Mathematik in der Sprache
3.1 Die Suche nach dem größten gemeinsamen Nenner
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• Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
• Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
• Hauptnenner
Alle diese Begriffe scheinen in einem Journalistenherzen rumzuspuken. Nur den größten gemeinsamen Nenner findet man in der Mathematik leider nicht.
Wer denkt sich also solch einen Begriff aus? Und meint dann noch, sich hochwissenschaftlich auszudrücken. Aber jetzt bitte kein weiteres Gejammere.
Wir wollen ja eigentlich nur die Gelegenheit wahrnehmen, Ihnen diese Begriffe aus der sechsten Klasse noch einmal in Erinnerung zu rufen.
Der größte gemeinsame Teiler (ggT)
Beginnen wir mit dem ggT, dem größten gemeinsamen Teiler. Dieser Begriff hat nur Sinn in Zusammenhang mit zwei Zahlen. Man muss ja schließlich etwas Gemeinsames suchen. Dazu braucht man zwei Zahlen. Nehmen wir uns die Zahlen 96 und 44, rein willkürlich.
Wenn wir streng nach dem Begriff ggT gehen, so müssen wir zuerst von diesen beiden Zahlen jeweils alle Teiler bestimmen. Das ist bei großen Zahlen nicht ganz leicht; wenn man sehr große Zahlen nimmt, kann es richtig schwierig werden. Machen Sie nur mal das umgekehrte Spiel und nehmen Sie sich zwei wirklich große Primzahlen. Die gibt es 40- oder 50- stellig im Internet. Diese beiden Zahlen multiplizieren Sie miteinander. Und dann beauftragen Sie einen Freund, von der neuen Riesenzahl die Teiler zu bestimmen. Dieses Problem macht man sich bei der Verschlüsselung von Nachrichten zunutze. Aber das schildern wir an anderer Stelle.
Hier ist die Aufgabe natürlich sehr leicht.
Teiler von 96 sind:2;3;4;6;8;12;16;24;32;48;96 Teiler von 44 sind:2;4;11;22;44
Jetzt vergleichen wir die Teiler beider Zahlen und suchen die gemeinsamen Teiler:
Gemeinsame Teiler von 44 und 96 sind:2;4
Unter diesen müssen wir jetzt den größten bestimmen. Also haben wir:
Größter gemeinsamer Teiler (ggT) von 44 und 96 ist:4
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In der Schule wird ein anderes Verfahren gelehrt, das wir aber nicht vertiefen wollen; denn es ist auch keine wirkliche Hilfe bei großen Zahlen. Man sucht von den beiden zu betrachtenden Zahlen alle Primfaktoren. Dann ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren der ggT. Wie gesagt, Primfaktoren bei sehr großen Zahlen sucht man nicht einfach so.
Unser besonderer Grund, diese beiden Verfahren nicht so gut zu bewerten, liegt aber darin, dass seit dem alten Euklid ein ganz wunderbares Verfahren zur Bestimmung des ggT bekannt ist.
Der Euklidische Algorithmus
Dieser ganze Algorithmus beruht auf einer schlichten Division mit Rest. Wenn wir eine Zahl durch eine andere teilen, geht das in der Regel nicht auf, sondern es bleibt ein Rest:
96W44D2Rest 8 Das können wir auch als eine Gleichung schreiben:
96D244C8
Jetzt kommt der geschickte Schachzug von Euklid. Wir machen die Rech- nung ein weiteres Mal, diesmal aber mit der kleineren zweiten Zahl 44 und dem Rest 8, also
44D58C 4:
Jetzt hält uns nichts mehr, und wir rechnen noch einmal:
8D24C0
Jetzt ist der Algorithmus beendet, denn der Rest ist 0. Und jetzt halten Sie sich fest:
Satz 3.1 Der letzte nicht verschwindende Rest ist der ggT.
Wir haben oben den Rest 4 umrahmt. 4 ist also der ggT von 96 und 44, wie wir es noch weiter oben ja schon auf andere Art bestimmt hatten.
Ist das nicht fantastisch? Eine solch einfache Rechnung führt uns zum ggT.
Sie könnten einwenden wollen, dass das eventuell zu einer sinnlosen, weil nicht abbrechenden Rechnung führt. Aber falsch geraten. Der Rest ist doch immer echt kleiner als die Zahl, durch die wir dividieren. Bei wiederholter
Rechnung wird der Rest also ständig kleiner. Weil die beiden Zahlen aber endlich sind, ist der Algorithmus auch endlich und endet beim Rest 0. Bei großen Zahlen kann das lange dauern, aber niemals unendlich lange. Und die Rechnung geht vorbestimmt. Eine Divisionsaufgabe ist in endlich vielen Schritten nach einem feststehendem Kalkül erledigt. Ein Computer macht so etwas in Sekundenbruchteilen.
