SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 6.2 KAIDAH PENCACAHAN, PERMUTASI DAN KOMBINASI)

(1)

Smart Solution

UJIAN NASIONAL

TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA

(Program Studi IPA)

Disusun oleh :

(2)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 303 6. 2. Menyelesaikan masalah sehari-hari dengan menggunakan kaidah pencacahan, permutasi atau kombinasi.

Kaidah Pencacahan

Aturan Perkalian

Banyak cara memilih unsur pertama

Banyak cara memilih unsur kedua

Banyak cara memilih kedua unsur sekaligus

×

Faktorial

�e�kalian Bilangan ��ut

! = × − × − × … × × ×

Catatan: ! = dan ! =

Banyak cara menyusun � buah unsur dari keseluruhan buah unsur

Per

mutasi

Kombinasi

Perhatikan ��utan ��utan �idak Dipe�hatikan

� = !

− � !

Catatan: � ≤

= !

�! − � !

Catatan: � ≤

Permutasi Ada Unsur Sama

Ada � unsur yang sama, ada � unsur yang sama, dan unsu� yang sama

� ,ℓ, =_{�! ℓ! !}!

Catatan: � + ℓ + ≤

= _�!�

Permutasi Siklis

�osisi Melingka�

�� = − !

Kombinasi adalah permutasi tanpa memperhatikan urutan obyek. Jadi, rumus kombinasi diperoleh dari permutasi � unsur dari unsur

(3)

Halaman 304 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎ TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Permutasi.

Cara paling mudah untuk menyusun rumus permutasi adalah menggunakan definisi aslinya.

Di sekolah mungkin adik-adik diberikan rumus permutasi seperti dituliskan pada halaman sebelumnya, yaitu:

� = _{− � !}!

Padahal, definisi asli dari permutasi adalah sebagai berikut:

� = × − × − × … × − � +

Rumus tersebut adalah pengembangan dari aturan perkalian dalam menyusun banyak � unsur berbeda yang bisa dibuat dari unsur.

Misalnya saja, menyusun 3 unsur berbeda dari 5 unsur yang diberikan. Maka kita akan membuat 3 kotak sebagai berikut:

Pada kotak pertama bisa diisi 5 unsur.

Pada kotak kedua bisa diisi 4 unsur, karena 1 unsur sudah diisikan pada kotak pertama.

Pada kotak ketiga bisa diisi 3 unsur, karena 2 unsur sudah diisikan pada kotak pertama dan kedua.

Sehingga dari aturan perkalian diperoleh banyaknya cara menyusun 3 unsur berbeda dari 5 unsur adalah: × × = ca�a.

Dari sini jelas bahwa rumus permutasi 3 unsur berbeda dari 5 unsur adalah: × × = perkalian mundur dimulai dari bilangan 5 sebanyak 3 fakto�

Jadi bisa disimpulkan bahwa:

��= � �

Sehingga dengan mudah kita hitung nilai permutasi berikut:

� = × × × pe�kalian mundu� angka te�akhi� da�i

� = × × pe�kalian mundu� angka te�akhi� da�i

7� = × pe�kalian mundu� angka te�akhi� da�i

� = × pe�kalian mundu� angka te�akhi� da�i

Dst… dst… dst…

Atau bila soalnya berbentuk kalimat seperti berikut:

Di suatu kelas terdapat 12 siswa. Banyak cara memilih ketua, wakil ketua, dan sekretaris dari 12 siswa dalam suatu kelas te�sebut adalah sebanyak …. ca�a.

Karena kita menyusun 3 siswa dari keseluruhan 12 siswa dengan memperhatikan urutan, maka digunakan konsep permutasi � .

Sehingga banyak cara memilihnya ada sebanyak:

� = × × = ca�a pe�kalian mundu� angka te�akhi� da�i

(4)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 305 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Kombinasi.

Cara paling mudah untuk menyusun rumus kombinasi adalah menggunakan definisi aslinya.

