Oh, jetzt kommen aber zwei Themen, die völlig unvereinbar sind. Was soll denn bloß diese trockene Mathematik mit der wunderbaren Musik am Hut haben? Neben dieser etwas abwertend klingenden Meinung höre ich aber auch manchmal das ganze Gegenteil. Manche erinnern sich an ein Ärzte-Orchester und erklären dann, dass Mediziner häufig musikalisch sind. Und genau das wird auch manchmal Mathematikern nachgesagt. Nun, ich kann das nicht so ganz ablehnen.
So haben wir seinerzeit in unserem Institut für Angewandte Mathematik und dem Institut für Mathematik zweimal eine volle Oper aufgeführt mit vier Solisten, die zum Teil unsere Ehepartner waren, einem Chor und einem 10-köpfigen Orchester – bis auf zwei Ehepartner also eine rein mathematische Besetzung.
In diesem Kapitel wollen wir wie schon bei der Kunst der Frage nachgehen, wo denn in der Musik die Mathematik eine Rolle spielt.
2.1 Wohltemperierte Klaviere
Wer kennt nicht die berühmte Sammlung von 24 Präludien und Fugen in allen zwölf Dur- und Moll-Tonarten von Johann Sebastian Bach. Warum nur hat Bach diese Sammlung wohltemperiert genannt? Das kann doch mit Temperatur im herkömmlichen Sinn nichts zu tun haben.
Zunächst also ein Wort zu Erklärung des Begriffes ”wohltemperiert“.
Hier steckt das lateinische Verb temperaredahinter. Das bedeutet, wenn ich
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016 N. Herrmann,Mathematik und Gott und die Welt, DOI 10.1007/978-3-662-48723-5_2
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meinen alten Stowasser aus der Schulzeit zu Rate ziehe”warm machen“,”lau machen“. Im metaphorischen Sinn bedeutet es dann aber auch”etwas in das gehörige Maß bringen, etwas richtig mischen“. Und das ist hier die richtige Bedeutung für die Temperatur eines Tasteninstrumentes. Warum das richtig ist, wollen wir jetzt erklären.
Intervalle und Saitenverhältnisse
Vielleicht haben Sie mal Gitarre gespielt oder Geige oder ein anderes Sai- teninstrument. Dann wissen Sie, wenn Sie eine Saite genau in der Mitte herunterdrücken, erklingt die Oktave des ursprünglichen Tons. Wenn Sie dann weiter mit der Saite spielen und an weiteren Stellen herunterdrücken, was bei der Gitarre durch die Bünde erleichtert wird, so finden Sie vielleicht durch Probieren, dass wieder ein zum Grundton passender Ton erklingt, wenn Sie bei einem Drittel herunterdrücken, also zwei Drittel der Saite klingen lassen.
Das ist genau die Quinte. So geht das weiter. Für die Quarte haben wir das Verhältnis der Saite als drei Viertel, die große Terz erklingt bei vier Fünftel, die kleine Terz bei fünf Sechstel der Saite. Jetzt kommt ein Sprung. Das nächst kleinere Intervall, die Sekunde, hört man, wenn man ein Neuntel der Saite herunterdrückt, also wenn acht Neuntel klingen. Das ist doch irgendwie verblüffend, dass angenehme Töne erklingen, wenn wir die Saite in solchen einfachen Verhältnissen teilen. Wir stellen das als Ergebnis zusammen:
Intervall Saitenverhältnis
Oktav 1 : 2
Quinte 2 : 3
Quarte 3 : 4
Große Terz 4 : 5 Kleine Terz 5 : 6
Sekunde 8 : 9
Es scheint, als ob die Sekunde aus der Reihe herausfällt, aber wir können uns ihr Verhältnis leicht zusammenrechnen. Die Sekunde ist der Unterschied von der Quarte zur Quinte. Um sie zu erreichen, müssen wir also von der Quarte ausgehen und ein weiteres noch unbekanntes Verhältnis, nennen wir esx, abgreifen. Wir rechnen also
3 4xD 2
3 H) xD 4 32
3 D 8 9;
und schon steht das Verhältnis der Sekunde da, wenn wir die einfache Bruchrechnung beachten.
Erstaunlich ist dabei, dass bereits Pythagoras vor ca. 2500 Jahren feststellte, dass die Intervalle schön klingen, wenn die Längen der Saite in solch einfachen Verhältnissen kleiner natürlicher Zahlen stehen. Das ist ein Naturphänomen.
Eine reine Quinte ergibt sich nicht bei einer Teilung von 3,107534 : 3,981307, nein, die Saite muss genau im Verhältnis 3 : 4 geteilt werden. Das ist doch reichlich überraschend.
Das Pythagoreische Komma
Es war der Pythagoreer Philolaos, der sich genauer mit den Intervallen befasste und eine erstaunliche Entdeckung machte. Er berechnete zuerst das Verhältnis für eine kleine Sekunde, also einen Halbton, als Unterschiedhzwischen zwei aufeinanderfolgenden großen Sekunden und der Quart:
8 98
9hD 3
4 H) hD 9 89
83 4 D 243
256
Auf dem Klavier sind nun zwei kleine Sekunden stets eine große Sekunde, wir sagen auch, zwei Halbtöne ergeben einen Ganzton. Aber was sagt die Mathematik dazu? Wir rechnen mal.
