baris dan deret di Indonesia

(1)

Kelompok 4

“Barisan dan Deret”

Disusun Oleh: Raden Irfan A G M.Mulyana Dede s

M. ikbaL

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

(2)

(3)

Pola Bilangan

Pola bilangan adalah himpunan bilangan – bilangan yang

diurutkan dengan pola gambar ataupun pola bilangan.

Macam – macam pola bilangan dengan pola – pola tertentu

adalah sebagai berikut :

1. Pola bilangan ganjil

2. Pola bilangan genap

3. Pola bilangan persegi

4. Pola bilangan persegi panjang

5. Pola bilangan segitiga

(4)

Pola Bilangan Ganjil

1 titik 3 titik 5 titik

• _{Gambar tersebut merupakan pola titik – titik yang}

menyatakan suatu bilangan yang ditunjukan suatu dengan banyak titik , yaitu 1 , 3 , 5 , 7 , 9

• _{Bilangan 1 , 3 , 5 , 7 , 9 merupakan anggota dari}

himpunan bilangan ganjil , jadi pola titik – titik tersebut membentuk pola bilangan ganjil.

• _{Jumlah n bilangan asli ganjil yang pertama = n x n = n}2

(5)

Contoh soal :

Tentukan jumlah 8 bilangan asli ganjil yang pertama ! Jawab :

Jumlah n bilangan asli ganjil yang pertama = n2

(6)

Pola Bilangan Genap

2 titik 4 titik 6 titik

• Gambar tersebut merupakan pola titik – titik yang menyatakan suatu bilangan yang ditunjukan dengan banyak titik , yaitu 2 , 4 , 6 , 8 , 10 .

• Bilangan 2 , 4 , 6 , 8 , 10 merupakan anggota dari himpunan bilangan genap , jadi pola titik – titik tersebut membentuk pola bilangan genap.

• Jumlah n bilangan asli genap yang pertama = (n + 1 ) n = n ( n + 1 ).

(7)

Contoh soal :

Tentukan jumlah 10 bilangan asli genap yang pertama ! Jawab :

Jumlah n bilangan asli genap yang pertama = n ( n + 1 ) n ( n + 1 ) = 10 ( 10 + 1 )

(8)

Pola Bilangan Persegi

Amatilah gambar berikut yang membentuk suatu pola bilangan. Pola bilangan tersebut dinamakan pola

bilangan persegi.

1 4 9

Aturan dari pola bilangan persegi adalah sebagai berikut :

Suku kesatu : 1 = 1 Suku kedua : 4 = 22

(9)

Pola Bilangan Persegi Panjang

Amatilah gambar berikut yang membentuk suatu pola

bilangan . Pola bilangan tersebut dinamakan pola bilangan persegi panjang.

2 6 12

Aturan dari pola bilangan persegi panjang adalah sebagai berikut :

Suku kesatu : 2 = 1 x 2 Suku kedua : 6 = 2 x 3

(10)

Pola Bilangan Segitiga

Amatilah gambar berikut yang membentuk suatu pola bilangan. Pola bilangan tersebut dinamakan pola

bilangan segitiga.

1 3 6

Aturan dari pola bilangan segitiga adalah sebagai berikut :

Suku kesatu : 1 = 1

Suku Kedua: 3 = 1 + 2

(11)

Pola Bilangan Segitiga Pascal

Amatilah gambar berikut yang membentuk suatu pola

bilangan. Pola bilangan tersebut dinamakan pola bilangan segitiga pascal.

Bilangan pada baris ke – n pada bilangan segitiga pascal , diperoleh dengan :

Meletakan angka 1 pada setiap ujung baris ke – n

Menjumlahkan 2 bilangan yang berdekatan yang terdapat pada baris yang ada tepat di atasnya ( baris ke ( n – 1 )) .

(12)

Notasi Sigma

Perhatikan penjumlahan bilangan – bilangan di bawah ini . 1 + 2 + 3 + 4 + … + 50

Jika semua suku – sukunya ditulis , cara penulisan penjumlahan tersebut jelas tidak efektif. Apalagi jika banyak bilangan yang dijumlahkan semakin besar . Dengan menggunakan notasi sigma , penulisan tersebut dapat dipersingkat menjadi ( dibaca : sigma k yang bergerak mulai dari k = 1 sampai dengan k = 50 ).