Di sekolah mungkin adik-adik diberikan rumus kombinasi seperti dituliskan pada halaman sebelumnya, yaitu:

=_�! _{− � !}!

Padahal, definisi asli dari permutasi adalah sebagai berikut:

= �!

Penjelasannya sebagai berikut:

Kombinasi adalah permutasi tanpa memperhatikan urutan obyek. Jadi, rumus kombinasi diperoleh dari permutasi � unsur dari unsur, namun karena hasil permutasi tersebut urutan tidak diperhatikan, maka dianggap hasil permutasi tersebut ada � unsur yang sama.

Jadi bisa disimpulkan bahwa:

�� = _� _{� �}� �

Sehingga dengan mudah kita hitung nilai permutasi berikut:

= × × ×

× × × (

pe�kalian mundu� angka te�akhi� da�i pe�kalian maju angka te�depan )

= _{× ×}× × (pe�kalian mundu� angka te�akhi� da�i _{pe�kalian maju angka te�depan} )

7 = × _× (pe�kalian mundu� angka te�akhi� da�i _{pe�kalian maju angka te�depan} )

Dst… dst… dst…

Atau bila soalnya berbentuk kalimat seperti berikut:

Di suatu kelas terdapat 12 siswa. Banyak cara memilih 3 siswa dari 12 siswa dalam suatu kelas tersebut adalah sebanyak …. ca�a.

Karena kita menyusun 3 siswa dari keseluruhan 12 siswa dengan tanpa memperhatikan urutan, maka digunakan konsep kombinasi .

Sehingga banyak cara memilihnya ada sebanyak:

= ×_{× ×}× = ca�a (pe�kalian mundu� angka te�akhi� da�i _{pe�kalian maju angka te�depan} )

Mudah bukan?! 

Khusus untuk Kombinasi berlaku sifat berikut:

�� = � −�

Jadi,

7= = _{× ×}× × (pe�kalian mundu� angka te�akhi� da�i _{pe�kalian maju angka te�depan} )

(5)

Halaman 306 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎

Tipe Soal yang Sering Muncul

Menentukan kaidah pencacahan menggunakan aturan perkalian.

Contoh Soal 1:

Dari angka-angka: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian:

Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut:  Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.  Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.  Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

7 7 7

Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka boleh berulang adalah: × × = buah.

Contoh Soal 2:

Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian:

Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut:

 Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja.   Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

 Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

6 7 7

(6)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 307 Contoh Soal 3:

Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan genap yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian:

 Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus genap maka angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 4 cara saja, yaitu diisi dengan angka 0, 2, 4, 6.

 Angka puluhan : dapat dipilih 7 angka, yaitu angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

 Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja.  Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

6 7 4

Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 320 adalah: × × = buah.

Contoh Soal 4:

Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan ganjil yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian:

 Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus ganjil maka angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 1, 3, 5.

 Angka puluhan : dapat dipilih 7 angka, yaitu angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

 Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja.  Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

6 7 3

(7)

Halaman 308 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎ Contoh Soal 5:

Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 300 adalah ….

Penyelesaian:

Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka lebih dari 300, maka terdapat aturan sebagai berikut:

 Angka ratusan : karena ada syarat harus lebih dari 300 maka angka ratusan hanya dapat dipilih sebanyak 4 cara, yaitu diisi dengan angka 3, 4, 5, 6.

 Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.  Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

4 7 7

Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 300 adalah: × × = buah.

Contoh Soal 6:

Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 320 adalah ….

Penyelesaian:

Bilangan lebih dari 320, artinya kita harus memecah menjadi dua bagian, yaitu:

- Bilangan ratusan dengan angka ratusan 3, yang bilangan puluhannya harus lebih dari 20. - Bilangan ratusan dengan angka ratusan selain 3.

