PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV SATU WAKTU SEBELUMNYA SRI RAMADANIATY

(1)

PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR

AMERIKA MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV SATU

WAKTU SEBELUMNYA

SRI RAMADANIATY

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2015

(2)

(3)

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pemodelan Nilai Tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika Menggunakan Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, Mei 2015 Sri Ramadaniaty NIM G54100097

(4)

ABSTRAK

SRI RAMADANIATY. Pemodelan Nilai Tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika Menggunakan Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan RUHIYAT.

Nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika telah menjadi salah satu acuan penting dalam pergerakan perekonomian Indonesia. Perubahan nilai tukar Rupiah merupakan suatu kejadian yang bisa terjadi kapan saja dalam jangka waktu yang panjang dan perubahan yang terjadi mungkin terjadi kembali di masa mendatang. Jika penyebab kejadian diasumsikan tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov, maka pasangan penyebab kejadian dan data nilai tukar Rupiah dapat dimodelkan oleh model hidden Markov. Dalam tugas akhir ini digunakan model hidden Markov satu waktu sebelumnya, di mana nilai Rupiah saat ini bergantung pada nilai Rupiah satu waktu sebelumnya dan penyebabnya di waktu sekarang dan satu waktu sebelumnya. Parameter model diduga dengan menggunakan Maximum Likelihood dan perhitungannya menggunakan algoritme iteratif Expectation Maximization (EM). Proses komputasi numerik dilakukan dengan menggunakan software Mathematica 10. Setelah penduga parameter didapatkan maka nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika dapat diduga. Akurasi model diukur menggunakan mean absolute percentage error (MAPE). Diperoleh MAPE 4.48% dengan satu kali iterasi.

Kata kunci: algoritme EM, MAPE, model hidden Markov, nilai tukar Rupiah

ABSTRACT

SRI RAMADANIATY. Modeling the Exchange Rate of Rupiah to American Dollar using Previous Time Hidden Markov. Supervised by BERLIAN SETIAWATY and RUHIYAT.

An exchange rate of Rupiah to American Dollar has become one of important reference for Indonesian economic movement. The movement of the exchange rate of Rupiah is an event that can occur anytime in a long period and possible to reoccur in the future. If the cause of event is not observed directly and forms a Markov chain, so the pair of the cause and an exchange rate of Rupiah can be modeled by hidden Markov. In this thesis the previous time hidden Markov model is used. This model assumes that the present exchange rate of Rupiah depends on the previous exchange rate of Rupiah and the present and previous cause. Model parameter is estimated by using maximum likelihood method and the calculation uses iterative algorithm expectation maximization (EM). Numerical computation is done by using Mathematica 10. After the parameter model is obtained, then the exchange rate of Rupiah to American Dollar can be estimated. Model accuracy is measured by using mean absolute percentage error (MAPE). Resulted MAPE is 4.48% with one iteration.

Keywords: EM algorithm, MAPE, hidden Markov model, the exchange rate of Rupiah

(5)

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR

AMERIKA MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV SATU

WAKTU SEBELUMNYA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2015

(6)

(7)

(8)

PRAKATA

Puji dan syukur ke Hadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul Pemodelan Nilai Tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika Menggunakan Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya.

Penulis mengucapkan terimakasih kepada:

1. Dr Berlian Setiawaty, MS dan Ruhiyat, MSi selaku dosen pembimbing yang telah memberikan ilmu, bimbingan, saran, arahan dan motivasi bagi penulis selama skripsi, dan kepada Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc selaku dosen penguji.

2. Papa (Prof Dr Ahmad Husein Ritonga, MAg), Mama (Dra Mariatul Hasanah Harahap), kak Fatimah Raihani (Ayu) & kak Soleh, kak Lainatussifa (Dede), Naila Hidayati dan M. Farhan Akhwan atas segala doa, nasehat, dukungan, dan kasih sayangnya.

3. Staf Departemen Matematika: Ibu Susi, Bapak Yono, Ibu Ade, dan Bapak Deni atas kesabaran dan bantuannya selama ini.

4. Kak Tyas, kak Juni, kak Hendra, Nisa, Putri Putu, Eka, Betry, mbak Peni, Ando, Murzani, Agung, Marin, Okta, Susi, Shovi, Pupu, serta teman-teman Matematika 47 lainnya, Wisma Pelangi, Lordu dan teman seperjuangan atas doa dan semangatnya selama ini.

Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi berbagai pihak.

Bogor, Mei 2015

(9)

DAFTAR ISI

DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 LANDASAN TEORI 2

Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2

Peubah Acak dan Sebarannya 3

Nilai Harapan 4

Rantai Markov 5

Algoritme Expectation Maximization (EM) 8

Mean Absolute Percentage Error (MAPE) 9

MODEL HIDDEN MARKOV SATU WAKTU SEBELUMNYA 9

Model Hidden Markov 9

Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya 10

PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA 18

Data Input Nilai Tukar Rupiah 18

Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya 19

Penentuan Nilai Awal Parameter 19

Hasil Program 20

SIMPULAN 21

DAFTAR PUSTAKA 21

LAMPIRAN 22

(10)

DAFTAR GAMBAR

1 Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan 18 2 Plot persamaan baru dari data yang akan dikurangi rataannya 19 3 Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan dan

nilai dugaan yang didapatkan 20

DAFTAR LAMPIRAN

1 Bukti Lema 1 22

2 Bukti persamaan (28) sampai dengan (32) 23

3 Program untuk mencari nilai dugaan menggunakan software

Mathematica 10 35

(11)

1

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Rupiah termasuk soft currency, yaitu mata uang yang mudah berfluktuasi ataupun terdepresiasi, karena perekonomian negara asalnya relatif kurang mapan, sedangkan mata uang negara Amerika Serikat disebut hard currency, karena kemampuannya untuk memengaruhi nilai mata uang yang lebih rendah.

Nilai tukar Rupiah menjadi acuan penting dalam pergerakan naik-turunnya grafik perekonomian Indonesia. Indikasi dari pergerakan ekonomi bisa dilihat dari pergerakan nilai tukar Rupiah itu sendiri. Nilai tukar Rupiah sejatinya terus bergerak setiap hari seperti mata uang lainnya di dunia.

Modal yang beredar di Indonesia, terutama di pasar finansial, sebagian besar adalah modal asing. Ini membuat nilai Rupiah sedikit banyak bergantung pada kepercayaan investor asing terhadap prospek bisnis di Indonesia. Semakin baik iklim bisnis di Indonesia, maka akan semakin banyak investor asing di Indonesia, dan dengan demikian nilai Rupiah akan semakin kuat. Sebaliknya, semakin negatif pandangan investor terhadap Indonesia, Rupiah akan kian melemah.

Faktor yang memengaruhi Rupiah salah satunya adalah kondisi politik-ekonomi. Melemahnya nilai tukar Rupiah berdampak pada harga komoditi impor, baik yang menjadi objek konsumsi maupun alat produksi, serta kenaikan nilai Rupiah dari hutang luar negeri.

Perubahan nilai tukar mata uang merupakan suatu kejadian yang bisa terjadi kapan saja dalam periode waktu yang panjang. Ramalan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika merupakan informasi penting yang dapat digunakan pemerintah untuk menentukan kebijakan di bidang ekonomi, perdagangan, dan pariwisata.

Model hidden Markov (Hidden Markov Model, HMM) adalah sebuah model stokastik yang tersusun dari dua buah proses stokastik, yaitu rantai Markov untuk menampung penyebab proses yang diamati serta proses yang diamati itu sendiri.

Perubahan nilai tukar Rupiah merupakan suatu kejadian yang bisa terjadi kapan saja dan dalam jangka waktu yang panjang. Dengan asumsi perubahan yang terjadi pada waktu yang lalu mungkin terjadi kembali di masa mendatang, sehingga hal ini merupakan suatu proses stokastik. Faktor penyebab kejadian (state) tersebut dapat berkembang menurut model rantai Markov di mana state yang akan datang hanya dipengaruhi oleh state sekarang dan bebas terhadap state yang lalu. Jika penyebab kejadian diasumsikan tidak diamati secara langsung (hidden) dan membentuk rantai Markov, maka pasangan kejadian dan penyebabnya dapat dimodelkan dengan model hidden Markov.

Permasalahan yang dibahas dalam karya ilmiah ini adalah penggunaan model deret waktu hidden Markov dalam menggambarkan perilaku nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika. Dalam deret waktu hidden Markov, kejadian yang diamati selain diamati oleh faktor penyebab kejadian, juga dipengaruhi oleh kejadian sebelumnya.

Dalam tugas akhir ini digunakan model hidden Markov satu waktu sebelumnya, di mana nilai Rupiah saat ini bergantung pada nilai Rupiah satu waktu sebelumnya dan penyebabnya di waktu sekarang dan satu waktu sebelumnya.

(12)

2

Dalam model ini akan dicari penduga parameter yang memaksimumkan peluang terjadinya suatu kejadian. Metode Maximum Likelihood dan algoritme Expectation Maximum (EM algorithm) Baum dan Petrie (1966) adalah metode yang digunakan untuk pendugaan parameter tersebut.

Setelah pendugaan parameter yang memaksimumkan peluang terjadinya suatu kejadian didapatkan, maka diharapkan dapat dilakukan suatu penarikan kesimpulan yang optimal dan peramalan state.

Tujuan Penelitian

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah:

1. Mengkaji deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya beserta pendugaan parameternya.

2. Memodelkan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika menggunakan deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya.

LANDASAN TEORI

Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

Definisi 1 (Percobaan Acak)

Suatu percobaan yang dapat diulang dalam keadaan yang sama di mana hasil dari percobaan ini tidak dapat ditebak dengan tepat namun dapat diketahui semua kemungkinan hasilnya disebut percobaan acak (Ross 1996).

Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian)

Himpunan dari semua kemungkinan hasil yang muncul dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan Ω. Suatu kejadian 𝐴 adalah himpunan bagian dari Ω (Grimmet dan Stirzaker 1992).

Definisi 3 (Medan-𝝈)

Medan-𝜎 adalah suatu himpunan ℱ yang anggotanya adalah himpunan bagian dari ruang contoh Ω serta memenuhi syarat-syarat sebagai berikut:

a. 𝜙 ∈ ℱ.

b. Jika 𝐴1, 𝐴2, … ∈ ℱ maka ⋃∞𝑖=1𝐴𝑖 ∈ ℱ. c. Jika 𝐴 ∈ ℱ maka 𝐴𝑐 ∈ ℱ

(Ross 1996).

