Mathematik in der Sprache
3.4 Er versuchte die Quadratur des Kreises
Stellen, große können vielleicht noch 20 Nachkommastellen berücksichtigen.
Aber mehr kann und will ja niemand. Es reicht doch völlig aus. Warum also jetzt noch neue Zahlen einführen, und das mit solch schrecklichen Definitionen wie einem Dedekindschen Schnitt oder einer Cauchy-Folge?
Betrachten Sie das folgende sehr einfache Beispiel:
f.x/Dx22
Wenn Sie jetzt tatsächlich nur mit zehnstelligen Zahlen rechnen wollen, so scheitern Sie mit obigem Zwischenwertesatz. Denn wir sehen doch sofort, dass diese Funktion bei x D 0 den Wertf.0/ D 2hat, also negativ ist, aber beixD 5den Wertf.5/ D 23hat, also positiv ist. Eine Nullstelle läge beix D p
2, aber diese Zahl hat unendlich viele Nachkommastellen. Wenn wir nur zehn Stellen zulassen wollen, so ist diese Zahl nicht dabei, also würde unsere Funktion f diex-Achse nicht in einer der betrachteten zehnstelligen Zahlen schneiden.
Fazit: Die Lehrer in den Oberstufen der Gymnasien brauchen zwingend die reellen Zahlen. Sonst scheitern sie schon am Zwischenwertesatz und dann erst recht am Mittelwertsatz in der Differentialrechnung.
Jetzt wissen Sie, warum Sie mit diesen reellen Zahlen so gequält wurden.
Wir brauchen sie dringend in der Analysis.
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Das ist natürlich, so als Aufgabe gestellt, sehr leicht. Wir wissen ja noch, wie sich der Flächeninhalt eines Kreises berechnet:
Satz 3.4 Der FlächeninhaltFeines Kreises mit dem Radiusrist
FDr2:
Wenn uns da also ein Kreis anlacht, so berechnen wir flugs seinen Flächen- inhalt und ziehen daraus die Wurzel. Das ist dann die Seitenlänge des gleich großen Quadrates. Wo liegt das Problem?
Das Problem liegt in der nicht vollständig angegebenen Aufgabe. Sie lautet nämlich in Wirklichkeit:
Definition 3.2 Unter der Quadratur des Kreises verstehen wir die Aufgabe, zu einem gegebenen Kreis ein Quadrat mit genau dem gleichen Flächeninhalt zu konstruieren und dabei nur Zirkel und Lineal zu benutzen.
Es ist also eine Aufgabe aus der Geometrie. Das Lineal darf dabei nur zum Zeichnen gerader Linien verwendet werden, nicht zum Abmessen von Längen etc. Es sollte deshalb ein blankes Lineal ohne Zentimetereinteilung sein. In dem Begriff”Konstruktion“ist außerdem enthalten, dass es in endlich vielen Schritten erledigt sein muss. Und so gestellt, ist es eine richtig knackige Aufgabe. Die löst man nicht mal so nebenher am Biertisch.
Dieses Problem gehört zu den drei großen mathematischen Problemen des Altertums:
1. Verdopplung des Würfels 2. Winkeldreiteilung 3. Quadratur des Kreises
Jedes Mal gilt die Einschränkung wie oben, die (endliche) Konstruktion darf nur mit Zirkel und Lineal ausgeführt werden. Ein paar Bemerkungen zu den drei Problemen.
Zu 1. Beginnen wir mit der einfacheren Aufgabe, ein Quadrat flächenmäßig zu verdoppeln. Das ist geometrisch ziemlich einfach. Überlegen Sie doch vielleicht zuerst einmal selbst, ob Sie das schaffen. Ansonsten schauen Sie auf die Skizze in Abb.3.4.
Sehen Sie, was wir gemacht haben? Das Ausgangsquadrat F1 D ABCD mit der Seitenlänge 1 hat doch den Flächeninhalt F D 1
2 1
1 F1
F2
A B
D C
E
F
Abb. 3.4 Verdopplung des Quadrates
1 D 1. Wir müssen also ein Quadrat mit dem FächeninhaltF2 D 2 konstruieren.
Unser Trick besteht nun darin, dass wir über der Diagonalen AC von F1 ein neues Quadrat F2 D AEFC konstruiert haben, was mit Zirkel und Lineal eine leichte Aufgabe ist. Durch die zwei gestrichelten Hilfslinien sehen wir, dass dieses neue Quadrat aus vier kongruenten Dreiecken besteht und das Ausgangsquadrat aus zwei von diesen Drei- ecken zusammengesetzt ist. Also hatF2 exakt die doppelte Fläche von F1. Wir müssen also nur das Quadrat über der Diagonalen konstruieren, um zur Verdopplung des Ausgangsquadrates zu gelangen.
Wenn wir Herrn Pythagoras bemühen, so rechnen wir natürlich leicht aus, dass die Diagonale inF1 die Länge p
2hat. Damit hat das QuadratF2die Fläche 2, was unsere Lösung auch rechnerisch bestätigt.
