MATEMATIKA EKONOMI FUNGSI LINIER ERWAN SASTRAWAN. SE., MM

MATEMATIKA EKONOMI

FUNGSI LINIER

UNIVERSITAS TADULAKO

FEKON

Definisi

FUNGSI LINIER SEDERHANA

Suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan

ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain.

Y = a + bx

INDEPENDENT

VARIABLE

Notasi Fungsi

Y = f(x)

Y = 5 + 0.8 x

f(x) = 5 + 0.8 x

5

0.8

X

Y

Konstanta/Intersep pada sumby Y

Koef. Variable x/

Kemiringan/tangent/slope

Variabel bebas (independent

variable)

Variabel terikat (dependent variable)

CONTOH

A. 2x + 4y = 16

_{ Y = -0,5X + 4}

X Y -10 9,0 -6 7,0 -2 5,0 0 4,0 2 3,0 4 2,0 6 1,0 8 0,0 10 -1,0 12 -2,0 14 -3,0 16 -4,0

GRAFIK

Y = a + bX; a > 0, b >0

Y

X

Y = a + bX; a = 0, b >0 Y = a + bX; a < 0, b >0 Y = a + bX; a > 0, b < 0 Y = a + bX; a = 0, b < 0 Y = a + bX; a < 0, b < 0

BENTUK SLOPE

(b) (a) (c) (d) Keterangan:

(a) Slope – positif (b) Slope - negatif

(c) Slope – tegak lurus sumbu X; X = C (d) Slope – tegak lurus sumbu Y; Y = C

Aplikasi pada bidang produksi: Sebuah perusahaan mempunyai dua jenis produk a dan b, minggu depan perusahaan alokasikan 120 jam kerja untuk menghasilkan dua produk tersebut. Dalam mengejar target, perusahaan mengalokasikan waktu 3 jam untuk produk a dan 2.5 jam untuk produk b. Bagaimana model persamaannya?

CONTOH

Jika didefinisikan variabel y = banyak unit produk A yang diproduksi, sedangkan x = banyak unit produk B yang diproduksi, maka alokasi jam produksi untuk dua jenis produk tersebut adalah:

2.5 x + 3 y = 120, Jika produksi produk B sebanyak x = 30 unit, maka produk A akan diproduksi, y = 15 unit

a: penggal garis y= a + bx, yakni

nilai y pada x = 0

b: lereng garis, yakni

pada x = 0,

pada x = 1,

pada x = 2,

lereng fungsi linear selalu konstan

b

x

y

_

_

 /

b

x

y

_

_

 /

b

x

y

_

_

 /

x

y 

 /

y

x

a

c

0

x

=

c

y=a

y = a berupa garis lurus

sejajar sumbu

horizontal x, besar

kecilnya nilai x tidak

mempengaruhi nilai y

x = c berupa garis lurus

sejajar subu vertikal y,

besar kecilnya nilai y

tidak mempengaruhi

nilai x

Pembentukan

Cara Dwi- Koordinat

1 2 1

y

y

y

y





₌

1 2 1

x

x

x

x





y

x

0

A (x₁, y₁) B (x₂, y₂) C (x, y) Slope AC = Slope AB 1 1 x x y y   1 2 1 2

x

x

y

y





=

1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1

y

x

x

y

y

x

x

x

y

y

y

y

x

x

y

y

y

x

y

y

























Cara Koordinat- Lereng

Apabila diketahui sebuah titik A dengan

koordinat (x

₁

, y

₁

) dan lereng garisnya adalah b,

maka rumus persamaan linearnya adalah:

b = lereng garis

y – y

₁

= b (x – x

₁

)

(X₁, Y₁) b 1 X Y

Cara Penggal- Lereng

• Sebuah persamaan linear dapat pula dibentuk

apabila diketahui penggalnya pada salah satu

sumbu dan lereng garis yang memenuhi

persamaan tersebut.

Cara Dwi-Penggal

• Sebuah persamaan linear dapat dibentuk apabila diketahui

penggal garis tersebut pada masing- masing sumbu,

 penggal pada sumbu vertical (ketika x = 0)

 penggal pada sumbu horizontal (ketika y = 0).

