Mathematik in der Sprache
85. Geburtstag
4.4 Die Zahl Null
vertreten. Um unsere Theorien zu überprüfen, wird dann schon mal gerechnet.
Aber das sind eben Beispiele.
Trotzdem gehören Zahlen zur Mathematik, auch wenn sie nicht deren Lebensader betreffen.
4.3 Die Zahlen deines Lebens
Zu deinem Leben, liebe Schwiegermutter, aber gehören zwei Zahlen, die ganz wesentlich dein Leben bestimmen.
• Zum Ersten ist da der Zeitpunkt deiner Geburt. Das ist der Anfang und damit die Null.
• Zum Zweiten eben die heute so wichtige Zahl 85.
Beide Zahlen sind mathematisch hochinteressant, wobei das keine sehr tiefgreifende Feststellung ist; denn mathematisch betrachtet, sind alle Zahlen interessant. Glauben Sie mir das nicht?
Nun, nehmen wir an, dass es uninteressante natürliche Zahlen gibt. Dann gäbe es doch unter diesen eine kleinste, eventuell ist es die 1 als kleinste natürliche Zahl. Diese Zahl wäre
die kleinste uninteressante Zahl.
Oh, ich bitte Sie, das wäre doch eine wahrlich sehr interessante Zahl. Die kann also gar nicht zu den uninteressanten Zahlen gehören. Die müssen wir rausnehmen. Dann bleibt eine Restmenge von uninteressanten Zahlen. Unter diesen gibt es wieder eine kleinste. Unser Schluss wiederholt sich jetzt. Die wäre wieder sehr interessant als kleinste uninteressante Zahl usw.
Schließlich haben wir so alle Zahlen herausgenommen, und es bleibt keine uninteressante Zahl übrig.
4.4 Die Zahl Null
Beginnen wir mit der Null.
Definition der Null
Klar, als Mathematikerin oder Mathematiker brauchen wir Sicherheit, wenn wir diskutieren wollen. Was ist denn bitte schön die Null?
Definition 4.1 Unter der Null, in Zeichen0, verstehen wir die Zahl, die bei der Addition nichts verändert, also
0CaDafür alle Zahlena: (4.1) Einmaligkeit der Null
Die Null tut uns also nichts zuleide. Moment, haben wir von der Null gesprochen? Das war voreilig, es könnte doch sein, dass es viele Nullen gibt.
Oh, denken wir nach.
Nehmen wir an, außer oben eingeführter0gäbe es noch eine weitere Zahl mit dieser Eigenschaft (4.1). Nennen wir siee0zur Unterscheidung von der0.
Füre0haben wir also auch die Eigenschaft
e0CaDafür alle Zahlena: (4.2) Dann überlegen wir haarscharf. Addieren wir einfach mal diese beiden Nullen:
0Ce0
Wie wir wissen, ändert eine Addition der0nichts am Ergebnis, also ist
0Ce0De0 (4.3)
Genau diese Eigenschaft hat aber auch diee0. Mit demselben Argument ist also auch
0Ce0D0: (4.4)
Setzen wir jetzt (4.3) und (4.4) zusammen, so erhalten wir
0D0Ce0De0; (4.5) also
0De0: (4.6)
4.4 Die Zahl Null 89
Es gibt also nur eine einzige Zahl0. Es ist das Alleinstellungsmerkmal der0, nichts bei einer Addition zu ändern. Wenn wir daher irgendwo eine Rechnung finden, wo sich durch Addition eines Terms nichts ändert, so ist dieser Term garantiert die Null. Dieses Wissen nutzen wir jetzt im nächsten Abschnitt aus.
Mit Null multiplizieren ergibt nichts
Wir haben gelernt, dass wir die Null gefahrlos überall hinzuaddieren dürfen.
Da ändert sich einfach nichts. Was geschieht aber, wenn wir mit Null multi- plizieren?
Aus unseren Kindertagen kennen wir die Regel
0aD0: (4.7)
Ist das Definition, oder können wir das herleiten?
Tatsächlich können wir das beweisen. Das machen wir mit einem niedlichen kleinen Trick. Wir benutzen die Gleichung
0C0D0; (4.8)
die sich ja aus der Definition der 0 ergibt. Dann rechnen wir:
0aD.0C0/aD0aC„ƒ‚…0a (4.9) Diese Gleichung müssen wir auf der Zunge zergehen lassen. Was steht denn da ganz rechts? Wir haben zu der für uns noch unbekannten Zahl0aetwas hinzuaddiert, nämlich 0 a, und es hat sich nichts geändert, links steht ja 0a. Nach unserer obigen Überlegung geht das nur, wenn wir die Null addiert haben. Also ist der unterklammerte Teil die Null, und wir erhalten
0aD0; (4.10)
quod erat demonstrandum.
