Das sind also die partiellen Differentialgleichungen und ihre Randwertpro- bleme. Einige Buchstaben sind freigelassen, um Platz für zukünftige Entwick- lungen zu haben. Jede dieser Unterklassen ist dann noch einmal in bis zu zehn Unterunterklassen aufgeteilt. Ich habe diese Unterklasse 65 ausgewählt, weil ich selbst in meiner aktiven Zeit unter anderem in der Unterunterklasse 65 N 30 veröffentlicht habe.
Was nützt diese Einteilung? Jetzt kommt der entscheidende nächste Schritt.
Es gibt sogenannte mathematische Referatezeitschriften. Zwei haben sich durchgesetzt:
• das Zentralblatt der Mathematik und
• die Mathematical Reviews
Jeder Autor muss seine neue Veröffentlichung in obige Klassifizierung einordnen. Dann werden in diesen Referateblättern alle diese neuen Artikel in einer kurzen Zusammenfassung vorgestellt, und zwar geordnet nach der Klassifizierung. Wenn man jetzt zu einem bestimmten Gebiet einen Facharti- kel sucht, schaut man nur in diese Referatezeitschriften und sucht dort unter der passenden Rubrik, welche neuen Artikel denn erschienen sind und was dort inhaltlich zu erwarten ist. Das ist ziemlich einfach gemacht. Und so habe ich auch jederzeit die Übersicht über neue Erkenntnisse anderer Autoren in meinem speziellen Fachgebiet behalten.
Ein kleiner Wermutstropfen ist natürlich dabei. Diese kurzen Zusammen- fassungen werden von Fachleuten erstellt, und die brauchen natürlich ihre Zeit, um den Artikel zu lesen und eine Zusammenfassung zu schreiben. Das führt dazu, dass diese Referateblätter nicht ganz aktuell sein können, sondern immer etwas hinterherhinken. Trotzdem sind sie eine riesengroße Hilfe zur Orientierung in den 12.000 neuen Sätzen pro Jahr.
62 2 Mathematik in der Musik
Melodie ist. Aus welchem Stück stammt die bloß? Und hier sollte es ein System geben, diese Melodie zu finden?
Tatsächlich haben sich bereits 1948 zwei Amerikaner Harold Barlow und Sam Morgenstern [1] darangemacht, eine möglichst vollständige Liste aller musikalischen Themen der sogenannten E-Musik, also der klassischen Musik zusammenzustellen. Von Vivaldi über Bach, Händel, Beethoven, Mozart bis hin zu Strawinsky und anderen Komponisten des 20. Jahrhunderts, dazu eine Vielzahl nicht so bekannter Komponisten. 10.000 musikalische Themen haben sie in einem Buch zusammengetragen, so wie die Mathematiker ihre 12.000 neuen Sätze jedes Jahr in Referateblättern zusammmenstellen. Von großem Vorteil war natürlich, dass diese Liste abgeschlossen war und keine neuen Themen mehr hinzukamen. Geordnet wird diese Liste nach den Namen der Komponisten, nach ihrem Geburtsdatum aufsteigend sortiert.
Als Unterkategorie wird wieder das Alphabet genommen, also z. B. Quintett, Rondo, Serenade, Valse etc. Diese Unterteilung ist nicht so wichtig, denn am Rand sind alle Melodien fortlaufend für jeden Buchstaben nummeriert. Von B 521 bis B 1058 sind Beethoven-Melodien gesammelt, von B 1059 bis B 1061 Melodien von Vincenco Bellini usw.
Aber diese Ordnung hilft nicht beim Suchen. Da muss eine neue Ordnung erfunden werden. Nur wie ordnet man nun musikalische Themen, auf dass man sie finden kann? Musikalische Themen sind ja etwas Abstraktes. Bis auf einige Ausnahmen wie z. B. Beethovens 6. Sinfonie, die Pastorale, werden Me- lodien nicht mit irgendeinem Inhalt zusammengebracht. Auch beim Anhören der Frühlingssinfonie von Robert Schumann werden Sie schwerlich selbst auf die Zuordnung zu einer Jahreszeit kommen, wenn man es Ihnen nicht sagt.
Oder denken Sie an Beethovens Wut über den verlorenen Groschen. Kaum ein Pianist, der sich an diesem fantastischen Werk die Finger wund übt, wird dabei den verlorenen Groschen im Sinn haben.
Welche Assoziation wollen Sie mit dem Italienischen Konzert von Johann Sebastian Bach verbinden? Nein, eine Zuordnung musikalischer Themen zu irgendwelchen Inhalten führt nicht wirklich zu einer Einteilung aller Themen.
