahkan kan kepkepadaada baginda alam yakni Kanjeng Nabi Muh

baginda alam yakni Kanjeng Nabi Muhammad SAW.ammad SAW. Makalah yang berjudul

Makalah yang berjudul “Limit dan Kekontinuan”“Limit dan Kekontinuan” ini penyusun buat untuk ini penyusun buat untuk memenuhi salah satu tugas mata pelajaran Kalkulus 1.

memenuhi salah satu tugas mata pelajaran Kalkulus 1. Terim

Terimakasih penyusun ucapkan kepada semua akasih penyusun ucapkan kepada semua pihak yang pihak yang telah berperantelah berperan dal

dalam am pempembuabuatan tan makmakalaalah h iniini, , khukhusussusnya nya gurguru u matmata a pelpelajarajaran an KalKalkulkulus us 1 1 dandan teman-teman seperjuangan, sehingga makalah ini dapat terselesaikan.

teman-teman seperjuangan, sehingga makalah ini dapat terselesaikan. Orang bijak

Orang bijak mengamengatakantakan “tiada gading yang tak retak”,“tiada gading yang tak retak”, sehingga makalahsehingga makalah ini pun masih jauh dari kesempurnaan, karena mengingat terbatasnya waktu dan ini pun masih jauh dari kesempurnaan, karena mengingat terbatasnya waktu dan pengetahuan

pengetahuan yang yang penyusun penyusun miliki. miliki. Untuk Untuk itu itu kritik kritik dan dan saran saran yang yang bersifatbersifat membangun sangat penyusun harapkan guna perbaikan pembuatan makalah dimasa membangun sangat penyusun harapkan guna perbaikan pembuatan makalah dimasa yang akan datang.

yang akan datang.

Akhirnya, penyusun berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi Akhirnya, penyusun berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca sekalian. pembaca sekalian. Wassalamu’alaikum Wr Wb Wassalamu’alaikum Wr Wb Jakarta, 2012 Jakarta, 2012 Penyusun.... Penyusun....

(3)

DAFTAR ISI DAFTAR ISI 1.1

1.1 Latar Latar BelakBelakang----ang---4---4

1.2 Rumusan masalah---4

1.3 1.3 TujuaTujuan---n---4---4

2.1 Limit dan Kekontinuan---5

3.1 Kesimpulan ---13

(4)

BAB I PENDAHULUAN BAB I PENDAHULUAN 1.1

1.1 LataLatar Ber Belakanlakangg

Kalkulus (bahasa latin : calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) Kalkulus (bahasa latin : calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah il

ilmu mu memengngenenai ai bebentntuk uk dadan n aljaljababar ar adadalalah ah ililmu mu memengngenenai ai pepengngerjerjaaaan n ununtutuk k memec

memecahkan persamaan serta ahkan persamaan serta aplikaplikasinyaasinya. . KalkuKalkulus lus memilmemiliki iki aplikaplikasi asi yang luasyang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masala

masalah h yang tidak yang tidak dapat dipecahkdapat dipecahkan an dengadengan n aljabaaljabar elementer elementer. r. KalkuKalkulus lus memilmemilikiiki du

dua a cacababang ng ututamama, a, kakalklkululus us didifefererensnsiaial l dadan n kakalklkululus us inintetegrgral al yayang ng sasalilingng berhubungan

berhubungan melalui melalui teorema teorema dasar dasar kalkulus. kalkulus. Pelajaran Pelajaran kalkulus kalkulus adalah adalah pintupintu ger

gerbanbang g menmenuju uju pelpelajaajaran ran matmatemaematiktika a lailainnynnya a yanyang g leblebih ih tintinggiggi, , yanyang g khukhusussus me

mempmpelaelajajari ri lilimimit t dadan n kekekokontntininuauan, n, yayang ng sesecarcara a umumum um didinanamamakakan n ananalalisiisiss matematika.

matematika. 1.2

1.2 RumuRumusan msan masalaasalahh 1.

1. Apa penApa pengertiagertian dari limn dari limit dan kekit dan kekontinontinuan ?uan ? 2.

2. BagaiBagaimana menyemana menyelesaikalesaikan sebuah persamn sebuah persamaan pada limit dan kekonaan pada limit dan kekontinuatinuan ?n ? 3.

