Fungsi dan Grafik Fungsi 2

y = sin1 x = arcsin x _ x = sin y y _ [_/2, _/2]

Demikian pula untuk invers fungsi trigonometri yang lain. y = cos1x = arccos x  x = cos y y  [0, _]

y = tan –1_{x = arctan x  x = tan y y  (/2, /2)}

y = cot 1x = arccot x _ x = cot y y _ (0, _)

y = sec 1x = arcsec x  x = sec y y  (/2, /2)

y = csc1 x = arccsc x  x = csc y y  (0, _)

Selanjutnya, grafik fungsi siklometri dapat dilihat pada Gambar 2.2.12 di bawah ini.

Gambar 2.2.12 (a) y arcsinx _{Gambar 2.2.12 (b)} y arccosx

(c) Fungsi Eksponensial

Untuk a0, a1, fungsi f dengan rumus:

f(x) = ax

disebut fungsi eksponensial. Grafik fungsi eksponensial diperlihatkan pada gambar berikut:

(d). Fungsi Logaritma

Untuk a0, a1_{, y} a _{x x a}y

 

 log . Sebagai contoh:

13 27 karena

3 27 log

8 2 karena

3 8 log

3 3

1

3 2

 



 



Selanjutnya, fungsi f dengan rumus:

x x

f( )alog

disebut fungsi logaritma. Dalam hal ini D_f xR: x0_{. Grafik fungsi logaritma diperlihatkan pada}

gambar dibawah.

1

,





a

a

y

x

1

0

,







a

a

y

x

1

2.2.2 Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kutub

Seperti telah diterangkan di muka, dalam sistem koordinat kutub, koordinat suatu titik dapat diekspresikan dengan tak hingga banyak cara. Oleh karena itu, untuk menggambarkan grafik fungsi dalam sistem koordinat kutub, diperlukan kehati-hatian yang lebih dibanding ketika menggambar dalam sistem koordinat Kartesius.

Contoh 2.2.1 Gambarlah grafik r = 2.

Penyelesaian: Titik-titik (r,) yang memenuhi persamaan r=2 adalah titik-titik yang berjarak 2 satuan dari kutub (O). Jadi, kumpulan titik-titik ini akan membentuk lingkaran berjari-jari 2. Dengan cara lain, karena r x2 y2 2 maka x2y24. Grafik diberikan pada Gambar 2.2.15.

1

,

log





x

a

y

a

1

0

,

log







x

a

y

a

1

Gambar 2.2.14

Grafik fungsi yang disajikan dalam sistem koordinat kutub adalah himpunan semua titik P sehingga paling sedikit satu representasi titik P, yaitu , memenuhi persamaan tersebut.

Contoh 2.2.2 Gambarl grafik r = 2 sin dan r = 2 + 2 sin.

Penyelesaian: Tabel di bawah memberikan beberapa titik yang memenuhi kedua persamaan fungsi di atas untuk 02

Tabel 2.2.1

 r = 2 sin  r = 2 + 2 sin 

0 0 2

6

 1 3

4

 2 2 + 2

3

 3 2 + 3

2

 2 4

3

2 3 2 + 3

4

3 2 2 + 2

6

5 1 3

 0 2

6

7 _1 1

4

5  2 2 _ 2

3

4  3 2 _ 3

2

3 _2 0

3

5  3 2 _ 3

4

7 _{ 2} 2 _ 2

Berdasarkan hasil pada Tabel 2.2.1, grafik dapat dilihat pada Gambar 2.2.16.

(2, /4)

(2, 0) (2, ) (2, 2)

Contoh 2.2.3 Gambarlkan daerah yang berada di dalam kurva r = 22cos tetapi di luar lingkaran

r = 2sin_.

Penyelesaian: Untuk beberapa nilai  , maka titik-titik yang dilalui oleh kurva di atas dapat dilihat pada tabel berikut:

Tabel 2.2.2

 r = 22cos r = 2sin

0 4 0

6

 2+2 3 1

4

 2+ 2 2

3

 3 3

2

 2 2

 0 0

2

3 2 2

2 4 0

Selanjutnya, gambar daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut:

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 12, diberikan persamaan dalam x dan y. Tentukan persamaan yang mana y merupakan fungsi x.

