Ein Mathematikquiz
6.2 Die Lösungen
b. oder sollte man zuerst den Rabatt abziehen und dann zu dem geringeren Preis die Mehrwertsteuer addieren?
Ich vermute, dass Sie als Käufer bei geschickter Verhandlung im Fall (b), der doch für den Verkäufer günstiger aussieht, noch einen zusätzlichen Bonus heraushandeln können, und wenn es nur ein Kaffee ist.
Was sagt die Mathematik zu beiden Varianten?
14. Aus welcher Sprache stammt das Wort”Algebra“? a. Lateinisch
b. Griechisch c. Hebräisch d. Arabisch
6.2 Die Lösungen
Zu 1. Antwort: 198 Glockenschläge
Innerhalb einer Stunde schlägt die Uhr erst einmal (Viertelstunde), dann zweimal (halbe Stunde), dann dreimal (Dreiviertelstunde) und am Schluss zur vollen Stunde viermal. Das sind innerhalb einer Stunde also
1C2C3C4D10 Schläge.
In 12 Stunden sind das also zusammen 120 Schläge, nur für die viertelstündlichen Angaben. Jetzt müssen wir noch die Anzahl der Schläge für die einzelnen Stunden hinzuaddieren, also
1C2C: : :C12D78 Stundenschläge.
Diese Summe kann man leicht ausrechnen, oder man kann eine Formel benutzen (vgl. [9], Kapitel”Das Anstoßproblem“). Oder man hilft sich so wie der Schüler in der Sendung. Der hatte sich einfach gemerkt, dass
1C2C: : :C10D55
ist, einfach so mal ins Langzeitgedächtnis gepackt. Dann konnte er schnell noch 11 und 12 dazuaddieren und hatte seine 78.
Jetzt müssen wir nur beide Zahlen addieren und erhalten:
Insgesamt hören wir in 12 Stunden 198 Glockenschläge.
Zu 2. Antwort: 8 Mäuse
Wenn 2 Katzen in 2 Stunden 2 Mäuse fangen, dann fängt 1 Katze in 2 Stunden 1 Maus, einfach die Hälfte. Dann fängt aber eine Katze in 4 Stunden 2 Mäuse, weil sie doppelte Zeit hat.
Dann fangen 4 Katzen in 4 Stunden 8 Mäuse.
Zu 3. Antwort: 7 Stunden und 50 Minuten
Hier geht es um die Geschwindigkeit. Zuerst also die Erklärung, was Geschwindigeit ist:
Geschwindigkeit ist der zurückgelegte Weg geteilt durch die benötigte Zeit.
Fragt man nach der Zeit, so ergibt sich:
Benötigte Zeit gleich zurückgelegter Weg geteilt durch die Geschwin- digkeit.
Für die 468 km braucht man also 468
72 D6;5:
In Zeit ausgedrückt, sind das sechseinhalb Stunden, also sechs Stunden und 30 Minuten. Addiert man die Pause von 1 Std. 20 Minuten hinzu, so braucht man insgesamt
7Stunden und50Minuten.
Zu 4. Antwort: (b)
Mit römischen Zahlen lernt man schon in der Grundschule umzuge- hen. Wir geben hier die wichtigen Zahlensymbole an:
ID1; VD5; XD10; LD50; CD100; DD500; M D1000 M ist also 1000 und daher MM = 2000. Dann ist
2010DMMX:
6.2 Die Lösungen 137
Um zu lange Ungetüme zu vermeiden, gibt es folgende Subtrakti- onsregel:
Die Zahlzeichen I, X und C dürfen einem ihrer beiden jeweils nächst- größeren Zahlzeichen vorangestellt werden und sind dann in ihrem Zahlwert von dessen Wert abzuziehen. Die Fünferzahlen V, L und D werden nicht subtraktiv vor andere Zahlen gestellt.
