BAB 1. BILANGAN REAL Kegiatan Belajar 1 : Operasi Bilangan Real - 1. Bil Real

BAB 1. BILANGAN REAL

A. Sistem Bilangan Real

1. Pengertian Bilangan Real

Bilangan real adalah sekumpulan bilangan yang terdiri atas bilangan rasional dan bilangan irasional, atau bilangan real adalah bilangan yang dapat berkorespodensi satu-satu dengan sebuah titik pada garis bilangan.

2. Macam-macam Bilangan

a. Bilangan Asli

Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan A. A = { 1, 2, 3, 4, … }

A mempunyai beberapa himpunan bagian, antara lain : Himpunan bilangan ganjil = { 1, 3, 5, 7, … } Himpunan bilangan genap = { 2, 4, 6, 8, … } Himpunan bilangan prima = { 2, 3, 5, 7, … } Himpunan bilangan komposit = { 4, 6, 8, 9, 10, … } b. Bilangan Cacah

Himpunan bilangan cacah dilambangkan dengan C. C = { 0, 1, 2, 3, … }

c. Bilangan Bulat

Himpunan bilangan bulat

B = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } d. Bilangan Pecahan

Bentuk umum : _ba

e. Bilangan Rasional

Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan Q. Q = { _ba a b B



, _dan b0_}

f. Bilangan Irasional

Himpunan bilangan irasional dilambangkan dengan I. g. Bilangan Real

Himpunan bilangan real dilambangkan dengan R. R = Q  I

h. Bilangan Kompleks

Himpunan bilangan kompleks dilambangkan dengan K. K = { a+bi  a,bR dan i = 1}

Macam-macam bilangan tersebut dapat dibuat dalam bentuk skema sebagai berikut :

B. Operasi Bilangan Real

Bilangan Kompleks

Bilangan Real Bilangan Imaginer

Bilangan Rasional Bilangan Irasional Bilangan Bulat

Bilangan Pecahan

Bilangan Bulat Positif Nol Bilangan Bulat Negatif

1. Sifat-sifat Operasi Bilangan Real

a. Sifa komutatif Jika a,bR, maka :

a + b = b + a  komutatif terhadap penjumlahan. a x b = b x a  komutatif terhadap perkalian.

b. Sifat asosiatif Jika a,b,cR, maka :

(a + b) + c = a + (b + c)  asosiatif terhadap penjumlahan. (a x b) x c = a x (b x c)  asosiatif terhadap perkalian.

c. Sifat distributif Jika a,b,cR, maka :

a(b + c) = (axb) + (axc)  distributif kanan. (a + b)c = (axc) + (bxc)  distributif kiri.

d. Elemen identitas

- Elemen identitas terhadap penjumlahan adalah 0, karena aR maka a + 0 = 0 + a = a. - Elemen identitas terhadap perkalian adalah 1, karena aR maka a x 1 = 1 x a = a.

e. elemen invers

- Elemen invers pada operasi penjumlahan adalah lawannya.

Jika aR maka a + (-a) = 0, -a adalah invers terhadap penjumlahan dari a. Contoh : invers terhadap penjumlahan dari 2 adalah -2.

- Elemen invers pada operasi perkalian adalah kebalikannya.

Jika aR maka a x _a1 = 1, _a1 adalah invers terhadap perkalian dari a.

Contoh : invers terhadap perkalian dari 5 adalah 1₅.

f. Sifat tertutup Jika a,bR, maka :

a + b R  tertutup terhadap penjumlahan. a x b R  tertutup terhadap perkalian

2. Operasi Hitung Pada Bilangan Bulat

a. Operasi penjumlahan dan pengurangan. Jika a,b,c,d R, maka :

1) a + b = a – (-b) 2) a – b = a + (-b) 3) –a – b = – (a + b) 4) –a + b = b – a

b. Operasi perkalian dan pembagian. Jika a,b,c,d R, maka :

1) a x b = b + b + b + … + b

a suku

2) b a

= a . _b1

3. Operasi Hitung Pada Bilangan Pecahan

a. Operasi penjumlahan dan pengurangan. Jika a,b,c,d R, maka :