Eine Einteilung der Melodien in Dur und Moll ist viel zu grob, um eine Suchoption zu bilden, abgesehen davon, dass bei Komponisten des 20.
Jahrhunderts manchmal gar keine Zuordnung in Dur oder Moll besteht. Die Zwölftonmusik von Arnold Schönberg sei als Beispiel genannt. Außerdem denke ich an meinen Freund aus der Schulzeit, der später als Ingenieur pro- moviert hat, dem ich aber stets bei mündlichen Prüfungen im Klassenverband mit kleinen Fingerzeigen Hinweise auf Dur oder Moll geben musste, damit er in Musik nicht durchfiel. Auch die”Eselsbrücke“
Dur = fröhlich, lustig, schnell Moll = traurig, langsam
hilft nicht weiter. Denken Sie nur an den lustigen Türkischen Marsch von Mozart, der in a-moll steht, und die so zu Herzen gehende, ja klagende Melodie der Klarinette im zweiten Satz von Mozarts Klarinettenkonzert, in D-Dur notiert. Wer hier nicht den Unterschied zwischen kleiner und großer Terz kennt, hat verloren.
Jetzt kommt der geniale Trick. Alle diese Melodien haben Barlow und Morgenstern nach C-Dur bzw., wenn es ein Moll-Stück ist, nach c-moll trans- poniert und dann die zugehörigen Notenbezeichnungen aufgeschrieben. Alle meine Entchen wäre dann z. B. CDEFGG usw. Sie verstehen das sicherlich.
Jetzt wählen sie, so wie die Mathematiker eine Klassifizierung der mathema- tischen Artikel nach Themenbereichen eingeführt haben, eine Klassifizierung an Hand des bestehenden Alphabetes. Die von ihnen gesammelten 10.000 transponierten musikalischen Themen haben sie alphabetisch sortiert. Das ganze haben sie dann auf den letzten 100 Seiten ihres Buches zusammengefasst.
Das hört sich verrückt an, musikalische Themen alphabetisch zu sortieren.
Diese Liste beginnt mit A A A A A A A A, eine Melodie von Igor Strawinsky aus dem Ballett Petruschka. Es ist das zweite Thema aus dem russischen Tanz.
Sie beginnt sogar elfmal nacheinander mit A, allerdings nicht in derselben Tonhöhe, sondern die ersten beiden A liegen eine Oktave höher. Da es keine andere Melodie mit mehr als sieben A nacheinander gibt, reicht es zum Finden, wenn acht A aufgeführt sind.
Beachten muss man noch, dass in Amerika unser H als B bezeichnet wird.
Stellen Sie sich jetzt vor, Sie haben einen solchen Ohrwurm im Kopf. Ich habe mir mal solch eine Melodie ausgedacht. Bei einem Vortrag würde ich Ihnen jetzt diese Melodie vorsingen in der Hoffnung, dass Sie sie vielleicht schon einmal gehört haben, dass Sie also glauben, sie zu erkennen, können sie aber nicht direkt einem Musikstück zuordnen.
Nun, ich habe eine sehr einfache Melodie ausgewählt. Vielleicht sind Sie ja in der Lage, sich selbst folgende Melodie vorzusummen, muss ja keiner hören:
2 3 4
Falls Sie Noten lesen können, haben Sie es jetzt leicht. Sonst ist es etwas schwieriger. Denn wir müssen dieses Musikstück wirklich mit Noten kennen, also mit den Notennamen, in C-Dur (oder bei einem Moll-Stück in c-Moll).
Ich schreibe Ihnen diese Notenfolge jetzt hier auf:
64 2 Mathematik in der Musik
C E C G C E G C
Können Sie das nachvollziehen?
Diese Notenfolge suchen wir in Barlows und Morgensterns Buch auf den letzten 100 Seiten. Fündig werden wir auf der in Abb.2.3gezeigten Seite in der dritten Zeile von rechts unten
Abb. 2.3 Auszug aus dem alphabetisch sortierten hinteren Teil des Buches
Abb. 2.4 Auszug aus der Sammlung musikalischer Themen
Rechts neben dieser Notenfolge steht B918. Wenn wir jetzt vorne im Buch unter dieser Nummer nachschlagen, finden wir die gesuchte Melodie in der Mitte mit der Nummer B918 am Rand (Abb.2.4).
Das ist das erste Thema aus der Symphony No. 3, E Flat, also E-Dur, Op.
55, die sogenannte Eroica von Ludwig van Beethoven.