• Apabila a dan c masing-masing ádalah penggal pada

sumbu-sumbu vertikal dan horizontal dari sebuah garis lurus, maka

persamaan garisnya adalah :

x

c

a

a

y

_

_

a = penggal vertikal b = penggal horizontal

y

x

0 A P b B c 1 2 3 4 5 6 a 1 2 3 3,5 5 4 -4 Y = 2 + 0,5 x

SOAL-SOAL

a. 4X + 5Y = 6

b. 1,5X + 15Y = 2

c. 1/4X + 2Y = -5

d. -3X + 6Y = 5

e. X - 5Y = 6

f. 2X + 5Y = -6

g. 0,1X + 0,5Y = 1,5

h. -4X - 5Y = -3

Hubungan Dua

Garis Lurus

• Dalam sistem sepasang sumbu silang, dua

buah garis lurus mempunyai empat macam

kemungkinan bentuk hubungan yang :

– berimpit,

– sejajar,

– berpotongan

– dan tegak lurus.

Berimpit :

y

₁

= ny

₂

a

₁

= na

₂

b

₁

= nb

₂

Sejajar :

a

₁

≠ a

₂

b

₁

= b

₂

Berpotongan :

b

₁

≠ b

₂

Tegak Lurus :

PENCARIAN AKAR- AKAR

PERSAMAAN LINEAR

Pencarian besarnya harga bilangan- bilangan anu

dari beberapa persamaan linear, dengan kata lain

penyelesaian persamaan- persamaan linear

secara serempak (simultaneously), dapat

dilakukan melalui tiga macam cara :

• cara substitusi

• cara eliminasi

• cara determinan

Cara Substitusi

Contoh : Carilah nilai variable- variable x dan y dari

dua persamaan berikut:

2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23

untuk variabel x, diperoleh x = 23-4y

2x + 3y = 21

2(23 – 4y) + 3y = 21

46 – 8y + 3y = 21

Cara Eliminasi

• Dua persamaan dengan dua bilangan anu dapat

diselesaikan dengan cara menghilangkan untuk

sementara (mengeliminasi) salah satu dari bilangan

anu yang ada, sehingga dapat dihitung nilai dari

bilangan anu yang lain.

5

,

25

5

46

8

2

21

3

2

2

1

23

4

21

3

2



























y

y

-y

x

y

x

y

x

y

x

Cara Determinan

• Cara determinan bisa digunakan untuk menyelesaikan

persamaan yang jumlahnya banyak.

• Determinan secara umum dilambangkan dengan notasi

afh

dbi

gec

chd

bfg

aei

i

h

g

f

e

d

c

b

e

d

b

a















a

3

derajad

determinan

db

-ae

2

derajad

determinan

• Ada 2 persamaan :

ax + by = c

dx + ey = f

• Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan :

db

ae

dc

af

e

d

b

a

f

d

c

a

D

Dy

y

db

ae

fb

ce

e

d

b

a

e

f

b

c

D

Dx

x





















Determinan

• Contoh :

2x + 3y = 21

d

x + 4y = 23

• Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan :

5

5

25

4

1

3

2

23

1

21

2

3

5

15

4

1

3

2

4

23

3

21

















D

Dy

y

D

Dx

x

1. Tentukan penggal x dan penggal y dari

persamaan-persamaan:

5x - 10y – 20 = 0

SOAL-SOAL

2. Gambarkan persamaan fungsi linier di bawah ini (dengan

metode subtitusi):

a). Y = 3x + 1

b). Y = 3x

c). Y = -2x + 10

3. Bentuklah persamaan linier yang garisnya melalui

pasangan titik-titik berikut:

a). (-1, 4) dan (1, 0)

b). (-1, -2) dan (-5, -2)

c). (0, 0) dan (1, 5)

d). (1, 4)dan (2, 3)

4. Bentuklah persamaan linier yang garisnya melalui titik

(-1, 3) danmempunyai koefisien arah atau lereng sebesar :

a). -1

b). 2

c ). 5

D). 0

SOAL-SOAL

5. Tentukan titik potong dari pasangan garis-garis berikut :

a). y = -2 + 4x dan y = 2 + 2x

b). y = -2 + 4x dan y = 6

C). y = 6 dan y = 10 – 2x

PENERAPAN FUNGSI LINIER

Kegunaan fungsi linier adalah:

A. Fungsi permintaan-Penawaran dan kesetimbangan.

B. Pengaruh pajak (spesifik, proporsional)

C. Pengaruh Subsidi (pemerintah)

D. Fungsi BIAYA, FUNGSI PENDAPATAN DAN ANALISIS

IMPAS

A. FUNGSI PERMINTAAN - PENAWARAN

Perm Fungsi permintaan diberikan sbb:

Qd = a – bP atau Qd= 15 - P

Fungsi penawaran diberikan sbb:

Qs = a + bP atau Qs= -6 + 2P

Keseimbangan Pasar:

GRAFIK

E

P

CONTOH

Contoh Soal:

Fungsi Permintaan Honda Jazz ditunjukkan oleh persamaan: P =

15 – Q sedangkan Fungsi Penawaran adalah P = 3 + 0,5 Q

Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan Honda

Jazz yang tercipta di pasar?

Jawab:

Permintaan : P = 15 – Q

→ Q = 15 – P

Penawaran : P = 3 + 0,5 Q → Q = -6 + 2P

Keseimbangan pasar , maka → Q d = Q s

15 – P = - 6 + 2P →

21 = 3P

→ = 7

Q = 15 – P

→15 – 7 = 8

B. PENGARUH PAJAK-SPESIFIK TERHADAP KESEIMBANGAN

PASAR

B.1. Pengaruh Pajak Spesifik. Pajak yang dikenakan atas penjualan

suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut naik.

Sebab setelah dikenakan pajak, produsen akan berusaha

mengalihkan

(sebagian)

beban

pajak

tersebut

kepada

konsumen. Pengenaan pajak sebesar t atas setiap unit barang

yang dijual menyebabkan kurva penawaran bergeser ke atas,

dengan penggal yang lebih tinggi pada sumbu harga.

 Jika sebelum pajak persamaan penawarannya: P = a + bQ

CONTOH

Contoh Soal:

Fungsi Permintaan Honda Jazz ditunjukkan oleh persamaan: P =

15 – Q sedangkan Fungsi Penawaran adalah P = 3 + 0,5 Q. Bea

Masuk Honda Jazz, Pemerintah mengenakan pajak sebesar 3

per unit Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan

Honda Jazz sebelum pajak dan sesudah pajak yang tercipta di

pasar?

Jawab:

Penawaran sebelum pajak : P = 3 + 0,5 Q

Penawaran sesudah pajak : P-3 = 3 + 0,5 Q

P = 6 + 0,5 Q →

Q = -12 + 2P

CONTOH

Keseimbangan Pasar : Qd = Qs

15 – P = -12 + 2 P → 27 = 3P → P = 9

Q = 15 – P = 15 - 9 → P = 6

Jadi sesudah pajak Pe = 9 dan Qe = 6

Q

P

0

7

Q

d

Q

_s

15

3

15

E

6

9

6

E’

Q’

s

Sesudah Pajak Sebelum Pajak

B.2. PAJAK PROPORSIONAL

• Fungsi permintaan ditunjukkan persamaan P = 15 – Q, penawarannya P = 3 + 0,5Q. Terhadap barang tersebut dikenakan pajak sebesar 25% dari harga jual. Berapa harga dan jumlah keseimbangan sesudah pajak?

Permintaan : P = 15 – Q Penawaran : P = 3 + 0,5Q + 0,25P 15 – Q = 4 + 2/3Q 11 = 5/3Q Q = 6,6 P = 15 – Q P = 15 – 6,6 P = 8,4 P Q 8 3 15 14 1 15 6 6,6 Qd Qs 7 E 8,4 Qd’ E’ 0,75P = 3 + 0,5Q P = 4 + 2/3Q

PENGARUH SUBSIDI TERHADAP

KESEIMBANGAN PASAR

 Subsidi merupakan kebalikan atau lawan dari pajak, oleh karena itu ia sering juga disebut pajak negatif. Seiring dengan itu, pengaruhnya terhadap keseimbangan pasar berbalikan dengan pengaruh pajak, sehingga kita dapat menganalisisnya seperti ketika menganalisis pengaruh pajak. Subsidi dapat bersifat spesifik dan dapat juga bersifat proporsional.

 Pengaruh Subsidi. Subsidi yang diberikan atas produksi/penjualan sesuatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi lebih rendah. Dengan adanya subsidi, produsen merasa ongkos produksinya menjadi lebih kecil sehingga ia bersedia menjual lebih murah.

C. BEBAN SUBSIDI

Dengan subsidi sebesar s , kurva penawaran bergeser

sejajar kebawah, dengan penggal yang lebih kecil (lebih

rendah) pada sumbu harga.

Jika sebelum subsidi persamaan penawarannya

P = a + bQ

maka sesudah subsidi persamaannya akan menjadi

P’ = a + bQ – s = (a – s) + bQ

Contoh Soal:

Fungsi Permintaan Honda Jazz ditunjukkan oleh persamaan: P = 15 – Q sedangkan Fungsi Penawaran adalah P = 3 + 0,5 Q. Pemerintah memberikan Subsidi sebesar 1,5 per unit Honda Jazz yang diproduksi. Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan Honda Jazz sebelum pajak dan sesudah pajak yang tercipta di pasar?

Jawab:

Penawaran tanpa subsidi : P = 3 + 0,5 Q

Penawaran dengan subsidi : P = 3 + 0,5 Q – 1,5

P = 1,5 + 0,5 Q Q = -3 + 2 P

Q

P

0

7

Q

_d

Q

_s

15

15

3

15

E

6

8

E’

9

1,5

Q’

_s

Tanpa Subsidi

Dengan Subsidi

Keseimbangan Pasar : Qd = Qs 15 – P = -3 + 2 P → 18 = 3P → P = 6 Q = 15 – P = 15 - 6 → P = 9

Jadi sesudah pajak Pe = 6 dan Qe = 9

BEBAN SUBSIDI

Bagian Subsidi yang dinikmati konsumen. Besarnya bagian dari subsidi yang diterima, secara tidak langsung, oleh konsumen (sk) adalah selisih antara harga keseimbangan tanpa subsidi (P e ) dan harga keseimbangan dengan subsidi (P’ e )

Sk = Pe – P’e Dalam contoh kasus diatas, sk = 7 – 6 = 1 Bagian subsidi yang dinikmati produsen

Sp = s - sk Dalam contoh kasus diatas, sp = 1,5 – 1 = 0,5

Jumlah subsidi yang dibayarkan oleh pemerintah. Besarnya jumlah subsidi yang diberikan oleh pemerintah (S) dapat dihitung dengan mengalikan jumlah barang yang terjual sesudah subsidi (Q’ e ) dengan besarnya subsidi per unit barang (s). Jadi jumlah subsidi pemerintah adalah

D. FUNGSI PENERIMAAN & BIAYA

• FUNGSI BIAYA

o Biaya Tetap Fc = k _{(k=konstanta)} o Biaya Variabel Vc = vQ

o Biaya Total Tc = Fc + Vc • FUNGSI PENERIMAAN

Revenue(penerimaan)

R = Q x P (biasanya dinyatakan dalam Q)

Q

P

FC

VC

TC

R

0

10

50

7,5

50,0

0

5

10

50

7,5

87,5

50

ANALISA PULANG POKOK

0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0 0 2 4 6 8 10 12 R U P IA H KWANTITAS, Q TC R KEUNTUNGAN KERUGIAN

KESEIMBANGAN 2 MACAM BARANG

• Fungsi Permintaan dan Penawaran

Barang X

Px= -aQ

x

+ b + P

y

Px= aQ

x

+ b + P

y

Barang Y

P

y

= -aQ

y

+ b + P

x

P

y

= aQ

y

+ b + P

x

• Permintaan • Penawaran • Penawaran • Permintaan

y x dx

P

P

Q

_

10

_

4

_

2

x sx

P

Q

_

_

_{6 }

6

Persamaan barang x :

Keseimbangan pasar barang X

x y x

P

P

P

2

6

6

4

10

_

_

_

_

_

)

1

...(

...

2

10

16

_

_{P }

_x

P

_y

Persamaan barang y :

x y dy

P

P

Q

_

9

_

3

_

4

y sy

P

Q

_

_

_{3 }

7

Keseimbangan pasar barang Y

)

2

...(

...

4

10

12

_

_{P }

_y

P

_x y x y

P

P

P

4

3

7

3

9

_

_

_

_

_

KESEIMBANGAN 2 MACAM BARANG

(Lanj)

) 1 ...( ... 2 10 16 _{ P x} P_y ) 2 ...( ... 4 10 12 _{ P y} P_x ELIMINASI y x

P

P

2

10

16

_

_

x y

P

P

4

10

12

_

_

x5 x1 y x

P

P

10

50

80

_

_

x y

P

P

4

10

12

_

_

x

P

46

92 

+

2



x

P

y x

P

P

2

10

16

_

_

y

P

2

)

2

(

10

16

_

_

y

P

2

20

16

_

_

4

2

P

_y

_

_

₂

y

P

Dari 2 persamaan diatas diperoleh:

Selanjutnya:

KESEIMBANGAN 2 MACAM BARANG

(Lanj)

x

sx

P

Q

_

_

_{6 }

6

Q

sy





3 

7

P

y

Substitusikan ke persamaan barang X dan Y

)

2

(

6

6 





sx

Q

6



x

Q

)

2

(

7

3 





sy

Q

11



y

Q

Jadi, keseimbangan masing-masing barang tersebut adalah

2



x

P

2



y

P

11



y

Q

Q

_x

_

6

Langkah selanjutnya:

KESEIMBANGAN 2 MACAM BARANG

(Lanj)

E. FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN

Berdasarkan asumsi tersebut persamaan fungsi konsumsi adalah:

C = a + bY

Dimana:

C = Konsumsi

Y = Pendapatan yang siap dibelanjakan , A = Konsumsi mutlak

b = Kecenderungan konsumsi marginal (MPC)

Fungsi tabungan dapat diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan di atas dalam persamaan pendapatan:

Y=C+S atau Y=C+I dimana I-adalah investasi Sehingga menghasilkan:

Dimana : S = Tabungan -a

(1-b)

= Tabungan negatif bila pendapatan sama dengan nol.

= Kecendrungan menabung marginal (MPS) MPS+MPC=1 Y = ( a + bY ) + S

S = Y – ( a + bY )

CONTOH

Diketahui fungsi pendapatan: Y=C+I dan fungsi konsumsi C= 50 + 0,8Y dan I₀=50. Tentukan tingkat penghasilan kesetimbangan dari grafik tersebut. Jawaban:

Y=C+I

C=50+0.8Y Y=50+0.8Y+I  0.2Y=50 + I

Buatlah grafik: Y vs I

Y vs C

Y vs Y=C+I₀

Titik kestimbangan terjadi ketika kurva Y=C+I akan berpotongan dengan garis titik-titik pada kemiringan 45 derajat. Dalam hal ini terjadi pada Y=500, lihat grafik

GRAFIK

Titik kesetimbangan pendapatan agregat

FUNGSI MULTI VARIABEL

Persamaan Linear Dengan n Variabel

a1x1+ a2x2+ a3x3+ ……..+ anxn = b

Dimana:

• a1 , a2 , a3,…… ,an dan b adalah bilangan konstan dan a1 , a2 , a3, ………… ,an tidak semuanya nol.

• n variabel meliputi x1, x2, x3, …….., xn Contoh:

(1). 3x1- 2x2+ 5x3 = 0; a1=3 , a2=-2 , a3=5; b=0

(2). 2x1+ 5x3+ 2x4+ 4x5 = 10; a1=2 , a2=0 , a3=5, a4=2, a5=4, b=10 Bentuk Jawaban persamaan tersebut adalah himpunan S dimana: S1 = {(X1, X2, X3) | 3x1- 2x2+ 5x3 = 0 }

Jenis-jenis

Fungsi

Jenis fungsi terdiri atas:

1. Fungsi linier

2. Fungsi kwadrat

3. Fungsi Polinom

4. Fungsi berderajat n

5. Fungsi pangkat

6. Fungsi eksponensial

7. Fungsi logaritmik

8. Fungsi trigonometri

9. Fungsi hiperbolik

Berikut penjelasannya.

1•

Fungsi Polinom :

fungsi yang mengandung

banyak suku (polinom) dalam variabel

bebasnya.

y = a

₀

+ a

₁

x + a

₂

x

2

+…...+ a

_n

x

n

2

•

Fungsi Linear :

fungsi polinom khusus yang

pangkat tertinggi dari variabelnya adalah

pangkat satu (fungsi berderajat satu).

•

Fungsi Kuadrat :

fungsi polinom yang

pangkat tertinggi dari variabelnya adalah

pangkat dua, sering juga disebut fungsi

berderajat dua.

y = a

₀

+ a

₁

x + a

₂

x

2

a

₂

≠ 0

•

Fungsi berderajat n :

fungsi yang pangkat

tertinggi dari variabelnya adalah pangkat n

(n = bilangan nyata).

•

Fungsi Pangkat :

fungsi yang veriabel

bebasnya berpangkat sebuah bilangan

nyata bukan nol.

y = x

n

n = bilangan nyata bukan nol.

•

Fungsi eksponensial :

fungsi yang variabel

bebasnya merupakan pangkat dari suatu

konstanta bukan nol.

y = n

x

n > 0

•

Fungsi logaritmik :

fungsi balik (inverse) dari

fungsi eksponensial, variabel bebasnya

merupakan bilangan logaritmik.

y =

n

log x

•

Fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik :

fungsi yang variabel bebasnya merupakan

bilangan-bilangan goneometrik.

persamaan trigonometrik

y = sin x

Fungsi

Bentuk Eksplisit

Bentuk Implisit

Umum

Linier

Kuadrat

Kubik

y = f(x)

y = a

₀

+ a

₁

x

y = a

₀

+ a

₁

x + a

₂

x

2

y = a

₀

+ a

₁

x + a

₂

x

2

_{+ a}

3

x

3

f(x, y) = 0

a

₀

+ a

₁

x – y = 0

a

₀

+ a

₁

x + a

₂

x

2

_{– y = 0}

a

₀

+ a

₁

x + a

₂

x

2

_{+ a}

3

x

3

– y = 0

Berdasarkan letak ruas variabel-variabelnya,

fungsi dibedakan menjadi 2 jenis:

TERIMAKASIH