Als 9 möchte man ja eigentlich schreiben VIIII. Nach der Subtrak- tionsregel ist es aber kürzer und damit richtig zu schreiben
9DIX:
Zwei kleine Bemerkungen wollen wir anfügen:
Kennen Sie das Sprichwort: ”Jemandem ein X für ein U vorma- chen“ ? Das hängt mit den römischen Zahlen V = 5 und X = 10 zusammen. Das V ist der obere Teil des X und wurde früher auch als U gelesen und geschrieben. Wenn man jetzt in einem Vertrag die Zahlung von V Euro oder DM oder Taler festlegt und später nach geleisteter Unterschrift aus dem V durch kleine Verlängerungsstriche nach unten ein X daraus macht, so macht man doppelte Kasse, wenn es keiner merkt. Man hat dem anderen ein X für ein V vorgemacht.
In einer niedersächsischen Kleinstadt ”entdeckte“ ein Journalist eine Sensation an der Kirchturmuhr. Die vierte Stunde wurde durch IIII, also vier Striche angezeigt, was eindeutig den Regeln der römischen Zahlendarstellung widerspricht. Richtig wäre na- türlichlich IV, also51. Dabei werden nämlich nur zwei Zeichen und nicht vier gebraucht. Eine unglaubliche Besonderheit oder gar vielleicht ein Alleinstellungsmerkmal für diese Turmuhr? Ich bat den Journalisten am Telefon, er möge doch mal eine Kollegin oder einen Kollegen fragen, der eine Uhr mit römischen Ziffern hat, wie dort die 4 aussieht. Tatsächlich fand er gleich einen und war bass erstaunt, denn auch dort war die 4 falsch dargestellt.
Daraufhin sagte ich ihm, dass das in Mitteleuropa Standard sei, auf Uhren die römische 4 falsch darzustellen. Schauen Sie doch mal bei Gelegenheit auf Ihre Uhr, falls Sie so eine haben. Übrigens, in Russland macht man es richtig. Auf dem roten Platz in Moskau zeigt die riesengroße Uhr am Erlöserturm die richtige römische 4.
Warum wir das falsch machen, ist nicht ganz geklärt. Vielleicht, um eine Verwechslung mit der 6, also VI, auszuschließen?
Zu 5. Antwort: 7353
Das ist eine niedliche kleine Frage, mit der man vielleicht bei einer Party etwas Unterhaltung beisteuern kann. Wenn wir auf einem Ta- schenrechner die Zahlen 0, 1, 2 usw. bis 9 eintippen und dann den Rechner um180ıdrehen, so sehen wir alle diese Zahlen auf dem Kopf stehen und erkennen gleichzeitig, dass man sie als Buchstaben deuten kann. So ist z. B. eine auf dem Kopf stehende 3 ein (großes) E oder eine auf dem Kopf stehende 5 ist ein S. Hier eine mögliche Zuordnung:
0!o;1!l;2!Z;3!E;4!h;5!S;6!g;7!L;8!B;9!G Vielleicht haben Sie noch andere Vorschläge. Jedenfalls wird aus der Zahl 7353 durch 180ı-Drehung der ESEL. Beachten Sie bitte, dass sich durch Umdrehen auch die Reihenfolge der Zeichen umkehrt. So wird aus 3537 das Wort LESE.
Zu 6. Das ist eine einfache Prozentaufgabe. Wir verraten Ihnen den einfachen Trick: Wenn Sie 19 % von einer Zahl ausrechnen wollen, so müssen Sie diese Zahl einfach mit 0,19 multiplizieren. Wenn Sie 5 % Rabatt gewähren wollen, so multipliziern Sie die Zahl einfach mit10;05D 0;95und haben schon das Ergebnis. 35 % von 360 berechnet man also so:
3600;35D126
Zu 7. Hier sollte man mit seinem Vorstellungsvermögen nicht geizen. Sie sehen die Behälter mit 8 l und 6 l und daneben den leeren Behälter mit 11 l. Wir wollen 5 l erhalten. Jetzt die Erleuchtung:5 D 116.
Was will uns das sagen?
Wir müssen irgendwie den 11-l-Behälter voll machen und ihn dann in den 6-l-Behälter, der leer sein muss, ausleeren.
