Materi dan LKS Matematika Kelas XI IPA Semester 2: Turunan Fungsi

TURUNAN FUNGSI

A. TURUNAN SUATU FUNGSI

1. PENDAHULUAN TURUNAN

Turunan y = f(x) didefinisikan dengan    dx dy x f

y' '( ) lim h 0

f x h

f x

h

(



)



( )

Contoh 1 : Tentukan turunan dari y = 5x + 2

Jawab : y = f(x) = 5x + 2

f(x+h) = ... = ....

y'lim

h 0

f x h

f x

h

(



)



( )

= lim h 0 ... = lim

h 0... = ...

LATIHAN SOAL

Tentukan turunan dari fungsi berikut dengan menggunakan rumus y’ = lim h 0

f x h

f x

h

(



)



( )

1. y = 5 7. y =

3

x

2

2. y = c 8. y =

5

x

2

3. y = 2x - 1 9. y =

x

3

4. y = 10x + 7 10. y =

2

x

3

5. y = cx + d 11. y =

4

x

2



10

6. y =

x

2 _{12. y =}

5

x

3



7

x

2

2. TURUNAN _{y ax}n

Dengan menggunakan definisi turunan y’ = lim h 0

f x h

f x

h

(



)



( )

, kita mencoba

menentukan turunan dari y = a, y = ax, y =

ax

2_{, y ax}3_{, y ax}10_{dan yax}100_,

maka akan diperoleh kesimpulan sebagai berikut :

Jika y_axn _{maka y'anx}n1

Contoh 1 : Tentukan turunan dari :

a. y = 3 d. y 4x2

b. y = 4x e. y =

2

x

5

Jawab : a. y ’ = ... d. y ’ = ... b. y ’ = ... e. y ’ = ... c. y ’ = ...

Contoh 2 : Tentukan turunan dari :

a.

y

x



1

₂ b. y x c. y

x  3

Jawab : a.

y

x



1

₂ = …….. maka y ’ = .…….

b. y x = ……..maka y ’ = .……..

c. y x

 3 = …….. maka y ’ = ..………

LATIHAN SOAL

Tentukan turunannya dengan menggunakan rumus y’ =

anx

n1

1. y = 10 8. y = _{2 x}

2. y = 8x 9. y = ₆3 _x4

3. y = 4x + 3 10. y = 7

3 x

4. y = 1

2 7 1

2

x  x 11. y =



1

2

3

x

5

5. y = 1 2

4

3 6 5 7

4 3 2

x  x  x  x 12. y =(5_x3)2

6. y =

10

₃

x

13. y =

5

2

4

3

x

x



7. y =

5

2

x

4

3. RUMUS-RUMUS TURUNAN

Misalkan u dan v adalah fungsi-fungsi dalam x, maka :

1. Jika y = u



v maka y ’ = u ’



v ’ 2. Jika y = ku maka y ’ = ku’

3. Jika y = uv maka y ’ = u ’v + uv ’

4. Jika y = u

v maka y ’ =

u v

uv

v

'



'

2

5. Jika y =

u

n _{maka y ’ =}

nu

n1

. '

u

Di mana k dan n suatu konstanta.

y = uv atau lengkapnya y = f(x) = u(x)v(x)

y’ = lim h 0

f x h

f x

h

(



)



( )

= lim h 0

u x

h v x h

u x v x

h

(



) (



)



( ) ( )

= lim h 0

u x h v x h

u x v x

u x v x h

u x v x h

h

(



) (



)



( ) ( )



( ) (



)



( ) (



)

= lim h 0

u x h

u x

h

v x h

u x

v x h

v x

h

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )













= u’(x)v(x+0) + u(x)v’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x) = u’v + uv’

Contoh 1 : Tentukan turunan dari :

a. y =

6

x

3



4

x

2



5

x



1

_{d. y = (10x 3)}5



b. y = (2x-1)(3x+4)

c. y = 4 5 1 x x

  Jawab : a. y ’ = ...

b. y ’ = ... c. y ’ = ... d. y ’ = ...