1) _ca + b_c = a_cb

2) _ca - b_c = a_cb

3) c a

4) _ca - _db = ad_cdbc

b. Operasi perkalian dan pembagian. Jika a,b,c,d R, maka :

1) _ca x _db = _cdab

2) c a

: _db = _ca x d_b = ad_bc

3) _ca : b = a_c x b 1

= _bca

4) _ba : c = _ba x _c1 = ac_b

C. Konversi Bilangan Pecahan

1. Bentuk-bentuk bilangan pecahan:

a. Pecahan biasa, yaitu pecahan yang berbentuk _ba ; a,bB ; b 0 ; b bukan faktor a. b. Pecahan desimal, yaitu pecahan yang dinyatakan dalam tanda koma.

c. Persen, yaitu pecahan yang penyebutnya 100, ditulis …%.

2. Konversi pecahan ke desimal

Konversi pecahan ke bentuk desimal dapat dilakukan dengan langkah membagi pembilang dengan penyebutnya.

Contoh: 1) 43 = 0,75

2) 32 = 0,666… (pecahan desimal berulang tak terbatas)

Catatan: 0,666… dapat ditulis 0,6

0,323232… dapat ditulis 0,32

3. Konversi decimal ke persen

Konversi desimal ke persen dapat dilakukan dengan mengalikan pecahan desimal tersebut dengan 100%.

Contoh: 43 = 0,75 = 0,75 x 100% = 75%

4. Konversi desimal ke pecahan

Konversi desimal ke bentuk pecahan dilakukan dengan melihat kondisinya, yaitu : a. Bilangan desimal terbatas

Contoh: 1) 0,2 = 102 3) 0,324 = 1000 324

2) 0,23 = 10023

b. Bilangan desimal berulang tak terbatas. Contoh:

Tentukan bentuk pecahan biasa dari 0,666… ! Jawab:

Misal p = 0,666… Diperoleh 10p = 6,666… p = 0,666… −

9p = 6  p = 96 = 32

5. Konversi persen ke pecahan dan desimal.

Konversi persen menjadi desimal dilakukan dengan langkah mengubah lambang % menjadi 1001 ,

kemudian menyederhanakannya. Setelah mendapatkan bentuk pecahan selanjutnya diubah ke desimal.

Contoh:

Bentuk pecahan: 44% = 44 x 100 1

= 100 44

Bentuk desimal: 44% = 44 x 1001 = 10044 = 0,44

D. Perbandingan, Skala, dan Persen

1. Pebandingan

Perbandingan dua nilai a : b merupakan bentuk pembagian. Perbandingan a : b dibaca “ a disbanding b “

Contoh: 3 : 5 atau 53 dibaca “ 3 dibanding 5 “

Ada dua jenis perbandingan: a. Perbandingan Senilai

Contoh:

Mobil dengan kecepatan tetap yaitu 60 km/jam, berarti :

Lama berjalan (km) 1 2 3 … n

Jarak (km) 60 120 180 … 60.n

Jika waktu yang dipergunakan bertambah, maka jarak yang dicapai juga bertambah. Perbandingan antara jarak dan waktu tetap yaitu 1 : 60. Dua variabel dengan perbandingan demikian ini disebut perbandingan senilai.

b. Perbandingan Berbalik Nilai Contoh:

Suatu pekerjaan jika dikerjakan oleh 1 orang akan selesai 60 hari, jika dikerjakan 2 orang selesai 30 hari, dikerjakan 3 orang selesai 20 hari, dan seterusnya.

Banyak orang 1 2 3 … 60

Waktu (hari) 60 30 20 … 1

Jika banyaknya orang yang mengerjakan bertambah maka banyaknya hari berkurang. Perbandingan banyaknya orang dengan banyaknya hari tidak tetap ( tetapi hasil kali dua variabel tersebut tetap yaitu 60 ). Dua variabel dengan perbandingan demikian ini disebut perbandingan berbalik nilai.

