Der Herausgeber, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die in diesem Werk enthaltenen Daten und Informationen zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und richtig sind. In diesem Buch möchte ich Ihnen die Erkenntnis näher bringen, dass Mathematik eine Geisteswissenschaft ist – eine Erkenntnis, die auch unser gewähltes Motto des großen Mathematikers Karl Weierstrass erklärt.
Mathematik in der Kunst
Schönheit in der Mathematik
Leonardo da Vinci
In dem um 1500 erschienenen Buch De Divina Proportione des italienischen Mathematikers Fra Luca Pacioli finden sich Zeichnungen von Leonardo da Vinci; Einer davon beschäftigt sich mit unserem Satz. Abends ging ich mit einem Landsmann spazieren und wir diskutierten über die Verdienste von Michelangelo und Raffael; Ich leitete das erste Spiel, er leitete das zweite und wir endeten mit einer gemeinsamen Laudatio auf Leonardo da Vinci.
Albrecht Dürer
In der Mitte der unteren Zeile stehen die Zahlen 15 und 14, also 1514, das Jahr, in dem das Bild entstand. Oben in der Mitte des Diagramms in Abb. 1.12 gibt es 3 und 2, ihre Summe ist 5, was wir hier als fünften Monat, also Mai, interpretieren.
Magische Quadrate
Wenn wir nun ein magisches Quadrat der Ordnung 5 konstruieren wollen, müssen die einzelnen Zeilen, Spalten oder Diagonalen jeweils addiert werden. Auch hier muss man nur genau hinsehen und es vielleicht mit dem Quadrat der Ordnung 7 vergleichen.
Johann Wolfgang von Goethe
Zeichnen Sie ein leeres 3 · 3-Quadrat auf ein Blatt Papier und schreiben Sie die Zahlen 1 bis 9 von links oben nach rechts unten hinein, wie in Abb. 1.16 gezeigt. Wenn die andere Diagonale von links oben nach rechts unten ebenfalls 15 addieren würde, hätten wir eine sogenannte vollständige Magie.
Auslegung nach Richard Witte
- Sir Christopher Wren
- Karl Wilhelm Pohlke
- Gottfried Semper
- Antoni Gaudi
- Ausblick
Ebenso müssen alle anderen Zahlen um ein Feld nach oben rücken, damit wir das in Abb. dargestellte Zwischenergebnis erhalten. 1,20. Der Satz, den wir anhand einer Skizze in Abb. 1.28 bietet Malern und Architekten enorme Freiheiten.
Mathematik in der Musik
Wohltemperierte Klaviere
Wenn man dann die Saite weiterspielt und an anderen Stellen niederdrückt, was durch die Bünde der Gitarre erleichtert wird, kann man durch Experimentieren feststellen, dass beim Niederdrücken einer Terz wieder ein dem Grundton entsprechender Ton erklingt, d. h. zwei Drittel sorgen für den Klang der Saite. Für die Quarte haben wir das Verhältnis der Saite zu drei Vierteln, die große Terz erklingt bei vier Quinten, die kleine Terz bei fünf Sexten der Saite. Das nächstkleinere Intervall, die Sekunde, erklingt, wenn man eine None der Saite anschlägt, also acht Nonen erklingen.
Es ist irgendwie erstaunlich, dass angenehme Klänge zu hören sind, wenn wir die Saite in so einfache Verhältnisse aufteilen. Vor 2500 Jahren klangen die Intervalle schön, wenn die Längen der Saiten in so einfachen Verhältnissen kleiner natürlicher Zahlen stehen.
Mozarts Würfelmusik
Da diese Fragen immer so zusammengesetzt sind, dass genau eine der vier möglichen Antworten richtig ist, stehen drei der oben genannten Namen nicht auf der Heiratsurkunde. Und dann erklärte er dem Pfarrer schnell, dass sein Name Wolfgang Adam Mozart sei und dass es tatsächlich so auf der Heiratsurkunde stehe. Einer meiner akademischen Lehrer versuchte uns in einer Vorlesung zu zeigen, wie man an die Wahrscheinlichkeitstheorie herangeht, indem er erklärte, dass er als Student oft mit einem Freund Münzen geworfen habe.
Schauen Sie sich für die erste Spalte die Linie an, die in der ersten Spalte gedreht wurde. Ich habe in der ersten Spalte elf verschiedene Zeilen, die ich als erste Zeile verwenden kann.
Klassen in der Mathematik
Tatsächlich haben sie alle ihre Naturwissenschaften in der sogenannten mathematischen Fachklassifikation in kleine Klassen eingeteilt. Ich habe mich für diese Unterklasse 65 entschieden, da ich selbst während meiner aktiven Zeit in der Unterklasse 65 N 30 publiziert habe. Anschließend werden in diesen Aufsätzen alle diese neuen Artikel in einer kurzen Zusammenfassung, sortiert nach Klassifizierung, vorgestellt.
Wenn Sie nun auf der Suche nach einem Fachartikel in einem bestimmten Bereich sind, schauen Sie sich einfach diese Referenzzeitschriften an und sehen Sie unter dem jeweiligen Titel, welche neuen Artikel erschienen sind und welche Inhalte Sie dort erwarten können. Und so habe ich stets die neuen Erkenntnisse anderer Autoren in meinem Fachgebiet verfolgt.
Melodien finden leicht gemacht
Sie haben 10.000 musikalische Themen in einem Buch zusammengestellt, so wie Mathematiker jedes Jahr ihre 12.000 neuen Theoreme in Berichtsbögen zusammenfassen. Eine Einteilung der Melodien in Dur und Moll ist zu grob, um außer für Komponisten des 20. Jahrhunderts eine Suchmöglichkeit zu schaffen. Wenn ich vortragen würde, würde ich Ihnen diese Melodie jetzt vorsingen, in der Hoffnung, dass Sie sie vielleicht schon einmal gehört haben, so denken Sie man kennt sie, kann sie aber nicht direkt einem Musikstück zuordnen.
Was wir suchen, finden Sie auf der Seite in Abbildung 2-3 in der dritten Zeile von unten rechts. Wenn wir diese Nummer am Anfang des Buches nachschlagen, finden wir in der Mitte die gesuchte Melodie mit der Nummer B918 am Rand (Abb.2.4).
Mathematik in der Sprache
Die Suche nach dem größten gemeinsamen Nenner
Da aber beide Zahlen endlich sind, ist auch der Algorithmus endlich und endet mit einem Rest von 0. Tatsächlich benötigen wir bei Brüchen den Primzahlnenner, und das ist das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der beteiligten Nenner. Um die beiden Brüche zu addieren, addiere ich einfach die beiden Zähler und dann die beiden Nenner und fertig.
Wenn wir die beiden Stücke zusammenfügen, erhalten wir ein deutlich größeres Stück als die Hälfte des Kuchens. Dann erweitere ich die beiden Brüche so, dass sie nun beide den gleichen Nenner haben, nämlich den Hauptnenner.
Hinweis auf das Wurzelziehen
Es ist viel besser, gcd mit einem wirklich einfachen Algorithmus, dem euklidischen Algorithmus, zu berechnen und dann kgV aus einer noch einfacheren Gleichung zu bestimmen.
Wir wollen die Politik verstetigen
Es ist jetzt nicht umsonst, wenn wir fordern, dass die Kurve (und damit die Politik) glatt sein soll. Wenn wir in der Mathematik „glatt“ sagen, meinen wir, dass in der Grafik keine Spitzen zulässig sein sollten – für Experten fordern wir Differenzierung. Interessanterweise haben wir in der Mathematik keinen Begriff, der ausdrückt, was Frau Merkel sagen möchte.
Wenn wir nur zehn Ziffern zulassen wollen, ist diese Zahl nicht enthalten, sodass unsere Funktion f die x-Achse in keiner der betrachteten zehnstelligen Zahlen schneiden würde. Andernfalls scheitern sie am Zwischenwertsatz und noch mehr am Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Er versuchte die Quadratur des Kreises
Wenn die obige Einschränkung zutrifft, darf die (endliche) Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal durchgeführt werden. Unser Trick besteht nun darin, dass wir über der Diagonale AC von F1 ein neues Quadrat F2 D AEFC konstruiert haben, was mit Zirkel und Lineal eine einfache Aufgabe ist. Mit Zirkel und Lineal klappt das Halbieren wunderbar, einen Winkel von 30° haben wir bereits konstruiert.
Tatsächlich bewies der oben erwähnte Pierre-Laurent Wantzel in demselben Werk aus dem Jahr 1837, dass selbst dieses Problem nicht mit Zirkel und Lineal gelöst werden kann. Dieses Problem, einen Kreis nur mit Zirkel und Lineal in ein Quadrat gleicher Fläche umzuwandeln, erwies sich als unlösbar.
Wo sind unsere Schnittmengen?
Wir begegnen uns auf Augenhöhe
Ich tue, was ich kann
Wo ist der Euro?
Und das bedeutet, dass ich Sie als Partner akzeptiere und Sie auf eine Stufe mit mir stelle. Alles hielt sich in Grenzen; denn am Ende musste jeder Freund eine Gesamtrechnung von 10 Euro bezahlen. Deshalb beschloss er sehr klug, drei Freunden jeweils einen Euro zu geben, also insgesamt 3 Euro, und steckte 2 Euro in die Tasche.
Der Chef erhält zunächst die 30 Euro, gibt dann aber 5 Euro zurück, wovon der Kellner 2 Euro eingesteckt hat.
Geburtstag
- Liebe Schwiegermutter!
- Womit beschäftigen sich Mathematiker?
- Die Zahlen deines Lebens
- Die Zahl Null
- Die Zahl 85
Wenn Sie also einen Astronomen nach dem Sternenhimmel im Jahr 333 – bei Issos Kampf – (dem Jahr 333 v. Chr.) befragen möchten, müssen Sie nach dem Sternenhimmel im Jahr -332 fragen. Wenn wir also irgendwo eine Berechnung finden, bei der das Hinzufügen eines Termes nichts ändert, ist dieser Term garantiert Null. Wenn wir eine Division durch Null zulassen wollen, müssen wir auch mit Unendlich, also 1, rechnen.
Wenn wir wiederum 1 als ernsthafte Größe zulassen wollen, weil wir durch Null dividieren wollen, folgt daraus, dass 0D1 eine wirklich bedeutungslose Gleichung ist. Ich denke, wir sind uns alle sofort einig, dass wir die A-Karte umdrehen müssen.
4.6 85 ist überall
Nun, als ich das Papier zeigte, war auf der Rückseite ein U, also habe ich geschummelt. Eine kleine Randbemerkung: Wenn Sie dieses Spiel jemand anderem oder aus einem anderen Grund anbieten möchten, müssen Sie es nur erwähnen. Dann müssen Sie die erste Zahl 129 von der umgekehrten Zahl subtrahieren, sonst erhalten Sie einen negativen Wert.
Uns gefällt das Spiel, wir drehen diese Zahl noch einmal um, lesen sie von hinten nach vorne und so bekommen wir sie.
Gott macht keine Physemathenten
Zur Mathematik
Wir wiederholen den Befehl, diesmal jedoch mit den ungeraden Zahlen, die wir nun in die linke Spalte einfügen. Aus der Schule wissen wir – und das haben wir in der siebten Klasse gelernt –, dass wir jeden Bruch in eine endliche oder sich wiederholende Dezimalzahl umwandeln können. Natürlich wäre das eine furchtbar lange Liste aller reellen Zahlen zwischen 0 und 1. Wir müssten uns also viele Buchstaben ausdenken, aber ich bin sicher, Sie verstehen, worauf es ankommt.).
Beachten Sie beim Wiederaufbau die Abbildung 5.2, wo wir sechs Steine übereinander gelegt haben: Dazu geben wir ihm einen Weg, den wir in Abb. durch Pfeile gekennzeichnet haben. 5.4.
Zur Physik
In der Mathematik haben wir uns für genaue Vorgaben entschieden, die eine Distanzmessung erfüllen muss. Die Zeit ist für uns ebenso unwiderlegbar wie das Amen in der Kirche. Der Urknall vor 14 Milliarden Jahren ereignete sich im Weltraum vor einer unendlichen Zeit.
Das ist ebenso überraschend, wie aus unseren Rechtecken wunderschöne Kreise im Höchstmaßstab geworden sind. Ein zweiter Punkt wurde mit der Vereinigung elektromagnetischer und schwacher Kräfte in der sogenannten Quantenfeldtheorie erreicht.
Zu Gott
In gewissem Sinne ja, wenn wir verstehen, dass „da“ unsere Menschen, unsere Körper, unsere Materie sind.
Wer hat diese Naturgesetze gemacht?
Ein Mathematikquiz
Das Quiz
Sie müssen zunächst die Mehrwertsteuer addieren und anschließend den Rabatt von 10 % vom höheren Preis abziehen.
Die Lösungen
Eine natürliche Zahl ist genau dann ohne Rest durch 3 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme ohne Rest durch 3 teilbar ist. Mit der Prüfsumme hätten wir uns das Leben noch einfacher machen können, indem wir alle durch 3 teilbaren Zahlen oder kleinen Zwischensummen weggelassen hätten. Wenn die ursprüngliche Zahl durch 3 teilbar ist, dann muss auch die Ziffernsumme durch 3 teilbar sein.
Dort haben wir erkannt, dass eine natürliche Zahl genau dann durch 3 teilbar ist, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist. Eigentlich sind wir damit fertig, aber vielleicht solltest du zur Sicherheit noch schnell die anderen Prüfsummen berechnen, um das zu sehen dass keines davon durch 3 teilbar ist.