Definisi 4 (Ukuran Peluang)

Ukuran peluang 𝑃 pada (Ω , ℱ) adalah fungsi 𝑃: ℱ → [0,1] yang memenuhi: a. 𝑃(∅) = 0 dan 𝑃(Ω) = 1.

(13)

3 b. Jika 𝐴1, 𝐴2, … ∈ ℱ adalah himpunan yang saling lepas, yaitu 𝐴𝑖∩ 𝐴𝑗 = ∅

untuk setiap pasangan 𝑖, 𝑗 di mana 𝑖 ≠ 𝑗, maka 𝑃(⋃∞𝑖=1𝐴𝑖) = ∑∞𝑖=1𝑃(𝐴𝑖). Pasangan (Ω , ℱ, 𝑃) disebut ruang peluang (Grimmet dan Stirzaker 1992).

Definisi 5 (Kontinu Absolut)

Jika 𝑣 dan 𝜇 merupakan dua peluang pada (Ω , ℱ). Ukuran peluang 𝑣 dikatakan kontinu absolut terhadap ukuran peluang 𝜇 jika 𝜇(𝐴) = 0 berimplikasi 𝑣(𝐴) = 0, untuk setiap 𝐴 ∈ ℱ. Dinotasikan 𝑣 ≪ 𝜇 (Royden 1963).

Definisi 6 (Peluang Bersyarat)

Jika 𝑃(𝐵) > 0 maka peluang bersyarat dari kejadian 𝐴 setelah diketahui kejadian 𝐵 ialah

𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵) (Grimmet dan Stirzaker 1992).

Definisi 7 (Kejadian Saling Bebas)

Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵). Misal 𝐼 adalah himpunan indeks. Himpunan kejadian {𝐴_𝑖: 𝑖 ∈ 𝐼} disebut saling bebas jika 𝑃(⋂_𝑖∈𝐽𝐴_𝑖) = ∏_𝑖∈𝐽𝑃(𝐴_𝑖) untuk setiap himpunan bagian berhingga 𝐽 dari 𝐼 (Grimmet dan Stirzaker 1992).

Peubah Acak dan Sebarannya

Definisi 8 (Peubah Acak)

Misalkan ℱ adalah medan-𝜎 dari Ω. Peubah acak 𝑋 merupakan fungsi 𝑋: Ω → ℝ di mana {𝜔 𝜖 Ω: 𝑋(𝜔) ≤ 𝑥} ∈ ℱ untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ (Grimmet dan Stizaker 1992). Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil.

Definisi 9 (Fungsi Sebaran)

Fungsi sebaran dari peubah acak 𝑋 adalah suatu fungsi 𝐹𝑋: ℝ → [0,1] di mana 𝐹𝑋(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) (Grimmet dan Stirzaker 1992).

Definisi 10 (Peubah Acak Diskret)

Peubah acak 𝑋 dikatakan peubah acak diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang berhingga atau himpunan terhitung dari ℝ (Ross 1996).

Definisi 11 (Fungsi Massa Peluang)

Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret 𝑋 adalah fungsi 𝑝_𝑋: ℝ → [0,1] di mana 𝑝_𝑋(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥), ∀𝑥 ∈ ℝ (Grimmet dan Stirzaker 1992).

Definisi 12 (Peubah Acak Kontinu)

Peubah acak 𝑋 disebut peubah acak kontinu jika fungsi sebarannya dapat dinyatakan sebagai 𝐹𝑋(𝑥) = ∫_−∞𝑥 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 untuk suatu fungsi 𝑓_𝑋: ℝ → (0, ∞) yang

(14)

4

terintegralkan. Selanjutnya fungsi 𝑓_𝑋 disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi 𝑋 (Ross 1996).

Definisi 13 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak)

Fungsi sebaran bersama dua peubah acak 𝑋 dan 𝑌 merupakan suatu fungsi 𝐹: ℝ2 _{→ [0,1] yang didefinisikan oleh 𝐹}

𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥, 𝑌 ≤ 𝑦) (Grimmet dan Stirzaker 1992).

Definisi 14 (Fungsi Sebaran dan Kepekatan Peluang Bersama Dua Peubah Acak Kontinu)

Peubah acak 𝑋 dan 𝑌 disebut peubah acak kontinu yang menyebar bersama jika 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ fungsi sebaran bersamanya dapat diekspresikan sebagai berikut 𝐹_𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) = ∫_−∞𝑦 ∫_−∞𝑥 𝑓_𝑋𝑌(𝑢, 𝑣)𝑑𝑢 𝑑𝑣 untuk suatu fungsi 𝑓_𝑋𝑌: ℝ2 _{→ [0,1] yang} terintegralkan. Fungsi 𝑓𝑋𝑌 di atas disebut fungsi kerapatan peluang bersama peubah acak kontinu 𝑋 dan 𝑌, 𝑓_𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) = 𝜕

𝜕𝑥 𝜕

𝜕𝑦 𝐹𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) (Ross 1996).

Definisi 15 (Fungsi Kepekatan Peluang Marjinal)

Misalkan 𝑋 dan 𝑌 adalah peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi sebaran 𝐹(𝑥, 𝑦) dan fungsi kepekatan bersama 𝑓(𝑥, 𝑦). Fungsi kepekatan peluang marjinal dari peubah acak 𝑋 dan 𝑌 adalah berturut-turut

𝑓𝑋(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 ∞ −∞ dan 𝑓𝑌(𝑦) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 ∞ −∞ (Ross 1996).

Definisi 16 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat)

Misalkan 𝑋 dan 𝑌 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang marjinal 𝑓_𝑌(𝑦) > 0, maka fungsi kepekatan peluang bersama dari 𝑋 dengan syarat 𝑌 = 𝑦 adalah 𝑓_𝑋|𝑌(𝑥|𝑦) =𝑓𝑋𝑌(𝑥,𝑦)

𝑓𝑌(𝑦) (Grimmet dan Stirzaker 1992).

Nilai Harapan

Definisi 17 (Nilai Harapan Peubah Acak Diskret)

Misalkan 𝑋 adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang 𝑝_𝑋(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥) maka nilai harapan dari 𝑋 adalah 𝐸[𝑋] = ∑ 𝑥𝑝_𝑥 _𝑋(𝑥), asalkan jumlah tersebut konvergen mutlak (Hogg dan Craig 1995).

Definisi 18 (Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu)

Misalkan 𝑋 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang 𝑓_𝑋(𝑥) maka nilai harapan 𝑋 adalah 𝐸[𝑋] = ∫_−∞∞ 𝑥𝑓_𝑋(𝑥)𝑑𝑥, asalkan integralnya ada (Hogg dan Craig 1995).

Definisi 19 (Nilai Harapan Bersyarat)

Misalkan 𝑋 dan 𝑌 adalah peubah acak kontinu dan 𝑓_𝑋|𝑌(𝑥|𝑦) adalah fungsi kerapatan peluang bersyarat dari 𝑋 dengan syarat 𝑌 = 𝑦, maka nilai harapan dari 𝑋

(15)

5 dengan syarat 𝑌 = 𝑦 adalah 𝐸[𝑋|𝑌 = 𝑦] = ∫_−∞∞ 𝑥𝑓_𝑋|𝑌(𝑥|𝑦)𝑑𝑥 (Hogg dan Craig 1995).

Teorema 1 (Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1)

Jika 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏], maka fungsi 𝑔 yang didefinisikan oleh 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑥 𝑎

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

adalah kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan terdiferensialkan pada (𝑎, 𝑏) dan 𝑔′_{(𝑥) = 𝑓(𝑥).} Bukti dapat dilihat pada Stewart (1998).

Definisi 20 (Himpunan dan Fungsi Konveks)

Misalkan S ⊂ ℝ𝑁 adalah himpunan vektor. Maka S disebut sebagai himpunan konveks jika untuk semua 𝐱, 𝐱′ ∈ S dan 𝜆 ∈ [0,1] maka (1 − 𝜆)𝐱 + 𝜆𝐱′ ∈ S. Misalkan 𝑓 merupakan fungsi dengan peubah 𝐱 yang terdefinisi pada himpunan konveks S, maka 𝑓 disebut sebagai fungsi konveks jika 𝑓 memenuhi persamaan 𝑓((1 − 𝜆)𝐱 + 𝜆𝐱′) ≤ (1 − 𝜆)𝑓(𝐱) + 𝜆𝑓(𝐱′) (Osborne 1997).

Teorema 2 (Fungsi Konveks)

Misalkan 𝑓 fungsi yang memiliki turunan kedua. 𝑓 adalah fungsi konveks jika dan hanya jika ∇2_{𝑓(𝐱) ≥ 0, ∀𝐱 ∈ S dan merupakan fungsi strictly convex jika} ∇2_{𝑓(𝐱) > 0, ∀𝐱 ∈ S. Bukti dapat dilihat pada Osborne (1997).}

Teorema 3 (Ketaksamaan Jensen)

Misalkan 𝑋 adalah peubah acak dengan 𝐸[𝑋] berhingga dan 𝑔(𝑥) adalah fungsi konveks, maka 𝐸[𝑔(𝑋)] ≥ 𝑔(𝐸[𝑋]). Bukti dapat dilihat pada Krantz (1999).

Rantai Markov

Definisi 21 (Ruang State)

Misalkan 𝐾 ⊂ ℝ merupakan nilai dari barisan peubah acak, maka 𝐾 disebut ruang state (Grimmet dan Stirzaker 1992).

Definisi 22 (Proses Stokastik)

Proses stokastik 𝑆 = {𝑆𝑡, 𝑡 ∈ 𝑇} adalah suatu koleksi dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state 𝐾 (Ross 1996).

Dalam hal ini 𝑡 dianggap sebagai waktu dan nilai dari peubah acak 𝑆_𝑡 sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu 𝑡.