3. Apa Apa saja ssaja sifat-sifaifat-sifat dat dari limri limit ?it ? 1.3

1.3 TujTujuanuan 1.

1. MenjelMenjelaskan dan memaskan dan memahami tentahami tentang limit dan kekang limit dan kekontinontinuan,uan, 2.

2. MengeMengetahui tahui sifat-sisifat-sifat lifat limit tmit tersebuersebut,t, 3.

3. MeMengngetetahahui ui cacara ra memenynyelelesaesaikikan an sesebubuah ah pepermrmasaasalalahahan n yayang ng beberkrkenenaanaan dengan limit dan kekontinuan, dan

dengan limit dan kekontinuan, dan 4.

(5)

BAB II PEMBAHASAN BAB II PEMBAHASAN 2.1

2.1 LimLimit dait dan Ken Kekonkontintinuanuan Pe

Pengngerertitian an dadan n nonotatasi si dadari ri lilimimit t susuatatu u fufungngsi, si, f(xf(x) ) di di suasuatu tu ninilalai i x x = = aa diberikan secara intuitif berikut.

diberikan secara intuitif berikut.

Bila nilai f(x) mendekati L untuk nilai x mendekati a dari arah kanan maka Bila nilai f(x) mendekati L untuk nilai x mendekati a dari arah kanan maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari kanan sama dengan L dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari kanan sama dengan L dan di notasikan : dan di notasikan :

L

x

f

a a x x = = + + → →

))

((

lim

_(i)_(i)

Bila nilai f(x) mendekati l untuk nilai x mendekati a dari arah kiri maka Bila nilai f(x) mendekati l untuk nilai x mendekati a dari arah kiri maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk mendekati a dari arah kiri sama dengan 1 dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk mendekati a dari arah kiri sama dengan 1 dan di notasikan : dan di notasikan :

l l

x

f

a a x x = = − − → →

))

((

lim

_(ii)_(ii)

Bila L = 1 maka di katakana bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a Bila L = 1 maka di katakana bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a sama dengan L dan di notasikan :

sama dengan L dan di notasikan : L L x x f f a a x x = = → → )) (( lim

lim _(iii)_(iii)

Se

Sedadangngkakan bin bila L la L 1 ma1 maka dika dikakataktakan baan bahwhwa lima limit fuit fungngsi f(si f(x) ux) untntuk uk mendekati a tidak ada.

mendekati a tidak ada.

Bentuk (i) dan (ii) disebut juga

Bentuk (i) dan (ii) disebut juga Limit Limit Sepihak Sepihak , sedangkan bentuk yang ke, sedangkan bentuk yang ke (iii) menyatakan bahwa nilai limit fungsi pada suatu titik dikatakan ada bila nilai (iii) menyatakan bahwa nilai limit fungsi pada suatu titik dikatakan ada bila nilai limit sepihaknya sama atau nilai limit kanan (i) sama dengan nilai nilai limit kiri (ii). limit sepihaknya sama atau nilai limit kanan (i) sama dengan nilai nilai limit kiri (ii).