1. 2x3y6 _2. xy 1 _3. x2 y4

4. xy2 4 5. x24y2 4 6. 2xy 1

7. y3x0 8. 1

y x

9. y  x

10.x2xy10 11.y(x1) x1 12.x2 9y2 9

Untuk soal 13 – 21, tentukan domain dan range fungsi f.

13. f(x)2x5 14. ( ) 1₂  

x x

f _15.

3 1 )

(

   

x x x x f

16.f(t) t2 1 17.

1 )

(

3

 

x x x

f _18.

1 1 )

(

  

u u u f

19. f(x)ln



1x



20.

1 2

) (

  

s s s s

f 21. 

  

 

  

 2

1 2

2 ln ) (

x x x

f

22. Tentukan f(0), f(2), dan f(xh) jika ( ) ₁5    x x x f _.

23. Tentukan f(1), f(16), dan f(xh) jika f(x)x x

24. Diberikan f(x) x. Jika h0, tunjukkan:

x h x h x f h x f    

 ) ( ) 1

(

25. Untuk sebarang bilangan real h0, tentukan

h x f h x

f(  ) ( ) _{jika f(x)sinx.}

Untuk soal 26 – 31, diberikan fungsi f dan g. Tentukan f g, f g, f.g, dan f g _{beserta dengan}

masing-masing domainnya.

26. f(x)x3, g(x)x 27. f(x) x1, g(x) 2x

28. f(x)x2 1, g(x)1 x 29. f(x)1 x, g(x)1x3

30. ,. ( ) 1

2 3 )

( 2

2 _{ }  

 g x x

x x x x f _31. 2 1 ) ( , 1 ) (      x x x g x x x f

Untuk soal 32 – 41, tentukan f g dan g f serta masing-masing domainnya.

32. f(x)x3, g(x)x 33. f(x) x, g(x)x

34. , ( ) ₂1

1 ) (      x x x g x x x

f _35. f(x) 1x, g(x) x1

36. ,. ( ) 1

2 3 )

( 2

2  

 

 g x x

x x

x x

f _{37. f(x)x}2 _{1, g(x)1 x}

38. f(x) x1, g(x) 2x 39. f(x)x2 1, g(x)1 x

40.                  0 , 5 0 , 2 ) ( , 0 , 3 0 , ) ( x x x x x g x x x x x f 41.              0 , 2 0 , 1 ) ( , 1 ) ( x x x x x x g x x f

Untuk 42 – 46, tentukan inversnya beserta domainnya.

45.            0 , 2 0 , 1 ) ( x x x x x x g _46.              0 , 1 1 0 , 1 2 ) ( x x x x x f

2.3 Barisan dan Deret

Perhatikan himpunan tak hingga berikut ini.

       ,... 81 1 , 27 1 , 9 1 , 3 1 , 1 A

Apabila fungsi f didefinisikan sebagai:

N    n n f n 1 3 1 ) (

maka himpunan A dapat pula dinyatakan sebagai:



N



 f n n A ( ):

Dalam hal ini, fungsi f disebut barisan. Secara umum, dapat didefinisikan pengertian barisan sebagai berikut.

Pada bagian ini akan dibicarakan fungsi dengan domain sistem bilangan asli. yang

Jadi, barisan bilangan real adalah fungsi f :N  R_{. Untuk seterusnya, barisan bilangan real cukup disebut}

sebagai barisan. Suku ke-n suatu barisan, yaitu f (n), biasa dinyatakan dengan an, n



N. Selanjutnya,

barisan dengan suku-suku an, n



N, ditulis dengan notasi an.

Contoh 2.3.2 Berikut adalah contoh-contoh barisan:

a.   a_n  1n b. a_n

 

n c.  

       ! 1 n a_n

d.   a_n  sinn e.  

        1 n n

a_{n f.  }



n



n

a  (1)

Untuk setiap bilangan asli n didefinisikan:

S1 = a1 S2 = a1 + a2 … Sn = a1 + a2 + … + an

Sn, nN, disebut jumlahan parsial.

Contoh 2.3.4 Bilangan 1 3 _{dapat ditulis sebagai:}

... 10

3 ... 1000

3 100

3 10

3 ... 003 , 0 03 , 0 3 , 0 333333 ,

0 3

1           _n 

Ruas terakhir pada persamaan di atas adalah suatu deret.