Definisi 23 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret)

Proses stokastik {𝑆_𝑡, 𝑡 = 0,1,2, … }, dengan ruang state {1,2,3, … , 𝑁}, disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap 𝑡 = 1,2,3, … berlaku

𝑃(𝑆_𝑡 = 𝑗|𝑆_𝑡−1= 𝑖, 𝑆_𝑡−2 = 𝑖_𝑡−2, … , 𝑆₀ = 𝑖₀) = 𝑃(𝑆𝑡 = 𝑗|𝑆𝑡−1 = 𝑖) = 𝑝𝑖𝑗 untuk semua kemungkinan nilai dari 𝑖₀, 𝑖₁, 𝑖₂, … , 𝑖_𝑡−2, 𝑖, 𝑗 ∈ {1,2,3, … , 𝑁} (Ross 1996).

(16)

6

Jadi untuk suatu rantai Markov, sebaran bersyarat dari sebarang state saat ini 𝑆_𝑡 dengan syarat state yang lalu 𝑆₀, 𝑆₁, 𝑆₂, … , 𝑆_𝑡−2 dan state satu waktu sebelumnya 𝑆_𝑡−1 adalah bebas terhadap semua state yang lalu, dan hanya bergantung pada state satu waktu sebelumnya. Hal ini disebut sebagai sifat Markov (Markovian Property).

Proses di atas dapat digambarkan sebagai 𝑁 -state rantai Markov dengan peluang transisi {𝑝_𝑖𝑗} dengan 𝑖, 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑁. Nilai dari 𝑝_𝑖𝑗 menyatakan peluang bahwa jika proses tersebut berada pada state 𝑖 , maka berikutnya akan beralih ke state 𝑗 . Karena 𝑝𝑖𝑗 adalah nilai peluang dan proses tersebut harus bertransisi, maka

i. 0 ≤ 𝑝𝑖𝑗 ≤ 1, untuk 𝑖, 𝑗 ∈ {1,2,3, … , 𝑁}. ii. ∑𝑁_𝑗=1𝑝_𝑖𝑗 = 1, untuk 𝑖 ∈ {1,2,3, … , 𝑁}.

Peluang transisi ini dapat ditulis dalam matriks 𝐏 yang disebut sebagai matriks transisi. 𝐏 = (𝑝𝑖𝑗)_𝑁×𝑁= [ 𝑝₁₁ 𝑝₂₁ 𝑝₁₂ 𝑝₂₂ … 𝑝_𝑁1 … 𝑝_𝑁2 ⋮ ⋮ 𝑝_1𝑁 𝑝_2𝑁 ⋮ ⋮ … 𝑝_𝑁𝑁

] dengan 𝑗 menyatakan baris dan 𝑖 menyatakan kolom dari matriks 𝐏.

Definisi 24 (Matriks Transisi)

Misalkan {𝑆𝑡, 𝑡 = 0,1,2, … } adalah rantai Markov dengan ruang state {1,2,3, … , 𝑁}. Matriks transisi 𝐏 = (𝑝_𝑖𝑗)

𝑁×𝑁 adalah matriks dari peluang transisi 𝑝_𝑖𝑗 = 𝑃(𝑆_𝑡 = 𝑗|𝑆_𝑡−1 = 𝑖) untuk 𝑖, 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑁} (Grimmet dan Stirzaker 1992).

Definisi 25 (Terakses)

Peluang bahwa pada waktu ke-𝑘 proses berada pada state 𝑗 dengan syarat state awal adalah 𝑖 dinotasikan 𝑝_𝑖𝑗(𝑘). Suatu state 𝑗 disebut terakses dari state 𝑖 (notasi: 𝑖 → 𝑗), jika ada sebuah bilangan bulat 𝑘 ≥ 0 sehingga 𝑝_𝑖𝑗(𝑘)> 0 di mana 𝑝_𝑖𝑗(𝑘)adalah peluang bahwa pada waktu ke-𝑘 proses berada pada state 𝑗 dengan syarat state awal adalah 𝑖 (Ross 1996).

Definisi 26 (Berkomunikasi)

Dua state 𝑖 dan 𝑗 dikatakan berkomunikasi (notasi: 𝑖 ↔ 𝑗), jika state 𝑖 dapat diakses dari state 𝑗 dan state 𝑗 dapat diakses dari state 𝑖 (Ross 1996).

Definisi 27 (Kelas State)

Suatu kelas dari state adalah suatu himpunan takkosong 𝐶 sehingga semua pasangan state yang merupakan anggota dari 𝐶 berkomunikasi satu dengan yang lainnya, serta tak ada state yang merupakan anggota 𝐶 yang berkomunikasi dengan suatu state yang bukan anggota dari 𝐶 (Ross 1996).

Definisi 28 (Rantai Markov Tak Tereduksi)

Rantai Markov disebut tak tereduksi jika hanya terdapat satu kelas state, yaitu jika semua state berkomunikasi satu dengan yang lainnya (Ross 1996).

(17)

7

Definisi 29 (First-Passage Time Probability)

𝑓_𝑖𝑗(𝑛) menyatakan peluang bahwa mulai dari state 𝑖, proses bertransisi untuk pertama kali ke state 𝑗 , terjadi pada waktu 𝑛 . Peluang ini disebut first-passage time probability. Jadi untuk setiap 𝑛 = 1,2,3, …

𝑓_𝑖𝑗(𝑛) = 𝑃(𝑋𝑛 = 𝑗, 𝑋𝑘 ≠ 𝑗, untuk setiap 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1|𝑋0 = 1)

𝑖, 𝑗 ∈ {0,1,2, … }, dan 𝑓_𝑖𝑗(0) = 0 untuk semua 𝑖, 𝑗 ∈ {0,1,2, … }. Selanjutnya, untuk setiap 𝑖, 𝑗 ∈ {0,1,2, … }, definisikan 𝑓_𝑖𝑗 = ∑∞_𝑛=1𝑓_𝑖𝑗(𝑛) (Ross 1996).

Definisi 30 (Recurrent dan Transient)

State 𝑖 disebut recurrent jika 𝑓𝑖𝑖 = 1 dan disebut transient jika 𝑓𝑖𝑖 < 1 (Ross 1996).

Teorema 4 (Recurrent dan Transient)

State 𝑖 adalah recurrent jika ∑∞_𝑛=0𝑝_𝑖𝑗(𝑛) = ∞ dan transient jika ∑∞_𝑛=0𝑝_𝑖𝑗(𝑛) < ∞. Bukti dapat dilihat pada Ross (1996).

Definisi 31 (Periode, Periodik, dan Aperiodik)

1. Suatu state 𝑖 disebut memiliki periode 𝑑 jika 𝑝_𝑖𝑖(𝑛) = 0 untuk semua 𝑛 yang tidak habis dibagi 𝑑, dan 𝑑 adalah bilangan bulat terbesar yang memenuhi sifat ini. Dengan kata lain, suatu state 𝑖 disebut memiliki periode 𝑑 jika 𝑑 adalah persekutuan pembagi terbesar (the greatest common divisor) bagi 𝑛 sehingga 𝑝_𝑖𝑖(𝑛)> 0.

2. Suatu state dengan periode sama dengan satu disebut aperiodik, sedangkan state dengan periode ≥ 2 disebut periodik

(Ross 1996).

Definisi 32 (Positive Recurrent dan Null Recurrent)

Suatu state disebut berulang positif (positive recurrent) jika state tersebut adalah berulang (recurrent) serta berlaku: jika proses dimulai dari state 𝑖 maka nilai harapan dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state 𝑖 adalah bilangan terhingga (finite). State recurrent yang tidak positive recurrent disebut null recurrent (Ross 1996).

Definisi 33 (Ergodic)

Rantai Markov dengan positive recurrent dan aperiodik disebut ergodic (Ross 1996).

Teorema 5 (Rantai Markov Ergodic Tak Tereduksi)

Untuk rantai Markov ergodic tak tereduksi lim

𝑛→∞𝑝𝑖𝑗

(𝑛)

ada dan nilainya tak tergantung dari 𝑖. 𝜋𝑗 = lim

𝑛→∞𝑝𝑖𝑗

(𝑛)

, 𝑗 ≥ 1 adalah solusi unik tak negatif dari 𝜋_𝑗 = ∑ 𝜋_𝑗𝑝_𝑖𝑗

𝑁

𝑖=1

, 𝑗 = 1,2, … , 𝑁 dan

(18)

8

∑ 𝜋_𝑗 = 1 𝑁

𝑗=1

. Bukti dapat dilihat pada Ross (1996).

Definisi 34 (Vektor Peluang Steady State)

Vektor peluang 𝛑 = (𝜋₁, 𝜋₂, 𝜋₃, … , 𝜋_𝑁), yang setiap komponennya menyatakan bahwa proses akan berturut-turut berada pada state 1,2,3, … , 𝑁, untuk 𝑛 → ∞ di mana 𝑃(𝑆𝑡= 𝑗) = ∑ 𝑃(𝑆𝑡= 𝑗|𝑆𝑡−1= 𝑖)𝑃(𝑆𝑡−1 = 𝑖) 𝑁 𝑖=1 = ∑ 𝑝_𝑖𝑗𝑃(𝑆_𝑡−1= 𝑖) = 𝜋_𝑗 𝑁 𝑖=1

disebut vektor peluang steady state atau sebaran steady state. Karena 𝛑 adalah vektor peluang, maka harus memenuhi syarat bahwa semua unsurnya adalah bilangan taknegatif serta jumlahnya adalah sama dengan satu. Sebaran steady state sering juga disebut sebaran stasioner atau sebaran setimbang (equilibrium distribution) dari rantai Markov yang bersangkutan (Ross 1996).

Algoritme Expectation Maximization (EM)

Misalkan {𝑃_𝜃, 𝜃 ∈ Θ} adalah himpunan ukuran peluang yang terdefinisi pada (Ω, ℱ) dan kontinu absolut terhadap 𝑃0. Misalkan 𝒴 ⊂ ℱ. Fungsi Likelihood yang digunakan untuk menghitung penduga parameter 𝜃 berdasarkan informasi 𝒴 yaitu medan-𝜎 yang dibangun oleh 𝑌 adalah

𝐿(𝜃) = 𝐸0[ 𝑑𝑃_𝜃 𝑑𝑃0

| 𝒴].

