Materi dan LKS Matematika Kelas XI IPA Semester 2: Limit Fungsi

LIMIT FUNGSI

1. LIMIT FUNGSI ALJABAR

Limit x mendekati c dari suatu fungsi f(x) dapat ditulis lim

x cf(x) dibaca “limit x mendekati c dari f(x)”.

Artinya x mendekati bilangan c sedekat mungkin baik dari sebelah kiri ( _  c x lim

f(x))

maupun dari sebelah kanan ( _  c x lim

f(x)).

Jika _  c x lim

f(x) = _  c x lim

f(x) = L maka c x lim

f(x) = L

Contoh 1: Tentukan lim

x 2(3x-1)

Jawab : Jika f(x) = 3x - 1, dengan menggunakan tabel :

x 1 1,₅ 1,₉ 1,99



...



2,01 2,1 2,5 3

F(x) … … … …



…



… … … ...

Dari tabel bisa terlihat bahwa jika x mendekati 2, baik dari sebelah kiri maupun kanan, maka f(x) mendekati ... .

Jadi lim

x 2(3x-1) = ...

Contoh 2 : Tentukan lim x 3

x x

2 ₉

3  

Jawab : Dengan menggunakan tabel :

x 2 2,5 2,9 2,99



3



3,01 3,1 3,5 4

f(x) ... ... ... ...



...



... ... ... ...

Jadi lim x 3

x x

2 ₉

3 

 = ....

Contoh 3: Tentukan Lim x 0

1 x

Jawab : Dengan pendekatan tabel sebagai berikut :

x -3 -2 -1 -0,1

-0,01



0



0,01 0,1 1 2 3

f(x) ... ... ... … …



...



… … ... ... ...

Jadi Lim x 0

1 x = ... 1.1 Limit

x



c

1.1.1 Lim

x cf(x) dimana f(x) bentuk pecahan yang dapat difaktorkan

1. Jika x diganti dengan c pada f(x) menghasilkan f(c)



0 maka c x Lim

2. Jika x diganti dengan c pada f(x) menghasilkan f(c) = 0 0

maka f(x) harus difaktorkan

pembilang atau penyebutnya, kemudian disederhanakan sehingga menghasilkan

bentuk bukan 0 0

jika x diganti dengan c.

Contoh 4 : Tentukan Lim

x 1 1 1

2

  x x

Jawab : Lim

x 1 1 1

2

  x

x _{= ……….}

LATIHAN SOAL

Tentukan limitnya !

1. 3  x Lim

5x+6 5.

2  x Lim

2 4

2

  x

x _9.

3  x Lim

12

7

6

2 2









x

x

x

x

2. 3  x Lim

2 4

1 5

  x x

6. Lim

x 0 x x

x2 _10.

5   x Lim

15

17

4

5

9

2

2 2









x

x

x

x

3. 2  x Lim

1 6 3

  x

x

7. 2  x Lim

2 8 2

2

   x

x

x _11. Lim

x 0

x

x

x

x

x







2 2

3

2

3

4.

1   x Lim

1 1 2

  x

x

8.

5   x Lim

5

9

2

5

2







x

x

x

12. Lim

x 1

1

1

2 3





x

x

1.1.2 c x Lim

 f(x) dimana f(x) pecahan bentuk akar

Diselesaikan dengan mengalikan sekawan f(x) yang berharga 1 sehingga dapat

diserhanakan menjadi bentuk yang berharga bukan 0 0

jika x diganti dengan c.

Contoh 1 : Tentukan Lim

x 1 1 8 3

  

x x

Jawab : Lim

x 1 1 8 3

  

x

x _{= ………..}

LATIHAN SOAL

Tentukan limitnya !

1. Lim x 4

x x

 

2

4 7.

Lim x 10

x x

  

1 3

2. Lim x 9

   x x

9

3 8.

Lim x 0

x x

2 _{4 2}

 

3. Lim x 0

x x

2 4 9.