Secara matematik, jika variabel-variabel yang saling bergantungan tersebut dinamakan x dan y, sehingga x berubah dari x1 menjadi x2 dan y berubah dari y1 menjadi y2, maka disebut :

(i) Perbandingan senilai, jika : 2 1 x x

= 2 1 y y

atau x1 : x2 = y1 : y2

(ii) Perbandingan berbalik nilai, jika : 2 1 x x

= 1 2 y y

atau x1 : x2 = y2 : y1

Contoh:

1) Suatu “pigura” akan digambar pada rancangan dengan panjang gambar rancangan 15 cm dan lebar gambar rancangan 10 cm. Jika seorang tukang membuat panjang “pigura” tersebut berukuran panjang 3 m, harus berapa meterkah lebar “pigura” itu ?

Jawab:

Pg = 15 cm; lg = 10 cm; ps = 3m; ls = … ?

Maka :

s g

p p

=

s g

l l

ls =

g g s p

l p .

= 3₁₅.10 = 2 Jadi lebar “pigura“ itu harus 2 meter.

2) Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 4 orang tukang dalam 20 hari. Jika pekerjaan itu harus selesai dalam 2 hari, maka berapa orang tukang yang diperlukan untuk menyelewaikan pekerjaan itu ?

Jawab:

T1 = 4; H1 = 20; H2 = 2; T2 = … ?

Maka :

2 1 T

T =

1 2 H H

T2 =

2 1 1. H

H T

= 4.₂20 = 40

2. Skala

Skala adalah perbandingan antara jarak/panjang pada gambar dengan jarak/panjang sebenarnya. Dalam perbandingan tersebut jarak pada gambar biasanya dinyatakan dengan 1.

Contoh:

Skala pada peta 1 : 150.000. Jarak dua kota pada peta 7,5 cm. Berapakah jarak yang sesungguhnya ? Jawab:

Jarak yang sesungguhnya = 7,5 x 150.000 = 1.125.000 cm = 11,25 km

3. Persen

Suatu pecahan dapat ditulis dalam tiga cara, yaitu: pecahan biasa, pecahan decimal, dan persen. Misalnya : 103 = 0,3 = 30%

30% berasal dari 103 = 10030 = 30%, hal ini berarti pecahan dalam persen sebenarnya adalah bilangan

pecahan biasa yang penyebutnya 100. Dengan demikian setiap bilangan pecahan biasa dapat diubah ke bentuk yang lain atau sebaliknya.

Contoh:

1) Sebatang perunggu terbuat dari 100 kg tembaga, 20 kg timah hitam, dan 30 kg timah putih.Berapakah persentase tiap-tiap bahan tersebut dalam perunggu itu ?

Jawab:

Mtotal = 100 + 20 + 30 = 150 kg

Persentase tembaga = 150100 x 100% = 66,7%

Persentase timah hitam = 150 20

x 100% = 13,3% Persentase timah putih = 15030 x 100% = 20%

2) Banyaknya emen pada suatu adonan dengan pasir hanya 10%. Jika semen itu sebanyak 5 kg, berapa kilogramkah pasir dalam adonan tersebut ?

Jawab:

Adonan pasir dan semen = 100%

Persentase pasir = persentase adonan – persentase semen = 100% - 10% = 90%

Banyaknya pasir = 5 x 10 90

= 45 Jadi banyaknya pasir 45 kg.

LATIHAN 1.1

1. -19 + {21 + (-37)}= …

2. 117 – (213 – 127) = … 3. 17 + 15 x 12 – 10 = … 4. ₃2₅3 = …

5. 3₂1

5 1

2  = …

6. 1₂1

3 1

5  = …

7. ₈5x₉2 _{= …}

8. 2₂1

3 1

3 x _{= …}

9. :2₂1 3 1

4 _{= …}

10. Ubahlah pecahan biasa di bawah ini ke bentuk decimal !

a. ₅3 b. ₃2 c. ₇3 d. ₈5

11. Ubahlah pecahan berikut ke bentuk biasa !

a. 12₂1 _{b. 85% c. 160% d.26,5%}

12. Ubahlah pecahan berikut ke bentuk persen !

a. 0,80 b. 0,66 c. 2,15 d. 1,3

13. Seorang pengendara mobil menempuh jarak 150 km dalam waktu 3 jam. Berapa waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak 300 km?