Maximum Likelihood Estimator (MLE) didefinisikan oleh 𝜃̂ ∈ arg max 𝜃𝜖Θ 𝐿(𝜃). Umumnya MLE sulit dihitung secara langsung oleh karena itu algoritme Expectation Maximization (EM) memberikan suatu metode aproksimasi berulang (iteratif). Langkah-langkah dalam metode tersebut adalah:

1. Atur nilai awal parameter 𝜃̂𝑘 dengan 𝑘 = 0. 2. Atur 𝜃∗ _{= 𝜃̂}

𝑘 dan hitung Φ(𝜃, 𝜃∗) dengan Φ(𝜃, 𝜃∗) = 𝐸𝜃∗[𝑙𝑜𝑔

𝑑𝑃𝜃

𝑑𝑃_𝜃∗| 𝒴]. 3. Cari 𝜃̂_𝑘+1arg max

𝜃𝜖Θ Φ(𝜃, 𝜃

∗_).

4. Ganti 𝑘 dengan 𝑘 + 1 dan ulangi langkah 2 sampai 4 hingga kriteria hentinya tercapai, yaitu ketika selisih 𝜃̂_𝑘+1 dan 𝜃̂_𝑘 kurang dari suatu bilangan yang sangat kecil. Bilangan tersebut dapat ditentukan sesuai dengan seberapa besar ketelitian yang diinginkan.

Misalkan 𝑔(𝑥) = log (1

𝑥), karena turunan kedua dari 𝑔(𝑥) selalu positif ∇2𝑔(𝑥) = ∇2log 𝑔(𝑥) = 1

(19)

9 maka 𝑔(𝑥) merupakan fungsi konveks. Karena log1

𝑥 merupakan fungsi konveks, maka berdasarkan ketaksamaan Jensen dapat dihasilkan barisan {𝜃̂_𝑘, 𝑘 > 0} yang merupakan fungsi likelihood yang takturun, yaitu

log 𝐿(𝜃̂_𝑘+1) − log 𝐿(𝜃̂_𝑘) ≥ Φ(𝜃̂_𝑘+1, 𝜃̂_𝑘) . Bentuk Φ(𝜃, 𝜃∗) disebut Pseudo Likelihood bersyarat (Elliot 1995).

Mean Absolute Percentage Error (MAPE)

Mean Absolute Percentage Error (MAPE) adalah rataan persentase kesalahan absolut pada tiap periode dibagi dengan nilai observasi yang nyata untuk periode tersebut. Rumus MAPE adalah sebagai berikut

𝑀𝐴𝑃𝐸 =100% 𝑛 ∑ | 𝐴_𝑡− 𝐹_𝑡 𝐴_𝑡 | 𝑛 𝑡=1

dengan n menyatakan banyaknya data yang digunakan, 𝐴𝑡 menyatakan nilai yang sebenarnya, dan 𝐹_𝑡 menyatakan nilai dugaan. (Mynsbrugge 2010)

MODEL HIDDEN MARKOV SATU WAKTU

SEBELUMNYA

Model Hidden Markov

Model hidden Markov terdiri atas sepasang proses stokastik {𝑋_𝑡, 𝑌_𝑡}. {𝑋_𝑡} dengan state {1,2, … , 𝑁} adalah proses penyebab kejadian yang tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov, sedangkan {𝑌_𝑡} adalah proses observasinya.

Pada saat 𝑋_𝑡 berada pada state 𝑗 (𝑋_𝑡 = 𝑗), maka proses yang diamati 𝑌_𝑡 menyebar normal dengan nilai harapan 𝜇_𝑗 dan ragam 𝜎_𝑗2. Fungsi kepekatan peluang bersyarat dari 𝑌𝑡 dengan syarat 𝑋𝑡 = 𝑗 adalah

𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡= 𝑗) = 1 √2𝜋𝜎𝑗 exp (−(𝑦𝑡− 𝜇𝑗) 2 2𝜎_𝑗2 )

dengan 𝑗 = 1,2, … , 𝑁. Peluang tak bersyarat proses yang tidak diamati 𝑋_𝑡 berada pada state 𝑗 adalah

𝑃(𝑋_𝑡= 𝑗) = 𝜋_𝑗

dengan 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑁}. Karena {𝑋𝑡} rantai Markov maka matriks peluang transisinya 𝑃 = (𝑝𝑖𝑗)_𝑁×𝑁

𝑝_𝑖𝑗 = 𝑃(𝑋_𝑡 = 𝑗|𝑋_𝑡−1= 𝑖)

dengan 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑁}. Dari persamaan (1) dan (2) serta definisi fungsi kerapatan peluang bersyarat, maka didapatkan fungsi kerapatan peluang bersama 𝑦𝑡 dan 𝑋𝑡 = 𝑗, yaitu

(2) (1)

(20)

10 𝑓(𝑦𝑡, 𝑋𝑡= 𝑗) = 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡= 𝑗) ∙ 𝑃(𝑋𝑡= 𝑗) = 𝜋𝑗 𝜎_𝑗√2𝜋exp ( −(𝑦_𝑡− 𝜇_𝑗)2 2𝜎_𝑗2 ) sehingga 𝑃(𝑌_𝑡 ≤ 𝑦_𝑡; 𝑋_𝑡 = 𝑗) = ∫ 𝜋𝑗 𝜎_𝑗√2𝜋exp ( −(𝑌_𝑡− 𝜇_𝑗)2 2𝜎_𝑗2 ) 𝑑𝑌𝑡 𝑦𝑡 −∞ .

Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus bagian pertama didapatkan 𝑓(𝑦_𝑡, 𝑋_𝑡 = 𝑗) = 𝑑 𝑑𝑦_𝑡∫ 𝜋𝑗 𝜎𝑗√2𝜋 exp (−(𝑌𝑡− 𝜇𝑗) 2 2𝜎_𝑗2 ) 𝑑𝑌𝑡 𝑦𝑡 −∞ = 𝜋𝑗 𝜎_𝑗√2𝜋exp ( −(𝑦_𝑡− 𝜇_𝑗)2 2𝜎_𝑗2 ).

Fungsi kepekatan peluang marjinal tak bersyarat dari 𝑌𝑡 diperoleh dengan menjumlahkan 𝑓(𝑦_𝑡, 𝑋_𝑡= 𝑗) untuk semua kemungkinan nilai dari 𝑗, yaitu:

𝑓(𝑦_𝑡) = ∑𝑁_𝑗=1𝑓(𝑦_𝑡, 𝑋_𝑡= 𝑗). Dari persamaan (1), (2), (3), (4), dan (5) diperoleh

𝑓(𝑦₁, … , 𝑦_𝑇) = ∑𝑁_𝑖1=1…∑𝑁_𝑖𝑇=1𝜋_𝑖𝑝_𝑖1𝑖2… 𝑝_{𝑖𝑇−1𝑖𝑇}𝑓(𝑦₁, 𝑆₁ = 𝑖) …𝑓(𝑦_𝑇, 𝑆_𝑇 = 𝑖). Jadi karakteristik model hidden Markov dicirikan oleh parameter-parameternya yaitu: 𝜃 = {𝜇, 𝜎, 𝜋, 𝐏}, dengan 𝜇 = (𝜇₁, 𝜇₂, … , 𝜇_𝑁), 𝜎2 _{= (𝜎}

12, 𝜎22, … , 𝜎𝑁2), 𝜋 = (𝜋₁, 𝜋₂, … , 𝜋_𝑁) dan 𝐏 = (𝑝_𝑖𝑗)

𝑁×𝑁.

Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya

Karakteristik Model

Pada subbab ini akan dibahas model deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya yang didefinisikan pada ruang state (Ω, ℱ, 𝑃 ) berupa persamaan berikut:

𝑌_𝑡 = 𝑐(𝑋_𝑡∗) + 𝜙(𝑋_𝑡−1∗ _)𝑌

𝑡−1+ 𝜀𝑡

dengan:

 𝜀𝑡~𝑁(0, 𝜎2) bebas stokastik identik.

 {𝑌𝑡} proses yang diamati dan bernilai skalar dengan ruang state 𝑆𝑌.

 {𝑋𝑡∗} rantai Markov dengan ruang state 𝑆𝑋∗ = {1,2} dan matriks transisi. 𝑨∗_{= [}𝑝11∗ 𝑝21∗ 𝑝₁₂∗ 𝑝₂₂∗ ] dengan 𝑝𝑖𝑗∗ = 𝑃(𝑋𝑡∗ = 𝑗|𝑋𝑡−1∗ = 𝑖) dan ∑2𝑗=1𝑝𝑖𝑗 = 1, ∀𝑖 = 1,2, 𝑝𝑖𝑗 ≥ 0, ∀𝑖, 𝑗 = 1,2.  c = (𝑐₁, 𝑐₂) dan 𝜙 = (𝜙₁, 𝜙₂) ∈ ℝ2_{, dengan}_𝑐 1, 𝑐2, dan 𝜙1, 𝜙2 merupakan konstanta real.  𝑐(𝑋_𝑡∗) = 𝑐_𝑋_𝑡∗ dan 𝜙 (𝑋_𝑡−1∗ )=𝜙_𝑋 𝑡−1∗ .  𝜃 = {𝑐, 𝑨∗, 𝜙, 𝜎2}.

Karena 𝑌𝑡 tidak hanya bergantung pada 𝑋𝑡∗ tetapi juga pada 𝑋𝑡−1∗ , maka agar tetap memenuhi sifat Markov perlu didefinisikan peubah baru 𝑋_𝑡 di mana:

(7) (4)

(5) (6)

(21)

11 𝑋𝑡 = 1, jika 𝑋𝑡∗ = 1 dan 𝑋𝑡−1∗ = 1 𝑋𝑡 = 2, jika 𝑋𝑡∗ = 2 dan 𝑋𝑡−1∗ = 1 𝑋𝑡 = 3, jika 𝑋𝑡∗ = 1 dan 𝑋𝑡−1∗ = 2 𝑋𝑡 = 4, jika 𝑋𝑡∗ = 2 dan 𝑋𝑡−1∗ = 2 Lema 1

{𝑋_𝑡} adalah rantai Markov dengan ruang state {1,2,3,4} dan matriks transisi: 𝐏 = [ 𝑝₁₁∗ 0 𝑝₁₂∗ ₀ 𝑝₁₁∗ 0 𝑝₁₂∗ ₀ 0 𝑝₂₁∗ 0 𝑝₂₂∗ 0 𝑝₂₁∗ 0 𝑝₂₂∗ ].

Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1.