Division durch Null
Jetzt kennen wir schon fast alle Rechenoperationen mit der Null; na ja, dass wir sie subtrahieren dürfen, ohne dass etwas geändert wird, ist ja sofort zu
sehen. Bleibt nur noch die Division. Was ergibt sich, wenn wir durch Null dividieren?
Da gibt es so fromme Sprüche wie:
”Wer durch Null teilt, frisst auch junge Hunde!“
Na, na, was soll denn so schlimm sein am Nulldividieren?
Wir überlegen mal:
• Wenn ich 10 durch 1 teile, ergibt sich 10.
• Wenn ich 10 durch0;5D1=2teile, ergibt sich 20.
• Wenn ich 10 durch0;25D1=4teile, ergibt sich 40.
• Wenn ich 10 durch0;1D1=10teile, ergibt sich 100.
• Wenn ich 10 durch0;01D1=100teile, ergibt sich 1000.
• Wenn ich 10 durch0;000 001D1=1:000:000teile, ergibt sich 10.000.000.
Wenn ich also durch immer kleinere Zahlen teile, kommt immer etwas größeres heraus. Man möchte also vermuten:
Wenn ich durch Null teile, ergibt sich unendlich, in Zeichen1.
Wenn wir die Division durch Null zulassen wollen, müssen wir auch mit unendlich, also1, rechnen.
Hilberts Hotel
Da gibt es eine hübsche Geschichte.
David Hilbert (1862–1943), einer der größten Mathematiker des 20. Jahr- hunderts, besaß ein Hotel, das berühmte Hilbert-Hotel. Berühmt war es deshalb, weil es unendlich viele Zimmer hatte. Eines Abends waren, welch ein Glück für Herrn Hilbert, alle Zimmer besetzt. Aber es geschah, dass Carl Friedrich Gauß (1777–1855), der Princeps Mathematicorum, erschien und um ein Zimmer nachfragte. Was tun? Hilbert konnte doch nicht den berühmten Herrn Gauß in der Nacht stehen lassen. Da kam ihm der Gedanke:
• Er bat Gast aus Zimmer Nr. 1, in Zimmer Nr. 2 umzuziehen.
• Er bat Gast aus Zimmer Nr. 2, in Zimmer Nr. 3 umzuziehen.
4.4 Die Zahl Null 91
• Er bat Gast aus Zimmer Nr. 3, in Zimmer Nr. 4 umzuziehen.
• usw.
Die folgende kleine Tabelle zeigt den Anfang des Umzugsprozesses.
1 2 3 4 5 6 7 8
& & & & & & &
1 2 3 4 5 6 7 8
Das hatte den Erfolg, dass alle Gäste, die bisher im Haus gewohnt hatten, wieder ein Zimmer hatten, aber wunderbarerweise war nun Zimmer Nr. 1 frei, und dort konnte Herr Gauß logieren.
Die Moral von der Geschicht:
1 C1D 1: (4.11)
Diese Gleichung lässt uns aber sofort aufhorchen. Hier wird doch zu der Zahl 1 etwas hinzuaddiert, hier die 1, und alles bleibt beim Alten, das Ergebnis ist wieder 1. Oben hatten wir aber festgestellt, dass nur die Zahl Null diese Eigenschaft des sich-nicht-Änderns hat. Also schließen wir locker:
1D0
Nochmal, wenn wir1als ernsthafte Größe zulassen wollen, weil wir durch Null teilen wollen, so folgt, dass0D1ist – eine wirklich unsinnige Gleichung.
Daraus folgt ganz klar: Mit1als Zahl dürfen wir nicht rechnen. Und das bedeutet nach unserer obigen Überlegung:
Durch Null dürfen wir nicht dividieren.
Bemerkung 4.1 (zum Lösen von Gleichungen) Achtung: Wenn wir Glei- chungen auflösen wollen, so dürfen wir ja die Gleichung ändern und vielleicht dadurch vereinfachen, dass wir auf beiden Seiten Gleiches tun, also z. B. auf beiden Seiten 5 addieren oder durch 17 teilen. Bei der Null aber gibt es Besonderheiten.
Dass wir durch Null nicht teilen dürfen, haben wir uns oben klargemacht.
Wir dürfen aber auch nicht mit Null beide Seiten multiplizieren; denn dadurch würden wir beide Seiten zu Null machen. Das wäre zwar eine korrekte Gleichung, aber sie wäre nichtssagend. Wir könnten keine weiteren Schlüsse aus der Gleichung ziehen. Die Null ist halt ein Sensibelchen.