Also giesën wir den 8-l-Behälter in den 11-l-Behälter, dann füllen wir diesen vollständig auf mit dem 6-l-Behälter, in dem dann 3 l zurückbleiben. Die interessieren uns aber nicht, wir schütten sie also achtlos in den 8-l-Behälter. Jetzt ist der 11-l-Behälterer voll und der 6-l-Behälter leer.
6.2 Die Lösungen 139
Also schütten wir den vollen 11-l-Behälter in den 6-l-Behälter, bis der voll ist, dann bleiben gemäß unserer obigen Differenzrechnung 5 l im 11-l-Behälter zurück. Die wollten wir haben.
Zu 8. Antwort: (b)
Für die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl ohne Rest durch 3 lernt man in der Schule folgende Regel:
Eine natürliche Zahl ist genau dann ohne Rest durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme ohne Rest durch 3 teilbar ist.
Das ist eine sehr einfache Regel, die sich ganz schnell anwenden lässt.
Nehmen wir uns die Zahl
27:643:955:118:
Um zu prüfen, ob sie durch 3 teilbar ist, betrachten wir ihre Quersumme:
2C7C6C4C3C9C5C5C1C1C8D51
Wenn wir 51 durch 3 teilen, so ergibt sich 17, und es bleibt kein Rest. Also ist auch die Ausgangszahl durch 3 ohne Rest teilbar. Bei der Quersumme hätten wir uns das Leben noch erleichtern können, indem wir alle Zahlen oder kleinen Zwischensummen, die durch 3 teilbar sind, gleich weggelassen hätten. Es hätte also gereicht zu prüfen: 2+7
= 9, also weglassen. 6 ist durch 3 teilbar, also weglassen, 4 festhalten, 3 und 9 wieder weglassen, 4 + 5 = 9, also weglassen, 5 + 1 = 6, also weglassen, 8+1 = 9, durch 3 teilbar.
Wie kommt man auf diese wunderbare Regel? Das ist wirklich ganz einfach. Bitte folgen Sie mir, denn ich will Ihnen ja erklären, dass Mathematik nicht die obige Rechnerei ist, sondern die logische Begründung, die jetzt folgt.
Wir zeigen es nicht in voller Allgemeinheit, sondern so, dass Sie das Prinzip erkennen können. Nehmen wir eine vierstellige Zahl
abcdD1000aC100bC10cCd:
Wir haben gleich daneben ihre Dezimaldarstellung geschrieben. Die Quersumme dieser Zahl istaCbCcCd. Die müssen wir irgendwie ins Spiel bringen. Daher schreiben wir (das ist der Trick!):
abcdD1000aC100bC10cCd
D999aCaC99bCbC9cCcCd D 999„ƒ‚…aC99bC9c
offensichtlich durch 3 teilbar
Ca„ƒ‚…CbCcCd Quersumme
Wir haben also unsere gegebene Zahl, die Sie beliebig größer machen können, ohne den Grundgedanken zu verändern, in die Summe einer garantiert durch 3 teilbaren Zahl und die Quersumme geschrieben.
Diese letzte Gleichung müssen wir jetzt genau anschauen und richtig interpretieren. Weil der erste unterklammerte Anteil auf jeden Fall durch 3 teilbar ist, haben wir das Problem der Teilbarkeit auf die Quersumme reduziert und können schließen:
Wenn die ursprüngliche Zahl durch 3 teilbar ist, so muss auch die Quersumme durch 3 teilbar sein. Ist umgekehrt die Quersumme durch 3 teilbar, so ist garantiert auch die ursprüngliche Zahl durch 3 teilbar, jeweils ohne Rest.
Übrigens sieht man an dem Beweis, dass eine analoge Aussage auch für die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl ohne Rest durch 9 richtig ist.
Jetzt zu unserer Quizfrage: Am einfachsten ist es hier, das Ausschluss- prinzip zu verwenden. Wir prüfen also, welche Aussage ganz sicher falsch ist.
101 hat als Quersumme 2, also ist 101 nicht durch 3 teilbar.