(6)

Limit Kiri dan Limit Kanan Limit Kiri dan Limit Kanan

Jika x menuju c dari arah kiri (dari arah bilangan yang lebih kecil dari c, limit Jika x menuju c dari arah kiri (dari arah bilangan yang lebih kecil dari c, limit disebut limit kiri, notasi :

disebut limit kiri, notasi :

x → c x → c

Jika x menuju c dari arah kanan (dari arah bilangan yang lebih besar dari c, Jika x menuju c dari arah kanan (dari arah bilangan yang lebih besar dari c, limit disebut limit kanan, notasi :

limit disebut limit kanan, notasi :

c ← x c ← x Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan) : Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan) :

jika

jika makamaka

Contoh, diketahui : Contoh, diketahui :

aa.. HHiittuunngg b.

b. HitungHitung jika adajika ada cc.. HHiittuunngg

d.

d. GaGambmbararkakan n grgrafafik ik f(xf(x)) Jawab:

Jawab: a.

a. KarKarena atuena aturan funran fungsi begsi berubrubah di x=0, maah di x=0, maka perlka perlu dicau dicari limiri limit t kirkiri dan limii dan limitt kanan di x=0, maka : kanan di x=0, maka :

))

((

lim

f

xx

cc x x→→ −−

))

((

lim

f

xx

cc x x→→ ++ L L x x f f L L x x f f L L x x f f cc x x cc x x cc x x

=

⇔

=

+ + − − _→_→ → → →

→ (( )) limlim (( )) dandan limlim (( )) lim lim )) (( lim lim f f x x cc x x→→ −− )) (( lim lim f f x x cc x x→→ ++

≠

_lim_lim_f_f₍₍_x_x₎₎ cc x x→→











≥

+

<

≤

=

1 1 ,, 2 2 1 1 0 0 ,, 0 0 ,, )) (( 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x f f )) (( lim lim 0 0 f f x x x x→→ )) (( lim lim 1 1 f f x x x x→→ )) (( lim lim 2 2 f f x x x x→→

))

((

lim

0 0

x

f

x x −− → →

0

0 lim

lim

22 0 0 = = = = − − → →

x

x x

))

((

lim

0 0

f

x

x x ++ → →

0

0 lim

lim

0 0 = = = = + + → →

x

x x

0

0 ))

((

lim

0 0 = = → →

x

f

x x

(7)

b.

b. Karena Karena aturan aturan fungsi fungsi berubah berubah di di x=1, x=1, maka maka perlu perlu dicari dicari limit limit kiri kiri dan dan limitlimit kanan di x=1, maka :

kanan di x=1, maka :

Hasilnya tak ada Hasilnya tak ada c.

c. KaKarerena na atatururan fan funungsgsii tidak berubahtidak berubah di x=2, makadi x=2, maka tidak perlutidak perlu dicari limitdicari limit kiri dan limit kanan di x=2, maka :

kiri dan limit kanan di x=2, maka :

d. d.

di x=1 limit tidak ada di x=1 limit tidak ada

))

((

lim

1 1

f

x

x x→→

))

((

lim

11

f

x

x x→→ −−

11 lim

lim

11 = = = = − − → →

x

x x

))

((

lim

11

f

x

x x→→ ++

lim

22

33

22 11 = = + + = = + + → →

x

x x + + − − → → → → ≠ ≠ 11 11

((

))

lim

x x x x

f

x

lim

x x→→11

f

((

x

))

6 6 2 2 lim lim 22 2 2

=

+

=

→ → x x x x )) (( lim lim 2 2 f f x x x x→→ Untuk x0 Untuk x0

2

))

((

x

f

=

Grafik: parabola Grafik: parabola Untuk 0<x<1 Untuk 0<x<1

f(x)=x

Grafik:garis lurus Grafik:garis lurus Untuk Untuk 2 2

2

2 ))

((

x

f

=

+

Grafik: parabola Grafik: parabola

(8)

Sifat-sifat Limit Sifat-sifat Limit Misal

Misal _xlim_xlim_→_→_a_a f f (( x x)) == L Ldandan _xlimlim_x→→_a_a g g (( x x)) == GG, maka :, maka :

1. 1. _x_xlimlim_→_→_a_a[[ f f (( x x))++ g g (( x x)])]== L L++GG 2. 2. _x_xlimlim_→_→_a_a[[ f f (( x x))−− g g (( x x)])]== L L−−GG 3. 3. _xlimlim_x_→_→_a_a[[ f f (( x x).). g g (( x x)) == L L..GG 4. 4. ,, 00 )) (( )) (( lim lim == ≠≠ → → GG bilabila GG L L x x g g x x f f a a x x 5.