Selanjutnya, karena 𝜀_𝑡~𝑁(0, 𝜎2_{) bebas stokastik identik maka dapat} diperoleh fungsi sebaran bagi 𝜀𝑡:

𝐹_𝜀𝑡(𝑦_𝑡) = 𝑃(𝜀_𝑡≤ 𝑦_𝑡) = ∫ 1 √2𝜋𝜎exp ( −(𝜀𝑡−0)2 2𝜎2 ) 𝑑𝜀𝑡 𝑦𝑡 0 = ∫ _√2𝜋𝜎1 exp (−(𝜀𝑡)2 2𝜎2 ) 𝑑𝜀𝑡 𝑦𝑡 0 .

Berdasarkan persamaan (7) dan (9) diperoleh fungsi sebaran bagi 𝑌𝑡: 𝐹𝑌𝑡(𝑦𝑡) = 𝑃(𝑌𝑡 ≤ 𝑦𝑡) = 𝑃(𝑐(𝑋𝑡 ∗_{) + 𝜙(𝑋} 𝑡−1∗ )𝑌𝑡−1+ 𝜀𝑡 ≤ 𝑦𝑡) = 𝑃(𝜀_𝑡 ≤ 𝑦_𝑡− 𝑐(𝑋_𝑡∗_{) − 𝜙(𝑋} 𝑡−1∗ )𝑌𝑡−1) = ∫ _√2𝜋𝜎1 exp (−(𝜀𝑡)2 2𝜎2 ) 𝑑𝜀𝑡 𝑦𝑡−𝑐(𝑋𝑡∗)−𝜙(𝑋𝑡−1∗ )𝑌𝑡−1 0 . Misalkan 𝑣 = 𝑦𝑡− 𝑐(𝑋𝑡∗) − 𝜙(𝑋𝑡−1∗ )𝑌𝑡−1 maka 𝐹𝑌𝑡(𝑦𝑡) = ∫ 1 √2𝜋𝜎exp ( −(𝜀𝑡)2 2𝜎2 ) 𝑑𝜀𝑡 𝑣 0 dan 𝑓_𝑌_𝑡(𝑦_𝑡) = 𝜕 𝜕𝑦𝑡𝐹𝑌𝑡(𝑦𝑡) = 𝜕 𝜕𝑣𝐹𝑌𝑡(𝑦𝑡) 𝜕𝑣 𝜕𝑦𝑡 = 1 √2𝜋𝜎exp ( −(𝑣)2 2𝜎2 ) 𝜕𝑣 𝜕𝑦𝑡. = 1 √2𝜋𝜎exp ( −(𝑦𝑡−𝑐(𝑋𝑡∗)−𝜙(𝑋𝑡−1∗ )𝑌𝑡−1)2 2𝜎2 ) × 1 = 1 √2𝜋𝜎exp ( −(𝑦𝑡−𝑐(𝑋𝑡∗)−𝜙(𝑋𝑡−1∗ )𝑌𝑡−1)2 2𝜎2 ).

Misalkan 𝒴_𝑡 adalah medan-𝜎 yang dibangun oleh 𝑌₁, 𝑌₂, 𝑌₃, … , 𝑌_𝑡. Karena 𝑋_𝑡 merupakan rantai Markov 4 state maka terdapat 4 fungsi kepekatan peluang bagi 𝑌_𝑡 . Kumpulan fungsi kerapatan peluang tersebut dalam vektor (4 × 1) dilambangkan dengan 𝜂_𝑡, sehingga diperoleh:

𝜂𝑡 = [ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1; 𝜃) 𝑓(𝑦_𝑡|𝑋_𝑡 = 2, 𝒴_𝑡−1; 𝜃) 𝑓(𝑦_𝑡|𝑋_𝑡 = 3, 𝒴_𝑡−1; 𝜃) 𝑓(𝑦_𝑡|𝑋_𝑡 = 4, 𝒴_𝑡−1; 𝜃)] (8) (10) (9)

(22)

12 = [ 1 √2𝜋𝜎𝑒𝑥𝑝 ( −(𝑦𝑡−𝑐1−𝜙1𝑌𝑡−1)2 2𝜎2 ) 1 √2𝜋𝜎𝑒𝑥𝑝 ( −(𝑦𝑡−𝑐2−𝜙1𝑌𝑡−1)2 2𝜎2 ) 1 √2𝜋𝜎𝑒𝑥𝑝 ( −(𝑦𝑡−𝑐1−𝜙2𝑌𝑡−1)2 2𝜎2 ) 1 √2𝜋𝜎𝑒𝑥𝑝 ( −(𝑦𝑡−𝑐2−𝜙2𝑌𝑡−1)2 2𝜎2 )] . Misalkan 𝜉𝑡|𝑡−1= (𝜉_{𝑡|𝑡−1}(1) 𝜉_{𝑡|𝑡−1}(2) 𝜉_{𝑡|𝑡−1}(3) 𝜉_{𝑡|𝑡−1}(4) ) 𝑇 melambangkan vektor (4 × 1) di mana 𝜉_{𝑡|𝑡−1}(𝑗) pada vektor mempresentasikan 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1; 𝜃) dan ⊗ melambangkan perkalian dalam elemen per elemen, maka

𝜉_{𝑡|𝑡−1} ⊗ 𝜂_𝑡 = [ 𝑃(𝑋_𝑡= 1|𝒴_𝑡−1; 𝜃) 𝑃(𝑋_𝑡= 2|𝒴_𝑡−1; 𝜃) 𝑃(𝑋_𝑡= 3|𝒴_𝑡−1; 𝜃) 𝑃(𝑋_𝑡= 4|𝒴_𝑡−1; 𝜃)] ⊗ [ 𝑓(𝑦_𝑡|𝑋_𝑡= 1, 𝒴_𝑡−1; 𝜃) 𝑓(𝑦_𝑡|𝑋_𝑡= 2, 𝒴_𝑡−1; 𝜃) 𝑓(𝑦_𝑡|𝑋_𝑡= 3, 𝒴_𝑡−1; 𝜃) 𝑓(𝑦_𝑡|𝑋_𝑡= 4, 𝒴_𝑡−1; 𝜃)] = [ 𝑃(𝑋_𝑡 = 1|𝒴_𝑡−1; 𝜃) ⋅ 𝑓(𝑦_𝑡|𝑋_𝑡 = 1, 𝒴_𝑡−1; 𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) ⋅ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1; 𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ⋅ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1; 𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) ⋅ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1; 𝜃)] .

Berdasarkan persamaan (12) maka dapat ditulis:

𝑃(𝑦_𝑡, 𝑋_𝑡= 𝑗|𝒴_𝑡−1; 𝜃) = 𝑃(𝑋_𝑡 = 𝑗|𝒴_𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦_𝑡|𝑋_𝑡= 𝑗, 𝒴_𝑡−1; 𝜃) sehingga diperoleh: 𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1; 𝜃) = ∑4𝑗=1𝑃(𝑦𝑡, 𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1; 𝜃) = ∑4_𝑗=1𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡= 𝑗, 𝒴𝑡−1; 𝜃) = 𝑃(𝑋_𝑡 = 1|𝒴_𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦_𝑡|𝑋_𝑡 = 1, 𝒴_𝑡−1; 𝜃) +𝑃(𝑋_𝑡 = 2|𝒴_𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦_𝑡|𝑋_𝑡= 2, 𝒴_𝑡−1; 𝜃) +𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡= 3, 𝒴𝑡−1; 𝜃) +𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡= 4, 𝒴𝑡−1; 𝜃). 𝑓(𝑦_𝑡|𝒴_𝑡−1; 𝜃) = ∑4_𝑗=1𝑃(𝑦_𝑡, 𝑋_𝑡 = 𝑗|𝒴_𝑡−1; 𝜃) = 𝟏′(𝜉̂_{𝑡|𝑡−1}⊗ 𝜂_𝑡) di mana 𝟏′ = [1 1 1 1].

Berdasarkan persamaan (13) dan (14) maka dapat diperoleh 𝑃(𝑦𝑡, 𝑋𝑡= 𝑗|𝒴𝑡−1; 𝜃) 𝑓(𝑦_𝑡|𝒴_𝑡−1; 𝜃) = 𝑃(𝑦𝑡,𝑋𝑡=𝑗,𝒴𝑡−1;𝜃) 𝑃(𝒴𝑡−1;𝜃) 𝑃(𝑦𝑡,𝒴𝑡−1;𝜃) 𝑃(𝒴𝑡−1;𝜃) = 𝑃(𝑦𝑡, 𝑋𝑡= 𝑗, 𝒴𝑡−1; 𝜃) 𝑃(𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑃(𝒴𝑡−1; 𝜃) 𝑃(𝑦𝑡, 𝒴𝑡−1; 𝜃) = 𝑃(𝑦𝑡, 𝑋𝑡= 𝑗, 𝒴𝑡−1; 𝜃) 𝑃(𝑦_𝑡, 𝒴_𝑡−1; 𝜃) = 𝑃(𝑋𝑡= 𝑗, 𝑦𝑡, 𝒴𝑡−1; 𝜃) 𝑃(𝑦_𝑡, 𝒴_𝑡−1; 𝜃) = 𝑃(𝑋_𝑡= 𝑗|𝑦_𝑡, 𝒴_𝑡−1; 𝜃) = 𝑃(𝑋_𝑡= 𝑗|𝒴_𝑡; 𝜃). (11) (14) (15) (16) (13) (12)

(23)

13 sehingga berdasarkan persamaan (13), (14), dan (15) diperoleh

Salah satu pendekatan yang dapat digunakan untuk memilih nilai awal bagi

𝜉̂_{𝑡|𝑡−1} adalah dengan membuat 𝜉̂_1|0 sama dengan vektor dari peluang tak bersyarat

𝜋 = [𝜋1 𝜋₂ 𝜋3 𝜋4] yang memenuhi sifat ergodic, yaitu: 𝐏𝜋 = 𝜋

𝜋₁+ 𝜋₂+ 𝜋₃ + 𝜋₄ = 1.