LATIHAN SOAL

Tentukan turunannya dengan menggunakan rumus-rumus turunan

1. y2x  x  x 3

1

2 4 5

3 2 _{7. y =}

4 2_{( x}1₎6

2. y = (4x+2)(2x+5) 8. y = 4x 3

3. y = (-x+1)(3-x) 9. y = 4 5 x

4. y = x x

 

1

2 10. y =

1 2 3x1 5. y = 2 3

5 x

x 

 11. y = (2 1) ( 4)

5

x x

6. y = x

x3 12. y =

(x ) x   1 3 4 3

4. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Kita akan mencoba menentukan turunan dari y = sin x dengan menggunakan rumus turunan .

y’ = lim h 0

f x h

f x

h

(



)



( )

= lim h 0

sin(

x h

) sin

x

h





= lim h 0

2

2

2

cos

x h x

sin

x h x

h

 

 

= lim h 0

2

1

2

1

2

cos(

x

h

) sin

h

h



= lim

h 0

cos(

)

sin

x

h

h

h



1

2

1

2

1

2

= cos(x 1. ).

2 0 1 = cos x

Dengan cara yang sama akan di dapat jika y = cos x maka y’ = -sin x.

Jadi turunan fungsi sinus dan cosinus dapat digambarkan sbb:

sin

x



cos

x

 

sin

x

 

cos

x



sin

x

Contoh 1: Tentukan turunan dari :

a. f(x) = 2 sin x - 3 cos x b. f(x) =

x

2

sin

x

Jawab : a. f(x) = 2 sin x - 3 cos x f ’(x) = ……

= …… b. f(x) =

x

2

sin

x

f ’(x) = …. (gunakan rumus y = uv)

LATIHAN SOAL

Tentukan turunannya dari :

1. f(x) = cos x + sin x 9. f(x) = (4x+2) sin x 2. f(x) = -2 sin x + 5 cos x 10. f(x) = (3_x2 5) cos_x

 3. f(x) = 3 cos x - 2 sin x 11. f(x) = sinx

x 1 4. f(x) = cos x



5

x

2



3

_{12. f(x) =} x

x

2

cos

5. f(x) =

4

x

3



6

sin

x



5

_{13. f(x) =} sin

cos x x

6. f(x) = x sin x 14. f(x) = cos

sin x x

7. f(x) = sin x cos x 15. f(x) = 2x 4 x  sin 8. f(x) =



2

x

3

cos

x

1. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA

Perhatikan gambar di bawah ini :

y = f(x) Y g

f(x+h) Q Garis g memotong kurva y = f(x) di titik P dan Q

P f(x)

0 x x+h X

Seperti kita ketahui, gradien garis g adalah m =

f x h

f x

h

(



)



( )

Jika garis g kita putar dengan titik P sebagai titik putarnya, sehingga titik Q yang

memotong kurva y = f(x) bergerak. Pada saat h mendekati 0 (h 0), maka titik P dan Q akan berimpit sehingga akan di dapat suatu garis singgung di titik P.

Jadi gradien garis singgung pada y = f(x) di titik P adalah :

m = lim h 0

f x h

f x

h

(



)



( )

atau m = f ’(x)

Contoh 1 : Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y =

x

2



2

x



3

_{di titik (3,4)}

Jawab : yx2  2x 3 y ’= ….

Gradiennya di titik (3,4) adalah m = f’(3) = ….

Persamaan garis singgung kurva dengan gradien 4 dan melalui titik (3,4) adalah :

)

(

1

1

m

x

x

y

y







………. ……….

Contoh 2 : Tentukan persamaan garis singgung kurva y =

x

2 _{yang tegak lurus garis y-2x =}

1

Jawab : Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah saling berlawanan berkebalikan

Atau m m

1 2

1 

y - 2x = 1



y = 2x + 1 maka m1 ...