Huruf k digunakan sebagai variabel penjumlahan yang akan bergerak mulai 1 dan bertambah 1 sampai mencapai 50 . Bilangan 1 disebut batas bawah ( nilai awal ) dan 50 disebut batas atas ( nilai akhir ) penjumlahan.

(13)

Secara Umum , notasi sigma dinyatakan sebagai berikut :

Keterangan : l = batas bawah n = batas atas

k = indeks

U_k = suku umum

(14)

Sifat – Sifat Notasi Sigma

Secara Umum sifat – sifat notasi sigma adalah sebagai berikut :

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

(15)

Contoh soal

Tentukan nilai penjumlahan yang dinyatakan notasi sigma berikut :

a. b.

Jawab: a.

b.

(16)

Barisan dan Deret

a. Barisan bilangan

Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu.

(17)

b. Deret Bilangan

Deret Bilangan adalah jumlah suku – suku pada suatu barisan bilangan.

Adapun bentuk umum deret bilangan adalah sebagai berikut :

S_n = U₁ +U₂+U₃+…+U_n

Ketrangan: S_n = Deret Bilangan

(18)

Barisan dan deret pada bilangan dibagi menjadi 2 bagian yaitu :

(19)

Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan Aritmatika

Barisan Aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah suatu bilangan tetap

Adapun rumus umum suku ke – n barisan aritmatika adalah : Un = a + (n – 1 ) b

Deret Aritmatika adalah jumlah suku – suku dari suatu barisan aritmatika. Adapun rumus umum jumlahn suku pertama deret aritmatika adalah : Sn = ½ n ( a + Un )

Sn = ½ n ( 2a + ( n – 1 ) b )

Keterangan : Sn = jumlah n suku pertama

a = suku pertama b = beda

Un = suku ke-n

(20)

Contoh soal :

Diketahui suatu barisan

aritmatika -3 , 2 , 7 , 12 ,

…

Tentukan :

a. Suku ke – 8

(21)

Barisan dan Deret Geometri

Barisan Geometri

Barisan Geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dikalikan dengan suatu bilangan tetap (konstan ).

Adapun rumus umum suku ke – n barisan geometri adalah : U_n = arn-1

Adapun rumus umum jumlah n suku pertama deret geometri adalah :

(22)

Contoh Soal

Diketahui suatu barisan geometri 2 , 6 , 18 , 54 …..

Tentukan :

a. Suku ke – 7

(23)

Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak berhingga adalah deret geometri yang tidak dapat dicacah banyak seluruh sukunya.

Adapun rumus jumlah deret geometri tak berhingga adalah :

(24)

Contoh soal :

Diketahui suatu barisan geometri tak berhingga 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …

Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret tersebut !

Jawab :

(25)

Induksi Matematika

Induksi Matematika adalah suatu cara pembuktian untuk membuktikan rumus yang memuat variabel n dan berlaku umntuk setiap n bilangan asli.

Prinsip induksi matematika adalah sebagai berikut : Misalkan P ( n ) = suatu rumus , untuk bilangan asli n a. Misalkan P ( n ) benar untuk n = 1

b. P ( n ) diasumsikan benar untuk n = k

c. Dibuktikan bahwa P ( n ) benar untuk n = k + 1

(26)

Contoh soal :

Buktikan bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2n – 1 ) = n2 berlaku untuk setiap n A

Jawab :

Misalkan P ( n ) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2n – 1 ) = n2

(27)

Aplikasi Barisan dan Deret

1. Setiap minggu Agnes

memasukkan uang ke celengan. Akhir minggu pertama , ia memasukkan Rp 1.000,00 . Akhir minggu kedua , ia memasukkan Rp 1.500,00 . Akhir minggu ketiga , ia memasukkan Rp 2.000,00 demikian seterusnya.

Berapa besar uang yang

(28)

Soal :

1. Diketahui suatu barisan aritmatika 2 , 9 , 16 , 23 , … Tentukan :

a. Suku ke – 20

b. Jumlah 20 suku pertama

2. Buktikan bahwa 3 + 9 + 15 + 21 + … + ( 6n – 3 ) =3n2 berlaku untuk setiap n A

(29)

(30)

Jawab :

Misalkan P ( n ) adalah 3 + 9 + 15 + 21 + … + ( 6n – 3 ) = 3n2