Pendugaan Parameter

Fungsi kepekatan peluang marjinal tak bersyarat dari 𝑌_𝑡 diperoleh dengan menjumlahkan 𝑓(𝑦_𝑡, 𝑋_𝑡 = 𝑗; 𝜃) untuk semua kemungkinan nilai dari 𝑗, yaitu:

𝑓(𝑦𝑡; 𝜃) = ∑𝑁𝑗=1𝑓(𝑦𝑡, 𝑋𝑡= 𝑗; 𝒴𝑡−1). 𝑓(𝑦₁, 𝑦₂, 𝑦₃, … , 𝑦_𝑡; 𝜃) = ∏𝑇 𝑓(𝑦_𝑡|𝒴_𝑡−1)

𝑡=1

sehingga fungsi log likehood untuk menduga parameter populasi 𝜃 adalah 𝐿(𝜃) = ∑ log 𝑓(𝑦_𝑡|𝒴_𝑡−1)

𝑇

𝑡=1

Penduga kemungkinan maksimum likelihood 𝜃̂ diperoleh dengan memaksimumkan persamaan (22) dengan kendala 𝜋1+ 𝜋2+ 𝜋3+ 𝜋4 = 1 dan 𝜋_𝑗 ≥ 0 untuk 𝑗 = 1,2,3,4. Untuk menyelesaikan masalah tersebut maka digunakan metode Lagrange, yaitu

𝐽(𝜃) = 𝐿(𝜃) + 𝜆(1 − 𝜋₁− 𝜋₂− 𝜋₃− 𝜋₄)

lalu persamaan (23) diturunkan masing-masing terhadap 𝜋_𝑗, 𝜇_𝑗, dan 𝜎_𝑗2.

(17) (19) (22) (21) (18) (20) (23)

(24)

14

Berdasarkan persamaan (20), (22), dan (23) diperoleh 𝜕𝐽(𝜃) 𝜕𝜆 = 0 ⟺ 1 − 𝜋1− 𝜋2 − 𝜋3− 𝜋4 = 0 ⟺ 𝜋₁+ 𝜋₂+ 𝜋₃+ 𝜋₄ = 1. 𝜕𝐽(𝜃) 𝜕𝜋𝑗 = 0 ⟺ 𝜕𝐿(𝜃) 𝜕𝜋𝑗 = 0 ⟺ 𝜕 𝜕𝜋𝑗 (∑𝑇𝑡=1log 𝑓(𝑦𝑡; 𝜃)) = ∑ 1 𝑓(𝑦𝑡;𝜃)∙ 𝑇 𝑡=1 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡= 𝑗; 𝜃) = 0. 𝜕𝐽(𝜃) 𝜕𝜇𝑗 = 0 ⟺ 𝜕𝐿(𝜃) 𝜕𝜇𝑗 = 0 ⟺ 𝜕 𝜕𝜇𝑗(∑ log 𝑓(𝑦𝑡; 𝜃) 𝑇 𝑡=1 ) = ∑ 1 𝑓(𝑦𝑡;𝜃)∙ (𝑦𝑡−𝜇𝑗) 𝜎_𝑗2 ∙ 𝑇 𝑡=1 𝑃(𝑦𝑡, 𝑋𝑡 = 𝑗; 𝜃) = 0. 𝜕𝐽(𝜃) 𝜕𝜎_𝑗2 = 0 ⟺ 𝜕𝐿(𝜃) 𝜕𝜎_𝑗2 = 0 ⟺ 𝜕 𝜕𝜎_𝑗2(∑ log 𝑓(𝑦𝑡; 𝜃) 𝑇 𝑡=1 ) = ∑ 𝑃(𝑦𝑡,𝑋𝑡=𝑗;𝜃) 𝑓(𝑦𝑡;𝜃) ∙ (− 1 2𝜎_𝑗2+ (𝑦𝑡−𝜇𝑗) 2 2𝜎_𝑗4 ) 𝑇 𝑡=1 = 0.

Penduga kemungkinan maksimum bagi 𝜃 diperoleh dengan memaksimumkan: 𝐿(𝜃) = ∑𝑇_𝑡=1log 𝑓(𝑦_𝑡|𝒴_𝑡−1; 𝜃) dengan membuat turunan pertama dari log likehood terhadap parameter 𝜃 sama dengan nol, maka diperoleh 𝑐₁ = ∑ [𝐵(𝑦𝑡− 𝜙1𝑦𝑡−1) + 𝐷(𝑦𝑡− 𝜙2𝑦𝑡−1)] 𝑇 𝑡=1 ∑𝑇_𝑡=1𝐵 + 𝐷 . 𝑐₂ =∑ [𝐶(𝑦𝑡− 𝜙1𝑌𝑡−1) + 𝐸(𝑦𝑡− 𝜙2𝑌𝑡−1)] 𝑇 𝑡=1 ∑𝑇 [𝐶 + 𝐸] 𝑡=1 . 𝜙₁ =∑ (𝑦𝑡−1)[𝐵(𝑦𝑡− 𝑐1) + 𝐶(𝑦𝑡− 𝑐2)] 𝑇 𝑡=1 ∑𝑇 (𝑦_𝑡−1)2_{[𝐵 + 𝐶]} 𝑡=1 . 𝜙₂ = ∑ (𝑦𝑡−1)[𝐷(𝑦𝑡− 𝑐1) + 𝐸(𝑦𝑡− 𝑐2)] 𝑇 𝑡=1 ∑𝑇𝑡=1(𝑦𝑡−1)2[𝐷 + 𝐸] . 𝜎̂2 ₌ 1 ∑𝑇 [𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐸] 𝑡=1 ∙ ∑ [𝐵 ((𝑦𝑡−𝑐1) −𝜙₁𝑌𝑡−1) 2 + 𝐶 ((𝑦𝑡−𝑐2) −𝜙₁𝑌𝑡−1) 2 + 𝑇 𝑡=1 𝐷 ((𝑦𝑡−𝑐1) −𝜙2𝑌𝑡−1) 2 + 𝐸 ((𝑦𝑡−𝑐2) −𝜙2𝑌𝑡−1) 2 ] di mana: 𝐵 = 1 𝑓(𝑦_𝑡|𝒴_𝑡−1; 𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡= 1, 𝒴𝑡−1; 𝜃) 𝐶 = 1 𝑓(𝑦_𝑡|𝒴_𝑡−1; 𝜃)𝑃(𝑋𝑡= 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1; 𝜃) (31) (32) (24) (29) (28) (30) (25) (26) (27)

(25)

Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2.

Karena persamaan (28) sampai (32) taklinear, maka untuk mencapai penduga kemungkinan maksimum bagi 𝜃 digunakan algoritme iteratif yang merupakan kasus khusus dari prinsip EM.

Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Tentukan banyaknya data (T) yang akan diamati serta tentukan juga nilai (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, … , 𝑦𝑇) dan matriks transisi

𝐏 = [ 𝑝₁₁∗ 0 𝑝₁₂∗ 0 𝑝₁₁∗ 0 𝑝₁₂∗ 0 0 𝑝₂₁∗ 0 𝑝₂₂∗ 0 𝑝₂₁∗ 0 𝑝₂₂∗ ].

2. Beri nilai awal bagi 𝜃̂ yang dilambangkan dengan 𝜃̂ = (𝑐̂1, 𝑐̂2, 𝜙̂1, 𝜙̂2, 𝜎̂2). 3. Cari fungsi kepekatan bersyarat bagi 𝑦_𝑇 untuk setiap 𝑡 = 1,2, … , 𝑇 dengan

cara 𝜂𝑡 = [ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡= 1, 𝒴𝑡−1; 𝜃̂) 𝑓(𝑦_𝑡|𝑋_𝑡= 2, 𝒴_𝑡−1; 𝜃̂) 𝑓(𝑦_𝑡|𝑋_𝑡= 3, 𝒴_𝑡−1; 𝜃̂) 𝑓(𝑦_𝑡|𝑋_𝑡= 4, 𝒴𝑡−1; 𝜃̂)] = [ 1 √2𝜋𝜎̂exp ( −(𝑦_𝑡− 𝑐̂₁− 𝜙̂₁𝑌_𝑡−1)2 2𝜎̂2 ) 1 √2𝜋𝜎̂exp ( −(𝑦_𝑡− 𝑐̂₂− 𝜙̂₁𝑌_𝑡−1)2 2𝜎̂2 ) 1 √2𝜋𝜎̂exp ( −(𝑦_𝑡− 𝑐̂₁− 𝜙̂₂𝑌_𝑡−1)2 2𝜎̂2 ) 1 √2𝜋𝜎̂exp ( −(𝑦_𝑡− 𝑐̂₂− 𝜙̂₂𝑌_𝑡−1)2 2𝜎̂2 ) ] .

4. Penarikan kesimpulan optimal dan peramalan untuk setiap waktu 𝑡 pada contoh dapat diperoleh melalui iterasi:

4.1 Tentukan nilai awal bagi 𝜉̂𝑡|𝑡−1 yang dilambangkan dengan 𝜉̂1|0 4.2 Beri nilai awal 𝑖 = 1

4.3 Untuk 𝑡 = 𝑖, cari nilai dari

(26)

4.4 Ulangi mulai dari langkah 4.3. Hentikan jika 𝑡 = 𝑇. Lanjutkan ke langkah 5. 5. Misalkan 𝐵 = 1 𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1; 𝜃̂(𝑚)) 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃̂(𝑚)) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡= 1, 𝒴𝑡−1; 𝜃̂(𝑚)) 𝐶 = 1 𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1; 𝜃̂(𝑚)) 𝑃(𝑋𝑡= 2|𝒴𝑡−1; 𝜃̂(𝑚)) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1; 𝜃̂(𝑚)) 𝐷 = 1 𝑓(𝑦_𝑡|𝒴_𝑡−1; 𝜃̂(𝑚)₎𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃̂ (𝑚)_{) ∙ 𝑓(𝑦} 𝑡|𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1; 𝜃̂(𝑚)) 𝐸 = 1 𝑓(𝑦_𝑡|𝒴_𝑡−1; 𝜃̂(𝑚)₎𝑃(𝑋𝑡= 4|𝒴𝑡−1; 𝜃̂ (𝑚)_{) ∙ 𝑓(𝑦} 𝑡|𝑋𝑡= 4, 𝒴𝑡−1; 𝜃̂(𝑚)) cari nilai dari:

𝑐₁ =∑ [𝐵(𝑦𝑡−𝜙̂1𝑦𝑡−1)+ 𝐷(𝑦𝑡−𝜙̂2𝑦𝑡−1)] 𝑇 𝑡=1 ∑𝑇_𝑡=1𝐵 + 𝐷 . 𝑐₂ = ∑ [𝐶(𝑦𝑡− 𝜙̂1𝑌𝑡−1) + 𝐸(𝑦𝑡− 𝜙̂2𝑌𝑡−1)] 𝑇 𝑡=1 ∑𝑇 [𝐶 + 𝐸] 𝑡=1 . 𝜙₁ = ∑ (𝑦𝑡−1)[𝐵(𝑦𝑡− 𝑐̂1) + 𝐶(𝑦𝑡− 𝑐̂2)] 𝑇 𝑡=1 ∑𝑇𝑡=1(𝑦𝑡−1)2[𝐵 + 𝐶] . 𝜙₂ =∑ (𝑦𝑡−1)[𝐷(𝑦𝑡− 𝑐̂1) + 𝐸(𝑦𝑡− 𝑐2)] 𝑇 𝑡=1 ∑𝑇𝑡=1(𝑦𝑡−1)2[𝐷 + 𝐸] .

