Barisan dan Deret
Geometri
Kelompok 2:
Adnin Ulfa (02)
Dining Nika (08)
Lisa Nurfalah (14)
Novi Indriani (20)
Sheila Paramitha (26)
SMA NEGERI 1
Jln.
Barisan geometri adalah suatu barisan dengan rasio (pembanding/pengali) antara dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan). Bentuk umum barisan geometri adalah
U1,U2,U3…… Un atau a, ar, ar2, arn-1 dengan r ≠ 0
Sehinggga berdasarkan definisi diatas berlaku hubungan
r=
Dengan r = rasio (pembanding/ pengali) antara dua suku yang berurutan a = suku pertama
2) Barisan geometri turun a>0 dan r<0,
3) Barisan geometri bergoyang (alternate) yang suku-sukunya bergantian positif dan negatif, jika r < 0.
a) Sifat Barisan Geometri
Suku ke-n barisan geometri yang dirumuskan sebagai
merupakan fungsi eksponen dalam n, dengan n yang tidak mengandung
suku tetapan.
Sifat
Jika suku ke-n suatu barisan merupakan fungsi eksponen dalam n, yang tidak mengandung suku tetapan, maka barisan itu adalah barisan geometri
Misalkan, diberikan suku ke-n suatu barisan adalah . Kita harus
membuktikan bahwa barisan itu adalah barisan geometri.
Bukti :
Perhatikan untuk setiap nilai n, rasio antara dua suku yang berurutan dalah konstan (=r). Pernyataan ini sejalan dengan definisi barisan geometri. Dengan kata lain, jika rasio dua suku yang berurutan dari suatu barisan adalah tetap, maka barisan itu adalah barisan geometri.
b) Rata-Rara Ukur
Rata-rata ukur dari dua bilangan x dan y didefinisikan sebagai,
dengan x > 0 dan y > 0. Perhatikan bahwa barisan bilangan x, ,y
Sejalan dengan uraian diatas dapat dikemukakan bahwa jika tiga buah
bilangan membentuk barisan geometri, maka bentuk sederhananya adalah
adalah rasio . Jika bilangan-bilangan u1, u2, u3 membentuk
barisan geometri, maka
c) Perkalian Suku-Suku Barisan Geometri
Hasil kali suku-suku barisan geometri adalah
Bukti :
Barisan geometri
(TERBUKTI)
d) Suku Tengah pada barisan Geometri
Jika barisan geometri mempunyai banyak suku ganjil n, suku pertama a, dan suku akhir un, maka suku tengah u1 ditentukan oleh rumus :
Hasil kali suku- sukunya adalah
e) Sisipan pada barisan Geometri
Apabila antara setiap dua suku yang berurutan harus disisipkan k buah suku baru yang dengan suku-suku lama merupakan barisan geometri baru, maka
Barisan geometri lama :
Barisan geometri baru :
Dengan: r’ = rasio barisan geometri baru r = rasio barisan geometri lama k = banyak suku yang disisipkan
Banyaknya suku barisan geometri baru sama dengan banyaknya suku barisan geometri lama n ditambah dengan (n-1) kali banyaknya suku-suku yang disisipkan k, dengan demikian
Dengan: n’ = banyak suku barisan geometri baru n = banyak suku barisan geometri lama
2. Deret Geometri
Definisi
Deret geometri (deret ukur) adalah jumlah suku-suku barisan geometri. Bentuk umum deret geometri dapat dinyatakan sebagai berikut.
untuk r >1 atau untuk r <1
Dengan : a = u1 = suku pertama
R = rasio antara dua suku yang berurutan
n = banyak suku
suku ke-n
Sn = jumlah n suku pertama
Dalil:
Jika adalah suatu barisan geometri, dengan rasio r, maka jumlah parsial
dari n suku barisannya adalah :
Kita dapat membuktikan rumus sebgai berikut :
……… (1)
Kalikan kedua ruas dari persamaan (1) dengan r, di peroleh
……… (2)
Deret geometri dapat dinyatakan dalam notasi igma sebagai berikut.