5. f f x x nn f f x x nn L L untuk untuk L L bilabila nn genapgenap a a x x n n a a x x (( )) limlim (( )) 00 lim lim == == >> → → → →

Sebagai catatan bahwa sifat sifat di atas juga berlaku untuk limit sepihak, Sebagai catatan bahwa sifat sifat di atas juga berlaku untuk limit sepihak, contoh :

contoh :

Selesaikan limit fungsi f(x) = Selesaikan limit fungsi f(x) =







<<

≥≥

++

11 ,,

22

11 ,,11

22 x x x x x x x x bila ada bila ada 1. 1.

lim

((

))

1 1

x

f

x x ++ → → 2. 2.

lim

((

))

1 1

f

x

x x −− → → Jawab : Jawab : 1.

1.

lim

((

))

lim

((

22

1

1 ))

2

1 1 1 1 = = + + = = + + + + → → → →

x

f

x x x x 2.

2.

lim

((

))

lim

2

1 1 1 1 = = = = − − − − → → → →

x

f

x x x x Contoh : Contoh : Selesaikan Selesaikan 4 4 2 2 3 3 lim lim ₂₂ 2 2 + + + + x x x x x x

(9)

Jawab : Jawab : 4 4 2 2 3 3 lim lim ₂₂ 2 2 2 2 ₋₋ + + + + − − → → x x x x x x x x == (( 22)()( 22)) )) 1 1 )( )( 2 2 (( lim lim 2 2 ++ −− + + + + − − → → x x x x x x x x x x == ₂₂ 1 1 lim lim 2 2 −− + + − − → → x x x x x x == 44 1 1 4 4 1 1 = = − − − − Fungsi f(x) dikatakan

Fungsi f(x) dikatakan kontinukontinu pada suatu titik x = a bila nilai limit f(x) padapada suatu titik x = a bila nilai limit f(x) pada x mendekati a sama dengan nilai fungsi di x = a atau f(a). secara lebih jelas, f(x) x mendekati a sama dengan nilai fungsi di x = a atau f(a). secara lebih jelas, f(x) dikatakan kontinu di x = a bila berlaku :

dikatakan kontinu di x = a bila berlaku : 1.

1. F(F(a) ta) tererdedefifininisi asi atatau f(u f(a)a)∈∈_R_R 2.

2. _x_xlimlim_→_→₋₋_a_a f f ((xx))ada, jikaada, jika

lim

f

((

x

))

a a x x ++ − − → → ==

))

((

lim

f

x

a a x x −− − − → → 3. 3. _x_xlimlim_→_→₋₋_a_a f f (( x x)) == f f ((aa))

Bila minimal salah satu dari persyaratan di atas tidak dipenuhi maka f(x) Bila minimal salah satu dari persyaratan di atas tidak dipenuhi maka f(x) dik

dikataatakan tikan tidak kodak kontintinu atanu atau u disdiskonkontintinu u di x = a dan titdi x = a dan titik x = a disebuik x = a disebutt titik titik diskontinu

diskontinu.. Sec

Secara geomara geometrietris, grafik funs, grafik fungsi kongsi kontintinu u tidtidak ada ak ada lonloncatcatan atau tidak an atau tidak terputus.

terputus.

Fungsi f(x) dikatakan

Fungsi f(x) dikatakan continue pada interval terbuka (a,b)continue pada interval terbuka (a,b) bila f(x) kontinu bila f(x) kontinu pada

pada setiap setiap titik titik di di dalam dalam interval interval tersebut. tersebut. Sedangkan Sedangkan f(x) f(x) dikatakandikatakan KontinueKontinue pada interval tutup [a,b]

pada interval tutup [a,b] bila : bila : 1.

1. f(f(x) x) kokontntininu pu padada (a (a,a,b)b)

2.