Untuk bilangan ratusan dengan angka ratusan 3, yang bilangan puluhannya harus lebih dari 20. maka terdapat aturan sebagai berikut:

 Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat dipilih sebanyak 1 cara saja, yaitu diisi angka 3 saja.  Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 5 cara saja, yaitu dapat diisi dengan angka 2, 3, 4, 5, 6.  Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

1 5 7

Untuk bilangan ratusan dengan angka ratusan selain 3, maka terdapat aturan sebagai berikut:  Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 4, 5, dan 6 saja.  Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.  Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

3 7 7

Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 320 adalah:

(8)

Dari angka-angka: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian:

Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut:  Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Misal kita pilih angka 1 sebagai angka ratusan.

 Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka ratusan.

Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Misal kita pilih angka 2 sebagai angka puluhan.

 Angka satuan : angka satuan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka ratusan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka puluhan.

Jadi angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 3, 4, 5, 6, 7 saja.

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

7 6 5

Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: × × = buah.

Contoh Soal 8:

Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian:

 Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja.  Misal kita pilih angka 1 sebagai angka ratusan

 Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka ratusan.

Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 2, 3, 4, 5, 6.

Misal kita pilih angka 2 sebagai angka puluhan.

 Angka satuan : angka satuan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka ratusan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka puluhan.

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

6 6 5

(9)

Halaman 310 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎ Contoh Soal 9:

Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan genap yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian:

Bilangan genap dan tersedia angka 0 (nol), artinya kita harus memecah menjadi dua bagian, yaitu: - Bilangan genap dengan angka 0 (nol) berada di posisi angka satuan.

- Bilangan genap dengan angka genap selain 0 (nol) berada di posisi angka satuan.

Untuk bilangan genap dengan angka 0 (nol) berada di posisi angka satuan, maka terdapat aturan sebagai berikut:

 Angka satuan : karena angka satuan sudah pasti 0 (nol) maka angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 1 cara saja, yaitu diisi dengan angka 0 saja.

 Angka puluhan : dapat dipilih 6 angka, yaitu angka 1, 2, 3, 4, 5, 6. Misal kita pilih angka 1 sebagai angka puluhan.

 Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 0 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan angka 1 yang digunakan sebagai angka puluhan.

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

1 6 5

Untuk bilangan genap dengan angka genap selain 0 (nol) berada di posisi angka satuan, maka terdapat aturan sebagai berikut:

 Angka satuan : karena angka satuan sudah pasti angka bukan 0 (nol) maka angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 2, 4, 6 saja.

Misal kita pilih angka 2 sebagai angka satuan.

 Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 2 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan jangan lupa angka 0 tidak boleh berada di angka ratusan. sehingga untuk angka ratusan dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu angka 1, 3, 4, 5, 6. Misal kita pilih angka 1 sebagai angka ratusan.

 Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 2 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan angka 1 yang digunakan sebagai angka ratusan.

Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 3, 4, 5, 6 saja.

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

3 5 5

Jadi banyaknya bilangan genap terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah:

(10)

Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan ganjil yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….

Penyelesaian:

 Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus ganjil maka angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 1, 3, 5.

Misal kita pilih angka 1 sebagai angka satuan.

 Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan jangan lupa angka 0 tidak boleh berada di angka ratusan. sehingga untuk angka ratusan dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu angka 2, 3, 4, 5, 6. Misal kita pilih angka 2 sebagai angka ratusan.

 Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka ratusan.

Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 3, 4, 5, 6 saja.

Angka Ratusan

Angka Puluhan

Angka Satuan

3 5 5

(11)

Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi.

Contoh Soal 1:

Berapa banyak cara menempatkan 7 orang duduk dalam satu baris dalam urutan yang berbeda?

Penyelesaian:

Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi duduk diperhatikan. Sehingga ≠ .

Maka banyaknya posisi duduk adalah sebanyak 7 orang diambil sekaligus semuanya. Tujuh orang disusun secara permutasi sebanyak 7 orang.

7�7= _{− ! =}! !_{! =} != × × × × × × =

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

��= � �

7 permutasi 7, bisa diartikan perkalian 7 angka terakhir dari 7.

7�7= × × × × × × =

Contoh Soal 2:

Dari keseluruhan 7 orang ada berapa banyak cara menempatkan orang duduk dalam satu baris yang terdiri dari 4 kursi dalam urutan yang berbeda?

