5 persamaan diferensian orde 2

Persamaan Diferensial Orde 2 Hal 62

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 2

Model persamaan diferensial orde 2 terdiri dari 4 type, yaitu :

 Tipe d y

dx f x

2

2  ( )

 Tipe d y

dx f x dy dx

2

2  ( , )

 Tipe a d y dx b

dy dx c y

. . .

2

2   0

 Tipe ad y dx b

dy

dx cy f x

2

2    ( )

A. PD Orde 2 Tipe d y

dx f x

2

2  ( )

Contoh : carilah jawaban umum persamaan deferensial

d y

dx x x x

2

2

3 2

4

3







Jawab : 



x  x xdx dx

y

d _{3 2}

2 2

3

4

1

2 3

4

2 1

c x x

x dx dy

 

 

y



x4  x3 x2 c1 1

Persamaan Diferensial Orde 2 Hal 63 1 2 3 4 5

6

1

4

1

5

1

c x c x x x

y











B. PD Orde 2 Tipe d y

dx f x dy dx

2

2  ( , )

Contoh : x d y dx dy dx x . 2

2   0  Carilah jawaban

umumnya.

Penyelesaian :

misal : p

dy

dx



maka 2 2 dx y d dx dp



...(1)

apabila persamaan (1) dimasukkan ke soal

x

dp

dx p x .   . 0

x

dp

dx p x

.

  

_...(2)

ingat rumus dx dx p dx dp x dx p x d . . ) . (  

.

1

)

.

(

p

dx

dp

x

dx

p

x

d





...(3)

Persamaan Diferensial Orde 2 Hal 64

d xp

dx

x

(

)

 

Kemudian kedua ruas diintegralkan

xp

 



x dx

xp

 

12

x

2



c

₁

Dari persamaan (1) diketahui bahwa p

dy

dx



maka harga p dapat

diganti dengan dx dy

menjadi

1

2 2

1 _{x c}

dx dy

x







_{kemudian semua ruas dibagi x}

x

c

x

dx

dy

₁

2

1















x

c

x

y

1₂ 1

y

 

14

x



c

n x



c

2

1

.



2

C. PD Orde 2 Yang Berbentuk a d y dx b

dy

dx c y

. . .

2

2   0

Persamaan Diferensial Orde 2 Hal 65 2 1 2 2 2 2 dan tik. karakteris persamaan disebut 0 : menjadi ya persamaann sehingga , 1 dan , m m m m c m b m a y m dx dy m dx y d         

Dimana m = akar-akar penyelesaian

 Jika m1 ≠ m2 maka harga :

y



A e

m x1



B e

m x2

A dan B = Konstanta (atau c1 dan c2)

Jika m1 = m2 maka

Y

e

A

B x

m x



1

(



)

Jika keduanya (akar-akar penyelesaiannya tersebut kompleks), atau m = a + b j, atau m = a + bi



A

x

B

x



e

Y



ax

cos





sin



.

Contoh soal :

1. Carilah penyelesaian Persamaan Deferensial berikut ini.

1

3

2

0

Persamaan Diferensial Orde 2 Hal 66 ,

1 dan ,

2 2 2

 

 m y

dx dy m dx

y d

jika _maka

Persamaan karakteristiknya :

1 m2 + 3 m + 2 = 0

(m+1)(m+2)=0

sehingga : m = -1; m = -2. (m1≠m2)

Jadi pemecahan permasalahan tersebut adalah :

Persamaan Diferensial Orde 2 Hal 67 2. Carilah penyelesaian PD berikut:

1

6

9

0

2

2

d y

dx

dy

dx

y







Jawab :

m

2



6

m

 

9

0

(

m



3

)(

m

    

3

)

0

m

3

akar kembar sehingga

Y



e

3x

(

A



B x

)

D. PD Orde 2 Yang Berbentuk a d y dx b

dy

dx cy f x 2

2    ( )

Pada persamaan deferensial bentuk ini dikenal dua istilah, yaitu :

1). FUNGSI KOMPLEMENTER : diperoleh dengan memecahkan

persamaan bila f(x)= 0, seperti dalam bagian program sebelum

ini.

Adapun pemecahannya, jika f(x)= 0, adalah :

 Untuk akar yang berbeda Y



A em x1



B em x2  Untuk akar kembar Y e A B x

m x



1

(



)

 Untuk akar imaginer

Y



e

ax



A

cos



x



B

sin



.

x



2). INTEGRAL KHUSUS : Diperoleh dengan menggunakan

Persamaan Diferensial Orde 2 Hal 68 yaitu dengan mensubtitusikan bentuk umum tersebut ke dalam

persamaannya dan kemudian menyamakan

koefisien-koefisiennya.

 Jika ruas kanan adalah fungsi berderajat dua, bentuk umum nya :

Y



C x

2



D x



E

 Jika ruas kanan berderajat satu, maka persamaan umumnya : Y= Cx + D.

3). Jawaban yang sesungguhnya = jawaban fungsi komplemerter

+ integral khusus.

Contoh :

Selesaikan persamaan deferensial dari d y dx

dy

dx y x 2

2

2

5 6

  

Jawab :

1). Fungsi Komplementer, pemecahannya dengan persamaan kiri =

0, yaitu :

0 6 5

2 2

 

 y

dx dy

dx y d

yang memberikan

m2 - 5m + 6 = 0

(m - 2)(m - 3)= 0

m = 2 atau m = 3

Jawaban fungsi komplementer :

Persamaan Diferensial Orde 2 Hal 69 2). Integral khusus :

Karena ruas kanan adalah fungsi berderajat dua (x2)sehingga

bentuk umum persamaan berderajat dua adalah :

Y



C x

2



D x



E

maka

dy

dx



2

C x



D

d y

dx C 2

2



2

harga y,

dy

dx

dan

d y

dx 2

2 dimasukkan ke persamaan semula (soal) ,

yaitu :

d y

dx

dy

dx y x 2

2

2

5

6







2C - 5 (2 Cx + D) + 6 (Cx2 + Dx+ E) = x2

2C - 10 Cx - 5D + 6Cx2 _{+ 6Dx+ 6 E = x}2

6Cx2 + (6D - 10 C)x+ (2C- 5D+ 6E) = x2

bentuk ini bisa ditulis :

6 Cx2 + (6D - 10C)x + (2x-5D + 6E) =1x2 + 0x + 0

dengan menyamakan koefisien dari x yang berpangkat sama, kita

dapatkan :

x2  _{6c = 1}

c = 1 6

Persamaan Diferensial Orde 2 Hal 70 6 10 1

6 0

5 18 D .   D

0  2c5D6E 0

2 1 6 5

5

18 6 0 .  .  .E 

E  19

108 Jadi Integral khususnya adalah :

Y cx Dx E

x x

  

  

2

2 1 6

5 18

Persamaan Diferensial Orde 2 Hal 71 Sehingga jawaban yang sebenarnya adalah :

Y = Fungsi Komplementer + Integral Khusus

x x

e

B

e

A

2



3



+

108

19

18

5

6

1

₂