2. f(f(x) kx) konontitinu knu kananan an di x di x = a= a

lim

f

((

x

))

f

((

a

))

a a x x = = + + − − → → 3.

3. f(f(x) x) kokontntininu ku kiriri di di x i x = b= b

lim

f

((

x

))

f

((

b

))

a a x x = = − − − − → → ∈ ∈

(10)

Tentukan nilai k agar fungsi f(x) = Tentukan nilai k agar fungsi f(x) =











−−

≥≥

++

−−

<<

++

11 ,,

22

11 ,,

11

22

22 22

x

kx

x

kontinu di x = -1 kontinu di x = -1 Jawab : Jawab : Nilai fungsi di x = -1, f(-1) = Nilai fungsi di x = -1, f(-1) =

Sebab nilai limit kanan sama dengan 3 maka limit kiri juga sama dengan 3. Sebab nilai limit kanan sama dengan 3 maka limit kiri juga sama dengan 3.

Unt

Untuk uk itu itu pempembilbilang ang dardari i benbentuk tuk

1 1 1 1 2 2 2 2 + + + + + + x x kx kx x x ha

harurus s memempmpununyayai i fakfaktotor r x x + + 1.1. Dengan melakukan pembagian pembilang oleh penyebut di

Dengan melakukan pembagian pembilang oleh penyebut di dapatkandapatkan

1 1 1 1 2 2 2 2 + + + + + + x x kx kx x x = x + 2 k - 1 + = x + 2 k - 1 + 1 1 2 2 2 2 + + + + − − x x k k dar

dari i sisa sisa pempembagbagian ian (-2(-2k+2k+2) ) samasama dengan nol maka di dapatkan

dengan nol maka di dapatkan k = 1

k = 1

Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga Pen

Pengergertiatian n limlimit it tak tak hinhingga dan gga dan limlimit it di di tak hinggtak hingga a secasecara ra forformal tidak mal tidak dib

diberierikan kan sepeseperti rti halhalnya nya padpada a penpengergertiatian n limlimit it di di suasuatu tu titititik k padpada a pempembahbahasanasan terdahulu. Secara instuisi diberikan melalui contoh berikut ini.

terdahulu. Secara instuisi diberikan melalui contoh berikut ini.

Misal diberikan fungsi Misal diberikan fungsi

1 1 1 1 )) (( − − = = x x x x f

f . Maka nilai fungsi f(x) menuju tak . Maka nilai fungsi f(x) menuju tak

hin

hingga (gga ( ) untuk x mend) untuk x mendekaekati 1 ti 1 dardari kanani kanan, sedan, sedangkagkan menujn menuju minus tak hinu minus tak hingga (gga (

) untuk x mendekati 1 dari kiri. Pengertian tersebut dapat dinotasikan dengan ) untuk x mendekati 1 dari kiri. Pengertian tersebut dapat dinotasikan dengan limit sebagai berikut :

limit sebagai berikut :

−∞ −∞ = = − − → →

))

((

lim

1 1

f

x

x x dandan ∞ ∞ = = + + → →

))

((

lim

1 1

x

f

x x

(11)

Bila Bila 22 )) 1 1 (( 1 1 )) (( − − = = x x x x f

f _{maka didapat}_{maka didapat} ==∞∞

− − → →

))

((

lim

1 1

x

f

x x dandan ∞ ∞ = = + + → →

))

((

lim

1 1

f

x

x x atau dituliskan atau dituliskan ==∞∞ → → )) (( lim lim 1 1 f f x x x x

Bentuk limit tersebut dinamakan

Bentuk limit tersebut dinamakan Limit Tak hingga,Limit Tak hingga, yaitu nilai fungsi f(x)yaitu nilai fungsi f(x)

un

untutuk k memendndekekatati i 1 1 samsama a dedengngan tak an tak hihingngga (ga ( ). Seda). Sedangngkakan n bebentntuk limiuk limit t di titidi titik k mendekati tak hingga di ilustrasikan berikut :

mendekati tak hingga di ilustrasikan berikut :