2.4 Irisan Kerucut

Diketahui luasan berbentuk kerucut tegak dengan setengah sudut puncak  dan titik puncak P. Apabila kerucut tersebut diiris dengan bidang W tidak melalui P dan membentuk sudut  terhadap sumbu kerucut maka irisannya akan berbentuk suatu kurva, yang selanjutnya disebut irisan kerucut. Bentuk irisan kerucut ini tergantung pada besar sudut . Apabila:

(a).   maka irisan kerucut berupa eilips. Perhatikan gambar di bawah.

W P

(b.).   maka irisan kerucut yang terjadi berbentuk parabola (lihat Gambar 2.4.2).

(c.). 0  _{maka terjadi kelas hiperbola}

Irisan kerucut juga dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik yang perbandingan jaraknya ke suatu titik tertentu dan kesuatu garis tertentu tetap. Selanjutnya, titik tertentu tersebut dinamakan titik fokus yang dinyatakan dengan F, garis tertentu tersebut dinamakan garis arah yang dinyatakan dengan d, dan perbandingan yang tetap tersebut dinamakan eksentrisitas yang ditulis . Berdasarkan eksentrisitasnya irisan kerucut dapat dibedakan menjadi:

a. Kelas ellips jika 01

W P

W P

Gambar 2.4.2

c. Kelas hiperbola jika 1

Diambil fokus F berimpit dengan titik asal O dan garis arah d mempunyai persamaan x + p = 0 dengan p > 0.

Jika P(x,y) sebarang titik pada irisan kerucut maka perbandingan jarak P ke F dan P ke d sama dengan , yaitu:





PD PF

atau



  

p x

y x2 2

x2y2 2xp2



_{1 }2



_x2 _y2 _22_{px }2_p2

 

 

(i). Untuk 1 diperoleh parabola dengan persamaan:

y2 _{= 2px + p}2 _{= 2p (x + )}

2

p

Jika diambil substitusi _x* _{x 2}p



 maka persamaan parabola menjadi y2 = 2px*. Selanjutnya, y2 = 2px

merupakan persamaan parabola dengan fokus F( ,0) 2

p

, garis arah d: x + 0 2 

p

, titik puncak O (0,0),

dan sumbu simetris garis y = 0 atau sumbu X. O F

x+ p=0

(ii).Untuk 1 diperoleh elips atau hiperbola dengan persamaan: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2          

 p x y p

x



₂



2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 _                     

 p y p p

x







2



2

2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 _                     

 p y p p

x

=



2



2 2 2 1    p

Selanjutnya, dengan menggambil x** _{= x}

 2 2 2 1   

p _diperoleh:

(x**₎2 ₊

(a). Untuk 01 diambil: ₂

2 2 2

1  



 p

c _dan



₂



2 2 2 2

1  

  p

a _{, maka diperoleh:}

 ** ₁

2 2 2

2

 

b y a

x

Karena



2



2 2

2 2 2

1

1 a b

p

 



 

 _{, dan}

a c



 , maka: b2 + c2 = a2 . Secara umum, persamaan ellips

dengan pusat O(0,0), sumbu simetris garis y = 0 dan x = 0, fokus F(c,0), dan garis arah d

dengan persamaan x = c a2

 diberikan oleh:

1

2 2 2 2

 

b y a x

Jika a = b maka ellips mempunyai persamaan:

x2 _{+ y}2 _{= a}2

Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat O dan berjari-jari a. Jadi, lingkaran adalah ellips dengan titik fokus dan titik pusat O.

(b). Untuk 1, diambil



2



2 2 2 2

1  

  p

a _dan 2



2



2 2 2

1

1  



 

 a

p

= b2 maka diperoleh c2 = a2 + b2

dan _ac dan:

55 a a

b

b

● ●

 ** ₁

2 2

2 2

 

b y a

x

Jadi, persamaan hyperbola dengan pusat O(0,0) , sumbu simetris garis y = 0 dan x = 0, titik fokus

F(c,0), dan garis arah d : x =

c a2

 diberikan oleh:

1

2 2

2 2

 

b y a x

●(0,b)

●(0,b) ●

(a,0)

● (c,0) ● (a,0) ●

(c,0)

x

a

b

y



x

a

b