BAB XI Teori Probabilitas

(1)

STATISTIK DAN PROBABILITAS

pertemuan 15 & 16

Oleh :

L1153

(2)

Definisi :

jika terdapat sejumlah n kejadian yang mungkin timbul dan jika kejadian tersebut lengkap

terbatas jumlahnya (exhaustive), saling lepas dan memiliki kesempatan yang sama untuk timbul, maka jika sejumlah m dari kejadian di atas merupakan peristiwa E, probabilita peristiwa E

tersebut dapat dirumuskan sebagai suatu ratio m/n

Ruang sampel

Definisi :

Sebuah ruang sampel S yang berkenaan dengan suatu percobaan aktual maupun konseptual merupakan sebuah himpunan yang memiliki ketentuan :

1. Tiap unsur dari S menyatakan satu hasil percobaan .

2. Tiap hasil percobaan harus sesuaidengansatu dan hanya satu unsur dari S.

n

m

E

(3)

Contoh 1 : Jumlah mata dadu sebagai hasil pelemparan sebutir dadu merah (x) & sebutir dadu putih (y)

x\y 1 2 3 4 5 6

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

Ruang sampel disamping dapat ditulis

S={(x,y) 1  x  6; 1  y  6 }

Pada pelemparan 2 butir dadu diatas, seluruh kejadian (hasil) yang mungkin timbul adalah sebesar 6n₌₆2_=36.

Dengan kata lain ruang sampel terdiri atas 36 titik sampel.

Probabilitas terwujudnya tiap titik sampel yang terdapat dalam ruang sampel tersebut menjadi sebesar 1/36.

(4)

Contoh 2 :

Probabilita untuk dapat memilih sebuah sampel yang terdiri

dari 3 orang dari sebuah populasi yang terdiri dari 30 orang

adalah sebesar

4060

1

1 )

.

3 (

₃₀

3



C

n

m

orang

(5)

Ruang sampel dapat dianggap sebagai suatu himpunan universal bagi

semua hasil aktual yang mungkin terjadi,karena pada tiap percobaan kita

selalu ingin mengetahui terjadinya pelbagai macam peristiwa atau

kejadian yang berkenaan dengan percobaan

Pada percobaan pelemparan sekeping uang logam sebanyak 3 kali akan

menghasilkan ruang sampel

S={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}

Peristiwa timbulnya dua sisi adalah

A={(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)}

(6)

Definisi :

jika suatu percobaan dapat menimbulkan sejumlah n hasil yang berbeda serta memiliki kesempatan untuk terwujud yg sama & jika m dari hasil diatas merupakan peristiwa A,

Jika semua peristiwa yang bukan A dinyatakan dengan A’ ,

n m A

p ( ) _

Probabilitas suatu peristiwa

Perumusan diatas harus memenuhi :

Probabilita A bukan bilangan negatif p(A) > 0

Jumlah prob A harus =1 atau p(A)+p(A’)=1

Perumusan diatas membawa konsekuensi prob A dan A’

(7)

Contoh :

sebutir dadu yang homogen memiliki 6 sisi, 4 dari keenam sisi dicat merah sedangkan 2 sisinya dicat biru. Jika dadu tersebut dilempar sekali, berapakah probabilita

timbulnya sisi yang bercat merah dan berapa probabilita timbulnya sisi dadu yang bercat biru.

p(merah) =4/6=2/3=0,667 P(biru) =2/6=1/3=0,333

(8)

Ketentuan :

Jika A merupakan suatu peristiwa, maka kita katakan rasio yang menguntungkan A adalah a berbanding b jika dan hanya jika

1 ;

)

(

_



a

b

a

A

p

Dan rasio yang yang merugikan A’ adalah b berbanding a jika dan hanya jika

1 ;

)

(

_



a

b

a

b

A

(9)

Dua peristiwa merupakan peristiwa yang saling lepas jika kedua peristiwa tersebut

tidak dapat terjadi pada waktu yang bersamaan. Secara matematis, dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas atau terpisah (disjoint) jika dan hanya jika kedua himpunan itu tidak memiliki unsur yang sama dan AB=