Dengan : = = suku pertama
r = rasio antara dua suku yang berurutan
= suku ke- n =
n = banyak suku
= jumlah n suku pertama
Ditinjau dari rasionya, deret geometri dapat dibedakan menjadi 3 macam,
yaitu deret geometri naik (divergen), jika a> 0 dan r > 1, sehingga ,
dan deret geometri bergoyang, yang suku-sukunya bergantian positif dan negative, jika r < 0.
a. Sifat deret geometri
Jumlah n suku pertama deret geometri yang dirumuskan sebgai
Merupakan fungsi eksponen dalam n, dengan
Sifat
Jika dari sebuah deret, jumlah n suku pertama merupakan fungsi
eksponen dalam n yang mengandung suku tetapan, maka deret itu adalah deret geometri.
Misalkan jumlah n suku pertama suatu deret Kita harus
membuktikan bahwa adalah jumlah n suku pertama deret geometri
Tetapi
Sehingga
Karena itu, maka persamaan (1) menjadi yang
merupakan fungsi eksponen dalam n tanpa suku tetapan sehingga
Perhatikan untuk setiap nilai n, rasio antara dua suku yang berurutan adalah konstan (=r). Pernyataan ini sejalan dengan definisi barisan geometri. Dengan demikian, terbukti bahwa deret itu adalah deret geometri
Berdasarkan uraian diatas dapat dituliskan rumus-rumus sebgai berikut :
b. sisipan pada deret geometri
Sifat-sifat sisipan pada barisan geometri berlaku pula pada sisipan deret geometri, sehingga
dan n’ = n + (n-1) k
Contoh soal
1. Suku pertama, rasio dan suku ke-n.
Carilah suku pertama, rasio, dan suku ke-7 dari barisan 2, 6, 18, 54, …. Jawab:
1) Suku pertama: a=2 2) Rasio: r= U2/U1 = 6/2 = 3
3) Karena rumus suku ke-n barisan geometri adalah Un = arn-1 maka U7 = 2(37-1)
= 2 x 729 = 1.458 Jadi,
Suku pertama =
2
Rasio = 3 U7 = 1.458
2. Ketiga bilangan.
Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu 21 dan hasil kalinya 216. tentukan ketiga bilangan itu …, …, …
Jawab:
Misalkan ketiga bilangan itu a, ar, ar2 .
Dengan membagi r pada suku-suku itu, diperoleh a/r, a, ar. Jumlah ketiga bilangan itu adalah 21
Hasil kali ketiga bilangan adalah 216
3. Jumlah dari deret geometri.
Tentukanlah jumlah dari deret geometri 2 + 4 + 8 + 16 + … (8 suku) Jawab:
Dari deret diatas, diperoleh a=2 dan r = 4/2 = 2 (r > 1). Jumlah deret sampai 8 suku pertama, berarti n = 8.
Sn =
S8 =
= 2 (256 – 1) =510
Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut adalah 510
726 = 3n+1 – 3
Soal
1. SPMB ‘03
Tiga bilangan membentuk suatu deret geometri. Jika hasil kalinya adalah 216 dan jumlahnya 26, maka rasio deret tersebut adalah ….
2. UMPTN ’94
suku pertama dan suku keempat suatu deret geometri berturut-turut adalah 2 dan ¼. Jumlah 6 suku pertama deret itu adalah ….
3. UMPTN ’96
Dalam suatu barisan geometri, U1 + U3 = p dan U2 + U4 = q, maka U4 = …. 4. UMPTN ’99
Dari deret geometri diketahui U4 : U6 = p, dan U2 x U8 = 1/p, maka U1 = …. 5. Diberikan sebuah barisan dengan Un = 7 x 2n. buktikan bahwa barisan itu