Penyelesaian:

Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi duduk diperhatikan. Sehingga ≠ .

Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 4 orang dari total 7 orang secara permutasi. Tujuh orang disusun secara permutasi sebanyak 4 orang.

7� = _{− ! =}! !_{! =} × × × × × ×_{× ×} = × × × =

7� = × × × =

Contoh Soal 3:

Ada 12 orang calon pengurus OSIS, akan dipilih 3 orang untuk menduduki posisi ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Ada berapa banyak cara menyusun pengurus OSIS tersebut?

Penyelesaian:

Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi jabatan pengurus diperhatikan.

Sehingga ≠ .

Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 3 orang dari keseluruhan 12 orang secara permutasi. Dua belas orang disusun secara permutasi sebanyak 3 orang.

� = !

− ! = ! ! =

× × × × × × × × × × ×

× × × × × × × × = × × =

(12)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 313

Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi dengan ada unsur yang sama.

Contoh Soal 1:

Berapa banyak cara menyusun kata berlainan dari kata MATEMATIKA?

Penyelesaian:

Elemen penyusun kata MATEMATIKA adalah M, A, T, E, M, A, T, I, K, A. Maka banyaknya elemen adalah: =

Banyak elemen huruf yang sama adalah: - Huruf M ada sebanyak 2 buah, jadi � = . - Huruf A ada sebanyak 3 buah, jadi ℓ = . - Huruf T ada sebanyak 2 buah, jadi = .

Jadi banyaknya kata berbeda yang bisa disusun adalah:

� , , = _{! ! ! =}! × × × × × × × × ×_{× × × × × ×} = . kata

Contoh Soal 2:

Dalam suatu rak buku terdapat 5 buku Biologi, dan 4 buku Matematika serta 1 buah buku Fisika. Buku-buku tersebut akan disusun dengan ditumpuk dari bawah ke atas. Ada berapa banyak cara berbeda dalam menyusun buku tersebut?

Penyelesaian:

Elemen penyusun ada 5 buku Biologi, 4 buku Matematika, serta 1 buah buku Fisika. Maka banyaknya elemen adalah: =

Banyak elemen huruf yang sama adalah:

- Buku Biologi ada sebanyak 5 buah, jadi � = . - Buku Matematika ada sebanyak 4 buah, jadi ℓ = .

Jadi banyaknya susunan berbeda dari buku yang bisa disusun adalah:

� , = _{! ! =}! × × × × × × × × ×_{× × × × × × × ×} = . ca�a

Contoh Soal 3:

Ada 3 bendera merah, 1 bendera biru, dan 1 bendera hijau. Bendera-bendera tersebut akan digantung secara vertikal, maka ada berapa banyak cara menyusun bendera tersebut secara berbeda?

Penyelesaian:

Elemen penyusun ada 3 bendera merah, 1 bendera biru, dan 1 bendera hijau. Maka banyaknya elemen adalah: =

Banyak elemen huruf yang sama adalah:

- Bendera merah ada sebanyak 3 buah, jadi � = .

Jadi banyaknya susunan berbeda dari bendera yang bisa disusun adalah:

� = !

! =

× × × ×

(13)

Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi siklis.

Contoh Soal 1:

Tentukan ada berapa banyak cara mengatur posisi duduk 5 orang mengelilingi meja berbentuk lingkaran!

Penyelesaian:

Mengatur 7 orang duduk secara melingkar, = . Berarti kita gunakan permutasi siklis.

�� = − ! = ! = × × × = ca�a

Contoh Soal 2:

Berapa cara 10 orang dapat duduk mengelilingi meja bundar apabila ada 2 orang yang harus duduk secara berdekatan?

Penyelesaian:

Karena ada 2 orang harus duduk berdekatan, berarti 2 orang ini kita anggap menjadi satu kesatuan. Sementara banyak cara menyusun 2 orang yang duduk saling berdekatan sebanyak 2!.

Nah, karena 2 orang dianggap menjadi satu, maka dari total 10 orang kini tinggal 9 orang yang akan diatur duduk secara melingkar.