Teorema : jika A dan B saling lepas dan merupakan peristiwa dalam sebuah ruang sampel yang terbatas maka

p(A  B) = p(A) + p(B)

dimana A  B =  dan p(A  B) = p() = 0

Peristiwa yang saling lepas (mutually exclusive)

(10)

Contoh 1 : Jika sebuah dadu dilempar sekali , berapakah probabilita trimbulnya mata dadu 1 atau mata dadu 5

p(A  B) = p(A) + p(B) = 1/6+1/6 =1/3

Teorema : Jika terdapat beberapa peristiwa yang saling lepas A₁,A₂,A₃,…,Am dalam ruang sampel maka

p(A₁  A₂  A₃...  Am)= p(A₁)+p(A₂)+…+p(A_m)

Contoh 2 : pada pelemparan sebuah dadu homogen berapakah probabilita munculnya mata 1 atau mata 2 atau mata 3 atau mata 4 atau mata 5 atau mata 6.

(11)

Latihan

1. Sebuah dadu dilempar dua kali . Peluang mendapatkan jumlah mata dadu paling sedikit 10 adalah ..

2. Dari seperangkat kartu bridge diambil secara acak satu lembar kartu. Peluang terambilnya kartu bukan As adalah …

3. Dua dadu dilempar sekali. Besar peluang munculnya jumlah mata kedua dadu = 7 atau 10 adalah …

4. Suatu kantong berisi 10 kelereng merah dan 20 kelereng putih. Peluang untuk mengambil 1 kelereng merah adalah …

(12)

Peristiwa yang tidak saling lepas

Definisi : Dua peristiwa dikatakan tidak saling lepas jika kedua peristiwa tidak terpisah

Teorema : Jika peristiwa A dan B merupakan suatu gabungan (union) dan tidak saling lepas dan kedua peristiwa tersebut terdapat dalam sebuah ruang sampel yang terbatas maka probabilita AB adalah

P(AB) = p(A) + p(B) – p(AB)

Jika peristiwa A,B dan C dan peristiwa tersebut tidak saling lepas maka peristiwa A atau B atau C

P(ABC) = p(A)+p(B)+p(C)-p(AB)-p(AC)-p(BC)+p(ABC)

A B

(13)

Contoh :

Dalam sebuah populasi yang terdiri dari pembaca koran, persentasi pembaca koran A,B dan C adalah sebagai berikut :

yang membaca koran A= 9,8%, yang membaca koran B=22,9%, yang membaca koran

C=12,1%, yang membaca koran A dan B =5,1%, yang membaca koran A dan C =3,7% dan yang membaca koran B dan C=6,0%. Sedangkan yang membaca koran A dan B dan C = 2,4%

Tentukanlah:

a. Berapa persen pembaca yang ternyata membaca paling sedikit satu koran.

p(ABC)=p(A) + p(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - p(B C) + p(ABC) = 9,8% + 22,9% + 12,1% - 5,1% - 3,7% - 6,0% + 2,4% = 32,4%

b. Berapa probabilita seorang yang dipilih secara random dari populasi tersebut yang membaca koran A atau B

p(AB)=p(A)+p(B)-p(A B) =9,8%+22,9%-5,1% = 27,6%

c. Berapa probabilita seorang yang dipilih secara random dari populasi tersebut yang membaca koran A atau C

p(AC)=p(A)+p(C)-p(A C) = 9,8%+12,1%-3,7% = 18,2%

d. Berapa probabilita seorang yang dipilih secara random dari populasi tersebut yang membaca koran B atau C

(14)

Defenisi : Dua peristiwa dikatakan independenjika dan hanya jika terjadi atau tidak terjadinya peristiwa pertama tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa kedua

p(A  B)=p(A).p(B)