Die Lösung von2xC1 D 201erhält man, wenn wir auf beiden Seiten 1 subtrahieren und dann die Zahl rechts durch 2 teilen. So erhalten wirxD100. Also ist auch diese Antwort falsch.
Natürlich ist 101 keine gerade Zahl, sondern ungerade.
Es bleibt also nur die Antwort (b), dass 101 die kleinste dreistellige Primzahl ist. Weil ja immer bei korrekten Fragen genau eine Antwort richtig ist und weil alle drei anderen Antworten falsch sind, muss diese Antwort richtig sein. Wir können das aber auch schnell verifizieren.
Die kleinste dreistellige Zahl ist 100. Das ist aber keine Primzahl. Die zweitkleinste dreistellige Zahl ist 101. Ist das eine Primzahl?
Primzahlen sind natürliche Zahlen größer als 1 (per Definition ist 1 keine Primzahl!), die nur durch 1 und durch sich selbst ohne Rest teilbar
6.2 Die Lösungen 141
sind. Wir müssen also 101 auf Teiler testen. Es reicht, die Primzahlen kleiner als 101 zu testen.
101 ist nicht durch 2 teilbar, auch nicht ohne Rest durch 3. Dass sie nicht durch 5 teilbar ist, sieht man auch sofort. Bei der 7 muss man etwas rechnen, aber dann sieht man schnell, dass auch 7 kein Teiler von 101 ist. Die nächste Primzahl ist dann die 11. Müssen wir die noch testen? Wenn wir 101 durch 11 teilen, kommt auf jeden Fall eine Zahl kleiner als 11 heraus. Wenn also 101 ohne Rest durch 11 teilbar wäre, so müsste es bereits einen kleineren Primteiler von 101 geben. Die haben wir aber alle schon getestet.
Wir müssen daher bei dieser Testmethode immer nur bis zur Prim- zahl testen, die kleiner oder gleich p
101ist. Wir sind also fertig und haben Antwort (b) als einzig richtige erkannt.
Zu 9. Antwort: (b)
Bedenken Sie bitte, dass sich die Fragen an einen Sechstklässler rich- teten. In der sechsten Klasse lernt man nur propädeutisch etwas von Potenzen. In der Sendung war ich darauf vorbereitet, dem Jungen das mit29zu erklären. Aber der war so clever, dass er sich das schon allein beigebracht hatte und sofort die Antwort wusste. Es ist nämlich
512D222222222D29: Sie können ja zur Kontrolle Ihre Finger benutzen.
Zu 10. Antwort: (c)
Der Begriff”gestreckter Winkel“ ist in der Mathematik nicht so sehr gebräuchlich. Manchmal meint man damit einen Winkel von 180ı. Unter einem”spitzen Winkel“ versteht man einen Winkel kleiner als 90ı. Den toten Winkel kennt man beim Autofahren.
Es bleibt also nur der
”stumpfe Winkel“für einen Winkel von120ı. Wenn Sie sich den Winkel auf Papier malen, erkennen Sie auch das Stumpfe an diesem Winkel.
Zu 11. Antwort: (a)
Da können wir uns auf die Lösung zu Aufgabe 8 beziehen. Dort hatten wir uns klargemacht, dass eine natürliche Zahl genau dann durch 3 teilbar ist, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
Gleich zu Beginn werden wir fündig. Die Quersumme von 648 ist 648D6C4C8D18:
18 ist natürlich durch 3 teilbar, also ist es auch 648. Eigentlich sind wir damit fertig, aber vielleicht rechnen Sie doch noch schnell zur Sicherheit die anderen Quersummen aus, um zu sehen, dass keine davon durch 3 teilbar ist.
Zu 12. Antwort: (d)
Hier sollten wir auf ein Detail hinweisen, das häufig in der Um- gangssprache vernachlässigt wird. In der Mathematik müssen wir aber sehr streng sein. Das kleine Wörtchen ”stets“ ist hier sehr wichtig und darf nicht vergessen werden; denn wenn wir nach Vierecken mit gleich langen Seiten suchen, so denken wir sofort an ein Quadrat.
Das ist aber in der Alternativliste nicht aufgeführt. Aber, und jetzt kommt der Mathematiker, selbstverständlich ist jedes Quadrat auch ein Parallelogramm, schließlich sind jeweils die gegenüberliegenden Seiten parallel. Dann ist jedes Quadrat aber auch ein Rechteck, bei dem ja nur alle Winkel rechte sein müssen. Und darüber hinaus ist jedes Quadrat auch ein Trapez. Bei dem müssen ja nur zwei gegenüberliegende Seiten parallel sein.
Wenn das Wort”stets“in der Fragestellung fehlt, so kann ein spitz- findiger Antworter also getrost sagen: Nun, ein Parallelogramm, also ein spezielles, nämlich ein Quadrat, erfüllt die Bedingung. Genauso schafft es ein Rechteck, nämlich wieder ein spezielles, unser Quadrat, und ebenso hat ein Trapez vier gleich lange Seiten, ein spezielles zwar, aber das ist in der Fragestellung nicht angegeben. Also bitte sauber formulieren. Natürlich hat nicht jedes Rechteck vier gleich lange Seiten, ebenso wenig jedes Parallelogramm, und es gibt auch Trapeze, bei denen nicht alle Seiten gleich lang sind.
Diese Exaktheit ist es, die vielen Menschen die Mathematik so unheimlich macht. Diese Schärfe der Logik ist es aber auch, die Mathe- matiker in vielen Bereichen so unabkömmlich macht. Im sprachlichen Ausdruck mag man eine schwammige Ausdrucksweise noch hinneh- men. Bei Gesetzen wird es schon schwieriger, wenn sie nicht sauber formuliert werden. Aber zu einem Desaster kann es in einem Compu- terprogramm führen, wenn man dort nachlässig ist.
Wir haben noch nicht über die Raute gesprochen. Das ist ein Viereck, das genau dadurch charakterisiert ist, dass alle Seiten gleich lang sind. Das ist also unsere richtige Antwort auf die richtige Frage.
Zu 13. Beide Varianten sind gleichwertig und führen zum selben Endresultat.
Diese Antwort mag Sie überraschen, aber erinnern wir uns: Wollen wir 19 % Mehrwertsteuer zu einem Preis addieren, so multiplizieren
6.2 Die Lösungen 143
wir den Preis einfach mit1;19D 1C0;19. Wollen wir 10 % Rabatt runterrechnen, so multiplizieren wir den Wert schlicht mit0;9D1 0;10.
Diese nacheinander auszuführende Multiplikation ist aber kommu- tativ, wie wir ja schon aus der Grundschule wissen. Es ist also
20:0001;190;9D20:0000;91;19:
Vielleicht gewinnen Sie also wenigstens einen Kaffee, würde mich freuen.
Zu 14. Antwort: (d)
Das Wort ”al-ˇgabr“ wird zum ersten Mal in einem Buchtitel eines persischen Autors, der das Buch in Arabisch verfasst hat, um 825 erwähnt. Das für uns gebräuchliche Wort”algebra“ stammt dann aus der lateinischen Übersetzung des Buchtitels.
Wenn Sie also auf Lateinisch getippt haben, lagen Sie auch nicht ganz falsch.
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19. Zimmer, E. (1961). Umsturz im Weltbild der Physik. München: Deutscher Taschenbuch Verlag.
A
Abstandsmessung,119 im Weltraum,124
allgemeine Relativitätstheorie, 124
Astronomen, Jahreszählung,86 Augenhöhe,81
Augustinus,119 Axonometrie,38
B
Bessler, Johann Ernst Elias, 11
Bibliothek von Laßwitz,100 Bogenlänge der Zykloide,34 Brüche,104
Brachistochrone,36
C
Cantor, Georg,105
1. Diagonalverfahren,105 2. Diagonalverfahren,108 Cohen, Paul,109
D
Dürer, Albrecht,16 Drehmoment,10 Dreibein,38
Dreiteilung des Winkels,77 Dürer, Albrecht,16
Dur,62
E
Einstein, Albert,123 Erddrehung,117
1. Diagonalverfahren von Cantor, 105
Euklidische Norm,119 Euklidischer Algorithmus,69 Euler’sche Zahl,1
F Faust,27
Feynman, Richard,130 Fisimatenten,97
Fläche, Zykloidenbogen,35 Formel, schönste mathematische,1
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016 N. Herrmann,Mathematik und Gott und die Welt, DOI 10.1007/978-3-662-48723-5
147
148 Sachverzeichnis
G
GAGA-Hummel-Hummel AG,44 Gauß, Carl Friedrich,90
Gaudi, Antoni,40
gleichtemperierte Stimmung,52 Gödel, Kurt,109
Goethe, Johann Wolfgang von,27 Faust,27
Hexeneinmaleins,27 Gott
und die Mathematik,97 und die Physik,117
größter gemeinsamer Nenner,67 größter gemeinsamer Teiler (ggt),
68 GUT,128
H
harmonische Reihe,111 Hasse, Helmut,98 Hauptnenner,70 Hexeneinmaleins,27 Higgs-Teilchen,126 Hilbert, David,98
K
kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV), 71
komplexe Einheit,2 Konchoide,20
Kontinuumshypothese,108 Kräfte,126
Kreisquadratur,12,76 Kreiszahl,2 Kreuzprodukt,10 Kronecker, Leopold,98
L
Laßwitz, Kurd,99 Bibliothek,100
Leonardo da Vinci,2
Lessing, Gotthold Ephraim,80
M
Münzenmusik,57 magische Quadrate,20
Anzahl,22 Konstruktion,23 Lotto,26
magische Summe,21 Ordnung,20 Sagrada Familia,42 zentralsymmetrische,17 magische Summe,21
Mathematics Subject Classification,59 Mathematik
in der Musik,47 in der Sprache,67
Klassifizierung der Publikationen,58 Maximum-Norm,122
Melencolia I,16 Melodien finden,61 Milchstraße,118
mitteltönige Stimmung,51 Moll,62
Mozart
Würfelwalzer,57
Mozart, Wolfgang Amadeus,54 Firmname,55
Heiratsurkunde,55 Vornamen,54 Würfelwalzer,57
N
natürliche Zahlen,98 Naturgesetze,131 Neuntöter-Reihe,114 Null
Definition,88 Division,90,91 Einzigkeit,89 Multiplikation,89
O
Ordnung, magische Quadrate,20 Orffyreus,11
P
Papst Benedikt XVI.,117 Perpetuum mobile,8
nach Leonardo da Vinci,8 Unmöglichkeit,9
Perspektive,37 Philolaos,49 Physemathenten,97 Pohlke
Satz von,37
Pohlke, Karl Wilhelm,37 Pythagoras
Satz des,3–5
Pythagoreische Stimmung, 50
Pythagoreisches Komma,49
Q
Quadratur des Kreises, 12, 76,77
Quadratverdopplung,78
R
Radius des Weltalls,125 rationale Zahlen,104 Rechte-Hand-Regel,10 reelle Zahlen,106 Relativitätstheorie allgemeine,124 spezielle,124
S
Sagrada Familia,41 magisches Quadrat,42
Satz
des Pythagoras,3–5,119 von Bernoulli,36 von Huygens,35 von Pohlke,38 von Wren,34 Schnittmenge,81 Schwiegermutter,85 Semper, Gottfried,39 Sonnenumlauf,117 stetig,73,74 Stimmung
gleichtemperierte,52 mitteltönige,51 Pythagoreische,50 wohltemperierte,51 Symbol1,101
T
Tautochrone,35
U
unendlich1,101 Urknall,118
V
Vektorprodukt,10
Verdopplung des Würfels,77 Vitruv,Marcus Vitruvius Pollio,12 Vitruvianischer Mensch
nach Leonardo,14 Original,13
W
Weltformel,128 wohltemperiert,47
wohltemperierte Stimmung,51 Wolff-Rosenkranz, Marc-M. J.,43 Wren, Sir Christopher,33