15. Sebuah pompa air dapat mengalirkan 1.800 liter air dalam 2 jam. Berapa waktu yang diperlukan untuk mengisi tangki bahan baker berukuran 2 m x 1,5 m x 3 m ?

16. Sebuah mesin dibeli dengan potongan harga 16%. Pembeli membayar Rp 820.000,00. Tentukan harga mesin tersebut tanpa potongan harga !

17. Suatu peta berskala 1 : 1.500. Berapa luas daerah yang berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang 13,5 cm dan lebar 9,25 cm ?

A. Pengertian Bilangan Berpangkat

n

a = a x a x a x … x a

sebanyak n faktor

n

a dibaca a pangkat n

a disebut bilangan dasar / bilangan pokok / basis n disebut pangkat / eksponen

Contoh: ₂5 _{= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32}

B. Aturan Dasar Mengenai Pangkat

1. _am _{x a}n _{= a}mn

Sederhanakan bentuk berikut! 1.  3 2  2 3 34 ...

10. Carilah harga x dari persamaan berikut ini!

a. 64

11. Tulislah dalam bentuk baku!

13. Jika a = 27 dan b = 32, nilai dari

 

13 4 52

3a b _adalah…

14. Jika a = 27, b = 4, dan c = 4, nilai dari



a31b23



c1adalah…

A. Pengertian Bentuk Akar

Rumus : n

Bentuk akar (Bilangan irasional) adalah bilangan di bawah tanda akar yang tidak mempunyai pengganti yang eksak.

Perhatikan bilangan berikut :

...

B. Operasi Bentuk Akar

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Syarat kedua bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika keduanya sejenis. Contoh:

2 + 3 2 = 4 2

3 2 + 9 8 = 3 2 + 9.2 2 = 3 2 + 18 2 = 21 2

125 - 4 5 = 5 5 - 4 5 = 5

2. Perkalian Bentuk Akar

  n 

3. Pembagian Bentuk Akar

n

C. Merasionalkan Penyebut

1. Bentuk a_b , b  0

3

Rasionalkan penyebut bentuk-bentuk berikut!

1. ₂7₃ 3. ₇2_{ 3}

Tentukan bentuk sederhana dari pecahan berikut! 9.

A. Logaritma Briggs (Biasa)

1. PengertianLogaritma

Rumus : a b n



log _ an = b

a : bilangan pokok (jika a tidak dituliskan, berarti bilangan pokok logaritma itu adalah 10) b : numerus, bilangan yang dicari nilai logaritmanya

n : nilai logaritma

2. Sifat-sifat Logaritma

1. aloga1 artinya a1 = a

Contoh: 2log25 5.2log2 5.1 5

B. Logaritma Napier

Logaritma Napier yaitu logaritma dengan bilangan pokok / basis e dengan nilai e = 2,7182. Secara umum e_loga _{ditulis sebagai ln a.}

a a

e_{log ln}

 , dengan a_0

Sifat-sifat logaritma Napier sama dengan sifat-sifat logaritma biasa, antara lain : ln ab = ln a + ln b

C. Tabel Logaritma

1. Menggunakantabellogaritma

Hal-hal yang perlu diketahui dalam menggunakan tabel logaritma :

a. Mantisa adalah bagian desimal / bilangan di belakang koma.Mantisa dapat dilihat pada tabel. Contoh: log 3,27 = 0,5145, mantisanya adalah 5145

log 0,05628 = 0,7504 – 2 , mantisanya adalah 7504 b. Karakteristik adalah bagian bulat / bilangan di depan koma.

Cara menentukan karakteristik : lihat bilangan yang dicari nilai logaritmanya, jika:

1) 1 maka nilai karakteristiknya adalah banyaknya bilangan di depan koma dikurangi 1.

2) Antara 0 dan 1 maka nilai karakteristiknya adalah banyaknya nol di depan bilangan bukan nol yang pertama.

: :

23 3617

Cara menentukan logaritma dengan tabel logaritma untuk log 23,4 :

1) Lihat pada tabel logaritma baris 23 dan kolom 4, tertulis 3692  disebut mantisa 2) Lihat bilangan yang dicari nilai logaritmanya 23,4 1

Maka nilai karakteristik : banyaknya bilangan di depan koma dikurangi 1 (2-1=1). Sehingga log 23,4 = 1,3692 ; karakteristik = 1 dan mantisa = 3692.