Misal diberikan fungsi Misal diberikan fungsi

x x x x f

f (( )) ==11 , maka nilai fungsi akan mendekati nol bila, maka nilai fungsi akan mendekati nol bila

nilai x menuju tak hingga atau minus tak hingga, dinotasikan : nilai x menuju tak hingga atau minus tak hingga, dinotasikan :

0 0 )) (( lim lim == ∞ ∞ → → x x f f x

x dandan limlim (( )) 00

= = −∞ −∞ → → x x f f x x

Secara umum, limit fungsi dari

Secara umum, limit fungsi dari (( )) 11_n_n ,, x x x x f

f == n n BB++ untuk x mendekati tak untuk x mendekati tak

hingga atau minus tak hingga sama dengan nol, maka dapat dituliskan : hingga atau minus tak hingga sama dengan nol, maka dapat dituliskan :

0 0 1 1 lim lim == ∞ ∞ → → nn x x _x_x atauatau 00 1 1 lim lim == −∞ −∞ → → nn x x _x_x

Bila f(x) merupakan fungsi rasional, misal Bila f(x) merupakan fungsi rasional, misal

)) (( )) (( )) (( x x q q x x p p x x f f == dengan P(x)

dengan P(x) dan q(x) dan q(x) merupakan pomerupakan polinomlinom

maka untuk menyelesaikan limit di tak hingga dilakukan dengan cara : maka untuk menyelesaikan limit di tak hingga dilakukan dengan cara :

(12)

Jawab Jawab

Nilai

Nilai dari dari pembilang untuk pembilang untuk x mendekati x mendekati 3 dari 3 dari arah arah kanan akanan adalah mendekatidalah mendekati 6, sedangkan nilai penyebut akan mendekati negative bilangan yang sangat kecil. 6, sedangkan nilai penyebut akan mendekati negative bilangan yang sangat kecil. BIla 6

BIla 6 dibagdibagi i oleh bilangaoleh bilangan n negatnegative kecil ive kecil sekali akan menghasilksekali akan menghasilkan an bilanbilangan yanggan yang sangat kecil. sangat kecil. Jadi Jadi x x x x x x −− + + + + → → 33 3 3 lim lim 3 3 = =

(13)

--BAB III PENUTUP BAB III PENUTUP 3.1

3.1 KeKesimsimpulpulanan

Konsep limit mempunyai peranan yang sangat penting di dalam kalkulus dan Konsep limit mempunyai peranan yang sangat penting di dalam kalkulus dan berbagai

berbagai bidang bidang matematika. matematika. Oleh Oleh karena karena itu, itu, konsep konsep ini ini sangat sangat perlu perlu untuk untuk dipahami. Meskipun pada awalnya konsep limit sukar untuk dipahami, tetapi dengan dipahami. Meskipun pada awalnya konsep limit sukar untuk dipahami, tetapi dengan se

sedidikikit t babantntuauan n cacara ra nunumemeriris s kekemumudidian an kokonsnsep ep inini i bibisa sa didimemengngerertiti. . DaDann kenyataannya, setelah dipraktekkan masalah hitung limit relative mudah. Mengingat kenyataannya, setelah dipraktekkan masalah hitung limit relative mudah. Mengingat ha

hal l ititu, u, mamaka ka papada da babagigian an pepertrtamama a BaBab b inini i lilimimit t diditeterarangngkakan n sesecarcara a inintutuititivivee (numeris). Kemudian pada bagian selanjutnya, dikembangkan teknik penghitungan (numeris). Kemudian pada bagian selanjutnya, dikembangkan teknik penghitungan limit.

(14)

DAFTAR PUSTAKA DAFTAR PUSTAKA

limit dan kekontinuan

limit dan kekontinuan. (2012, 10 2). Dipetik 11 12, 2012, dari . (2012, 10 2). Dipetik 11 12, 2012, dari limit dan kekontinuan:limit dan kekontinuan: http://www.google.com