Karena

m

₁



2

maka m2 ... (

m

2 gradien garis singgung)

... 2

2 '

2 y  x  x 

m

x



...

sehingga y = _x2 _......

Jadi persamaan garis singgungnya :

y y



₁



m x x

(



₁

)

………….. …………..

LATIHAN SOAL

1. Tentukan gradien garis singgung pada kurva berikut di setiap titiknya : a. yx3 di titik (2,8) c. y 3x2  1 _{dengan absis 2} b. yx2  x _{di titik (-1,2) d. yx}2 _{ 2x 8 dengan ordinat -9}

2. Tentukan persaman garis singgung kurva :

a. yx2 _{di titik (1,1) e. y 3x}2 _{ 2di x = 3}

b. y3x2  x3 _{di titik (2,4) f. y(x 2)}2 _{di x = 1}

d.

y

x



2

₂ di titik (2, )1

2 h. y x

2

di y = 3

3. Tentukan persamaan garis singgung yx2 x 3 yang bergradien 5

4. Tentukan persamaan garis singgung y x3 yang membentuk sudut

45

o _dengan sumbu X

5. Tentukan persamaan garis singgung yx2  2x yang sejajar garis 3x-y+1=0

6. Tentukan persamaan garis singgung y3x2  2x 1 _{yang tegak lurus garis x+4y-5=0}

2. FUNGSI NAIK DAN TURUN

Perhatikan gambar berikut ini :

Y

B

A

C

D

0 X

Untuk membaca sebuah kurva ada aturannya, yaitu dari kiri ke kanan. Pada gambar di atas, dari titik A ke titik B dikatakan kurva dalam keadaan naik, sedangkan dari titik B ke titik C kurva dalam keadaan turun

Kurva Naik

Pada kurva dalam keadaan naik dari kiri ke kanan, maka terlihat bahwa harga x semakin

besar (x 0)dan harga y juga semakin besar (y 0). Karena gradien (m) =   y x dan m = y’ maka

syarat kurva naik jika y'0 (karena  

)

Kurva Turun

Pada kurva dalam keadaan turun dari kiri ke kanan, maka terlihat bahwa harga x semakin

besar (x 0) dan harga y semakin kecil (y0). Karena gradien (m) =   y

x dan m = y’ maka syarat

kurva turun jika y ’ < 0 (karena  )

Contoh 1 : Tentukan interval di mana fungsi f(x) =

x

3



3

x

2



9

x



5

a. naik b. turun

Jawab : f(x) =

x

3



3

x

2



9

x



5

f’(x) = ....

x

2



2

x



3 0



( ... )( ... ) = 0 x = ...atau x = ...

Dengan bantuan garis bilangan sebagai berikut :

+ - + ... ...

Berdasarkan gambar di atas disimpulkan : Kurva naik pada interval ... atau ... Kurva turun pada interval ...

LATIHAN SOAL

1. Tentukan interval kurva naik dan turun dari fungsi berikut :

a. f x( )x2  ₄x b. f x( )x2  ₆x ₇

c. f x( )8x x2

d. f x( )x3  12x

e. f x( )1x  x  x

3 3 8 4

3 2

f. f x( )2x3x2  4x1 g. f x( )x4  4x3 4x2

2. Tunjukkan bahwa fungsi f x( )x3 6x2 20x1 selalu naik 3. Tunjukkan bahwa fungsi f x( )3x35 _{tidak pernah naik}

4. Tunjukkan bahwa fungsi f x x

( )1 selalu turun

3. NILAI STASIONER

Perhatikan gambar berikut ini Y A

Titik A dan B disebut titik-titik stasioner/ titik ekstrem/titik puncak.

B Titik A disebut titik balik maksimum Titik C disebut titik balik minimum

C Titik B disebut titik belok/titik belok horisontal

0 X

Pada gambar di atas terlihat bahwa gradien pada titik-titik stasioner berupa garis lurus yang mendatar. Pada titik stasioner, keadaan ini kurva tidak naik dan juga tidak turun.