Lim x 1

x x x

 



2 1

1

4. Lim

x 1 1 5 2

  

x

x _10.

2  x Lim

4 2

2 _

 x

x

5. 2  x Lim

2 1 4 3

  

x

x _11.

3  x Lim

7 1

3

1 2 4

  

  

x x

x x

6. Lim

x 0 x

x 2 36 6

5 

 12. h 0

Lim

h x h x 

1.2 LIMIT

x

 

Contoh 1. Tentukan   x Lim

x 1

dengan pendekatan tabel !

Jawab :

x 1 10 100 100

0 ... .. f(x) ... ... ... ... ... ...

Jadi

  x Lim

x 1

= ...

Untuk menyelesaikan limit untuk x mendekati



digunakan cara :

1. Jika pada   x Lim

f(x) menjumpai bentuk  

pada substitusi x dengan



, maka

diselesaikan dengan membagi dengan variabel pangkat yang tertinggi.

2. Jika f(x) berupa bentuk







untuk

x





maka diselesaikan dengan mengalikan sekawan dari f(x) yang berharga 1, kemudian diselesaikan dengan cara no.1

Contoh 2 : Tentukan   x Lim

2 2

7

3

2

5

x

x

x







Jawab :   x Lim

2 2

7

3

2

5

x

x

x







:...

= ………..

Contoh 3 : Tentukan   x Lim

x x x

x2_3 _ 2_ 2

Jawab :   x Lim

x x x

=   x Lim

...

=   x Lim

... :...

=

  x Lim

.... = ... = ...

LATIHAN SOAL

1.   x Lim

x

x

x

3

4

1

2

2





6.   x Lim

1

3

1

3





x x

2.   x Lim

x

x

x

x





2 3

3

2

4

7.   x Lim

x x

x x

 





5

5

5

5

3.   x Lim

1

2

5

2

5

2 3

3









x

x

x

x

_8.

  x Lim

1

1 2

2_{  x }

x

4.   x Lim

3 2

2 3

2

6

3

7

4

x

x

x

x









_9.

  x Lim

1 1   x x

5.   x

Lim 5 1

2

x

x  x 10. x 

Lim

4_x2 _{ x} 4_x2_3_x

1.3 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

C Karena AB = AD = r = 1, maka AE = cos x , DE = sin x

D dan BC = tan x

x

A E B

L



ADE < L juring ABD < L



ABC

BC AB x

DE

AE .

2 1 1 2 .

2

1 _



2 _



x x

x

x tan

2 1 2 1 sin cos 2 1



 :1sin

2 x

x x

x x

cos 1 sin

cos  

Lim

x 0 cos x < Lim x 0

x

x

sin



Lim x 0

1 cosx

1 < 0  x Lim



x

x

sin

1

Jadi 0  x Lim

x x

sin = x  0 Lim

x x sin

Sehingga : 0  x

Lim _

tgx x

0  x Lim

 x tgx

1

Contoh 1: Tentukan 0  x Lim

x x 3

5 sin

Jawab : 0  x Lim

x x 3

5 sin

. ....

= 0  x Lim

.... 5 sin x

. ...

= ...

Contoh 2: Tentukan 0  x Lim

2

cos

2

2

x

x



Jawab : 0  x Lim

2

cos

2

2

x

x



= Lim x 0

2

2

(...)

x

= 0  x Lim

2

...)

...

(...

2

x

= 0  x Lim

4. ...

LATIHAN SOAL

Tentukan limitnya !

1. 0  x Lim

x x 4 sin

4. 0  x Lim

x x 4

3 sin 2

7. 0  x Lim

2

2

2

cos

1

x

x



2. 0  x Lim

x x tg

4 cos

3

5. 0  x Lim

2 2

sin

x

x

_8.

0  x Lim

x x cos 1

3. 0  x Lim

x tg

x 4

5 sin

6. 0  x Lim

x x sin

cos 1

9. 0  x Lim

x xtgx

cos 1