KETT ˝OS INTEGRÁLÁS POLÁRKOORDINÁTÁKKAL
KETT ˝OS INTEGRÁLÁS POLÁRKOORDINÁTÁKKAL
KETT ˝OS INTEGRÁLÁS POLÁRKOORDINÁTÁKKAL
A területelem polár koordinátákkal:
∆Ak =
PÉLDÁK
Rajzoljuk fel az integrálási tartományt:
1
PÉLDÁK
1 Számítsuk ki
f(x,y) = 1 (x2 +y2)3/2
integrálját R felett.
2 Számítsuk ki az
Z Z
D
e−x2−y2dA integrált, ahol D
PÉLDA
Számítsuk ki annak a testnek a térfogatát, melyet alulról a z = 0 sík, felülr˝ol a z = x2 +y2 paraboloid
határol, és benne van az x2 +y2 = 2x hengerben.
y x
z
PÉLDA
Számítsuk ki annak a testnek a térfogatát, melyet felülr˝ol az = 1−x2 −y2 paraboloid és a z = 0 sík
PÉLDA
Számítsuk ki a pirossal jelölt ”levél” területét, mely
r = cos 2θ, −4π ≤ θ ≤ π4 egyenlettel adott.
HÁRMAS INTEGRÁL
Egy folytonos háromváltozós függvénynek a
háromváltozós tér egy korlátos zárt tartományán vett integrálját hasonló értelmezzük, mint ahogy egy kétváltozós függvényz integrálunk a sík egy tartománya felett.
Ha az értelmezési tartomány egy téglatest, akkor kisebb téglatestekre daraboljuk, így képezzük a Riemann-féle közelít˝o összeget:
Sn = n
X
k=1
HÁRMAS INTEGRÁL
ITERÁLT INTEGRÁL
SZUKCESSZÍV INTEGRÁLÁS
Az integrálási tartomány D lehet két felület közötti
rész. Ekkor
A legbels˝o integrál határai a két felülethez tartoznak. A legbels˝o integrál határai
tartalmazhatják a két küls˝o integrálási változót.
A középs˝o és köls˝o integrál azt adja meg, hogy
D-nek az xy-síkra vetített árnyékán integrálunk.
A középs˝o integrál határai csak legfeljebb a küls˝o integrálási változót tartalmazhatja.
A legküls˝o integrál határai konstansok.
PÉLDÁK
Mely tartomány felett integrálunk?
HÁRMAS INTEGRÁL
ALKALMAZÁSOK: TÉRFOGAT, ÁTLAG
A tér egy korlátos, zártT tartományának a
térfogata: V = RRR
T
dV.
Az f átlagértéke T-n: 1 T térfogata
Z Z Z
T
PÉLDA
Számítsuk ki annak a
piramisnak a
térfoga-tát, melynek alapja a
z = 0 sík, az oldalai
pedig y = 0, y −x = 4
és 2x +y +z = 10.
ALKALMAZÁSOK: TÖMEG, TÖMEGKÖZÉPPONT
Statikai nyomatékok: Myz =
PÉLDA
Számítsuk ki annak a pira-misnak a tömegét, mely-nek alapja az = −6 sík, az
oldalai pedigy = 0,y−x =
4 és 2x + y + x = 4, ha
a s˝ur˝usége δ(x,y,z) = y.
FELADATOK
Thomas-féle Kalkulus 15.3–15.5 15.3/ 1–10, 19, 33