Jadi syarat titik stasioner pada kurva y = f(x) jika y ’= 0

Untuk menentukan jenis titik stasioner tersebut bisa digunakan uji kiri kanan pada titik stasioner tersebut, atau bisa juga dengan menggunakan turunan kedua.

- jika + lalu - maka

( ,

x y

_{1 1}

)

titik balik maksimum - jika - lalu + maka

( ,

x y

_{1 1}

)

titik balik minimum - jika - lalu - atau + lalu + maka

( ,

x y

_{1 1}

)

titik belok II. Dengan menggunakan turunan kedua

- jika f’’(

x

₁

)



0

maka

( ,

x y

_{1 1}

)

titik balik minimum - jika f’’(

x

₁

)



0

maka

( ,

x y

_{1 1}

)

titik balik maksimum - jika f’’(

x

₁

)



0

maka

( ,

x y

_{1 1}

)

titik belok

Contoh 1 : Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari f(x) =

x

3



6

x

2



9

x



1

Jawab : f ’(x) = 0

... = 0 (:3) ... = 0 ( ... )( ... ) = 0

x = ... maka y = ..., titik stasionernya (...,...) x = ... maka y = ..., titik stasionernya (...,...)

Jenisnya : Cara I

... ... ...

... ...

Jadi (...,...) merupakan ... (...,...) merupakan ...

Cara II

f(x) =

x

3



6

x

2



9

x



1

f ’(x) = ... f ’’(x) = ...

Untuk x = 1 maka f ’’(1) = ... Untuk x = 3 maka f ’’(3) = ...

Jadi (...,...) merupakan ... (...,...) merupakan ...

LATIHAN SOAL

Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari :

1. _f(_x)_2_x2 _ 3_x1 _6.

x x x

f( ) 1 2. _{f(x) 9 4x x}2

 

 7. _{( ) (} 2 ₄₎2

  x x f 3. f(x) x3 12x



 8. _{f(x) x}4 _4x3

 

4. _f(x)x3_{ 6x}2 _{9. f(x)x}5_{ 5x}3

5. f(x) x3 6x2 12x

 

 10.

x x x

f( )_ 3_48

4. NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM PADA SELANG TERTUTUP

Perhatikan gambar berikut ini :

Y E B

A

C

X

x

₁

x

₂

Pada gambar di atas terlihat, pada selang x₁ xx₂ kurva mencapai nilai maksimum pada titik E dan mencapai nilai minimum pada titik D. Jadi dari gambar di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa nilai stasioner pada selang tertutup belum tentu nilai ekstrimnya (maksimum/minimum).

Cara menentukan nilai maksimum dan minimum pada selang tertutup

a



x



b

pada kurva y = f(x) adalah sebagai berikut :

1. Tentukan nilai-nilai ujung interval 2. Tentukan nilai-nilai stasionernya

3. Bandingkan masing-masing nilai untuk menentukan nilai maksimum dan minimum

Contoh 1 : Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) 2x3 15x2 36x

 

 pada

interval

1

 

x

5

Jawab : f(1) = ... f(5) = ...

f x( )2x3 15x2 36x f ’(x) = 0

... = 0 ... ...

x = ... maka y = ... x = ... maka y = ...

Jadi nilai maksimum = ... dan nilai minimum = ...

