Mathematik in der Kunst
2. Auslegung nach Richard Witte
1.6 Sir Christopher Wren
Ein niedlicher Vierzeiler dieses Großmeisters, der sich mit Mathematik befasst, sei zu Ihrer Erbauung angefügt:
Und merk dir ein für allemal den wichtigsten von allen Sprüchen:
Es liegt dir kein Geheimnis in der Zahl, allein ein großes in den Brüchen.
Da war ihm also wohl die Bruchrechnung etwas schwergefallen.
1.6 Sir Christopher Wren
Wir kommen zu einem Künstler, der seine Kunst in großen Bauwerken offenbarte. Es handelt sich um einen Architekten aus Großbritannien, der seine Laufbahn als Mathematiker begann:
Sir Christopher Wren (1632–1723)
Sein genaues Geburts- und und sein Todesdatum hängen davon ab, welchen Kalender wir zugrunde legen. Da Großbritannien erst 1753 den Gregoria- nischen Kalender einführte, geben wir hier seinen Geburtstag als den 20.
Oktober und seinen Todestag als den 25. Februar nach dem Julianischen Kalender an. Nach dem Gregorianischen Kalender liegen beide Daten 10 Tage später.
Christopher Wren ist in die Geschichte als großer Architekt eingegangen.
Seine Ausbildung begann er aber mit einem Mathematikstudium in Oxford.
Nach dessen erfolgreichem Abschluss wurde er mit 25 Jahren Lehrer der Astronomie am Gresham College in London. Bereits damals faszinierte ihn aber die Architektur. Als Autodidakt befasste er sich mit der Baukunst.
Das tat er offensichtlich so erfolgreich, dass er 1668, mit 36 Jahren also, zum königlichen Generalarchitekten von England ernannt und damit zum Baumeister von vielen Kirchen und öffentlichen Gebäuden wurde. Die St.- Pauls-Kathedrale in London gilt als sein Meisterwerk.
Der Zykloidenbogen
In der Mathematik wird Christopher Wren mit der Zykloiden verbunden. Das hört sich nach Geheimnis an, ist aber ganz leicht zu erklären.
x y
Abb. 1.24 Die Zykloide
Am besten geht es mit einem runden Bierdeckel. Kerben Sie ihn mit dem Fingernagel am Rand an einer Stelle mal ein. Diesen Randpunkt müssen Sie nun im Auge behalten. Denn jetzt sollen Sie diesen Punkt zuerst an die Tischkante anlegen und dann den Bierdeckel an dieser Tischkante entlang rollen. Der eingekerbte Randpunkt beschreibt dabei eine Kurve, die nach einer vollen Umdrehung des Bierdeckels wieder am Tischrand ankommt. Diese Kurve heißt Zykloide (Abb.1.24).
Damals vor über 400 Jahren war es ein großes Problem, die Länge dieser Kurve zu bestimmen. Natürlich hat das etwas mit der Größe des Bierdeckels zu tun. Aber wie ist der genaue Zusammenhang? Wenn Sie an den Umfang eines Kreises mit Durchmesser 1 denken, so wissen wir heute, dass er die Länge hat. Das ist aber keine glatte Zahl, sondern sie hat so einen Wert von 3;14159: : :, also überhaupt nichts leicht zu Berechnendes. Das ist bei der Buckelkurve von Zykloide überraschenderweise ganz anders. Christopher Wren war der Erste, der die Länge dieses Bogens berechnete. Viele Mathe- matiker hatten sich damals an diesem Problem versucht. Heute ist das eine Übungsaufgabe im Anfängerstudium. Wren fand die Lösung, dass dieser Bo- gen genau viermal so lang ist wie der Durchmesser des erzeugenden Kreises, im Jahre 1658, 30 Jahre bevor Gottfried Wilhelm Leibniz die Integraldarstellung gelang.
Satz 1.4 (Satz von Christopher Wren) Die Länge des Zykloidenbogens ist ge- nau viermal so lang wie der Durchmesser des erzeugenden Kreises.