Mengatur 9 orang duduk secara melingkar, = . Berarti kita gunakan permutasi siklis.

�� = − ! = !

Jadi banyaknya cara menyusun 10 orang duduk melingkar apabila ada 2 orang yang harus duduk bersebelahan: � = �� × ! = ! ! = × × × × × × × × × = . ca�a

Contoh Soal 3:

Ada 4 orang siswa kelas X, 3 orang siswa kelas XI, dan 2 orang siswa kelas XII akan berunding duduk mengelilingi meja bundar. Berapa banyak cara duduk apabila siswa satu kelas harus duduk bersebelahan.

Penyelesaian:

Nah, yang ditanyakan oleh soal adalah banyak cara menyusun 3 kelompok kelas yang akan diatur duduk secara melingkar.

Berarti kita gunakan permutasi siklis. �� = − ! = !

Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas X adalah sebanyak � = !.

Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas XI adalah sebanyak � = !.

Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas XII adalah sebanyak � = !.

(14)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 315

Menentukan kaidah pencacahan menggunakan kombinasi.

Contoh Soal 1:

Dari keseluruhan 7 orang ada berapa banyak cara memilih 4 orang untuk dijadikan pengurus RT?

Penyelesaian:

Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan kombinasi karena urutan posisi duduk tidak diperhatikan.

Sehingga = .

Maka banyaknya cara memilih adalah memilih 4 orang dari total 7 orang secara kombinasi Tujuh orang dipilih secara kombinasi sebanyak 4 orang.

7 = _{− ! ! =}! _{! ! =}! × × × × × ×_{× × × × × × =} × ×_{× × =}

�� = _� _{� �}� �

7 kombinasi 4, bisa diartikan perkalian 4 angka terakhir dari 7 dibagi perkalian 4 angka awal.

7 = × × ×_{× × × =}

Contoh Soal 2:

Ada 12 orang siswa yang telah mendaftar, akan dipilih 3 orang untuk menjadi pengurus OSIS. Ada berapa banyak cara menyusun pengurus OSIS tersebut?

Penyelesaian:

Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan kombinasi karena urutan posisi jabatan pengurus tidak diperhatikan.

Sehingga = .

Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 3 orang dari keseluruhan 12 orang secara permutasi. Dua belas orang disusun secara permutasi sebanyak 3 orang.

= _{− ! ! =}! _{! ! =}! ×_{× × × × × × × × × × ×}× × × × × × × × × ×

= × ×

× × =

12 kombinasi 3, bisa diartikan perkalian 3 angka terakhir dari 12 dibagi perkalian 3 angka awal.

= ×_{× ×}× =

Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di

http://pak-anang.blogspot.com. :)

Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut:

http://pak-anang.blogspot.com/2013/03/smart-solution-un-matematika-sma-2013_31.html

(15)

Halaman 316 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎ Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

Bilangan terdiri dari 4 angka disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 5, 6, dan 7. Banyak susunan bilangan

dengan angka-angka yang berlainan (angka-angkanya tidak boleh berulang) adalah ....

A.

20

B.

40

C.

80

D.

120

E.

360

2.

Banyak susunan kata yang dpat dibentuk dari kata ”WIYATA” adalah

....

A.

360 kata

B.

180 kata

C.

90 kata

D.

60 kata

E.

30 kata

Jika adik-

adik butuh ’boco�an’

butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

.

Semua

soal

tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal

20November 2012 yang lalu.

Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html

.

Pak Anang.

�e�mutasi angka da�i angka:

� = _{− ! =}! !_{! =} ∙ ∙ ∙ ∙ ∙_∙ = ∙ ∙ ∙ =

�e�mutasi unsu� da�i dengan ada unsu� yang sama, yakni hu�uf A: !

! =

∙ ∙ ∙ ∙ ∙

∙ = kata

Bisa juga dikerjakan dengan menggunakan aturan perkalian, banyaknya bilangan berbeda yang bisa dibentuk adalah: