Es hat etliche Versuche gegeben, Musik mit Hilfe der Mathematik zu erzeugen.
Man kann z. B. mit zwei Würfeln zufällig Zahlen würfeln, deren Summe dann unmittelbar in Töne umgesetzt werden, also die 2 ist das Cis, die 3 ist das D, die 4 ist Dis usw. Sie merken schon das erste Problem. Da wir mit zwei Würfeln keine 1 werfen können, kommt der Grundton C nicht vor, oder wir fangen bei 2 mit dem C an, dann aber fehlt die Oktave C. Außerdem würde auf diese Weise wohl keine sehr schön klingende Melodie erzeugt. Es wäre so etwas wie die Zwölftonmusik von Arnold Schönberg. Dort sind aber in der Reihe keine Wiederholungen erlaubt. Nun, diese Idee scheint uns nicht sehr trächtig.
Wir wollen eine andere recht niedliche Idee vorstellen, die Wolfgang Amadeus Mozart (1756–1791) mit viel Erfolg damals in den Salons vorgetragen hat.
Mozarts Vornamen
Nebenbei bemerkt: Wissen Sie, wie Mozart laut Taufregister mit Vornamen heißt? Man kann die Frage nach heutiger Quiz-Manier auch folgendermaßen stellen:
Welcher der folgenden Vornamen steht nicht im Taufregister von Mozart, dem berühmten Komponisten, geboren 1756 in Salzburg? Diese Bemerkung muss hinzugefügt werden, um die Person eindeutig zu beschreiben. Sonst meint vielleicht jemand, wir sprächen vom Vater Leopold Mozart:
A) Chrysostomus B) Wolfgangus
C) Amadeus D) Theophilus
So ähnlich lautete tatsächlich mal eine Frage in einer großen Quizsendung.
Die richtige Antwort ist C. Dabei sollte man hinzufügen, dass Amadeus die latinisierte Form des Names Theophilus ist, beides bedeutet ”Gottes Liebling“. Jedenfalls getauft worden ist dieser große Musiker als Joannes Chrysostomus Wolfgangus Theophilus Mozart. Amadeus hat er wohl selbst daraus gemacht.
Wir fügen zu Ihrer Erbauung noch eine weitere Frage an:
Welcher der folgenden Vornamen steht wirklich in der Heiratsurkunde von Mozart:
A) Chrysostomus B) Amadeus
C) Adam D) Theophilus
Weil diese Fragen stets so aufgebaut sind, dass genau eine von vier Antwort- möglichkeiten richtig ist, stehen also drei der obigen Vornamen nicht in der Heiratsurkunde. Das sieht verwirrend aus. Tatsächlich ist in solchen Fällen meist die unwahrscheinlichste Antwort richtig. Man will ja seine Leserschaft überraschen. Mozart hatte wohl stets so einen kleinen Schalk im Nacken.
Jedenfalls hat er eine Dispens erwirkt und musste zu seiner Hochzeit keine Geburtsurkunde vorlegen. Die lag nämlich in Salzburg bei seinem Vater mit den oben genannten Vornamen, während er ja in Wien geheiratet hat. Und dann hat er dem Pastor flugs erklärt, er hieße Wolfgang Adam Mozart, und so steht es tatsächlich in der Heiratsurkunde. Also auch hier ist Antwort C richtig.
Sein Vater übrigens hat ihn häufig mit seinem Firmnamen Sigismund gerufen.
Beispiel einer Würfelmusik
Ein zur Zeit beliebtes Spiel zur Unterhaltung in Gaststätten heißt Karaoke.
Wer auch immer sich zutraut, den Mund aufzumachen, kann sich dort ans Mikrofon stellen und zu Playbackmusik den Text eines bekannten Musik- stücks, (z. B. Schlager oder Rapp o. ä.) vom Teleprompter dem häufig hämisch grinsenden Publikum”vorsingen“.
Zu Mozarts Zeiten gab es eine andere Methode, die Gäste an der allge- meinen Unterhaltung zu beteiligen. Wir zeigen das Prinzip an folgenden sehr einfachen Melodien. Wir beginnen mit zwei jeweils zwei Takte umfassende kleinen Stücken, die wir als Anfang verwenden können Hier der erste Anfang:
2 Piano
56 2 Mathematik in der Musik
Der zweite Anfang laute: 2 Piano
Vielleicht können Sie beide”Intros“ auf einem Keybord oder Klavier kurz anspielen, dann hören Sie, dass ich in beiden Teilen die gleiche Grund- harmonik verwende. Das bedeutet aber, dass ich beide Stücke miteinander austauschen kann, ohne bei der Fortsetzung Schwierigkeiten zu bekommen.
Das Gleiche machen wir jetzt mit der Fortsetzung, die dann in unserem ein- fachen Beispiel auch schon das Ende markiert. Wir bieten zwei verschiedene Beendigungen an, die wieder aus jeweils zwei Takten bestehen.
Dies sei das erste Ende: 2 Piano
Dies sei das zweite Ende: 2 Piano
Ich gebe es zu, ich bin kein Mozart. Verzeihen Sie mir also diese simplen Kompositionen. Es geht um das Prinzip.
Jetzt kommt das Karaoke-Spiel von Mozart. Nehmen Sie eine Münze in die Hand. Diese hat zwei Seiten. Durch den Wurf dieser Münze und Beobachten der oben liegenden Seite kommt die Wahrscheinlichkeit ins Spiel.
Einer meiner akademischen Lehrer versuchte uns damals in der Vorlesung den Zugang zur Wahrscheinlichkeitslehre dadurch zu veranschaulichen, dass er uns erklärte, er habe in seiner Studienzeit mit seinem Freund häufig die Münze geworfen. Zeigte sie Zahl, so seien sie ins Kino gegangen. Lag das Bild oben, so haben sie sich ins Bad begeben. Nur wenn die Münze auf der Kante stehen geblieben sei, haben sie für das Studium gelernt.
Nehmen wir an, die Münze habe auf der einen Seite die Zahl des Wertes und auf der anderen Seite das Brandenburger Tor. Dann werfen Sie jetzt die Münze. Liegt die Zahl oben, wählen Sie die Anfangsmusik 1, liegt das Tor oben, so kommt Anfang 2 dran. Dann werfen Sie erneut die Münze.
Bei Zahl wählen Sie Ende 1, bei Tor Ende 2. Das ist sehr einfach zu durchschauen.
Auf diese einfache Weise gelingt es uns, vier verschiedene Melodien mit jeweils vier Takten zu kombinieren; Mozart nannte das dann komponieren.
Wir sollten diese Musik Münzenmusik nennen, denn wir erhalten die vier mittels einer Münze (Zahl (Z) oder Tor (T)) geworfenen Melodien:
ZZ ZT TZ TT
Mozarts Würfelwalzer
Natürlich kann Mozart das viel besser. Er hat insgesamt zweimal 88 Takte aufgeschrieben, also zusammen 176 Takte. Er tat es im Dreivierteltakt, so dass Walzer entstanden. Diese Takte kann man nicht ganz beliebig kombinieren, sondern dazu hat er zwei Tafeln aufgestellt, in denen alle Taktnummern verzeichnet sind. Jede Tafel enthält elf Zeilen und acht Spalten. Jede Spalte steht für einen zu wählenden Takt, so dass ein Musikstück von acht Takten entsteht. Die erste Tafel benutzt man für die acht Anfangstakte, die zweite Tafel für die acht Endtakte.
Betrachten wir zuerst die Tafel für die acht Anfangstakte. Jetzt kommt die Wahrscheinlichkeit ins Spiel. Mozart lässt seine Zuhörerinnen und Zuhörer mit zwei Würfeln werfen. Betrachtet wird die Augensumme, bei zwei Würfeln also die Zahlen von 2 bis 12. Das sind elf verschiedene Zahlen; sie stehen für die elf Zeilen der beiden Tafeln. Für den ersten Takt schaut man dann in der ersten Spalte in die Zeile, die gewürfelt worden ist. Für den zweiten Takt betrachtet man die zweite Spalte und nimmt dort die gewürfelte Augensumme als Zeile usw.
Hat man so die acht Takte gewürfelt und damit die Anfangsmelodie zusammengesetzt, so geschieht das Gleiche für die acht Endtakte mit Hilfe der zweiten Tafel.
Das muss damals sehr lustig gewesen sein. Mathematisch interessant ist die Frage, wie viel verschiedene Walzer man auf diese Weise erzeugen konnte. Das ist ziemlich einfach überlegt. In der ersten Spalte habe ich elf verschiedene Tak- te, die als erster Takt verwendet werden können. Beim zweiten Würfeln wird wieder einer von elf verschiedenen Takten aus der zweiten Spalte hinzugefügt.
Zu jedem ersten Takt gibt es also elf mögliche zweite Takte. Das sind dann
58 2 Mathematik in der Musik
zusammen1111D121verschiedene Möglichkeiten. So geht das weiter. Bis zur achten Spalte hat man also
1111111111111111D118D214:358:881;
also mehr als 200 Millionen verschiedene achttaktige Anfänge. Genau so viele Enden haben wir. Zu jedem Anfang können wir wieder ein Ende kombinieren.
Also erhalten wir auf diese Weise 118
118
D45:949:729:863:572:161
verschiedene Würfelwalzer. Das sind mehr als 45 Billarden. Diese Zahl ist wirklich sehr groß. Mozart schreibt in seiner Anleitung zu diesem Walzer:
…und so gehts ins Unendliche fort.
Nun, wir verweisen auf unser Kap. 5, S. 103, in dem wir uns intensiv mit
”unendlich“auseinandersetzen. Dort werden wir sehen, dass unendlich noch viel, viel größer ist.