Da wird doch jetzt das Problem, einen Würfel zu verdoppeln, nicht komplizierter sein? Leider doch. Kurz etwas zur Geschichte dieses Pro- blems. Eine Legende erzählt von den Bewohnern der Insel Delos. Das ist ein kleines Eiland zwischen Griechenland und der Türkei gelegen.
Damals wütete die Pest auf dieser Insel, und die Einwohner suchten Rat bei einem Orakel. Dieses soll ihnen die Aufgabe gestellt haben, den würfelförmigen Altar in ihrem Apollo-Tempel zu verdoppeln. In- teressant, dass damals ein Orakel mit der Lösung einer mathematischen Aufgabe eine große Wohltat verbunden hat. Wie wir heute wissen,
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ist die Aufgabe nur mit Zirkel und Lineal nicht lösbar. Also war das Orakel gemein. Wir dürfen aber wohl davon ausgehen, dass diejenigen, die, als Orakel getarnt, die Aufgabe gestellt haben, nichts von der Unlösbarkeit wussten; denn erst 1837 bewies Pierre-Laurent Wantzel (1814–1848), ein französischer Mathematiker, die Unlösbarkeit dieses Verdopplungsproblems.
Zu 2. Natürlich ist es leicht, z. B. einen Winkel von 90ıin drei gleich große Teile zu zerteilen, weil wir ja wissen, dass das gleichseitige Dreieck einen Innenwinkel von60ıhat. Gleichseitige Dreiecke kann man sehr leicht mit Zirkel und Lineal konstruieren. Halbieren geht wunderbar mit Zirkel und Lineal, und schon haben wir einen Winkel von 30ı konstruiert. Die Frage ist, ob man jeden Winkel – mit der Betonung auf”jeden“– in drei Teile zerlegen kann.
Tatsächlich bewies der oben schon erwähnte Pierre-Laurent Wantzel in derselben Arbeit von 1837, dass auch dieses Problem nicht mit Zirkel und Lineal lösbar ist.
Zu 3. Auch dieses Problem, einen Kreis nur mit Zirkel und Lineal in ein flächengleiches Quadrat zu überführen, erwies sich als unlösbar. Al- lerdings bewies das erst 1882 der deutsche Mathematiker Ferdinand von Lindemann. Er bewies, dass die Kreiszahl transzendent ist. Da- zu erzählt das Mathematische Institut der Albert-Ludwigs-Universität Freiburg im Jahre 2007 in einer kleinen Geschichte, wie Ferdinand Lin- demann vor 125 Jahren zum Beweis der Unlösbarkeit dieses Problems kam:
Es war der 30. Geburtstag von dem in Hannover am 12. April 1852 geborenen Ferdinand Lindemann, also am 12. April 1882, als dieser, inzwischen Professor in Freiburg, einen Spaziergang unternahm und unterwegs auf die entscheidende Idee zum Beweis kam. Laut Überlieferung stürmte er nach Hause und verfasste ein Manuskript mit dem Titel
”Über die Zahl“. Anschließend traf er seinen Freund, den Oberstleutnant von dem Busche. Dem fiel die euphorische Stimmung von Lindemann auf, und er bemerkte:”Sie haben wohl die Quadratur des Kreises gelöst.“
Übrigens erhielt Lindemann im Jahre 1918 das Adelsprädikat und wird heute als Ferdinand von Lindemann zitiert.
Alle drei Probleme sind also, wie wir heute wissen, unlösbar. Aber nur die Quadratur des Kreises hat Eingang in die Sprache gefunden. Sie könnten doch auch sagen: Er versuchte, einen Winkel zu dreiteilen! Oder er versuchte, einen Würfel zu verdoppeln, um auszudrücken, dass jemand etwas Unmögliches
versucht hat. Ich denke, dass die Quadratur des Kreises einfach viel mehr Kraft verströmt. Allein schon das Wort”Quadratur“besitzt eine Eigenheit. Was ist dagegen die Dreiteilung oder die Verdopplung. Viel zu simple Begriffe, um Journalisten und Politiker zu beeindrucken.
In der Mitte des 18. Jahrhunderts versuchten viele Hobbymathematiker, dieses Problem zu lösen. Gotthold Ephraim Lessing (1729–1781) widmete einem dieser”Kreisquadrierer“das folgende niedliche Gedicht, das ich Ihnen nicht vorenthalten möchte:
Auf den Herrn M**
den Erfinder der Quadratur des Zirkels von Gotthold Ephraim Lessing Der mathematsche Theolog, Der sich und andre nie betrog,
Saß zwischen zweimal zweien Wänden, Mit archimedscher Düsternheit, Und hatte – welche Kleinigkeit!
Des Zirkels Vierung unter Händen.
Kühn schmäht er auf das x + z (Denn was ist leichter als geschmäht?) Als ihn der Hochmut sacht und sachte Bei seinen Zahlen drehend machte.
So wie auf einem Fuß der Bube
Sich dreht, und dreht sich endlich dumm, So ging die tetragonsche Stube,
Und Stuhl und Tisch mit ihm herum.
O Wunder, schrie er, o Natur!
Da hab ich sie, des Zirkels Quadratur.