Contoh : Jika dua buah kartu dipilih secara random dan secara berturut-turut dari

setumpuk kartu bridge. Jika kartu pertama dikembalikan sebelum kartu kedua dipilih. Berapa probabilita kartu pertama kartu keriting dan kartu kedua bukan kartu AS

Peristiwa yang independen

(15)

Jika p(B) > 0, probabilita bersyarat dari peristiwa A dengan syarat peristiwa B

Contoh : Tiga bola putih dan satu bola merah dimasukkan kedalam kotak, jika seorang secara random dan berturut-turut mengambil 2 bola dari dalam kotak. Serta bola

pertama tidak boleh dikembalikan sebelum bola kedua diambil. Berapa probabilita kedua bola itu putih semua

Probabilita bersyarat

(16)

Teorema BAYES dikemukakan oleh Thomas Bayes tahun 1763

Teorema 1: Jika {A₁,A₂,…,A_n} merupakan suatu peristiwa dari ruang sampel S dan jika setiap peristiwa {A₁,A₂,…,A_n} memiliki probabilita  0 maka

P(A) = p(A₁).p(A/A₁) + p(A₂).p(A/A₂) +…+ p(A_n).p(A/A_n)

Teorema 2 : Jika {A₁,A₂,…,A_n} merupakan peristiwa dari ruang sampel s dan jika masing-masing {A₁,A₂,…,A_n} memiliki probabilita  0 dan jika tiap sebarang

peristiwa A memiliki probabilita p(A) > 0 maka tiap bilangan bulat k, 1  k  n, kaedah Bayes dirumuskan



Teorema Bayes

(17)

Contoh 1 :

30% dari keluarga dengan penghasilan kurang dari Rp120.000/bulan, 25 %dari keluarga dengan penghasilan Rp121.000 – Rp500.000/bulan, 25 % dari keluarga dengan penghasilan Rp501.000 – Rp2.500.000/bulan, 20 % dari keluarga dengan penghasilan lebih dari Rp2.500.000/bulan.

50% dari keluarga dengan penghasilan kurang dari Rp120.000/bulan, 30% dari keluarga dengan penghasilan Rp121.000 – Rp500.000/bulan, 10 % dari keluarga dengan penghasilan Rp501.000 – Rp2.500.000/bulan, 2 % dari keluarga dengan penghasilan lebih dari Rp2.500.000/bulan,

telah menerima paket kuesioner tentang pengeluaran keluarga perbulan. Andaikan secara random kita memilih satu keluarga diatas berapa probabilita keluarga tersebut yang terpilih sudah menerima paket tersebut

P(A) = p(A1 )p(A/A1)+p(A2).p(A/A2)+p(A3).p(A/A3)+p(A4).p(A/A4)

(18)

Contoh 2 :

Dari seluruh penderita TBC yang diuji dengan sinar X, 90% dari seluruh pemeriksaan membenarkan adanya TBC pada diri penderita, tetapi 10% dari hasil pemeriksaan gagal menemukan adanya penyakit TBC.

Dari semua orang yang bukan merupakan penderita TBC dan yang diuji melalui sinar X, 99% hasil pemeriksaan membenarkan bahwa orang-orang tersebut bebas TBC, tetapi masih ada 1 % yang menunjukkan adanya penyakit TBC. Jika seorang diambil secara random dimana 0,1 % saja yang menderita TBC dan jika orang tersebut

diperiksa dengan sinar X, ternyata memang ada pada orang tersebut. Berapa probabilita benar-benar menderita TBC

P(A1) = 0,001 (menderita TBC 0,1%, dipilih secara random) p(A1’) =1-0,001= 0,999 (tidak menderita TBC)

P(A/A1) =0,90 (menderita TBC 90% , dengan sinar X)

p(A/A1’) =0,01 (menderita TBC 1% , setelah diuji sinar X untuk ke-2 x nya)

(19)

(20)

Contoh 2 (Lanjutan) :

(sinar X positif) (sinar X negatif)A

A1

(menderita TBC) P(A1)_0,001

A1’

(tidak menderita TBC)