Dengan cara yang sama : log 2,34 = 0,3692 log 0,0234 = 0,3692 – 2 log 0,00234 = 0,3692 – 3

2. Menggunakan tabel anti logaritma

Cara mencari :

1) Mencari pada daftar mantisanya (bilangan di belakang koma), setelah ketemu lihat ke kiri dank e atas menunjuk angka berapa.

2) Menentukan koma (karakteristik ditambah 1) Contoh:

log x = 2,8179  x = 657,5 log x = 1,8179  x = 65,75 log x = 0,8179  x = 6,575 log x = 0,8179 - 1  x = 0,6575

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

657

D. Persamaan Logaritma

Menyelesaikan persamaan logaritma adalah menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma itu. Bentuk-bentuk persamaan logaritma adalah sebagai berikut:

1. Bentuk a_log f₍x₎ a_logb

 Jika a_log f ₍x₎ a_logb

 maka f(x) = b

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari : 1) 3log(2 1) 2

 

x

Jawab:

 3log(2 1) 3log9

 

x

 2x – 1 = 9 x = 5 Jadi, HP = {5}

2) log (x2 _{+ 3x -3) = 0}

Jawab:

 log (x2 + 3x -3) = log 1  x2 + 3x -3 = 1

 x2 + 3x -4 = 0  (x + 4)(x – 1) = 0

x1 = -4 atau x2 = 1

Jadi, HP = {-4, 1}

2. Bentuk alog f(x) alogg(x)

 Jika alog f(x) alogg(x)

 maka f(x) = g(x) dan f(x)  0 , g(x)  0

Contoh:

1) log (x2 _{– 4x + 2) = log (x +2)}

Jawab:

 x2 – 4x + 2 = x +2  x2 – 4x – x + 2 -2 = 0  x2 – 5x = 0

 x(x – 5) = 0 x1 = 0 atau x2 = 5

Untuk x1 = 0 dan x2 = 5 , bentuk x2 – 4x + 2 dan x +2 keduanya positif.

Jadi HP = {0, 5}

2) log (x2 _{– 4x + 2) = log (2 - x)}

Jawab:

 x2 – 4x + 2 = 2 - x  x2 – 4x + x + 2 -2 = 0  x2 – 3x = 0

 x(x – 3) = 0 x1 = 0 atau x2 = 3

Untuk x1 = 0 maka bentuk x2 – 4x + 2 dan 2 – x keduanya positif.

Sedangkan x2 = 3 maka bentuk x2 – 4x + 2 dan 2 – x keduanya negatif.

Jadi HP = {0, 5}

LATIHAN 1.4

1. Jika 3log 6



x _{maka nilai x = …}

2. Jika 2log_{3 = p dan} 2_{log5 = q maka} 2_{log45 = …}

3. Diketahui log 3 = 0,4772 dan log 2 = 0,3010. Nilai dari log 75 = … 4. Diketahui 2log_{x = -4 maka nilai dari 2x = …}

5. Jika 6log3 216 x maka nilai -5x + 2 = …

6. Nilai dari 2log_{4 +} 2_{log12 -} 2_{log6 = …}

7. Nilai dari . log81 log63 ...

2 1 3 log 3 7

log 3 3 3

3

 

 

8. ...

9 1 log 2 log 54

log 3 3

3

 



9. Tentukan nilai dari log 567, jika diketahui log 7 = a dan log 3 = b ! 10. Kerjakan dengan menggunakan daftar logaritma !

a. log 6,13 = … b. log 37 = … c. log 0,7286 = …

11. Tentukan himpunan penyelesaian dari : a. 2log_{(x – 4) +} 2_{log(x – 6) = 3}

b. 2log_{(x – 5) +} 2_{log(x – 2) =} 9_log81 c. 2log_{(x – 2) +} 2_{log(x – 3) =}

3 1 log . 2

log 2

3 1

d. log (2x - 5_x + 13) = 1