LATIHAN SOAL

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari :

1. f x x

( ) 2 untuk

  

1

x

1

6. f x( )x3 3x2 2 untuk

  

1

x

5

2. f x( )x2  x 6 untuk

  

6

x

5

7. f x( )x4 3x2  6 untuk

  

2

x

4

3. f x( )3x x2 _untuk

1

5

 

x

8. f x( )4x3 15x2 12x5 _untuk

₀

3

 

x

4. f x( )x3  6x2 untuk

  

1

x

3

9. f x( )3x4  4x3 3 _untuk

₀

2

 

x

5. f x( )2x4  x2 _untuk

  

3

x

4

10. f x( )x5  5x3 untuk

  

1

x

1

5. PENERAPAN NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM

Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita menjumpai hal-hal yang berhubungan dengan nilai optimum (maksimum/minimum) untuk mencapai hasil optimal yang diinginkan. Jika suatu persoalan dapat dinyatakan dalam suatu persamaan matematika berderajat lebih dari 1, maka tentu ada nilai ekstrim/stasioner dari kurva yang terbentukjnya. Dengan menggunakan y’ = 0 maka persoalan di atas dapat diselesaikan.

Contoh 1 : Dua bilangan jumlahnya 8. Tentukan hasil kali maksimumnya !

Jawab : Misal kedua bilangan itu x dan y, maka : x + y = 8



x = ...

Misal z = xy

Substitusi x = ... ke z = xy sehingga : z = xy

z = ( ... ) y = ...

y = ... maka z = ...

LATIHAN SOAL

1. Suatu persegi panjang kelilingnya 24 cm. Tentukan luas maksimum dan ukuran persegi panjang itu !

2. Dua bilangan selisihnya 4. Tentukan hasil kali minimumnya !

3. Tentukan nilai xy2 _{terbesar jika x + y = 48}

4. Ali memagari sepanjang tembok berbentuk persegi panjang dengan kawat. Jika panjang kawat 24 m, tentukan ukuran kandang yang harus dibuat agar luasnya maksimum, jika salah satu sisinya berupa tembok yang ada !

5. Suatu roket bergerak ke atas dengan persamaan gerak h t( ) 800t 5t2_{. Tentukan tinggi}

maksimum yang dapat dicapai roket tersebut !

6. Ibu ingin membuat kotak tanpa tutup. Kotak itu berisi 4

dm

3_{. Jika alas kotak itu berupa}

persegi, tentukan ukuran kotak itu agar memerlukan karton seminimum mungkin !

7. Sehelai karton persegi panjang dengan panjang 8 cm dan lebar 5 cm. Pad keempat sudut karton itu dipotong bujur sangkar yang sisinya x cm. Tentukan ukuran kotak tanpa tutup itu agar isinya maksimum

8. Tentukan jarak terdekat dari garis y = 2x + 5 ke titik (4,3)

9. Y

Jika jari-jari lingkaran 10 cm, tentukan luas maksimum persegi panjang yang diarsir !

X 0

6. MENGGAMBAR KURVA SUKU BANYAK

Cara menggambar kurva suku banyak y = f(x) :

1. Tentukan titik potong dengan sumbu X syarat y = 0 (jika memungkinkan) 2. Tentukan titik potong dengan sumbu Y syarat x = 0

3. Tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya

4. Gambar kurvanya (kalau perlu dengan menggunakan beberapa titik bantu)

Contoh 1 : Lukis kurva y 3x2  x3

Jawab : Titik potong dengan sumbu X 0 =

3

x

2



x

3

0 = ...

x

₁



.../

x

₂



...

Titik potong dengan sumbu Y y = ... = .... Titik Stasioner dan jenisnya y’ = 0

... = 0 ... = 0

x y

x y

1 1

2 2

  

  

... ... ... ...

Jadi titik stasionernya (....,....) dan (....,....)

y’’ = f’’(x) = ...

Jadi (....,...) berupa .... (....,...) berrupa ....

Gambarnya :

Titik belok y’’ = 0

... = 0 x = ... maka y = ...

Jadi (....,....) berupa titik belok

LATIHAN SOAL

Lukis kurvanya !

1. yx2 x 6 6. y  8 x3

2. y x28x 7. y x4  4x2

3. y 2x3 _{8. yx}4 _{ 2x}2 _{ 8}

4. y x3 6x2 9. y 3x5 5x3