P(A1’) 0,999

Jumlah _0,01089P(A) _0,98911P(A’) 1,000

(21)

1. Peluang seorang laki – laki akan hidup 25 tahun dari sekarang adalah 4/7 dan peluang istrinya akan hidup 25 tahun dari sekarang adalah 3/5. peluang bahwa 25 tahun dari sekarang paling sedikit satu orang akan hidup adalah …

2. Suatu kelas terdiri dari 40 siswa , 25 siswa gemar kalkulus , 21 siswa gemar aljabar , dan 9 siswa gemar kalkulus dan aljabar. Peluang seorang siswa tidak gemar kalkulus maupun aljabar adalah …

3. Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set kartu bridge. Peluang bahwa yang terambil adalah kartu merah atau kartu As adalah …

(22)

BAB XII Permutasi dan Kombinasi

Permutasi sejumlah objek adalah penyusunan obyek tersebut dalam suatu urutan tertentu

Permutasi dari n obyek seluruhnya

Definisi : jika n menyatakan bilangan bulat positif maka hasil penggandaan bilangan tersebut dari 1 sampai n dinamakan faktorial dan diberi tanda n!

Teorema 1 :

Permutasi dari keseluruhan n obyek yang berbeda jumlah permutasi dari suatu

himpunan yang terdiri dari n obyek yang berbeda, secara keseluruhan menjadi n!  nPn= n!

(23)

Teorema 2 :

Permutasi sebanyak r dari n obyek yang berbeda. Jumlah permutasi dari suatu

himpunan yang terdiri dari n obyek yang berbeda dan yang diambil sekaligus sebanyak r serta tampa pengulangan

)! (

! Pr

r n

n n

 

Contoh : jumlah permutasi 2 huruf yang diambil dari kata LAUT

Teorema 3 : Permutasi dari n obyek jika n obyek tersebut membuat sebuah lingkaran. Sejumlah n obyek yang berbeda dapat disusun secara teratur dalam sebuah lingkaran dalam (n-1)! Cara.

Contoh : Sekolompok mahasiswa yang terdiri dari 7 orang duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Berapa cara yang dapat dilakukan agar mahasisiwa bisa duduk

disekeliling meja tersebut

(7-1)! = 6x5x4x3x2x1 = 720 cara.

12 )!

2 4

(

! 4 2

4 

 

(24)

Kombinasi dari sejumlah obyek merupakan cara pemilihan obyek yang bersangkutan tampa menghiraukan urutan obyek tersebut

Teorema : Kombinasi sebanyak r dari n obyek yang berbeda

Contoh : Suatu sampel harus terdiri dari 5 orang jika responden tersebut dipilih dari suatu populasi yang terdiri dari 6 pria dan 3 wanita. Dalam berapa cara sampel diatas dapat dipilih jika harus memiliki komposisi paling sedikit 3 pria.

)!

3 pria 2 wanita 4 pria 1 wanita

45

5 pria 0 wanita

(25)

QUIZ

1. Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah . 4 bola kuning dan 3 bola biru. Jika diambil 3 bola sekaligus secara acak maka peluang yang terambil itu dua bola merah dan satu bola kuning adalah ..

2. Pengurus suatu organisasi terdiri dari enam orang. Calon yang tersedia terdiri dari lima pria dan empat wanita. Tentukan banyaknya susunan pengurus yang dapat dibentuk jika paling sedikit terpilih tiga pria !

3. Tersedia 10 gambar yang berbeda , 2 dari gambar itu digantungkan dalam sebuah baris. Dalam berapa cara hal ini dapat dikerjakan ?

4. Berapa cara 10 orang dapat duduk pada keliling meja apabila 2 orang yang istimewa harus duduk selalu bersama ?

5. Berapa cara suatu pasangan ganda putra bulu tangkis dapat disusun dari 10 pemain putra? 6. Berapakah banyak diagonal segi-6 ?

7. Berapa cara suatu tim basket “3 on 3” dapat disusun dari 10 pemain ?