(27)

17 𝜎2= 1 ∑𝑇 [𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐸] 𝑡=1 ∙ ∑ [𝐵 ((𝑦𝑡 −𝑐1) −𝜙1𝑌𝑡−1) 2 + 𝐶 ((𝑦𝑡−𝑐2) −𝜙1𝑌𝑡−1) 2 + 𝑇 𝑡=1 𝐷 ((𝑦𝑡−𝑐1) −𝜙₂𝑌𝑡−1) 2 + 𝐸 ((𝑦𝑡−𝑐2) −𝜙₂𝑌𝑡−1) 2 ].

6. Beri nama parameter yang dihasilkan pada langkah 4 dengan 𝜃̂(𝑚+1)= (𝑐̂₁, 𝑐̂₂, 𝜙̂₁, 𝜙̂₂, 𝜎̂2_{) dan 𝑚 = 0,1,2, … , 𝑇 − 1.}

7. Cari P yang baru, yaitu:

𝜉̂_𝑡|𝑇(𝑗) = 𝜉̂_𝑡|𝑡(𝑗)⨀ {𝐏′_{⋅ [𝜉̂} 𝑡+1|𝑇 (𝑗) _(÷)𝜉̂ 𝑡+1|𝑡 (𝑗) ]} 𝑝̂𝑖𝑗 = ∑𝑇_𝑡=2𝑃(𝑋_𝑡 = 𝑗, 𝑋_𝑡+1= 𝑖|𝒴_𝑡; 𝜃) ∑𝑇 𝑃(𝑋_𝑡+1= 𝑖|𝒴_𝑡; 𝜃) 𝑡=2 𝑃(𝑋_𝑡−1= 𝑖|𝑋_𝑡 = 𝑗, 𝒴_𝑇; 𝜃) = 𝑃(𝑋_𝑡 = 𝑗|𝒴_𝑡; 𝜃)𝑃(𝑋_𝑡−1= 𝑖|𝑋_𝑡 = 𝑗, 𝒴_𝑇; 𝜃) ≈ 𝑃(𝑋_𝑡 = 𝑗|𝒴_𝑡; 𝜃)𝑃(𝑋_𝑡−1= 𝑖|𝑋_𝑡= 𝑗, 𝒴_𝑡; 𝜃) =𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡; 𝜃)𝑃(𝑋𝑡−1= 𝑖|𝑋𝑡= 𝑗, 𝒴𝑡; 𝜃) 𝑃(𝑋_𝑡= 𝑗|𝒴_𝑡; 𝜃) =𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑇; 𝜃)𝑃(𝑋𝑡−1= 𝑖|𝒴𝑡; 𝜃)𝑃(𝑋𝑡= 𝑗|𝑋𝑡−1= 𝑖; 𝜃) 𝑃(𝑋_𝑡= 𝑗|𝒴_𝑡; 𝜃) =𝜉̂𝑡|𝑇 (𝑗) × 𝜉̂_{𝑡−1|𝑡−1}(𝑖) × 𝑝_𝑖𝑗 𝜉̂_𝑡|𝑡(𝑗) 𝑃(𝑋𝑡−1= 𝑖|𝒴𝑇; 𝜃) = ∑ 𝑃(𝑋𝑡−1= 𝑖, 𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑇; 𝜃) 𝑁 𝑗=1 (Kim 1994) 𝑝̂𝑖𝑗 = ∑ 𝜉̂𝑡|𝑇 (𝑗) ×𝜉̂_{𝑡−1|𝑡−1}(𝑖) ×𝑝𝑖𝑗 𝜉̂_𝑡|𝑡(𝑗) 𝑇 𝑡=2 ∑ ∑ 𝜉̂𝑡|𝑇 (𝑗) ×𝜉̂_{𝑡−1|𝑡−1}(𝑖) ×𝑝𝑖𝑗 𝜉̂_𝑡|𝑡(𝑗) 𝑁 𝑗=1 𝑇 𝑡=2

Bukti dapat dilihat pada Hamilton (1990).

8. Ulangi mulai dari langkah 2. Hentikan jika 𝑚 = 𝑇. Gunakan parameter yang sudah dihasilkan untuk mencari nilai harapan bagi nilai tukar Rupiah yang akan datang.

𝐸[𝑦𝑡|𝑋𝑡= 𝑗, 𝒴𝑡−1; 𝜃] = 𝐸[𝑐(𝑋𝑡∗) + 𝜙(𝑋𝑡−1∗ )𝑦𝑡−1+ 𝜀𝑡|𝑋𝑡= 𝑗, 𝒴𝑡−1; 𝜃] = 𝑐(𝑋_𝑡∗) + 𝜙(𝑋_𝑡−1∗ _{) ∫ 𝑦}

𝑡−1𝑓(𝑦𝑡−1|𝑋𝑡= 𝑗, 𝒴𝑡−1; 𝜃) 𝑑𝑦𝑡 𝑌̂𝑡= E[𝑦𝑡|𝒴𝑡−1; 𝜃̂(𝑇)] = ∫ 𝑦𝑡𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1; 𝜃̂(𝑇))𝑑𝑦𝑡

(28)

18 = ∫ 𝑦_𝑡∑ 𝑃(X_𝑡 = 𝑗|𝒴_𝑡−1; 𝜃̂(𝑇))𝑓(𝑦_𝑡|X_𝑡 = 𝑗, 𝒴_𝑡−1; 𝜃̂(𝑇))𝑑𝑦_𝑡 𝑁 𝑗=1 = ∑ 𝜉_{𝑡|𝑡−1}(𝑗) ⋅ E[𝑦𝑡|X𝑡 = 𝑗, 𝒴𝑡−1; 𝜃̂(𝑇)] 𝑁 𝑗=1 .

PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP

DOLAR AMERIKA

Pada bab ini akan dibahas pemodelan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika. Namun terlebih dahulu akan dibahas mengenai data input yang digunakan sebagai data observasi pada model. Kemudian dilanjutkan dengan pemodelan masalah nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika.

Data Input Nilai Tukar Rupiah

Dalam karya ilmiah ini, data input yang digunakan adalah data rata-rata nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan yang diambil dari laman www.rba.gov.au (12 Oktober 2014). Data diambil pada selang waktu antara bulan Juni 1997 hingga Juni 2013 yang berarti terdapat 193 data observasi (𝑦𝑡). Data yang akan diduga sebanyak 192 data, dari Juli 1997 hingga Juni 2013. Data nilai tukar pada Juni 1997 akan digunakan sebagai nilai awal (𝑦₀). Grafik data disajikan pada Gambar 1.

Gambar 1 Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 Ju n -1997 Fe b -1998 Oc t-19 98 Ju n -1999 Fe b -2000 O ct -2000 Ju n -2001 Fe b -2002 O ct -2002 Ju n -2003 Fe b -2004 O ct -2004 Ju n -2005 Fe b -2006 O ct -2006 Ju n -2007 Fe b -2008 O ct -2008 Ju n -20 09 Fe b -2010 O ct -2010 Ju n -2011 Fe b -2012 O ct -2012 Ju n -2013

(29)

19

Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya

Perilaku nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika sudah pernah dimodelkan menggunakan model hidden Markov satu waktu sebelumnya oleh Setiawaty dan Ardana (2013), Santoso (2008), dan Retnoningtyas (2014).

Setiawaty dan Ardana (2013) menggunakan persamaan: 𝑌𝑡= 𝑐(𝑋𝑡∗) + 𝜙(𝑋_𝑡∗)𝑌𝑡−1+ 𝜀𝑡, sedangkan Santoso (2008) dan Retnoningtyas (2014) menggunakan persamaan: 𝑌𝑡− 𝜇𝑋_𝑡∗ = 𝜙(𝑌𝑡−1− 𝜇𝑋_𝑡∗) + 𝜀𝑡, di mana {𝑋𝑡∗} adalah rantai Markov, {𝑌_𝑡 } adalah penyebab nilai tukar Rupiah dan 𝜀_𝑡 menyebar normal. Pada Setiawaty dan Ardana (2013) diperoleh MAPE 4.31%, pada Retnoningtyas (2014) digunakan nilai awal 𝜇 = [9124.89

9198.76] , 𝜙 = 3.94, 𝑃 = [ 0.87

0.75], dan 𝜎 = 1454, dengan MAPE 4.14%.

Model hidden Markov yang akan digunakan pada tugas akhir ini adalah: 𝑌_𝑡 = 𝑐(𝑋_𝑡∗_{) + 𝜙(𝑋}

𝑡−1∗ )𝑌𝑡−1+ 𝜀𝑡

seperti pada bab sebelumnya. Berdasarkan model di atas nilai tukar Rupiah saat ini diasumsikan tidak hanya bergantung pada faktor penyebab saat ini dan satu waktu sebelumnya, tetapi juga bergantung pada nilai tukar Rupiah satu waktu sebelumnya. Pada model hidden Markov di atas akan di cari nilai duga parameternya agar hasil yang didapat mendekati nilai yang sebenarnya. Pada tugas akhir ini akan dibangkitkan nilai awal yang tepat agar keakuratan model meningkat. Keakuratan dianggap baik bila MAPE < 5%.