Weitere Eigenschaften der Zykloide
Im selben Jahr 1658, in dem Wren die Länge des Zykloidenbogens berechnete, berechnete Blaise Pascal (1623–1662), angeregt durch ein Preisausschreiben von Isaac Newton, den Flächeninhalt unter einem Zykloidenbogen.
1.6 Sir Christopher Wren 35
Satz 1.5 (Satz von Blaise Pascal) Die Fläche unter einem Zykloidenbogen ist genau dreimal so groß wie die Fläche des erzeugenden Kreises.
Diese Kurve hält noch weitere Überraschungen bereit, die erst später entdeckt wurden.
Christiaan Huygens (1629–1695) entdeckte 1673 eine Eigenschaft, die vielleicht noch erstaunlicher ist. Dazu muss man die Zykloide nach unten an der x-Achse spiegeln. Und dann betrachten wir auch nur die erste Hälfte bis zum Tiefpunkt. Wenn wir jetzt auf diese Bahn in verschiedenen Höhen Kugeln setzen und diese gleichzeitig loslassen, so werden Sie es mir nicht glauben. Aber alle Kugeln kommen gleichzeitig unten an, sie brauchen also alle dieselbe Zeit bis zum Endpunkt, egal wo wir sie hinsetzen. Dabei vernachlässi- gen wir natürlich Luftwiderstand und Reibung. Im altgriechischen bedeutet
˛oK%oKo&, tauto chronos, dieselbe Zeit. Daher heißt diese Kurve, die ja eigentlich eine gespiegelte Zykloide ist, auch Tautochrone (Abb.1.25) . Satz 1.6 (Satz von Christiaan Huygens) Wenn wir den Luftwiderstand und die Reibung vernachlässigen, rollt eine Kugel von jedem Punkt einer umgedrehten Zykloide in derselben Zeit bis zum tiefsten Punkt.
Johann Bernoulli (1667–1748), einer aus der berühmten Schweizer Ma- thematikerfamilie, fand schließlich 1697 heraus, dass eine Kugel einen Weg von einem Punkt Azu einem tiefer gelegenen PunktBam schnellsten, also in der kürzesten Zeit durchläuft, wenn die verbindende Kurve die Zykloide
Abb. 1.25 Die Zykloide als Tautochrone
Zykloide y
x A
B
Abb. 1.26 Die Zykloide als Brachistochrone
ist. Wegen dieser Eigenschaft heißt die Zykloide nach dem griechischen Wort ˇ%˛K o& %oo&”kürzeste Zeit“ auch Brachistochrone (Abb.1.26).
Satz 1.7 (Satz von Johann Bernoulli) Unter allen Kurven, die einen Punkt A mit einem tiefer liegenden Punkt B verbinden, ist die Zykloide diejenige, auf der eine Kugel in der kürzesten Zeit die Strecke von A nach B zurücklegt.
Erwähnen möchte ich noch eine sehr interessante Anwendung der Zykloi- de, die Christiaan Huygens vorgeschlagen hat. Es ging ihm dabei um eine möglichst genau gehende Uhr. Bei Pendeluhren, den damals gebräuchlichen Zeitmessern, ist die Schwingungsdauer leider abhängig von der Amplitude, also der Höhe des Ausschlages. Nur bei kleinen Ausschlägen kann man den Fehler vernachlässigen. Dann hängt die Schwingungsdauer nur von Faden- länge und Erdbeschleunigung ab:
T D2 s
l g
Je länger also der Faden oder die Aufhängung l ist, desto langsamer schwingt das Pendel. Die Erdbeschleunigung steht im Nenner, also würde dieselbe Uhr auf dem Mond, wo die Anziehungskraft nur ein Sechstel der Erdbeschleunigung ist, viel langsamer pendeln. Wie gesagt, gilt diese Formel aber nur bei kleinen Auslenkungen, wenn man den Kosinus eines Winkels mit