Einfach, damit Sie Spaß an diesem Algorithmus gewinnen, rechnen wir noch ein Beispiel. Wir suchen den ggT von 5.432 und 123. Zwischendurch benutzen wir natürlich unseren Taschenrechner:
5432D44123C20 123D620C3
20D63C2 3D12C 1 2D21C0
Der letzte von 0 verschiedene Rest ist 1. Das ist also der ggT, und das heißt, dass unsere Zahlen teilerfremd sind.
Jetzt kommen aber die Neunmalklugen und belehren mich, dass man ja den ggT eigentlich gar nicht braucht, aber das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) braucht man in der Bruchrechnung. Und dann muss ich ja doch die Rechnung mit den Primfaktoren durchführen. Warum also dann der Umweg über den Euklidischen Algorithmus? Aber halt, so leicht kommen Sie mir nicht davon.
Der Hauptnenner
In der Tat, in der Bruchrechnung brauchen wir den Hauptnenner, und der ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beteiligten Nenner. Es ist also nicht der größte gemeinsame Nenner, auch nicht der kleinste gemeinsame Nenner, sondern das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner. Und wo braucht man diesen Hauptnenner?
Um zwei Brüche mit unterschiedlichem Nenner zu addieren, müssen wir sie zunächst gleichnamig machen, beide also so umformen, dass sie denselben Nenner haben. Der kleinste dieser gemeinsamen Nenner ist der Hauptnenner.
Das erläutern wir zuerst mal an einem Beispiel.
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Wir möchten gerne folgende Rechnung ausführen:
1 2C1
3
Es gibt sehr clevere Typen, die meinen:
Ach die Mathematiker spinnen doch. Um die beiden Brüche zu addieren, addiere ich einfach die beiden Zähler und dann die beiden Nenner und schon sind wir fertig.
Das ist natürlich Unsinn. Das ergäbe ja hier: 12C13 führt zu 12CC13 D 25, eine Zahl kleiner als 12.
Nehmen wir uns aber mal eine Torte, und betrachten wir die halbe Torte (12) und ein Drittel der Torte (13). Wenn wir die beiden Teile zusammenfügen, bekommen wir ein deutlich größeres Stück als die halbe Torte.
Das geht so also nicht, ihr Besserwisser. Wir müssen uns schon etwas an- strengen. Wir erkennen, wenn Sie sich vielleicht wieder eine Torte vornehmen, dass gilt:
1 8C 2
8 D 3 8
O.k., wenn also der Nenner gleich ist bei beiden Brüchen, kann ich sie addieren, indem ich einfach den Zähler addiere und den Nenner beibehalte.
Was mache ich also, wenn die beiden Brüche nicht den gleichen Nenner haben? Richtig, ich bringe sie auf den gleichen Nenner. Das geht immer.
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)
Hier kommt unser kgV ins Spiel. Ich bestimme von den beiden Nennern das kgV, das ist der Hauptnenner. Dann erweitere ich die beiden Brüche so, dass sie jetzt beide den gleichen Nenner, nämlich den Hauptnenner, haben. Dann addiere ich die Zähler und übernehme den Hauptnenner als Nenner, fertig.
Hier ein ganz einfaches Beispiel:
1 2C1
3 D 3 6C 2
6 D 5 6:
Bei diesen kleinen Zahlen übersehe ich natürlich sofort, wie der Hauptnen- ner aussieht. Aber wenn man größere Zahlen im Nenner hat, ist es auch hier
viel einfacher, zuerst den ggT der beiden Nenner mit Euklid zu berechnen. Ja, und wie finde ich dann den Hauptnenner, also das kgV?
Tatsächlich gilt folgender Satz:
Satz 3.2 Für zwei natürliche Zahlenaundbgilt die Beziehung
ggT kgVDab:
Wenn ich also von zwei Zahlen a und b mit dem guten Euklid den ggT ausgerechnet habe, so kann ich sehr leicht das kgV bestimmen aus der Gleichung:
kgV D ab ggT
Was sagen Sie dazu? Es ist doch viel besser, man rechnet mit einem wirklich einfachen Algorithmus, dem Euklidischen Algorithmus, den ggT aus und bestimmt dann aus einer noch einfacheren Gleichung das kgV.
Wenn Sie mir nicht glauben wollen, so suchen Sie doch mal den ggT von 10.403 und 9991. Viel Spaß bei der Suche nach Primfaktoren. Hier die Rechnung mit Euklid:
10403D19991C412 9991D24412C 103
412D4103C0
Also ist 103 der ggT. Und das kgV berechnet sich so:
kgV D 10:4039991
103 D1:009:091 Noch Fragen?