Zwei Halbtönehnacheinander ergeben das Verhältnis 243
256243
256 D0;901016235: Ein Ganzton aber war
8
9 D0;88888888:
Beide Zahlen stimmen nicht überein, zwei Halbtöne sind also etwas höher als ein Ganzton. Den genauen Unterschied findet man zuerst bei Euklid. Zu Ehren von Philolaos aber heißt dieser Unterschied Pythagoreisches Komma.
Es ist das kleine Intervall, nennen wir esx, zwischen zwei Halbtönen und dem Ganzton:
243 256243
256xD 8
9 H) xD 524:288 531:441
50 2 Mathematik in der Musik
Euklid hat diese letzte Formel noch etwas umgestellt:
xD 524:288 531:441D 219
312 H) 1
2 7
xD 2
3 12
Diese Gleichung kann man jetzt so interpretieren: Links mit dem Verhältnis 1 : 2 stehen Oktaven. Die Hochzahl sagt uns, dass wir sieben Oktaven durchschritten haben. Rechts steht das Verhältnis 2 : 3, also Quinten. Davon haben wir zwölf durchschritten. Und wieder kommen wir nicht genau dorthin, sondern auch hier steht das pythagoräische Komma im Weg.
Wir versuchen noch einen dritten Weg. Das haben wir in unserer Jugend gespielt. Wer kann mit sechs Ganztönen zur sauberen Oktave gelangen? Auf dem Klavier sieht man, dass das geht. Wir hatten beim Singen Schwierigkeiten.
Vielleicht lagen die ja in der Mathematik. Wir führen bei der folgenden Rechnung, gewarnt durch den oben aufgetretenen Unterschied, wieder ein unbekanntes Intervall, das wir auch hierxnennen wollen, ein und erhalten:
8 9
6
xD 1
2 H) xD 96 86 1
2D 312 218 1
2 D 312
219 D 524:288 531:441 xist also wieder unser pythagoreisches Komma von oben.
Pythagoreische Stimmung
Das hat nun erhebliche Auswirkungen, wenn man ein Klavier stimmen will. Dabei nutzt man aus, dass sich bei etwas verstimmten Quinten und Quarten ein Schwirren oder Schweben bemerkbar macht. Menschen mit gutem Gehör können Quinten und Quarten rein stimmen. Wenn wir also ein Klavier oder eine Orgel rein stimmen wollen, so beginnen wir mit einer Stimmgabel beim Kammerton a, stimmen dann alle a der ganzen Klavia- tur und arbeiten schließlich immer schön in Quinten aufwärts. Wenn wir zwölfmal nacheinander eine Quinte höher gehen, kommen wir wieder zum a; dieses liegt aber sieben Oktaven höher und stimmt nicht mit der sauber gestimmten siebten Oktave überein. Pythagoras zu Ehren nennt man eine solche reine Stimmung pythagoreische Stimmung. Zwölf saubere Quinten sind leider nicht sieben saubere Oktaven. Man stimmt und stimmt so rein wie möglich, und dann kommt die Mathematik und sagt:
”Ätsch, so geht das nicht!“Hässlicherweise hat man die letzte der zwölf Quinten, die wieder zum Ausgangston zurückführt, Wolfsquinte genannt, weil sie so schrecklich heult.
Man konnte mit dieser Stimmung zwar einige Tonarten gut spielen, wenn man die schwarzen Tasten möglichst vermieden hat. Das war bei der einfachen Melodik des Mittelalters kein so richtiges Problem. Wenn man aber in andere Tonarten übergehen wollte, gab es Misstöne.
Das ist wohl auch der Grund, warum die meisten Geigenkonzerte in A-Dur, G-Dur oder D-Dur stehen. Die Geige mit den Saiten G, D, A und E wird ja rein gestimmt, vom Kammerton A ausgehend, den die Oboe vorgibt. Dann sind diese Tonarten gut anzuhören.
Mitteltönige Stimmung
Zur Lösung dieses Problems bei der reinen Stimmung gab es verschiedene Vorschläge. In der Renaissance wurden in der Musik Terzen sehr wichtig. Also stimmte man seine Gambe so, dass die Terzen zumindest in zwei oder drei der hauptsächlich verwendeten Tonarten gut klangen. Diese Stimmung ist dann schon in unserem oben erklärten Wortsinn temperiert, also angepasst. Sie heißt mitteltönige Stimmung. Da konnte man dann in C-Dur, G-Dur oder F-Dur schwelgen, aber wehe, wenn einem Sänger einfiel, mal ein Lied in As-Dur mit den vier [ vorzutragen, so klang das sehr schlimm und unsauber. Diese mitteltönige Stimmung war damals sehr verbreitet.
Eine Abhilfe versuchte man dadurch, dass man die schwarzen Tasten auf dem Klavier teilte, also zweifach belegte.Viele schwarze Tasten bestanden also aus zwei dünneren nebeneinander liegenden Tasten. Dann musste der Spieler, wenn er in A-Dur spielte, als Terz das Cis greifen, spielte er aber in As- Dur, so musste er als Quart das etwas links liegende Des spielen. Das war natürlich mühsam und regte nicht dazu an, in verschiedenen Tonarten zu spielen.