Penentuan Nilai Awal Parameter

Data dibagi menjadi dua bagian, bagian pertama data dari Juni 1997 hingga Mei 2013 dan bagian kedua data dari Juli 1997 hingga Juni 2013 (𝑦_𝑡), kedua data kemudian diplot. Nilai yang akan diplot adalah 𝑦 = 𝑦_𝑡 terhadap 𝑥 = 𝑦_𝑡−1. Persamaan baru yang didapatkan yaitu

𝑌 = 1917.57 + 0.792906 𝑥

Gambar 2 Plot persamaan baru dari data yang akan dikurangi rataannya Dari hasil persamaan yang didapatkan, bentuk persamaannya mirip dengan model yang digunakan sehingga dapat digunakan dalam acuan pembangkitan nilai awal 𝑐 dan 𝜙 . Nilai awal 𝑐 yang digunakan dibangkitkan dari interval [1000, 2500] , (33)

(30)

20

dengan nilai awal (2184.29, 1282.7). Hasil dari satu kali iterasi nilai pendugaan 𝑐 yang digunakan adalah (1932.95, 1932.95) . Nilai awal 𝜙 yang digunakan dibangkitkan dari interval [0.5, 1], dengan nilai awal (0.62068, 0.532869). Hasil dari satu kali iterasi nilai pendugaan 𝜙 yang digunakan adalah (0.7824, 0.7824).

Penentuan Nilai Awal P

Sedangkan nilai awal P dibangkitkan secara acak dari interval peluang [0,1], karena 0 ≤ 𝑝_𝑖𝑗 ≤ 1. Hasil dari satu kali iterasi nilai pendugaan yang digunakan untuk 𝐏 adalah [ 0.5 0 0.5 0 0.5 0 0.5 0 0 0.5 0 0.5 0 0.5 0 0.5 ].

Penentuan Nilai Awal 𝝈

Nilai awal untuk parameter 𝜎 yang digunakan dibangkitkan dari interval nilai [100,2000] yang merupakan selang dari standar deviasanya. Nilai awal yang 𝜎 dibangkitkan sebesar 1130.27. Hasil dari satu kali iterasi nilai pendugaan 𝜎 yang digunakan adalah 1.03636 × 107.

Hasil Program

Dari bagian sebelumnya nilai dugaan parameter yang digunakan untuk membangkitkan dugaan nilai tukar Rupiah adalah 𝑐₁ = 1932.95, 𝑐₂ = 1932.95, 𝜙₁ = 0.7824, 𝜙₂ = 0.7824, 𝜎 = 1.03636 × 107. Galat nilai dugaan yang ditunjukkan oleh MAPE sebesar 4.48037 % diperoleh melalui satu kali iterasi seperti yang tertera pada Lampiran 3. Hal ini terjadi karena pada karya ilmiah ini model dianggap baik apabila nilai dari MAPE < 5%. Nilai tukar Rupiah dan nilai dugannya tertera pada Lampiran 4. Hasil pendugaan model dapat dilihat pada Gambar 3.

Nilai Sebenarnya Nilai Dugaan

Gambar 3 Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan dan nilai dugaan yang didapatkan

(31)

21

SIMPULAN

Model deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya pada tugas akhir ini dapat memodelkan dengan cukup baik perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika. Hal ini terlihat dari nilai dugaan yang mendekati nilai sebenarnya, dengan MAPE yang dihasilkan sebesar 4.48%.

DAFTAR PUSTAKA

Baum LE, Petrie T. 1966. Statistical inference for probabilistic functions of finite Markov chain. Annal of Mathematical Statistics. 37(6):1554-1563.doi:10.1214/aoms/1177699147.

Elliot RJ, Anggoun L, Moore JB. 1995. Hidden Markov Models Estimation and Control. New York (US): Springer Verlag.

Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed ke-2. Oxford (GB): Clarendon Press.

Hamilton JD. 1990. Analysis of time series subject to changes in regime. Journal of Econometrics. 45(2):39-70.doi:10.1016/0304-4076(90)90093-9.

Hogg RV, Craig AT. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. ke-5. New Jersey (US): Prentice Hall, Englewood Cliffs.

Kim CJ. 1994. Dynamic linear models with Markov-switching. Journal of Econometrics. 60(2):1-22.doi:10.1016/0304-4076(94)90036-1.

Krantz SG. 1999. Handbook of Complex Variables. Boston (US): Birkhauser. Mynsbrugge JV. 2010. Bidding strategies using price based unit commitment in a

deregulated power market [tesis]. Leuven (BE): Katholieke Universiteit Leuven.

Osborne MJ. 1997. Concave and Convex Function of Many Variable. Canada (CA): University of Toronto.

Ross SM. 1996. Stochastic Process. Ed ke-2. New York (US): John Wiley & Sons. Royden HL. 1963. Real Analysis. New York (US): The Macmilan Company. Retnoningtyas A. 2014. Kajian Numerik Model Hidden Markov Satu Waktu

Sebelumnya Untuk Nilai Tukar Rupiah Terhadap Dolar Amerika [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.

Santoso DH. 2008. Pemodelan Nilai Tukar Rupiah Terhadap US Dollar Menggunakan Deret Waktu Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.

Setiawaty B, Ardana NKK. 2013. Modeling the exchange of Rupiah to American Dollar using hidden Markov. Presentation paper of IICMA 2013; 2013 Nov 6-8; Yogyakarta, Indonesia.

(32)

22

Lampiran 1 Bukti Lema 1

Karena {𝑋_𝑡∗} rantai Markov, maka {𝑋𝑡} rantai Markov dengan matriks transisi 𝑃 = [ 𝑝₁₁ 𝑝₂₁ 𝑝₁₂ 𝑝₂₂ 𝑝₃₁ 𝑝₄₁ 𝑝₃₂ 𝑝₄₂ 𝑝₁₃ 𝑝₁₄ 𝑝₂₃ 𝑝₂₄ 𝑝₃₃ 𝑝₄₃ 𝑝₃₄ 𝑝₄₄ ]. Misalkan 𝑝_𝑖𝑗∗ melambangkan 𝑃(𝑋_𝑡∗ _{= 𝑗|𝑋} 𝑡−1∗ = 𝑖) maka 𝑝₁₁= 𝑃(𝑋_𝑡= 1|𝑋_𝑡−1 = 1) = 𝑃(𝑋_𝑡∗ = 1, 𝑋_𝑡−1∗ = 1|𝑋_𝑡−1∗ = 1, 𝑋_𝑡−2∗ = 1) =𝑃(𝑋𝑡 ∗_{= 1, 𝑋} 𝑡−1∗ = 1, 𝑋𝑡−2∗ = 1) 𝑃(𝑋_𝑡−1∗ = 1, 𝑋_𝑡−2∗ = 1) = 𝑃(𝑋𝑡∗= 1|𝑋𝑡−1∗ = 1, 𝑋𝑡−2∗ = 1) = 𝑃(𝑋𝑡∗ = 1|𝑋𝑡−1∗ = 1) = 𝑝11∗ . 𝑝₂₁ = 𝑃(𝑋_𝑡 = 1|𝑋_𝑡−1= 2) = 𝑃(𝑋_𝑡∗ _{= 1, 𝑋} 𝑡−1∗ = 1|𝑋𝑡−1∗ = 2, 𝑋𝑡−2∗ = 1) =𝑃(𝑋𝑡 ∗_{= 1, 𝑋} 𝑡−1∗ = 1, 𝑋𝑡−1∗ = 2, 𝑋𝑡−2∗ = 1) 𝑃(𝑋_𝑡−1∗ _{= 2, 𝑋} 𝑡−2∗ = 1) = 0.

Dengan cara perhitungan yang sama akan didapatkan 𝑝31 = 𝑝11∗ 𝑝41 = 0 𝑝21 = 𝑝12∗ 𝑝₂₂ = 0 𝑝₃₂ = 𝑝₁₂∗ 𝑝₄₂ = 0 𝑝₁₃= 0 𝑝₂₃ = 𝑝₂₁∗ 𝑝33 = 0 𝑝43 = 𝑝21∗ 𝑝14= 0 𝑝24 = 𝑝22∗ 𝑝₃₄ = 0 𝑝₄₄ = 𝑝₂₂∗

maka diperoleh matriks transisi 𝐏 = [ 𝑝₁₁∗ 0 𝑝₁₂∗ ₀ 𝑝₁₁∗ 0 𝑝₁₂∗ ₀ 0 𝑝₂₁∗ 0 𝑝₂₂∗ 0 𝑝₂₁∗ 0 𝑝₂₂∗ ].

(33)

23

Lampiran 2 Bukti persamaan (28) sampai dengan (32)

Berdasarkan persamaan (14), diperoleh

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;𝜃) 𝜕𝑐1 = 𝑃(𝑋𝑡= 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 1 √2𝜋𝜎𝑒𝑥𝑝 { −(𝑦𝑡−𝑐1−𝜙1𝑦𝑡−1)2 2𝜎2 } (−2)((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙1𝑦𝑡−1)(−1) 2𝜎2 +𝑃(𝑋_𝑡= 3|𝒴_𝑡−1; 𝜃) ∙ 1 √2𝜋𝜎𝑒𝑥𝑝 { −(𝑦𝑡−𝑐1−𝜙2𝑦𝑡−1)2 2𝜎2 } (−2)((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙2𝑦𝑡−1)(−1) 2𝜎2 . = 𝑃(𝑋𝑡= 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1; 𝜃) ((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙1𝑦𝑡−1) 𝜎2 +𝑃(𝑋𝑡= 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1; 𝜃) ((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙2𝑦𝑡−1) 𝜎2 .

Jika diketahui fungsi log-likelihood sebagai berikut

ℒ(𝜃) = ∑ log 𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1; 𝜃) 𝑇

𝑡=1

,

= 0 (14) 23

(34)

∑[𝐵(𝑦_𝑡− 𝜙₁𝑦_𝑡−1) + 𝐷(𝑦_𝑡− 𝜙₂𝑦_𝑡−1)] = 𝑐₁∑ 𝐵 + 𝐷 𝑇 𝑡=1 𝑇 𝑡=1 24

(35)

25 ⇔ 𝑐₁

=

∑ [

𝐵

(

𝑦

𝑡

−

𝜙1

𝑦

𝑡−1)

+ 𝐷

(

𝑦

𝑡

−

𝜙2

𝑦

𝑡−1)] 𝑇 𝑡=1 ∑𝑇

𝐵 + 𝐷

𝑡=1 seperti yang telah diklaim pada persamaan (28).

Berdasarkan persamaan (14) diperoleh